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高中英语·高二下册知识点全梳理¶

依据《普通高中英语课程标准（2017年版2020年修订）》及人教版选择性必修第一册、第二册整理

学习内容概览¶

选必1 Unit 1 People of Achievement¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 非限制性定语从句
   - Tu Youyou, who was born in Ningbo, is a great scientist.
   - The medicine, which was extracted from sweet wormwood, saved millions of lives.

2. upon/on + doing — 一……就
   - Upon hearing the news, she burst into tears.

3. It is universally acknowledged that… — 众所周知
   - It is universally acknowledged that hard work leads to success.

三、语法要点¶

非限制性定语从句（复习与深化）¶

四、写作指导¶

人物传记写作要点：
- 按时间顺序组织
- 突出主要成就与贡献
- 引用人物名言
- 客观叙述与适当评价结合

五、易错点提醒¶

• 非限制性定语从句中 that 不可替代 which/who
• which 引导非限制性定语从句可指代前文整个句子
  | 介词+which 结构中介词的选择取决于从句动词搭配

选必1 Unit 2 Looking into the Future¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 将来进行时 — will be + doing
   - This time tomorrow, I will be flying to London.
   - In 2050, robots will be doing most household chores.

2. be likely to do — 可能做
   - AI is likely to change every aspect of our lives.

3. There is no doubt that… — 毫无疑问
   - There is no doubt that technology will continue to advance.

三、语法要点¶

将来进行时¶

结构： will/shall be + 现在分词

将来时态对比：

四、写作指导¶

关于未来的议论文写作要点：
- 导入：描述科技发展趋势
- 主体：分析利弊，提出观点
- 论证：使用事例和数据支撑
- 结论：总结展望并给出建议

五、易错点提醒¶

• 将来进行时不用于表”意愿”或”承诺”，用一般将来时
• be likely to 中 likely 是形容词，不是副词
• resist 后接 doing（resist doing sth.）

选必1 Unit 3 Fascinating Parks¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. -ing 形式作定语
   - The sleeping baby looks cute.（前置定语）
   - The man standing by the river is a photographer.（后置定语）

2. -ing 形式作状语
   - Walking along the trail, we saw a deer.（时间/伴随状语）
   - Not knowing the way, he asked a local for help.（原因状语）

3. 独立主格结构
   - Weather permitting, we will go hiking tomorrow.

三、语法要点¶

-ing 形式作定语和状语¶

-ing 作定语：
- 单个 v-ing 前置：a running dog, boiling water
- v-ing 短语后置（相当于定语从句）：The girl sitting next to me (= who is sitting next to me) is my sister.

-ing 作状语：

四、写作指导¶

公园/自然景观描写要点：
- 按空间或路线顺序展开
- 运用感官细节描写（视觉、听觉、嗅觉）
- 使用丰富的形容词和比喻
- 融入对自然的感悟

五、易错点提醒¶

• -ing 作状语时，其逻辑主语须与主句主语一致
• -ing 的否定形式是 not doing（不是 don’t doing）
• 独立主格结构中 -ing 的逻辑主语与主句主语不同

选必1 Unit 4 Body Language¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. -ing 形式作主语
   - Crossing your arms can mean defensiveness.
   - Smiling is a universal sign of friendliness.

2. -ing 形式作宾语
   - I enjoy watching people’s body language.
   - He avoided making eye contact.

3. It is no use doing — 做……没用
   - It is no use crying over spilt milk.

三、语法要点¶

-ing 形式作主语和宾语¶

-ing 作主语：
- Reading books is a good habit.
- It is no good worrying about the past.（it 作形式主语）

-ing 作宾语：

介词后接 doing：
- He is good at singing.
- Thank you for helping me.
- be used to / look forward to / object to（to 为介词）

四、写作指导¶

说明文——身体语言与文化：
- 定义身体语言的概念与分类
- 举例说明不同文化的差异
- 分析身体语言的交际功能
- 强调跨文化理解的必要性

五、易错点提醒¶

• 有些动词后只能接 doing（enjoy, finish, avoid），有些只能接 to do（decide, hope, agree）
• to 在 look forward to/be used to/object to 中是介词，后接 doing
• -ing 作主语时谓语动词用单数

选必1 Unit 5 Working the Land¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. -ed 形式作状语
   - Given more time, he would have finished the experiment.
   - Exhausted after a day’s work, he fell asleep quickly.

2. -ing 形式作状语（对比）
   - Knowing the importance of agriculture, he devoted his life to farming research.

3. Not only… but also…（倒装）
   - Not only did he improve crop yields, but he also helped reduce poverty.

三、语法要点¶

-ed 与 -ing 作状语对比¶

选择 -ing 还是 -ed：
- 与主句主语是主动关系 → -ing
- 与主句主语是被动关系 → -ed

四、写作指导¶

关于农业与粮食问题的作文要点：
- 阐述粮食安全的紧迫性
- 介绍农业科技创新的贡献
- 分析面临的挑战（人口、土地、气候）
- 提出可持续发展建议

五、易错点提醒¶

• -ed 形式作状语表被动和完成，-ing 表主动和进行
• having done 强调动作发生在主句动作之前
• devoted to / devoted oneself to 中 to 是介词

选必2 Unit 1 Science and Scientist¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 过去完成时 — had + 过去分词
   - By the time he arrived, the meeting had already ended.
   - She realized she had left her keys at home.

2. It was not until… that… — 直到……才
   - It was not until he tested the theory that he found the truth.

3. No sooner… than… / Hardly… when… — 一……就
   - No sooner had he arrived than the phone rang.

三、语法要点¶

过去完成时¶

结构： had + 过去分词

常见时间标志： by the time, by the end of, before, after, when, until

四、写作指导¶

科学发现/实验报告写作要点：
- 背景：介绍科学问题与研究动机
- 过程：描述研究方法与步骤
- 发现：呈现实验结果与数据
- 结论：总结科学发现的意义

五、易错点提醒¶

• 过去完成时必须有明确的过去时间参照点
• be to blame 用主动形式表被动含义
• No sooner/Hardly 置于句首时主句需部分倒装

选必2 Unit 2 Iconic Attractions¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 现在完成进行时 — has/have + been + doing
   - He has been traveling around the world for two years.
   - They have been working on this project since January.

2. Not only… but also…
   - This country is not only famous for its wildlife but also for its beaches.

3. What引导的主语从句
   - What impressed me most was the Great Barrier Reef.

三、语法要点¶

现在完成进行时¶

结构： has/have been + 现在分词

现在完成时 vs 现在完成进行时：

四、写作指导¶

旅游目的地介绍写作要点：
- 概述地理位置与特色
- 介绍标志性景点/动物
- 推荐特色活动与体验
- 提供旅行实用建议

五、易错点提醒¶

• 静态动词（know, believe, belong）一般不用进行时
• 现在完成进行时强调动作的持续性，不强调完成
• migrate（迁徙）与 emigrate（移居国外）/immigrate（移入）区别

选必2 Unit 3 Food and Culture¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 过去完成时被动语态 — had + been + 过去分词
   - The dish had been prepared before the guests arrived.
   - By the time we got there, the restaurant had been closed.

2. It is/was said that… — 据说
   - It is said that this dish dates back to the Tang Dynasty.

3. Not until… did… — 直到……才（倒装）
   - Not until I visited Sichuan did I understand the appeal of spicy food.

三、语法要点¶

过去完成时被动语态¶

结构： had been + 过去分词

四、写作指导¶

饮食文化作文要点：
- 介绍地方特色菜肴与食材
- 分析饮食与地域文化的关系
- 对比不同地区饮食差异
- 探讨健康饮食理念

五、易错点提醒¶

• consist of 不可用被动（不可以说 is consisted of）
• regardless of 后面不能接句子，要接名词或 doing
• quantity（数量）与 quality（质量）拼写相似但含义完全不同

选必2 Unit 4 Journey Across a Vast Land¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 现在分词作伴随状语
   - They traveled across the country, enjoying the spectacular scenery.
   - Looking out of the window, she saw snow-capped mountains.

2. 分词的完成式 having done
   - Having arrived at the station, they bought their tickets.

3. as 引导时间状语从句
   - As the train moved northward, the temperature dropped.

三、语法要点¶

现在分词综合应用¶

现在分词的七种功能：

四、写作指导¶

游记写作要点：
- 按旅程路线或时间展开
- 详写印象深刻的场景
- 穿插个人感受与思考
- 使用生动的描写性语言

五、易错点提醒¶

• 现在分词作伴随状语不能用 being doing 形式
• having done 表示分词动作先于主句谓语动词
• scenery 是不可数名词，不可加 a/复数

选必2 Unit 5 First Aid¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 虚拟语气 if 从句
   - If I were you, I would learn first aid.（与现在事实相反）
   - If he had known first aid, he could have saved the boy.（与过去事实相反）
   - If it should rain tomorrow, we would cancel the trip.（对将来的假设）

2. If 的省略与倒装
   - Were I you, I would call an ambulance.
   - Had he known, he would have acted differently.

3. It is essential that + (should) do — ……是必须的
   - It is essential that everyone (should) know basic first aid.

三、语法要点¶

虚拟语气——if 条件从句¶

if 省略时的倒装：
- Were I you = If I were you
- Had I known = If I had known
- Should it rain = If it should rain

错综时间虚拟语气：
- If I had taken the medicine yesterday, I would be fine now.（从句过去，主句现在）

四、写作指导¶

说明文——急救指南写作要点：
- 明确急救场景与目标
- 步骤清晰，按顺序编号
- 语言简洁准确，突出关键动作
- 附注注意事项与禁忌

五、易错点提醒¶

-虚拟语气中 be 动词所有人均用 were
- if 省略倒装时不可用 did/didn’t，需用 were/had/should
- suggest/order/demand 等动词后的 that 从句也用虚拟语气 (should + do)

AI生成

高中英语·高二上册知识点全梳理¶

依据《普通高中英语课程标准（2017年版2020年修订）》及人教版必修第三册整理

学习内容概览¶

Unit 1 Festivals and Celebrations¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 情态动词表推测
   - It may/might rain tomorrow.（可能/也许）
   - He can’t/couldn’t be at home now.（不可能）

2. No matter + wh- / wh-ever 引导让步状语从句
   - No matter what festival it is, people always find a reason to celebrate.
   - Wherever you go, you can find unique local traditions.

