20260726 155243 初中数学七年级上册学习指南

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发布日期：2026年07月26日
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最后修改：2026-07-26 15:52:43

初中数学·七年级上册学习指南

本指南依据《义务教育数学课程标准（2022 年版）》与人教版七年级上册教材编写，面向初中生复习与预习。内容覆盖全册四章核心考点，按”核心概念 → 定理性质公式 → 必会练习 → 易错点提醒”四段式组织，便于系统复习与查漏补缺。

学习内容概览

章节 章节名 核心考点
第一章 有理数 正数与负数、有理数分类、数轴、相反数、绝对值、有理数四则运算、乘方、科学记数法、近似数
第二章 整式的加减 单项式与多项式、整式、同类项、去括号、合并同类项、整式的加减运算
第三章 一元一次方程 方程与方程的解、等式性质、移项、解方程一般步骤、行程/工程/利润/分配等实际问题
第四章 几何图形初步 立体与平面图形、直线射线线段、角的度量与计算、余角补角、方位角

第一章 有理数

本章考纲要求

本章是初一代数的起点，也是整个初中数与代数领域的基础。2022 版课标要求：通过现实情境理解负数引入的必要性，能用数轴直观表示有理数，理解相反数与绝对值的意义；熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算；会用科学记数法表示大数，能按要求取近似数并理解精确度。本章内容在中考中以基础题与计算题形式高频出现，是后续实数、函数、方程学习的前提。

一、核心概念

  • 正数和负数：大于 0 的数叫做正数（如 +3、5），在正数前加”-“号的数叫做负数（如 -3、-5）。0 既不是正数也不是负数。正数前面的”+”号可省略，负数前面的”-“号不可省略。
  • 用正负数表示相反意义的量：规定其中一种意义的量为正，则与之意义相反的量为负。如规定向东为正，则向东走 5 m 记作 +5 m，向西走 3 m 记作 -3 m。
  • 有理数：整数和分数统称为有理数。整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。
  • 有理数的分类：
  • 按定义分：有理数分为整数和分数。
  • 按符号分：有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。
  • 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
  • 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0 的相反数是 0。数 $a$ 的相反数是 $-a$。互为相反数的两个数位于原点两侧且到原点距离相等。
  • 绝对值：数轴上表示数 $a$ 的点与原点的距离叫做数 $a$ 的绝对值，记作 $|a|$。正数的绝对值是它本身；0 的绝对值是 0；负数的绝对值是它的相反数。即 $|a|=\begin{cases} a,\ a\geqslant 0 \ -a,\ a<0 \end{cases}$。
  • 倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。0 没有倒数；数 $a$（$a\neq 0$）的倒数是 $\dfrac{1}{a}$。互为倒数的两个数符号相同。
  • 有理数大小的比较：正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的数总比左边的数大。
  • 乘方：求 $n$ 个相同因数 $a$ 的积的运算叫做乘方，记作 $a^{n}$。其中 $a$ 叫做底数，$n$ 叫做指数，$a^{n}$ 叫做幂。
  • 科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 $a\times 10^{n}$ 的形式（其中 $1\leqslant a<10$，$n$ 为正整数），这种记数方法叫做科学记数法。
  • 近似数：接近实际数目、但与实际数目还有差别的数叫做近似数。由四舍五入得到的近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则

1. 加法法则

  • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
  • 异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
  • 一个数同 0 相加，仍得这个数。
  • 互为相反数的两个数相加得 0。

2. 加法运算律

  • 加法交换律：$a+b=b+a$。
  • 加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$。

3. 减法法则

  • 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 $a-b=a+(-b)$。

4. 乘法法则

  • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
  • 任何数与 0 相乘，都得 0。
  • 多个有理数相乘：几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定——负因数有偶数个时积为正，奇数个时积为负；只要有一个因数为 0，积就为 0。

5. 乘法运算律

  • 乘法交换律：$ab=ba$。
  • 乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$。
  • 乘法分配律：$a(b+c)=ab+ac$。

6. 除法法则

  • 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。即 $a\div b=a\times \dfrac{1}{b}$（$b\neq 0$）。
  • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。
  • 注意：0 不能作除数。

7. 乘方法则

  • 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。
  • $1$ 的任何次幂都是 $1$；$-1$ 的奇次幂是 $-1$，偶次幂是 $1$。