3. It is believed that… — 人们认为……
   - It is believed that the festival dates back over 2,000 years.

三、语法要点¶

情态动词（一）¶

情态动词表推测的程度：
- must（一定）> will（很可能）> should（应该）> may/might（可能）> can’t（不可能）

四、写作指导¶

节日描写写作要点：
- 介绍节日名称、时间、起源
- 描述庆祝活动与习俗细节
- 说明节日意义与文化内涵
- 表达个人感受或评价

五、易错点提醒¶

• can 表推测多用于否定句和疑问句（can’t = 不可能）
• may not（可能不）与 can’t（不可能）程度不同
• shall 用于第一人称征求意见，用于二三人称表命令/警告

Unit 2 Morals and Virtues¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. ought to 表应该 — 语气比 should 稍强
   - You ought to keep your promise.
   - He ought not to have done that.

2. must vs have to
   - You must wear a uniform.（主观必要/规定）
   - I have to wear glasses.（客观需要）

3. should have done — 本应该做（但没做）
   - You should have told me earlier.

三、语法要点¶

情态动词（二）¶

情态动词 + have done（表对过去的推测/评价）：

四、写作指导¶

道德故事写作要点：
- 人物：简洁介绍主人公及性格
- 冲突：描述道德困境或选择
- 转折：呈现人物的决定与行动
- 启示：点明故事的道德寓意

五、易错点提醒¶

• must（主观必要）与 have to（客观需要）的区别：must 无时态变化，have to 有人称和时态变化
• needn’t have done（本不必做但做了）与 didn’t need to do（不需要做且没做）的区别
• ought to 的否定形式是 ought not to（不是 don’t ought to）

Unit 3 Diverse Cultures¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. it 作形式主语
   - It is important to understand different cultures.
   - It is said that the city has over 100 ethnic groups.

2. it 作形式宾语
   - I find it exciting to learn about different traditions.

3. 强调句型 It is/was + 被强调部分 + that/who
   - It was in San Francisco that I first experienced diverse cultures.

三、语法要点¶

it 的用法¶

四、写作指导¶

文化介绍写作要点：
- 介绍文化背景与历史
- 展示多元文化的具体表现
- 分析文化交流的意义
- 呼吁尊重与包容

五、易错点提醒¶

• 强调句的判断方法：去掉 It is/was…that/who 后句子仍完整
• it 作形式主语和强调句结构相似但功能不同
• diverse（adj. 多样的）与 diversity（n. 多样性）词性不同

Unit 4 Space Exploration¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 不定式作定语
   - He is the first man to walk on the moon.
   - I have a lot of work to do.

2. 不定式作状语
   - He went to the USA to study astronomy.（目的状语）
   - He was too excited to speak.（结果状语）

3. There is no need to do — 没必要做
   - There is no need to worry about the result.

三、语法要点¶

动词不定式¶

不定式作定语：
- He has a lot of homework to finish.
- She is the best person to ask for help.
- 注意：被修饰的名词与不定式之间有逻辑上的主谓/动宾关系

不定式作状语：

不定式的被动形式：
- to be done（被动）：The problem remains to be solved.
- to have done（完成式）：He is said to have written three books.

四、写作指导¶

科幻写作要点：
- 构想合理的太空场景与技术设定
- 设计有冲突的情节
- 使用科学术语但保持可读性
- 结尾可设置悬念或反思

五、易错点提醒¶

• 不定式作定语时，如果不定式是不及物动词，需加介词：a room to live in
• too…to… 结构中 too 后接形容词/副词，to 后接动词原形
• 不定式的完成式 to have done 表示动作发生在谓语动词之前

Unit 5 The Value of Money¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 不定式作宾补
   - I want you to help me with this project.
   - The boss told him to finish the report by Friday.

2. 不定式作主语
   - To be honest is the best policy.
   - It is hard to say whether money brings happiness.

3. would rather + do — 宁愿做
   - I would rather stay at home than go out.

三、语法要点¶

不定式作宾补和主语¶

不定式作宾补（宾语补足语）：

否定形式： not to do
- I told him not to be late.

不定式作主语：
- To master a foreign language requires patience.（直接作主语）
- It is important to learn to manage money.（it 作形式主语）

四、写作指导¶

戏剧/剧本写作要点：
- 以对话为主要形式
- 舞台说明用括号或斜体标注
- 每个角色语言风格鲜明
- 注意冲突的构建与情节推进

五、易错点提醒¶

• make 后接不带 to 的不定式作宾补：make sb. do（但被动语态需还原 to：be made to do）
• would rather 后接动词原形，不接 to do
• hesitate 的名词形式是 hesitation（不是 hesitance）

AI生成

高中英语·高一下册知识点全梳理¶

依据《普通高中英语课程标准（2017年版2020年修订）》及人教版必修第二册整理

学习内容概览¶

Unit 1 Cultural Heritage¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. There is no doubt that… — 毫无疑问……
   - There is no doubt that cultural heritage should be protected.

2. Not only… but also…（倒装用法）
   - Not only does the project protect the temple, but it also promotes tourism.

3. It takes sb. time/money to do sth.
   - It took the committee five years to restore the ancient temple.

三、语法要点¶

限制性 vs 非限制性定语从句¶

whose 在非限制性定语从句中：
- Mr. Wang, whose son is studying abroad, teaches us English.

which 指代整个句子：
- He passed the exam, which made his parents very happy.

四、写作指导¶

文化遗产保护类作文要点：
- 背景：描述文化遗产现状与威胁
- 重要性：阐述保护的意义
- 措施：提出具体保护建议
- 呼吁：号召大家参与

五、易错点提醒¶

• 非限制性定语从句中不可使用 that
• which 引导非限制性定语从句可指代前面整个句子
• preserve（保护使不受损）与 reserve（保留储备）含义不同

Unit 2 Wildlife Protection¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 现在进行时被动语态 — be + being + 过去分词
   - The forest is being destroyed by illegal logging.
   - More wildlife reserves are being established across the country.

2. It is high time that + 主语 + 过去式/should do — 是时候……了
   - It is high time that we took action to protect endangered species.

3. Only + 状语 + 部分倒装
   - Only by working together can we save these beautiful animals.

三、语法要点¶

现在进行时被动语态¶

结构： am/is/are + being + 过去分词

对比四种被动形式：

四、写作指导¶

倡议书写作要点：
- 标题醒目，点明主题
- 开头指出问题严重性
- 主体分条提出具体倡议行动
- 结尾富有感染力的呼吁

五、易错点提醒¶

• affect（v. 影响）与 effect（n. 效果）易混淆
• adapt to（适应）与 adopt（收养/采纳）形近意异
• be being done 结构中 being 不可省略

Unit 3 The Internet¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 现在完成时被动语态 — has/have + been + 过去分词
   - Personal information has been stolen by hackers.
   - Many websites have been updated to improve security.

2. With 复合结构 — with + 宾语 + 宾补
   - With the Internet developing rapidly, our life has changed greatly.

3. The more… the more… — 越……越……
   - The more time you spend online, the less time you have for real life.

三、语法要点¶

现在完成时被动语态¶

结构： has/have + been + 过去分词

被动语态使用要点：
- 只有及物动词才有被动语态
- 带双宾语的动词变为被动时，可用直接或间接宾语作主语
- 含宾补的句子变被动，宾补变主补

四、写作指导¶

博客写作要点：
- 标题吸引眼球
- 第一人称视角，语气亲切
- 分段清晰，可使用小标题
- 结尾互动邀请评论

五、易错点提醒¶

• has been done 强调”已完成”，has been being done 强调”一直在进行”（较少用）
• convenient 主语通常为事物而非人
• privacy（n. 隐私）与 private（adj. 私人的）词性不同

Unit 4 History and Traditions¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 过去分词作定语
   - The temple built in the Ming Dynasty is a famous landmark.
   - The book written by him is very popular.

2. 过去分词作状语
   - Surrounded by mountains, the village is very beautiful.
   - Given more time, we could have done better.

3. as 引导方式状语从句
   - Do in Rome as the Romans do.（入乡随俗）

三、语法要点¶

过去分词（-ed 形式）¶

过去分词作定语：
- 单个过去分词前置：a broken glass, a written report
- 过去分词短语后置：the novel written by Lu Xun

过去分词作状语：

-ing vs -ed 区别：
- exciting（令人兴奋的，修饰物） vs excited（感到兴奋的，修饰人）
- The match was exciting. / The fans were excited.

四、写作指导¶

历史文化介绍写作要点：
- 按时间顺序或空间顺序展开
- 突出文化特色与历史意义
- 引用历史人物名言增强说服力
- 客观准确，避免主观臆断

五、易错点提醒¶

• belong to 不可用被动语态，也不可用进行时
• remain 作系动词时后接形容词/名词：The problem remains unsolved.
• gifted（有天赋的）与 present（礼物）不要混淆

Unit 5 Music¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 过去分词作宾补 — have/get/make/find + 宾语 + 过去分词
   - I had my guitar repaired yesterday.
   - She found herself surrounded by fans.

2. 过去分词作表语
   - He was excited about the concert.
   - The door remained closed.

3. 虚拟语气 wish + 过去完成时 — 表过去遗憾
   - I wish I had learned to play the piano when I was young.

三、语法要点¶

过去分词作宾补和表语¶

过去分词作宾补（宾语补足语）：

过去分词作表语：
- The students are interested in the lecture.
- She looked disappointed at the news.
- 注意：此处过去分词已形容词化，表状态而非被动动作。

四、写作指导¶

音乐主题作文要点：
- 可写音乐与情感/生活的关系
- 描述个人音乐经历时注意细节
- 恰当使用音乐术语
- 结尾升华主题：音乐的力量与意义

五、易错点提醒¶

• have sth. done（让某事被做/遭遇某事）与 have sb. do（让某人做）结构不同
• be absorbed in 中 in 为介词，后接名词或 doing
• audience 为集合名词，作主语时谓语动词可用单数或复数，取决于是否强调整体

AI生成

高中英语·高一上册知识点全梳理¶

依据《普通高中英语课程标准（2017年版2020年修订）》及人教版必修第一册整理

学习内容概览¶

Unit 1 Teenage Life¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. prefer to do A rather than do B — 宁愿做A而不愿做B
   - I prefer to read books rather than watch TV.

2. find + it + adj. + to do — 发现做某事……
   - Many freshmen find it difficult to adapt to high school life.

3. suggest + that从句(should + 动词原形) — 建议……
   - I suggest that you (should) join a club to make new friends.

三、语法要点¶

名词短语（Noun Phrases）¶

名词短语由”限定词+形容词+名词”构成，在句中可作主语、宾语、表语等。

• The tall boy in the classroom is our monitor.
• He bought a very interesting book about history.

构词法——派生法¶

• 前缀：re- (rewrite), un- (unhappy), dis- (disagree)
• 后缀：-tion (education), -ment (movement), -able (comfortable), -ful (useful)

四、写作指导¶

建议信写作要点：
- 开头：表明写信目的，说明了解对方困境
- 主体：提出具体建议（使用 First… Second… Finally… 等衔接词）
- 结尾：表达期望与鼓励

范文框架：
Dear …, I’m sorry to hear that you are having trouble with … Here are some suggestions. First, … Second, … Finally, … I hope you will find these suggestions helpful. Yours, …

五、易错点提醒¶

• prefer 的过去式需双写 r：preferred（不是 prefered）
• be addicted to 中 to 为介词，后接名词或 doing
• suggest 表示”建议”时，从句用虚拟语气(should + do)；但 suggest 表示”暗示”时不用虚拟语气

Unit 2 Travelling Around¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. be + 现在分词 + 将来时间 — 现在进行时表将来（已安排好的计划）
   - I am leaving for Beijing tomorrow.
   - We are flying to Shanghai next week.

2. It is amazing that… — ……令人惊叹
   - It is amazing that the ancient city still looks so beautiful.

3. not only… but also… — 不但……而且……
   - You can not only enjoy the scenery but also learn about the culture.

三、语法要点¶

现在进行时表将来¶

表示按计划、安排即将发生的动作，常用于位移类动词。

常见动词：go, come, leave, arrive, fly, start, travel, stay, move 等。

四、写作指导¶

旅游手册/旅行攻略写作要点：
- 介绍目的地概况（地理位置、特色）
- 推荐必去景点与活动
- 提供实用建议（交通、住宿、最佳旅行时间）
- 语言生动，吸引读者

五、易错点提醒¶

• amazing（令人惊叹的，修饰物）与 amazed（感到惊叹的，修饰人）的区别
• arrive at（小地点）与 arrive in（大地点）的搭配区别
• now that（既然）= since，引导原因状语从句

Unit 3 Sports and Fitness¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 反意疑问句结构 — 前肯后否，前否后肯
   - You like sports, don’t you?
   - He can’t swim, can he?

2. It is/was + 被强调部分 + that/who… — 强调句
   - It was his determination that led him to success.

3. make + 宾语 + 宾补 — 使……成为
   - Sports make us strong and healthy.

三、语法要点¶

反意疑问句¶

基本规则： 前肯后否，前否后肯，时态和人称保持一致。

四、写作指导¶

演讲稿写作要点：
- 开头：引人注意的问候与引入
- 主体：分层次论述观点，用事例支撑
- 结尾：有力总结，呼吁行动

五、易错点提醒¶

• give up 后接 doing，不接 to do
• compare A with B（把A与B比较）与 compare A to B（把A比作B）的区别
• 反意疑问句中，few/little/never/hardly/seldom 等否定词出现时，附加问句用肯定形式

Unit 4 Natural Disasters¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 定语从句 that/which/who
   - The earthquake that struck the city caused great damage.
   - The rescue team who arrived first saved many lives.

2. It seemed as if… — 似乎……
   - It seemed as if the world were coming to an end.

3. leave + 宾语 + 宾补（形容词/分词）
   - The flood left many people homeless.

三、语法要点¶

定语从句（一）——that/which/who¶

关系代词用法对照：

只用 that 的情况：
- 先行词被最高级修饰：This is the best movie that I have ever seen.
- 先行词是不定代词：Is there anything that I can do for you?
- 先行词被 the only/the very 修饰：This is the only book that I need.

四、写作指导¶

新闻报道写作要点：
- 标题简洁，概括事件
- 导语（首段）包含5W（Who/What/When/Where/Why）
- 主体段落详述经过与影响
- 结尾交代后续救援或影响

五、易错点提醒¶

• 定语从句中关系代词作宾语可省略，但介词后不可省
• that 和 which 都可指物，但非限制性定语从句中只能用 which
• strike 的过去式为 struck，过去分词为 struck

Unit 5 Languages Around the World¶

一、核心词汇与短语¶

二、核心句型¶

1. 定语从句 where/when/whose/why
   - This is the city where I was born.
   - I remember the day when I first came to this school.
   - The boy whose father is a teacher speaks English well.

2. Even though/Though 引导让步状语从句
   - Even though it was raining, we still went hiking.

3. No matter + 疑问词
   - No matter how difficult it is, I will never give up learning English.

三、语法要点¶

定语从句（二）——关系副词与介词+关系代词¶

关系副词：

whose 的用法（表所属关系）：
- The writer whose novel I am reading will give a speech tomorrow.

介词 + which/whom：
- The house in which he lives is very old. (= where)
- The person to whom I spoke is our principal. (= whom)

四、写作指导¶

说明文写作——语言学习经历/建议：
- 按时间线或逻辑顺序组织内容
- 使用举例和对比说明方法
- 注意衔接词的使用

五、易错点提醒¶

• where 可替换为 in/at/on + which，但不可替换为 that
• whose 既可指人也可指物：the book whose cover is red
• 介词 + which/whom 中，介词的选择取决于从句的动词搭配（如 look at → at which）

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高中数学·高三下册知识点全梳理（高考总复习）¶

依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》及人教A版教材整理

学习内容概览¶

模块一 集合与常用逻辑用语¶

一、核心知识点¶

• 集合运算：交、并、补。含参数集合问题注意空集讨论。子集个数 $2^n$。
• 充分必要条件：从推证方向判断，小范围推大范围是充分不必要。
• 量词命题否定：全称$\to$存在，存在$\to$全称，结论同时否定。

二、典型例题¶

例：设 $A={x \mid -1<x<2}$，$B={x \mid x<a}$，若 $A \cap B \neq \emptyset$，求 $a$ 的范围。

解：$A \cap B\neq\emptyset$ 需要 $a>-1$（$a\leq -1$ 时 $B$ 与 $A$ 无交集）。

三、易错点提醒¶

• 注意 $A\cap B=\emptyset$ 的反面是 $A\cap B\neq\emptyset$，不要混淆
• 充分条件与必要条件的判定，用集合包含关系更直观

模块二 函数与导数¶

一、核心知识点¶

• 函数性质综合：定义域→奇偶性（先看对称性）→单调性（求导或定义法）→周期性→值域。
• 指数函数与对数函数：互为反函数，图象关于 $y=x$ 对称。$a>1$ 递增，$0<a<1$ 递减。
• 导数应用：
• 单调性：$f’(x)>0$ 递增，$f’(x)<0$ 递减
• 极值：导数变号
• 最值：闭区间上极值与端点值比较
• 零点：单调性+零点存在定理

• 不等式证明：构造函数，利用最值

• 常见不等式：$e^x\geq x+1$；$\ln x\leq x-1$（$x>0$）；$e^x\geq ex$（$x>0$）；$\dfrac{\ln x}{x}\leq \dfrac{1}{e}$（$x>0$）。

二、典型例题¶

例：已知 $f(x)=e^x-ax$，若 $f(x)\geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。

解：$f’(x)=e^x-a$。当 $a\leq 0$ 时 $f’(x)>0$，$f(x)$ 递增，$f(x)\geq f(-\infty)$ 无下界，$a\leq 0$ 不合。当 $a>0$ 时 $f’(x)=0$ 得 $x=\ln a$，$f(\ln a)=a-a\ln a$。需 $a-a\ln a\geq 0$，$\ln a\leq 1$，$a\leq e$。故 $a\in(0,e]$。

三、易错点提醒¶

• 含参讨论要全面：参数影响开口/零点/定义域
• 构造函数证明不等式，需验证定义域和边界

模块三 三角函数与解三角形¶

一、核心知识点¶

• 三角恒等变换：和角公式 $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$；$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$。二倍角公式 $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$；$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$。辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$。
• $y=A\sin(\omega x+\varphi)$：周期 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$，最值 $\pm A$，对称轴 $x=\dfrac{\pi}{2\omega}-\dfrac{\varphi}{\omega}+\dfrac{k\pi}{\omega}$。
• 正弦定理：$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$。余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。面积 $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$。
• 解三角形：已知两角一边或两边及夹角可唯一确定；已知两边及对角需讨论解的个数（大边对大角）。

二、典型例题¶

例：$\triangle ABC$ 中，$a=2, b=2\sqrt{2}, C=30°$，求 $c$ 和面积。

解：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=4+8-2\times2\times2\sqrt{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=12-4\sqrt{6}$。$c=\sqrt{12-4\sqrt{6}}$。$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\times 2\times 2\sqrt{2}\times\dfrac{1}{2}=\sqrt{2}$。

三、易错点提醒¶

• 用正弦定理解”SSA”型注意多解：$A>B \Leftrightarrow a>b$
• 余弦定理 $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，分子不能写反

模块四 平面向量¶

一、核心知识点¶

• 数量积：$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2$。垂直$\Leftrightarrow$数量积为0。
• 投影：$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影 $=|\vec{a}|\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}$。
• 向量在三角形中的应用：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$；重心 $\vec{G}=\dfrac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3}$。

二、易错点提醒¶

• 数量积没有结合律，分配律成立
• 向量共线注意零向量的特殊情况

模块五 数列¶

一、核心知识点¶

• 等差/等比：通项、前 $n$ 项和公式要熟练。
• $a_n$ 与 $S_n$：$a_n=\begin{cases}S_1, & n=1 \ S_n-S_{n-1}, & n\geq 2\end{cases}$。验证 $n=1$。
• 递推求通项：累加、累乘、待定系数法。
• 求和方法：裂项、错位相减、分组、倒序相加。
• 数列不等式：放缩法+裂项求和证明。