8. 混合运算顺序

  • 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

9. 科学记数法中 $n$ 的确定

  • $n$ 等于原数整数部分的位数减 1；或等于原数化为 $a\times 10^{n}$ 时小数点向左移动的位数。

10. 近似数的精确度

  • 用四舍五入法，按要求精确到某一位。带单位的数（如 1.2 万）或科学记数法表示的数，其精确度看有效数字最后一位所在的实际数位。

三、必会练习

1. 正数与负数

★ 基础题：若向东走 6 m 记作 +6 m，那么向西走 4 m 记作什么？-8 m 表示什么？
解析：向西走 4 m 记作 -4 m；-8 m 表示向西走 8 m。

★★ 中档题：一种零件标明尺寸为 $\phi 20 \pm 0.05$（mm），则该零件直径合格范围是多少？最大与最小相差多少？
解析：合格范围为 $20-0.05=19.95$（mm）到 $20+0.05=20.05$（mm）；最大与最小相差 $20.05-19.95=0.10$（mm）。

2. 有理数与数轴

★ 基础题：把下列各数填入相应集合：$-3$，$+2.5$，$0$，$-\dfrac{1}{3}$，$7$，$-0.7$，$+4$。
① 正数集合：{ $+2.5,\ 7,\ +4$ }；② 负数集合：{ $-3,\ -\dfrac13,\ -0.7$ }；③ 整数集合：{ $-3,\ 0,\ 7,\ +4$ }；④ 分数集合：{ $+2.5,\ -\dfrac13,\ -0.7$ }。

★★ 中档题：在数轴上表示 $-3$、$-1.5$、$0$、$2$、$3.5$，并用”<”号连接。
解析：数轴上从左到右为 $-3<-1.5<0<2<3.5$。注意：负数在 0 左侧，正数在右侧，右边的数大于左边的数。

3. 相反数与绝对值、倒数

★ 基础题：$-5$ 的相反数是 __；$|-5|=$ _；$-5$ 的倒数是 ___。
答案：$5$；$5$；$-\dfrac15$。

★★ 中档题：已知 $|a|=3$，$|b|=5$，且 $a>b$，求 $a+b$ 的值。
解析：由 $|a|=3$ 得 $a=\pm 3$，由 $|b|=5$ 得 $b=\pm 5$。又 $a>b$，当 $b=-5$ 时 $a=3$ 或 $a=-3$ 均满足 $a>b$，故 $a+b=3+(-5)=-2$ 或 $a+b=-3+(-5)=-8$。答案：$-2$ 或 $-8$。

★★★ 提高题：若 $|x-2|+|y+3|=0$，求 $x^{y}$ 的值。
解析：由绝对值的非负性知 $|x-2|\geqslant 0$，$|y+3|\geqslant 0$，两者之和为 0 必须同时为 0。故 $x-2=0$，$y+3=0$，得 $x=2$，$y=-3$。$x^{y}=2^{-3}=\dfrac{1}{8}$。

4. 有理数加减法

★ 基础题：计算 $(-8)+(+5)-(-3)$。
解析：$(-8)+(+5)+3=-3+3=0$。

★★ 中档题：计算 $(-2.5)-\left(+3\dfrac14\right)+\left(-1\dfrac14\right)-\left(-4\dfrac12\right)$。
解析：原式 $=-2.5-3.25-1.25+4.5=(-2.5+4.5)+(-3.25-1.25)=2-4.5=-2.5$。

★★★ 提高题：计算 $\left(+\dfrac{5}{8}\right)-\left(-\dfrac{3}{4}\right)+\left(-\dfrac{1}{2}\right)+\left(+\dfrac{1}{8}\right)$。
解析：原式 $=\dfrac58+\dfrac34-\dfrac12+\dfrac18=\left(\dfrac58+\dfrac18\right)+\left(\dfrac34-\dfrac12\right)=\dfrac68+\dfrac14=\dfrac34+\dfrac14=1$。

5. 有理数乘除法

★ 基础题：计算 $(-3)\times 4$；$(-12)\div(-3)$。
答案：$-12$；$4$。

★★ 中档题：计算 $\left(-\dfrac{3}{4}\right)\times \left(-\dfrac{8}{9}\right)\div \left(-\dfrac{2}{3}\right)$。
解析：原式 $=\left(-\dfrac{3}{4}\right)\times \left(-\dfrac{8}{9}\right)\times \left(-\dfrac{3}{2}\right)$，三个负因数，积为负，$-\left(\dfrac{3}{4}\times \dfrac{8}{9}\times \dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{72}{72}=-1$。

★★★ 提高题：计算 $-1^4-\left[2-\left(-\dfrac12\right)^3\right]\times (-6)\div (-3)$。
解析：注意 $-1^4=-1$，$\left(-\dfrac12\right)^3=-\dfrac18$。括号内 $=2-(-\dfrac18)=2\dfrac18=\dfrac{17}{8}$。
原式 $=-1-\dfrac{17}{8}\times (-6)\div (-3)=-1-\dfrac{17}{8}\times 2=-1-\dfrac{17}{4}=-\dfrac{21}{4}$。