二、典型例题¶

例：已知 $a_n=n\cdot 2^n$，求 $S_n$。

解：错位相减法。$S_n=1\cdot 2+2\cdot 2^2+\cdots+n\cdot 2^n$，$2S_n=1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots+n\cdot 2^{n+1}$。相减：$-S_n=2+2^2+\cdots+2^n-n\cdot 2^{n+1}=\dfrac{2(2^n-1)}{2-1}-n\cdot 2^{n+1}=2^{n+1}-2-n\cdot 2^{n+1}$。$S_n=(n-1)2^{n+1}+2$。

三、易错点提醒¶

• 等比求和 $q=1$ 时单独讨论
• 错位相减法计算量大，务必仔细

模块六 不等式¶

一、核心知识点¶

• 基本不等式：$a+b\geq 2\sqrt{ab}$（一正二定三等）。
• 均值不等式链：调和$\leq$几何$\leq$算术$\leq$平方。
• 线性规划：画可行域，目标函数在顶点取最值。
• 不等式证明：比较法、综合法（基本不等式链）、分析法（逆推）、放缩法。

二、易错点提醒¶

• 多次使用基本不等式，等号条件须同时满足
• 线性规划中目标函数斜率与可行域边界斜率比较确定最值点

模块七 立体几何¶

一、核心知识点¶

• 空间几何体：棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式。球与几何体的内切外接问题。
• 线面关系：线面平行（面外线平行面内线）、线面垂直（线垂直面内两交线）、面面平行（一面上两交线平行于另一面）、面面垂直（一面过另一面的垂线）。
• 空间向量法：建系→坐标→法向量→计算角与距离。线线角、线面角（正弦）、二面角（法向量夹角，需判锐钝）。

二、典型例题¶

例：正三棱锥侧面是边长为2的正三角形，求其外接球半径。

解：正三棱锥四条棱等长为2，即正四面体。设外接球半径 $R$，$R=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\times 2=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$。

三、易错点提醒¶

• 线面角用正弦不是余弦（方向向量与法向量夹角的余弦=线面角的正弦）
• 二面角需根据法向量方向判断锐钝角
• 球内接问题关键是找球心位置

模块八 解析几何¶

一、核心知识点¶

• 直线与圆：五种直线方程、距离公式、切线问题。
• 椭圆：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$c^2=a^2-b^2$，$e=\dfrac{c}{a}$。
• 双曲线：$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，$c^2=a^2+b^2$，渐近线 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$。
• 抛物线：$y^2=2px$，焦点 $(\dfrac{p}{2},0)$，准线 $x=-\dfrac{p}{2}$，焦半径 $|PF|=x_P+\dfrac{p}{2}$。
• 直线与圆锥曲线综合：联立方程→韦达定理→弦长/面积/中点/斜率等。设而不求，韦达代换。
• 常见策略：设点法、设线法（设 $x=my+t$ 或 $y=kx+m$）、齐次化、参数方程。

二、典型例题¶

例：椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 上点 $P$，过 $P$ 作两条切线分别与椭圆切于 $A,B$，若 $PA\perp PB$，求 $P$ 的轨迹方程。

解：设 $P(x_0,y_0)$。切点弦 $AB$ 方程为 $\dfrac{x_0 x}{4}+\dfrac{y_0 y}{3}=1$。$PA\perp PB$ 等价于 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上。利用椭圆切线性质可推得 $P$ 的轨迹为圆 $x_0^2+y_0^2=\dfrac{12}{7}$（具体计算需联立条件求解）。

三、易错点提醒¶

• 联立直线与圆锥曲线后，$\Delta>0$ 是有两个不同交点的前提
• 设 $x=my+t$ 可避免斜率不存在时的讨论
• 椭圆中 $a^2=b^2+c^2$，双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，不能混

模块九 概率统计¶

一、核心知识点¶

• 计数原理：加法（分类）、乘法（分步）、排列、组合、二项式定理。
• 排列组合模型：捆绑法、插空法、隔板法、特殊优先法、间接法。
• 概率模型：古典概型、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式、二项分布、超几何分布、正态分布。
• 统计：抽样方法、频率分布直方图、回归分析（$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$）、独立性检验（$\chi^2$）。
• 期望方差：$E(X)=\sum x_ip_i$，$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$。二项分布 $E=np, D=np(1-p)$。

二、典型例题¶

例：甲乙两人比赛，甲每局胜率0.6，先胜3局者获胜，求甲获胜的概率。

解：3局：$P_1=0.6^3=0.216$。4局（前3局甲胜2局乙胜1局，第4局甲胜）：$C_3^2\times 0.6^2\times 0.4\times 0.6=0.2592$。5局（前4局甲胜2局乙胜2局，第5局甲胜）：$C_4^2\times 0.6^2\times 0.4^2\times 0.6=0.20736$。$P=0.216+0.2592+0.20736=0.68256$。

三、易错点提醒¶

• 全概率公式需要完备事件组
• 正态分布对称性应用
• 独立性检验结论用语”有$\times\times\%$把握认为有关联”

模块十 数学思想方法¶

一、核心知识点¶

• 分类讨论思想：按参数范围或条件分支分类，每类独立求解，最后合并。如：含参不等式、去绝对值、指数对数底数讨论。
• 数形结合思想：函数图象法求方程根、不等式解集、最值。构造几何图形解代数问题。解析几何本身就是数形结合。
• 化归转化思想：将复杂问题转化为已解决的基本问题。如：空间→平面、高次→低次、多元→一元、一般→特殊。
• 函数与方程思想：将问题转化为函数最值或方程根的问题。如：不等式恒成立$\to$最值问题、等式成立$\to$方程有解。
• 整体思想：把局部看作整体处理，如整体代换、整体求和。

二、典型策略¶

• 恒成立问题$\to$分离参数$\to$最值问题
• 存在性问题$\to$值域（范围）问题
• 多变量问题$\to$消元或主元法
• 抽象函数$\to$赋值法
• 解析几何综合$\to$设而不求+韦达定理

三、易错点提醒¶

• 分类讨论要”不重不漏”，最后各类结果取并集
• 数形结合要注意图象的精确性，草图可能导致错误
• 转化要等价，不等价转化需补回条件

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依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》及人教A版教材整理

学习内容概览¶

第六章 计数原理¶

一、核心知识点¶

• 分类加法计数原理：完成一件事有 $n$ 类办法，各类分别有 $m_1, m_2, \ldots, m_n$ 种方法，则共有 $m_1+m_2+\cdots+m_n$ 种不同方法。各类办法相互独立，”或”的关系。

• 分步乘法计数原理：完成一件事分 $n$ 步，各步分别有 $m_1, m_2, \ldots, m_n$ 种方法，则共有 $m_1\times m_2\times\cdots\times m_n$ 种不同方法。各步连续完成，”且”的关系。

• 排列：从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个按一定顺序排列，$A_n^m = \dfrac{n!}{(n-m)!}$。$A_n^n = n!$（全排列）。

• 组合：从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个不分顺序，$C_n^m = \dfrac{n!}{m!(n-m)!}$。性质：$C_n^m=C_n^{n-m}$；$C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}$（杨辉三角/帕斯卡定律）。

• 常见排列组合模型：

• 捆绑法：相邻问题——将捆绑体视为一个元素
• 插空法：不相邻问题——先排其他元素再插空
• 隔板法：相同元素分到不同组——$n$ 个相同元素分 $k$ 组（每组至少1个），$C_{n-1}^{k-1}$
• 特殊元素/位置优先法：先安排有限制条件的元素或位置

• 间接法：总数减去不合要求的情况

• 二项式定理：$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k$。通项 $T_{r+1}=C_n^r a^{n-r}b^r$（$r=0,1,\ldots,n$）。注意通项是第 $r+1$ 项。

• 二项式系数性质：$C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^n=2^n$；$C_n^0+C_n^2+\cdots=C_n^1+C_n^3+\cdots=2^{n-1}$；最大二项式系数在中间。

二、重点难点¶

• 排列组合模型的识别与灵活运用
• 二项式定理展开式中特定项的求解
• 分步与分类的综合运用

三、典型例题¶

例1：5人站一排，甲乙不相邻的排法有多少种？

解：间接法：总排法 $A_5^5=120$，甲乙相邻排法 $A_2^2\cdot A_4^4=48$（捆绑法），不相邻排法 $=120-48=72$。或插空法：先排其他3人 $A_3^3=6$，有4个空插入甲乙 $A_4^2=12$，$6\times 12=72$。

例2：$(x-\dfrac{1}{x})^8$ 展开式中 $x^2$ 项的系数。

解：$T_{r+1}=C_8^r x^{8-r}\left(-\dfrac{1}{x}\right)^r = C_8^r (-1)^r x^{8-2r}$。令 $8-2r=2$，$r=3$。系数 $= C_8^3(-1)^3 = 56\times(-1) = -56$。

例3：将10个相同小球放入3个不同盒子，每盒至少1个，有多少种放法？

解：隔板法，$C_{10-1}^{3-1}=C_9^2=36$。

四、易错点提醒¶

• 排列有序、组合无序，选择公式前先判断是否考虑顺序
• 二项式定理通项 $T_{r+1}$ 对应第 $r+1$ 项，$r$ 从0开始
• $(a+b)^n$ 展开式某项系数与二项式系数不同（当 $a,b$ 含系数时）
• 捆绑法别忘了捆绑体内部也要排列
• 隔板法要求每组至少1个，若允许空盒需转化为至少1个的情况

第七章 随机变量及其分布¶

一、核心知识点¶

• 条件概率：$P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}$（$P(A)>0$）。
• 全概率公式：若 $B_1,B_2,\ldots,B_n$ 是样本空间的一个划分，$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$。
• 贝叶斯公式：$P(B_j|A)=\dfrac{P(B_j)P(A|B_j)}{\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)}$。
• 离散型随机变量：取值可以逐个列出。分布列 $P(X=x_i)=p_i$（$i=1,2,\ldots$），满足 $p_i\geq 0$，$\sum p_i=1$。
• 数学期望：$E(X)=\sum x_i p_i$。性质：$E(aX+b)=aE(X)+b$。
• 方差：$D(X)=E[(X-E(X))^2]=E(X^2)-[E(X)]^2$。性质：$D(aX+b)=a^2D(X)$。
• 常见分布：
• 两点分布：$P(X=1)=p, P(X=0)=1-p$。$E(X)=p$，$D(X)=p(1-p)$。
• 二项分布：$X\sim B(n,p)$，$P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$。$E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$。
• 超几何分布：$N$ 个中有 $M$ 个次品，取 $n$ 个，$P(X=k)=\dfrac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$。
• 正态分布：$X\sim N(\mu, \sigma^2)$。曲线关于 $x=\mu$ 对称；$P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx 0.6827$；$P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx 0.9545$；$P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)\approx 0.9973$（$3\sigma$ 原则）。

二、重点难点¶

• 条件概率与全概率公式的应用
• 离散型随机变量分布列、期望与方差的计算
• 正态分布的性质与概率计算

三、典型例题¶

例1：某厂产品合格率0.8，现取10件，求至少9件合格的概率。

解：$X\sim B(10,0.8)$。$P(X\geq 9)=P(X=9)+P(X=10)=C_{10}^9(0.8)^9(0.2)^1+C_{10}^{10}(0.8)^{10}=10\times 0.1342\times 0.2+0.1074=0.2684+0.1074=0.3758$。

例2：已知 $X\sim N(2, 4)$，求 $P(X<4)$。

解：$\mu=2, \sigma=2$。$P(X<4)=P(X<\mu+\sigma)\approx 0.5+0.3413=0.8413$。

例3：甲袋3红2白，乙袋2红3白，从甲袋取1球放入乙袋再从乙袋取1球，求取到红球的概率。

解：全概率公式。取红球放入乙概率 $P(A_1)=\dfrac{3}{5}$，此时乙袋3红3白，取红概率 $P(B|A_1)=\dfrac{3}{6}$；取白球放入乙概率 $P(A_2)=\dfrac{2}{5}$，此时乙袋2红4白，取红概率 $P(B|A_2)=\dfrac{2}{6}$。$P(B)=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{5}\times\dfrac{2}{6}=\dfrac{9}{30}+\dfrac{4}{30}=\dfrac{13}{30}$。

四、易错点提醒¶

• 条件概率 $P(B|A)$ 与 $P(AB)$ 不同，前者是缩小的样本空间
• 全概率公式中各”原因”必须构成完备事件组
• $E(X^2)\neq [E(X)]^2$，$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$
• 正态分布 $\sigma$ 是标准差，$N(\mu,\sigma^2)$ 第二参数是方差不是标准差
• 正态分布对称性：$P(X\geq \mu+a)=P(X\leq \mu-a)$

第八章 成对数据的统计分析¶

一、核心知识点¶

• 回归分析：研究两个变量之间的相关关系。散点图判断正相关/负相关。样本相关系数 $r=\dfrac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum(y_i-\bar{y})^2}}$，$|r|$ 越接近1线性相关性越强。
• 回归方程：$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，$\hat{b}=\dfrac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$。回归直线过定点 $(\bar{x},\bar{y})$。
• 独立性检验：用 $\chi^2$ 统计量检验两个分类变量是否有关联。$\chi^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$（$2\times 2$ 列联表）。显著性水平 $\alpha$ 对应临界值：$\alpha=0.05$ 时临界值 $3.841$；$\alpha=0.01$ 时临界值 $6.635$；$\alpha=0.001$ 时临界值 $10.828$。$\chi^2$ 越大越有把握认为有关联。

二、重点难点¶

• 回归方程的计算与预测
• $\chi^2$ 的计算与独立性判断

三、典型例题¶

例1：某 $2\times 2$ 列联表中 $a=30, b=20, c=10, d=40$，判断两变量是否有关联（$\alpha=0.05$）。

解：$n=100$，$\chi^2=\dfrac{100\times(30\times40-20\times10)^2}{50\times50\times40\times60}=\dfrac{100\times(1200-200)^2}{6000000}=\dfrac{100\times1000000}{6000000}=16.67>3.841$。有 $95\%$ 以上把握认为两变量有关联。

四、易错点提醒¶

• 回归直线必过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$
• $\chi^2$ 只能判断有无关联，不能判断关联的强弱
• 相关系数 $r$ 的范围是 $[-1,1]$，$|r|>0.75$ 才认为相关性较强

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依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》及人教A版教材整理

学习内容概览¶

第四章 数列¶

一、核心知识点¶

• 数列概念：按一定次序排列的一列数。通项公式 $a_n=f(n)$，前 $n$ 项和 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$。$a_n$ 与 $S_n$ 关系：$a_n=\begin{cases}S_1, & n=1 \ S_n-S_{n-1}, & n\geq 2\end{cases}$。

• 等差数列：$a_{n+1}-a_n=d$（常数）。通项 $a_n=a_1+(n-1)d$；前 $n$ 项和 $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d$。性质：$a_m+a_n=a_p+a_q$（$m+n=p+q$）；$S_{2n-1}=(2n-1)a_n$。

• 等比数列：$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$（常数，$q\neq 0$）。通项 $a_n=a_1 q^{n-1}$；前 $n$ 项和 $S_n=\begin{cases}\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}, & q\neq 1 \ na_1, & q=1\end{cases}$。性质：$a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q$（$m+n=p+q$）。

• 递推关系求通项：累加法（$a_{n+1}-a_n=f(n)$ 型）；累乘法（$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$ 型）；待定系数法（$a_{n+1}=pa_n+q$ 型，令 $a_{n+1}+c=p(a_n+c)$ 得 $c=\dfrac{q}{p-1}$）。

• 数列求和方法：

• 裂项相消法：$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$；$\dfrac{1}{n(n+k)}=\dfrac{1}{k}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+k}\right)$。
• 错位相减法：$a_n=b_n\cdot c_n$（$b_n$ 等差，$c_n$ 等比），$S_n$ 乘公比后相减。
• 分组求和法：$a_n = b_n + c_n$，分别求和再合并。
• 倒序相加法：适用于对称结构的求和。

二、重点难点¶

• $a_n$ 与 $S_n$ 关系式的分段处理（$n=1$ 需单独验证）
• 递推关系转化为等差或等比数列
• 错位相减法的准确计算

三、典型例题¶

例1：等差数列 ${a_n}$ 中，$a_3=7, a_7=15$，求 $a_{10}$。

解：$d=\dfrac{a_7-a_3}{7-3}=\dfrac{8}{4}=2$。$a_1=a_3-2d=3$。$a_{10}=3+9\times 2=21$。

例2：已知 $a_1=1, a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+1$，求通项 $a_n$。

解：设 $a_{n+1}+c=\dfrac{1}{2}(a_n+c)$，则 $a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{2}c-c$，比较得 $\dfrac{1}{2}c-c=1$，$c=-2$。故 $a_n-2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}(a_1-2)=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$，$a_n=2-\dfrac{1}{2^{n-1}}$。

例3：求和 $S_n=\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}$。

解：$\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$。$S_n=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$。

四、易错点提醒¶

• $a_n=S_n-S_{n-1}$ 仅在 $n\geq 2$ 时成立，$n=1$ 需单独计算并验证一致性
• 等比数列求和公式需讨论 $q=1$ 和 $q\neq 1$
• 错位相减后最后一项容易漏掉或算错
• 裂项时注意系数：$\dfrac{1}{n(n+k)}=\dfrac{1}{k}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+k}\right)$，别忘 $\dfrac{1}{k}$

第五章 导数及其应用¶

一、核心知识点¶

• 导数的概念：$f’(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。几何意义：曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率。

• 基本初等函数导数：$(x^n)’=nx^{n-1}$；$(e^x)’=e^x$；$(a^x)’=a^x\ln a$；$(\ln x)’=\dfrac{1}{x}$；$(\log_a x)’=\dfrac{1}{x\ln a}$；$(\sin x)’=\cos x$；$(\cos x)’=-\sin x$。

• 导数四则运算：$(u\pm v)’=u’\pm v’$；$(uv)’=u’v+uv’$；$\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$。

• 复合函数求导（链式法则）：$y=f(g(x))$，$y’=f’(g(x))\cdot g’(x)$。如 $(e^{2x})’=e^{2x}\cdot 2=2e^{2x}$。

• 导数与单调性：$f’(x)>0$ 递增；$f’(x)<0$ 递减；$f’(x)=0$ 是驻点（可能为极值点）。

• 极值：$f’(x_0)=0$ 且 $f’(x)$ 在 $x_0$ 左右变号。左增右减为极大值，左减右增为极小值。极值是局部概念。

• 最值：闭区间 $[a,b]$ 上，比较驻点函数值与端点函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。

• 零点问题：利用导数研究函数单调性与极值，结合零点存在定理判断方程根的个数。

• 导数与不等式证明：构造函数 $g(x)=f(x)-h(x)$，利用 $g(x)$ 的单调性和最值证明 $g(x)\geq 0$（或 $\leq 0$）。常见不等式：$e^x\geq x+1$；$\ln x\leq x-1$；$\sin x < x$（$x>0$）。

二、重点难点¶

• 复合函数求导的准确性（逐层求导，不重不漏）
• 利用导数研究含参函数的零点分布
• 导数证明不等式（构造辅助函数是关键）

三、典型例题¶

例1：求 $f(x)=x^3-3x^2+4$ 的单调区间和极值。

解：$f’(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。$f’(x)>0$ 得 $x<0$ 或 $x>2$，递增区间 $(-\infty,0), (2,+\infty)$；$f’(x)<0$ 得 $0<x<2$，递减区间 $(0,2)$。极大值 $f(0)=4$，极小值 $f(2)=8-12+4=0$。

例2：证明 $e^x\geq x+1$（$x\in\mathbb{R}$）。

解：令 $g(x)=e^x-x-1$，$g’(x)=e^x-1$。$x>0$ 时 $g’(x)>0$ 递增；$x<0$ 时 $g’(x)<0$ 递减；$x=0$ 时 $g’(0)=0$。故 $g(x)$ 在 $x=0$ 处取最小值 $g(0)=0$，即 $g(x)\geq 0$ 恒成立，$e^x\geq x+1$。

例3：已知 $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-a\ln x$（$a>0$），若 $f(x)\geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。