6. 有理数乘方与混合运算

★ 基础题：计算 $(-2)^{3}$；$-2^{4}$。
答案：$-8$；$-16$。（注意 $-2^{4}$ 表示 $2^{4}$ 的相反数）

★★ 中档题：计算 $-1^{2026}+(-1)^{2026}+|-5|-(-2)^{3}$。
解析：$-1^{2026}=-1$，$(-1)^{2026}=1$，$|-5|=5$，$(-2)^3=-8$。原式 $=-1+1+5-(-8)=-1+1+5+8=13$。

★★★ 提高题：计算 $-2^{3}\times \dfrac{1}{4}-\left[5-(-3)^{2}\right]\div(-2)$。
解析：$-2^3=-8$，$(-3)^2=9$。
原式 $=-8\times \dfrac14-[5-9]\div(-2)=-2-[-4]\div(-2)=-2-2=-4$。

7. 科学记数法与近似数

★ 基础题：用科学记数法表示 365000 和 20260000。
答案：$3.65\times 10^{5}$；$2.026\times 10^{7}$。

★★ 中档题：某市 2024 年 GDP 约为 1.23 万亿元，用科学记数法表示为多少元？并指出精确到哪一位。
解析：1.23 万亿 $=1230000000000=1.23\times 10^{12}$（元）。精确到百亿位（$0.01\times 10^{12}=10^{10}$ 即百亿位）。

★★★ 提高题：下列近似数各精确到哪一位？(1) 2.4 万；(2) $3.0\times 10^{4}$；(3) 6.05。
解析：(1) 2.4 万 = 24000，精确到千位；(2) $3.0\times 10^{4}=30000$，末位 0 在千位，精确到千位；(3) 6.05 精确到百分位（0.01）。

四、易错点提醒

  1. 混淆 $-a^{n}$ 与 $(-a)^{n}$：$-2^{4}=-(2^{4})=-16$，而 $(-2)^{4}=16$。负数的偶次幂为正、奇次幂为负，但 $-2^{4}$ 是先算 $2^{4}$ 再取相反。
  2. 0 的归类易错：0 既不是正数也不是负数，但是整数；0 的相反数是 0，绝对值是 0，0 没有倒数，0 不能作除数。
  3. 绝对值化简要讨论：$|a|$ 不一定是正数（$a=0$ 时为 0），$|a-b|$ 化简时要注意 $a$ 与 $b$ 的大小关系。
  4. 科学记数法的 $a$ 范围：必须满足 $1\leqslant a<10$，不能写成 $0.365\times 10^{6}$ 或 $36.5\times 10^{4}$。
  5. 带单位的近似数精确度：”1.6 万”精确到千位而非十分位；”$2.50\times 10^{4}$”末位 0 不可省略，它表示精确到百位。

第二章 整式的加减

本章考纲要求

本章是代数式学习的开端，为后续整式乘除、因式分解、分式、一元二次方程等内容奠基。2022 版课标要求：在现实情境中理解字母表示数的意义，能列出代数式表示简单的数量关系；理解单项式、多项式、整式的概念；理解同类项概念，掌握合并同类项和去括号法则，能熟练进行整式的加减运算。中考中以化简求值、列式表示等题型出现。

一、核心概念

  • 用字母表示数：用字母表示数后，可以简明地表示数量关系和运算律，是代数学习的基础。
  • 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。如 $3x$、$-mn$、$\dfrac{1}{2}a^{2}b$、$-5$、$x$ 都是单项式。
  • 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。如 $-3x^{2}y$ 的系数是 $-3$。注意：系数包括其前面的性质符号。
  • 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如 $-3x^{2}y$ 中字母指数和为 $2+1=3$，次数为 3。单独一个非零数的次数是 0。
  • 多项式：几个单项式的和叫做多项式。如 $2x^{2}-3x+1$ 是多项式。
  • 多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式的项包括它前面的性质符号。如 $2x^{2}-3x+1$ 的项为 $2x^{2}$、$-3x$、$+1$，常数项是 1。
  • 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。如 $2x^{2}-3x+1$ 次数为 2，称为二次三项式。
  • 整式：单项式与多项式统称为整式。
  • 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。同类项与系数大小、字母顺序无关。
  • 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并后所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母部分不变。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则