解：$f’(x)=x-\dfrac{a}{x}=\dfrac{x^2-a}{x}$（$x>0$）。$x=\sqrt{a}$ 时 $f’(x)=0$。$f(x)$ 在 $x=\sqrt{a}$ 处取最小值 $f(\sqrt{a})=\dfrac{a}{2}-a\ln\sqrt{a}=\dfrac{a}{2}(1-\ln a)$。需 $f(\sqrt{a})\geq 0$，即 $1-\ln a\geq 0$，$\ln a\leq 1$，$a\leq e$。故 $a\in(0, e]$。

四、易错点提醒¶

• 复合函数求导必须逐层进行，如 $\ln(2x+1)$ 的导数是 $\dfrac{2}{2x+1}$ 而非 $\dfrac{1}{2x+1}$
• 极值点必须满足导数变号，仅 $f’(x)=0$ 不一定是极值点
• 求最值必须同时比较驻点值和端点值
• 构造函数证明不等式时，选择哪个函数作差是关键技巧

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高中数学·高二上册知识点全梳理¶

依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》及人教A版教材整理

学习内容概览¶

第一章 空间向量与立体几何¶

一、核心知识点¶

• 空间向量运算：加法、减法、数乘与平面向量运算一致。$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。
• 共线定理：$\vec{a}=\lambda\vec{b}$（$\vec{b}\neq\vec{0}$）$\Leftrightarrow$ $\vec{a},\vec{b}$ 共线。共面定理：$\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$（$\vec{a},\vec{b}$ 不共线）$\Leftrightarrow$ $\vec{p}$ 与 $\vec{a},\vec{b}$ 共面。
• 空间向量基本定理：若 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 不共面，则空间任一向量 $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$，分解唯一。称 ${\vec{a},\vec{b},\vec{c}}$ 为空间的一个基底。
• 法向量求法：设平面 $\alpha$ 内两个不共线向量 $\vec{a}=(a_1,b_1,c_1), \vec{b}=(a_2,b_2,c_2)$，法向量 $\vec{n}=(x,y,z)$ 满足 $\vec{n}\cdot\vec{a}=0, \vec{n}\cdot\vec{b}=0$，令其中一个变量取特殊值求解。
• 线面位置关系证明：线面平行 $\Leftrightarrow$ 方向向量与法向量垂直；线面垂直 $\Leftrightarrow$ 方向向量与法向量平行。
• 空间角：线线角 $\cos\theta=|\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle|=\dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$；线面角 $\sin\theta=\dfrac{|\vec{d}\cdot\vec{n}|}{|\vec{d}||\vec{n}|}$（$\vec{d}$ 方向向量，$\vec{n}$ 法向量）；面面角 $\cos\theta=\dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$（二面角的平面角可能需判断锐钝）。
• 空间距离：点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离 $d=\dfrac{|\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}$（$Q$ 为 $\alpha$ 上一点，$\vec{n}$ 为法向量）。

二、重点难点¶

• 建立空间直角坐标系及点的坐标确定
• 法向量的求解与二面角锐钝的判断
• 线面角、面面角的向量计算

三、典型例题¶

例1：正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，棱长为1，求直线 $A_1B$ 与平面 $A_1B_1CD$ 所成角的正弦值。

解：以 $A$ 为原点建系，$A_1(0,0,1), B(1,0,0), B_1(1,0,1), C(1,1,0), D(0,1,0)$。平面 $A_1B_1CD$ 的法向量：取 $\overrightarrow{A_1B_1}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{A_1D}=(0,1,-1)$，设 $\vec{n}=(x,y,z)$，$x=0, y-z=0$，取 $\vec{n}=(0,1,1)$。方向向量 $\overrightarrow{A_1B}=(1,0,-1)$。$\sin\theta=\dfrac{|\overrightarrow{A_1B}\cdot\vec{n}|}{|\overrightarrow{A_1B}||\vec{n}|}=\dfrac{|0+0-1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}$。

四、易错点提醒¶

• 建系时坐标要标注准确，尤其斜棱上的点
• 二面角计算后需判断锐角还是钝角（观察几何图形或用法向量方向）
• 线线角取绝对值，范围 $[0,\dfrac{\pi}{2}]$；线面角用正弦

第二章 直线和圆的方程¶

一、核心知识点¶

• 直线方程五种形式：点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$；斜截式 $y=kx+b$；两点式 $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$；截距式 $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$；一般式 $Ax+By+C=0$。斜率不存在时直线方程为 $x=x_0$。
• 两条直线位置关系：$l_1: y=k_1x+b_1, l_2: y=k_2x+b_2$。平行 $k_1=k_2, b_1\neq b_2$；垂直 $k_1 k_2=-1$；相交则交点联立求解。一般式下：$A_1B_2-A_2B_1=0$ 平行，$A_1A_2+B_1B_2=0$ 垂直。
• 距离公式：点到直线 $d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$；平行线间距离 $d=\dfrac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。
• 圆的方程：标准 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$；一般 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，圆心 $(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2})$，半径 $r=\dfrac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$。
• 直线与圆位置关系：圆心到直线距离 $d$ 与半径 $r$ 比较。$d>r$ 相离；$d=r$ 相切；$d<r$ 相交。弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}$。
• 圆与圆位置关系：圆心距 $d$ 与两半径 $r_1, r_2$ 比较。$d>r_1+r_2$ 外离；$d=r_1+r_2$ 外切；$|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$ 相交；$d=|r_1-r_2|$ 内切；$d<|r_1-r_2|$ 内含。

二、重点难点¶

• 直线方程形式的选择与互化
• 直线与圆相切问题（切线方程、切线长）
• 圆的弦长与中点弦问题

三、典型例题¶

例1：过点 $P(2,3)$ 作圆 $x^2+y^2=4$ 的切线，求切线方程。

解：$P$ 在圆外（$OP= \sqrt{13}>2$）。设切线 $y-3=k(x-2)$ 即 $kx-y-2k+3=0$。圆心到切线距离 $=2$：$\dfrac{|-2k+3|}{\sqrt{k^2+1}}=2$，$4k^2-12k+9=4k^2+4$，$k=\dfrac{5}{12}$。另一条斜率不存在：$x=2$。验证 $x=2$：圆心距$=2=r$，是切线。切线方程为 $x=2$ 和 $5x-12y+26=0$。

例2：圆 $C: x^2+y^2-4x+6y-12=0$ 的圆心和半径。

解：$D=-4, E=6, F=-12$。圆心 $(2,-3)$，$r=\dfrac{1}{2}\sqrt{16+36+48}=\dfrac{1}{2}\sqrt{100}=5$。

四、易错点提醒¶

• 点斜式、斜截式不能表示斜率不存在的直线
• 截距式不能表示过原点或与坐标轴平行的直线
• 过圆外一点有两条切线，注意斜率不存在的情形
• 圆心到直线距离公式中，直线方程必须化为一般式

第三章 圆锥曲线的方程¶

一、核心知识点¶

• 椭圆：$|PF_1|+|PF_2|=2a$（$2a>2c$）。标准方程 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）。$c^2=a^2-b^2$，离心率 $e=\dfrac{c}{a}\in(0,1)$。长轴$2a$，短轴$2b$，焦距$2c$。
• 双曲线：$||PF_1|-|PF_2||=2a$（$2a<2c$）。标准方程 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）。$c^2=a^2+b^2$，离心率 $e=\dfrac{c}{a}>1$。渐近线 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$。
• 抛物线：焦点 $F\left(\dfrac{p}{2},0\right)$，准线 $x=-\dfrac{p}{2}$。标准方程 $y^2=2px$（$p>0$），焦点到准线距离为 $p$。抛物线上点 $P$ 到焦点距离 $|PF|=x_P+\dfrac{p}{2}$（焦半径公式）。
• 直线与圆锥曲线位置关系：联立方程，消元得一元二次方程。$\Delta>0$ 两个交点；$\Delta=0$ 相切（一个交点）；$\Delta<0$ 无交点。
• 弦长公式：$|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$（$a$ 为消元后二次项系数，$\Delta$ 为判别式）。
• 焦点三角形：椭圆中 $S_{\triangle F_1PF_2}=b^2\tan\dfrac{\theta}{2}$（$\theta=\angle F_1PF_2$）；双曲线中 $S_{\triangle F_1PF_2}=b^2\cot\dfrac{\theta}{2}$。

二、重点难点¶

• 椭圆、双曲线标准方程的确定（待定系数法）
• 直线与圆锥曲线联立后的韦达定理应用
• 弦长、面积、中点等综合问题

三、典型例题¶

例1：椭圆 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 的焦点为 $F_1, F_2$，点 $P$ 在椭圆上，$\angle F_1PF_2=60°$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。

解：$a=3, b=2, c=\sqrt{5}$。$S=b^2\tan\dfrac{\theta}{2}=4\tan 30°=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$。

例2：过椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 的左焦点作倾斜角为 $60°$ 的直线交椭圆于 $A,B$，求弦长 $|AB|$。

解：$c=1$，直线 $y=\sqrt{3}(x+1)$，代入椭圆 $3x^2+3(x+1)^2=12$，$3x^2+3x^2+6x+3=12$，$6x^2+6x-9=0$，$2x^2+2x-3=0$。$|AB|=\sqrt{1+3}\cdot\dfrac{\sqrt{4+24}}{2}=2\times\dfrac{\sqrt{28}}{2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。

四、易错点提醒¶

• 椭圆中 $a>b>0$，$c^2=a^2-b^2$；双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，两者不要混淆
• 双曲线焦点在 $x$ 轴还是 $y$ 轴由方程中正项决定
• 抛物线四种标准形式要全部掌握：$y^2=2px, y^2=-2px, x^2=2py, x^2=-2py$
• 联立直线与圆锥曲线，注意 $\Delta$ 判断交点个数，韦达定理需 $\Delta>0$ 保证

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学习内容概览¶

第四章 指数函数与对数函数¶

一、核心知识点¶

• 指数运算：$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$；$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$；$(a^m)^n = a^{mn}$；$(ab)^n = a^n b^n$；$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$（$a>0$）。
• 指数函数：$y=a^x$（$a>0, a\neq 1$）。$a>1$ 时在 $\mathbb{R}$ 上递增；$0<a<1$ 时递减。恒过 $(0,1)$。值域 $(0,+\infty)$。
• 对数运算：$\log_a(MN)=\log_a M + \log_a N$；$\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M - \log_a N$；$\log_a M^n = n\log_a M$。
• 换底公式：$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$。推论：$\log_a b \cdot \log_b a = 1$；$\log_a b^n = \dfrac{n}{m}\log_a b$（$b=a^m$ 的推广）。
• 对数函数：$y=\log_a x$（$a>0, a\neq 1$）。$a>1$ 时在 $(0,+\infty)$ 递增；$0<a<1$ 时递减。恒过 $(1,0)$。$y=a^x$ 与 $y=\log_a x$ 互为反函数，图象关于 $y=x$ 对称。

二、重点难点¶

• 指数对数运算法则的灵活运用
• 指数函数与对数函数图象变换
• 含指数对数的方程与不等式

三、典型例题¶

例1：计算 $2^{\log_2 3} + \log_2 8 - \log_3 \dfrac{1}{27}$。

解：$2^{\log_2 3}=3$；$\log_2 8 = 3$；$\log_3 \dfrac{1}{27} = \log_3 3^{-3} = -3$。原式 $= 3+3-(-3)=9$。

例2：求函数 $f(x)=\log_{0.5}(x^2-2x-3)$ 的单调递增区间。

解：定义域 $x^2-2x-3>0$ 即 $x<-1$ 或 $x>3$。$u=x^2-2x-3$ 在 $(-\infty,-1)$ 递减，在 $(3,+\infty)$ 递增。$y=\log_{0.5} u$ 递减。由”同增异减”，$f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 递增。

四、易错点提醒¶

• 对数真数必须大于零，底数大于零且不等于1
• 换底公式注意分母位置：$\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}$，不要写反
• 指数函数和对数函数互为反函数，定义域值域互换
• 对数运算中 $\log_a(M\pm N) \neq \log_a M \pm \log_a N$

第五章 三角函数¶

一、核心知识点¶

• 角的概念推广：正角（逆时针）、负角（顺时针）、零角。终边相同的角：$\alpha$ 与 $\alpha + 2k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$）终边相同。
• 弧度制：$|\alpha|=\dfrac{l}{r}$（弧长=弧度×半径），$l=|\alpha|r$，扇形面积 $S=\dfrac{1}{2}|\alpha|r^2=\dfrac{1}{2}lr$。$\pi \text{ rad} = 180°$。
• 三角函数定义：设角 $\alpha$ 终边上点 $P(x,y)$，$r=\sqrt{x^2+y^2}$，则 $\sin\alpha=\dfrac{y}{r}$，$\cos\alpha=\dfrac{x}{r}$，$\tan\alpha=\dfrac{y}{x}$。
• 同角三角函数关系：$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$；$\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha$；$1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha$。
• 诱导公式：口诀”奇变偶不变，符号看象限”。$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$；$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$；$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$；$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$。
• 三角函数图像与性质：$y=\sin x$ 周期 $2\pi$，值域 $[-1,1]$，奇函数；$y=\cos x$ 周期 $2\pi$，值域 $[-1,1]$，偶函数；$y=\tan x$ 周期 $\pi$，定义域 ${x \mid x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi}$。
• $y=A\sin(\omega x+\varphi)$：振幅 $A$，周期 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$，频率 $f=\dfrac{1}{T}$，初相 $\varphi$。图象变换：先平移后伸缩或先伸缩后平移。

二、重点难点¶

• 诱导公式的正确应用（符号与函数名变化）
• $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 图象变换的两种路径
• 三角函数性质（周期、单调性、最值）的综合应用

三、典型例题¶

例1：已知 $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$，$\alpha$ 为第二象限角，求 $\cos\alpha$ 和 $\tan\alpha$。

解：$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$。$\alpha$ 在第二象限，$\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}$。$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac{3}{4}$。

例2：求函数 $y=2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的单调递增区间。

解：令 $2k\pi-\dfrac{\pi}{2}\leq 2x+\dfrac{\pi}{3}\leq 2k\pi+\dfrac{\pi}{2}$（$k\in\mathbb{Z}$），解得 $k\pi-\dfrac{5\pi}{12}\leq x\leq k\pi+\dfrac{\pi}{12}$。递增区间为 $\left[k\pi-\dfrac{5\pi}{12}, k\pi+\dfrac{\pi}{12}\right]$（$k\in\mathbb{Z}$）。

四、易错点提醒¶

• 诱导公式中”$k\pi/2 \pm \alpha$”的$k$奇偶决定是否变函数名
• $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 先平移后伸缩时，平移量为 $|\varphi|/\omega$ 不是 $|\varphi|$
• 正切函数定义域不含 $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$
• 同角关系求值需根据象限确定符号

第六章 平面向量及其应用¶

一、核心知识点¶

• 向量的概念：既有大小又有方向的量。$\vec{0}$ 零向量（方向任意），单位向量 $|\vec{e}|=1$。
• 线性运算：加法（三角形法则、平行四边形法则）；减法 $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$；数乘 $\lambda\vec{a}$（$\lambda>0$ 同向，$\lambda<0$ 反向，$|\lambda\vec{a}|=|\lambda||\vec{a}|$）。
• 共线定理：$\vec{a} \parallel \vec{b}$（$\vec{b}\neq\vec{0}$）$\Leftrightarrow$ 存在唯一实数 $\lambda$ 使 $\vec{a}=\lambda\vec{b}$。
• 数量积：$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$（$\theta$ 为夹角）。$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。$|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}$。
• 坐标表示：$\vec{a}=(x_1,y_1), \vec{b}=(x_2,y_2)$。$\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2, y_1+y_2)$；$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$；$|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$；$\cos\theta=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$。

二、重点难点¶

• 向量数量积的几何意义与运算
• 利用坐标运算解决垂直、平行问题
• 向量在三角形与平行四边形中的应用

三、典型例题¶

例1：已知 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(-2,3)$，求 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ 及夹角。

解：$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times(-2)+2\times 3 = 4$。$|\vec{a}|=\sqrt{5}$，$|\vec{b}|=\sqrt{13}$。$\cos\theta=\dfrac{4}{\sqrt{65}}$，$\theta=\arccos\dfrac{4}{\sqrt{65}}$。

例2：已知 $\vec{a}\perp\vec{b}$，$|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4$，求 $|2\vec{a}-\vec{b}|$。

解：$|2\vec{a}-\vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 - 4\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 4\times 9 - 0 + 16 = 52$，$|2\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。

四、易错点提醒¶

• 数量积不满足结合律：$(\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c} \neq \vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot\vec{c})$
• $\vec{a}\cdot\vec{b}=0 \Leftrightarrow \vec{a}\perp\vec{b}$（非零向量时）
• 向量共线不要忘记零向量与任何向量共线

第七章 复数¶

一、核心知识点¶

• 复数概念：$z=a+bi$（$a,b\in\mathbb{R}$），$a$ 为实部，$b$ 为虚部。$b=0$ 时为实数，$b\neq 0$ 时为虚数，$a=0, b\neq 0$ 时为纯虚数。
• 共轭复数：$z=a+bi$ 与 $\bar{z}=a-bi$ 互为共轭。$z\cdot\bar{z}=a^2+b^2=|z|^2$。
• 几何意义：复数 $z=a+bi$ 与复平面上的点 $Z(a,b)$ 一一对应，与向量 $\overrightarrow{OZ}$ 一一对应。模 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。
• 代数运算：$(a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i$；$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$；$\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$。

二、重点难点¶

• 复数的分类条件
• 复数运算与实部虚部的提取

三、典型例题¶

例1：若 $(1+i)z = 2+3i$，求 $z$。

解：$z=\dfrac{2+3i}{1+i}=\dfrac{(2+3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{2-2i+3i-3i^2}{2}=\dfrac{5+i}{2}=\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}i$。

四、易错点提醒¶

• 复数相等条件：实部与实部相等，虚部与虚部相等
• $i^2=-1$，不要遗漏负号
• 共轭复数实部相同、虚部互为相反数

第八章 概率¶

一、核心知识点¶

• 随机事件：必然事件 $\Omega$、不可能事件 $\emptyset$、随机事件 $A$。$P(A)\in[0,1]$。
• 古典概型：有限性（样本点有限）、等可能性。$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$（事件$A$包含的样本点数/总样本点数）。
• 频率与概率：频率是试验值，概率是理论值。大量重复试验中频率稳定于概率。
• 互斥事件：$A\cap B=\emptyset$ 时，$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$。
• 对立事件：$P(\bar{A})=1-P(A)$。

二、重点难点¶

• 古典概型的计算（有序与无序的区分）
• 互斥与对立的区别

三、典型例题¶

例1：从1,2,3,4,5中随机取2个数，求两数之和为偶数的概率。

解：总取法 $C_5^2=10$。和为偶数：取两个奇数 $C_3^2=3$ 或两个偶数 $C_2^2=1$。$P=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$。

四、易错点提醒¶

• 古典概型注意”有序”还是”无序”，分母分子必须一致
• 互斥事件才能概率相加，不是互斥则用 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

第九章 统计¶

一、核心知识点¶

• 随机抽样：简单随机抽样（抽签法、随机数法）、分层抽样（按比例从各层抽取）。
• 用样本估计总体：频率分布直方图（面积=频率）；众数（最高矩形中点）、中位数（面积平分线）、平均数 $\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i$。方差 $s^2=\dfrac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2$，标准差 $s=\sqrt{s^2}$。