1. 代数式书写规范

  • 数与字母相乘时数字写在前面，乘号通常省略或写为点，如 $3\times a$ 写作 $3a$。
  • 字母与字母相乘，乘号省略，如 $a\times b$ 写作 $ab$。
  • 数字与数字相乘仍用乘号。
  • 带分数作系数要化为假分数，如 $1\dfrac12 x$ 应写作 $\dfrac32 x$。
  • 除法运算一般写成分数形式，如 $a\div b$ 写作 $\dfrac{a}{b}$。

2. 合并同类项法则

  • 合并同类项后，所得项的系数等于各同类项系数的代数和，字母和字母的指数不变。即 $ax^{n}+bx^{n}=(a+b)x^{n}$。
  • 不是同类项不能合并。

3. 去括号法则

  • 括号前面是”+”号，把括号和它前面的”+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。
  • 括号前面是”-“号，把括号和它前面的”-“号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
  • 可结合分配律理解：$+(a-b+c)=a-b+c$；$-(a-b+c)=-a+b-c$。
  • 括号前有数字因数时，按分配律将该数乘进括号内每一项。

4. 添括号法则

  • 添括号后，括号前面是”+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是”-“号，括到括号里的各项都变号。

5. 整式加减运算步骤

  • 一般步骤：先去括号，再合并同类项。
  • 整式加减的结果仍是整式，结果中不再含有同类项。

三、必会练习

1. 单项式与多项式的识别

★ 基础题：在 $-x$、$\dfrac{a+b}{2}$、$3x^{2}y-1$、$0$、$\dfrac{2}{x}$、$-\dfrac{1}{3}ab^{2}$ 中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些不是整式？
解析：单项式：$-x$、$0$、$-\dfrac13 ab^{2}$；多项式：$3x^{2}y-1$、$\dfrac{a+b}{2}$（实际上是 $\dfrac12 a+\dfrac12 b$）；$\dfrac{2}{x}$ 是分式（分母含字母），不是整式。

★★ 中档题：指出 $-2x^{2}y^{3}z$ 的系数和次数；指出 $4x^{3}-2x^{2}y+xy^{2}-7$ 是几次几项式及常数项。
解析：$-2x^{2}y^{3}z$ 系数为 $-2$，次数为 $2+3+1=6$；$4x^{3}-2x^{2}y+xy^{2}-7$ 次数最高项为 $2x^{2}y$ 和 $xy^{2}$，次数都是 3，是三次四项式，常数项是 $-7$。

2. 同类项的判定与合并

★ 基础题：判断下列各组是否为同类项：① $2x^{2}y$ 与 $-3yx^{2}$；② $3a^{2}b$ 与 $3ab^{2}$；③ $5$ 与 $-7$；④ $x^{2}y$ 与 $x^{2}yz$。
答案：① 是；② 否（相同字母指数不同）；③ 是（常数项都是同类项）；④ 否（所含字母不同）。

★★ 中档题：合并同类项 $3a^{2}b-2ab^{2}+a^{2}b+5ab^{2}-4a^{2}b$。
解析：$3a^{2}b+1a^{2}b-4a^{2}b=(3+1-4)a^{2}b=0$；$-2ab^{2}+5ab^{2}=3ab^{2}$。结果为 $3ab^{2}$。

★★★ 提高题：若 $3x^{m}y^{3}$ 与 $-\dfrac12 x^{2}y^{n}$ 是同类项，求 $m^{n}$ 的值。
解析：同类项需相同字母指数相同，故 $m=2$，$n=3$。$m^{n}=2^{3}=8$。

3. 去括号与整式加减

★ 基础题：化简 $3a-(2a-b)+(-a+2b)$。
解析：$=3a-2a+b-a+2b=(3-2-1)a+(1+2)b=3b$。

★★ 中档题：化简求值：$2(x^{2}-3xy)-3(x^{2}-2xy+y^{2})$，其中 $x=-1$，$y=2$。
解析：原式 $=2x^{2}-6xy-3x^{2}+6xy-3y^{2}=-x^{2}-3y^{2}$。
当 $x=-1$，$y=2$ 时，原式 $=-(-1)^{2}-3\times 2^{2}=-1-12=-13$。

★★★ 提高题：已知 $A=2x^{2}-3x+1$，$B=x^{2}+2x-5$，求 $2A-3B$ 的值（用 $x$ 表示）。
解析：$2A=4x^{2}-6x+2$，$3B=3x^{2}+6x-15$。
$2A-3B=4x^{2}-6x+2-(3x^{2}+6x-15)=4x^{2}-6x+2-3x^{2}-6x+15=x^{2}-12x+17$。