二、重点难点¶

• 频率分布直方图中各统计量的计算
• 分层抽样比例的应用

三、典型例题¶

例1：某校1200人，高一400人、高二400人、高三400人，分层抽样取60人，各年级抽取人数？

解：各层比例相同，每层抽取 $60\times\dfrac{400}{1200}=20$ 人。

四、易错点提醒¶

• 频率分布直方图中纵坐标是频率/组距，不是频率
• 平均数易受极端值影响，中位数和众数更稳健

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高中数学·高一上册知识点全梳理¶

依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》及人教A版教材整理

学习内容概览¶

第一章 集合与常用逻辑用语¶

一、核心知识点¶

• 集合的概念：把一些能够确定的不同对象看成一个整体，这些对象称为集合的元素。元素具有确定性、互异性、无序性。
• 集合的表示：列举法 ${1,2,3}$；描述法 ${x \mid x>0}$。
• 集合间的关系：子集 $A \subseteq B$（$A$ 中任意元素都属于 $B$）；真子集 $A \subsetneq B$（$A \subseteq B$ 且 $A \neq B$）；相等 $A=B$（$A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$）。空集是任何集合的子集：$\emptyset \subseteq A$。含 $n$ 个元素的集合有 $2^n$ 个子集，$2^n-1$ 个真子集，$2^n-2$ 个非空真子集。
• 集合的运算：交集 $A \cap B = {x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B}$；并集 $A \cup B = {x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B}$；补集 $\complement_U A = {x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A}$。
• Venn图：用封闭曲线表示集合及其运算关系，直观展示交集、并集、补集。
• 容斥原理：$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$；三集合：$|A \cup B \cup C| = |A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$。
• 充分条件与必要条件：若 $p \Rightarrow q$ 且 $q \not\Rightarrow p$，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件；若 $q \Rightarrow p$ 且 $p \not\Rightarrow q$，则 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件；若 $p \Leftrightarrow q$，则 $p$ 是 $q$ 的充要条件。
• 全称量词与存在量词：全称命题 $p: \forall x \in M, p(x)$；存在命题 $p: \exists x \in M, p(x)$。否定规则：$\neg(\forall x, p(x)) \equiv \exists x, \neg p(x)$；$\neg(\exists x, p(x)) \equiv \forall x, \neg p(x)$。即否定全称得存在，否定存在得全称，同时否定结论。

二、重点难点¶

• 集合运算中含参数问题的分类讨论
• 充分条件、必要条件的判定（从推证方向入手）
• 含量词命题的否定（量词转换+结论否定）

三、典型例题¶

例1：设 $A={x \mid x^2-3x+2=0}$，$B={x \mid x^2-ax+a-1=0}$，若 $B \subseteq A$，求 $a$ 的值。

解：$A={1,2}$。$B$ 的方程 $x^2-ax+a-1=0$ 即 $(x-1)(x-a+1)=0$，两根为 $x_1=1, x_2=a-1$。当 $a-1=1$ 即 $a=2$ 时，$B={1} \subseteq A$；当 $a-1=2$ 即 $a=3$ 时，$B={1,2} \subseteq A$。故 $a=2$ 或 $a=3$。

例2：命题”对任意 $x>0$，$x+\dfrac{1}{x}\geq 2$”的否定是什么？

解：全称命题的否定为存在命题：存在 $x>0$，使得 $x+\dfrac{1}{x}<2$。

例3：某班50人，参加数学竞赛30人，参加物理竞赛28人，两科都没参加10人，求两科都参加的人数。

解：至少参加一科人数 = 50-10 = 40。由容斥原理：$|A \cup B| = |A|+|B|-|A \cap B|$，$40 = 30+28-|A\cap B|$，$|A\cap B|=18$。

四、易错点提醒¶

• 空集是任何集合的子集，讨论 $A \subseteq B$ 时必须考虑 $A=\emptyset$ 的情况
• 区分”属于$\in$”与”包含于$\subseteq$”：元素与集合用$\in$，集合与集合用$\subseteq$
• 集合元素互异性：含参数的集合需验证元素不重复
• 否定命题时，量词和结论同时否定，只否定一个是错的

第二章 一元二次函数、方程和不等式¶

一、核心知识点¶

• 等式的性质：若 $a=b$，则 $a\pm c = b\pm c$；$ac=bc$；$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$（$c\neq 0$）。
• 不等式的基本性质：$a>b \Rightarrow a+c>b+c$；$a>b, c>0 \Rightarrow ac>bc$；$a>b, c<0 \Rightarrow ac<bc$（乘负变号）；同向不等式可加不可减；同向正不等式可乘不可除。
• 一元二次不等式：对 $ax^2+bx+c>0$（$a>0$），设 $\Delta=b^2-4ac$。$\Delta>0$ 时两根 $x_1<x_2$，解集 $(-\infty, x_1)\cup(x_2,+\infty)$；$\Delta=0$ 时解集 ${x \mid x\neq -\dfrac{b}{2a}}$；$\Delta<0$ 时解集 $\mathbb{R}$。小于零取中间，大于零取两边。
• 三个二次的关系：一元二次不等式的解集端点即对应方程的根，解集方向由二次函数开口决定。
• 基本不等式：$a+b \geq 2\sqrt{ab}$（$a>0, b>0$），等号当且仅当 $a=b$ 时成立。变形：$ab \leq \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$。
• 均值不等式链：$\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \dfrac{a+b}{2} \leq \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$（调和$\leq$几何$\leq$算术$\leq$平方），等号条件均为 $a=b$。
• 应用基本不等式的条件：”一正二定三等”——各项为正、和或积为定值、等号能取到。不满足时需通过配凑、换元等技巧转化。

二、重点难点¶

• 基本不等式求最值的”一正二定三等”综合应用
• 含参一元二次不等式的分类讨论（开口方向、判别式、根的大小关系）
• 均值不等式链的选择与等号验证

三、典型例题¶

例1：求 $f(x)=x+\dfrac{4}{x}$（$x>0$）的最小值。

解：$x>0, \dfrac{4}{x}>0$，由基本不等式 $x+\dfrac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}} = 4$，等号当 $x=\dfrac{4}{x}$ 即 $x=2$ 时成立。故最小值为 $4$。

例2：解不等式 $-x^2+2x+3>0$。

解：化为 $x^2-2x-3<0$，即 $(x-3)(x+1)<0$，解集为 $(-1, 3)$。

例3：已知正数 $x,y$ 满足 $x+2y=1$，求 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}$ 的最小值。

解：$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y} = (x+2y)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\right) = 1+\dfrac{2x}{y}+\dfrac{2y}{x}+2 = 3+2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right) \geq 3+2\times 2 = 7$。等号当 $\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{x}$ 即 $x=y$ 时，结合 $x+2y=1$ 得 $x=\dfrac{1}{3}, y=\dfrac{1}{3}$。最小值为 $7$。

四、易错点提醒¶

• 用基本不等式必须验证”三条件”：一正二定三等，缺一不可
• 基本不等式求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值
• 一元二次不等式开口向下时，先化为开口向上再求解
• $a>b \Rightarrow a^2>b^2$ 不一定成立，需 $a>b>0$
• 多次使用基本不等式，等号条件必须同时成立

第三章 函数的概念与性质¶

一、核心知识点¶

• 函数的概念：设 $A,B$ 是非空数集，按照确定的对应关系 $f$，对 $A$ 中任意 $x$，在 $B$ 中都有唯一确定的数 $f(x)$ 与之对应，则称 $f:A\to B$ 为从 $A$ 到 $B$ 的函数。
• 函数三要素：定义域（自变量取值范围）、值域（函数值集合）、对应法则。两个函数相同当且仅当三要素完全相同（定义域和对应法则确定则值域确定）。
• 函数的表示方法：解析法、列表法、图象法。分段函数：不同区间有不同解析式。
• 定义域求法：分式分母$\neq 0$；偶次根式被开方数$\geq 0$；对数真数$>0$、底数$>0$且$\neq 1$；零次幂底数$\neq 0$；实际问题需有意义。复合函数定义域：外层要求制约内层。
• 单调性：$f(x)$ 在区间 $D$ 上，任意 $x_1<x_2$ 都有 $f(x_1)f(x_2)$ 则递减。判定方法：定义法（取值→作差→变形→定号→结论）；复合函数单调性”同增异减”。
• 奇偶性：偶函数 $f(-x)=f(x)$（图象关于 $y$ 轴对称）；奇函数 $f(-x)=-f(x)$（图象关于原点对称）。前提：定义域关于原点对称。奇函数若在 $x=0$ 有定义，则 $f(0)=0$。
• 幂函数：$y=x^\alpha$（$\alpha \in \mathbb{R}$）。五种常见幂函数：$y=x$、$y=x^2$、$y=x^3$、$y=x^{1/2}$、$y=x^{-1}$。图象恒过 $(1,1)$；$\alpha>0$ 时在 $(0,+\infty)$ 递增；$\alpha<0$ 时递减。

二、重点难点¶

• 分段函数的定义域、值域与性质
• 函数单调性与奇偶性的综合应用
• 抽象函数性质的推导（赋值法）

三、典型例题¶

例1：判断 $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x}$ 的奇偶性。

解：定义域 ${x \mid x\neq 0}$ 关于原点对称。$f(-x)=\dfrac{(-x)^2-1}{-x}=\dfrac{x^2-1}{-x}=-\dfrac{x^2-1}{x}=-f(x)$，故 $f(x)$ 为奇函数。

例2：已知 $f(x)$ 是定义在 $(-1,1)$ 上的奇函数，且单调递减，若 $f(1-a)+f(1-a^2)<0$，求 $a$ 的取值范围。

解：$f(1-a)<-f(1-a^2)=f(a^2-1)$（奇函数）。由递减性得 $1-a>a^2-1$，即 $a^2+a-2<0$，$-2<a<1$。又定义域要求 $-1<1-a<1$ 且 $-1<1-a^2<1$，得 $0<a<\sqrt{2}$。取交集得 $a\in(0,1)$。

例3：已知 $f(x)$ 对任意 $x,y\in\mathbb{R}$ 都有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$，且 $x>0$ 时 $f(x)>0$。证明 $f(x)$ 为奇函数且在 $\mathbb{R}$ 上递增。

解：令 $x=y=0$ 得 $f(0)=0$；令 $y=-x$ 得 $f(0)=f(x)+f(-x)=0$，故 $f(-x)=-f(x)$，奇函数。设 $x_10$ 故 $f(x_2-x_1)>0$，即 $f(x_2)>f(x_1)$，递增。

四、易错点提醒¶

• 判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称
• $f(0)=0$ 是奇函数在 $x=0$ 有定义时的必要条件，但非充分条件
• 幂函数 $y=x^\alpha$ 与指数函数 $y=a^x$ 要严格区分
• 分段函数求值必须先判断自变量所在区间再代入
• 复合函数 $f(g(x))$ 单调性：内外同增或同减则增，一增一减则减

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