★★★ 提高题：先化简，再求值：$\left[\left(3x+y\right)-2\left(x-y\right)\right]-2\left(x-2y\right)$，其中 $x=-2$，$y=\dfrac12$。
解析：原式 $=(3x+y-2x+2y)-2x+4y=(x+3y)-2x+4y=-x+7y$。
当 $x=-2$，$y=\dfrac12$ 时，原式 $=-(-2)+7\times \dfrac12=2+\dfrac72=\dfrac{11}{2}$。

四、易错点提醒

  1. 单项式系数和次数判定：$\dfrac{1}{3}ab^{2}$ 的系数是 $\dfrac13$ 不是 1；$-x^{2}y$ 的系数是 $-1$ 不是 1；$\pi r^{2}$ 中 $\pi$ 是常数，系数为 $\pi$ 而字母部分为 $r^{2}$，次数为 2。
  2. 多项式的项连同符号：$x^{2}-3x+1$ 的项应为 $x^{2}$、$-3x$、$+1$，常数项是 1，不是 $-3$ 后面单独的 1。
  3. 去括号易漏变号：括号前是”-“号时，括号内每一项都要变号，尤其首项和末项易漏。如 $a-(b-c)=a-b+c$。
  4. 代数式求值务必先化简：含括号的式子要先去括号合并同类项再代入，否则计算量大且易错。
  5. 整式加法结果不要随意合并不同类项：如 $2x+3y$ 不能合并成 $5xy$，不同类项不能合并。

第三章 一元一次方程

本章考纲要求

一元一次方程是初中方程学习的起点，是衔接小学算术思维与中学代数思维的关键。2022 版课标要求：理解方程、方程的解的概念；掌握等式的基本性质并能用以解方程；熟练掌握解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1）；能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程解决行程、工程、利润、分配、积分等实际问题，体会模型思想。中考中以解方程和实际应用题的形式高频考查。

一、核心概念

  • 方程：含有未知数的等式叫做方程。判断方程须同时满足两点：① 是等式；② 含有未知数。
  • 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。一元方程的解也叫方程的根。
  • 一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。其标准形式为 $ax+b=0$（$a\neq 0$）。
  • 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
  • 等式：用等号表示相等关系的式子叫做等式。若 $a=b$，则 $a$、$b$ 分别称为等式的左边和右边。
  • 移项：把等式一边的某一项变号后移到另一边，叫做移项。移项的依据是等式的性质 1。
  • 方程的应用模型：用一元一次方程分析和解决实际问题的关键是找出等量关系，常用模型包括行程问题、工程问题、利润问题、分配问题、积分问题、数字问题等。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则

1. 等式的基本性质

  • 性质 1：等式两边同加（或同减）同一个数或式子，结果仍相等。即若 $a=b$，则 $a\pm c=b\pm c$。
  • 性质 2：等式两边同乘同一个数，或同除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。即若 $a=b$，则 $ac=bc$；若 $a=b$ 且 $c\neq 0$，则 $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$。
  • 对称性：若 $a=b$，则 $b=a$。
  • 传递性：若 $a=b$，$b=c$，则 $a=c$。

2. 解一元一次方程的一般步骤

步骤 做法 依据 注意事项
去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数 等式性质 2 不要漏乘不含分母的项；分子是多项式时要加括号
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律、去括号法则 括号前是”-“号时各项变号
移项 把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边 等式性质 1 移项必须变号
合并同类项 把方程化成 $ax=b$ 的形式 合并同类项法则 系数相加，字母不变
系数化为 1 方程两边同除以未知数的系数 $a$ 等式性质 2 $a\neq 0$

3. 移项法则

  • 移项法则：方程中的项，从等号一边移到另一边时，必须改变符号（”+”变”-“，”-“变”+”）。

4. 常见实际问题的等量关系

  • 行程问题：路程 = 速度 × 时间（$s=vt$）。相遇问题：两人路程和 = 总路程；追及问题：快者路程 − 慢者路程 = 路程差。
  • 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间；通常把总工程量设为 1，各部分工作量之和 = 1。
  • 利润问题：利润 = 售价 − 进价；利润率 = $\dfrac{\text{利润}}{\text{进价}}\times 100\%$；售价 = 进价 ×(1 + 利润率)；打折售价 = 标价 × 折扣。
  • 分配问题：常见”调人”或”分物”问题：变化前后的总量或人员关系建立等量。
  • 积分问题（比赛积分）：胜场 × 胜积分 + 负场 × 负积分 + 平场 × 平积分 = 总积分；同时满足总场数关系。
  • 数字问题：两位数 = 10 × 十位数字 + 个位数字；三位数 = 100 × 百位数字 + 10 × 十位数字 + 个位数字。

5. 列方程解应用题的一般步骤

  • ① 审题，弄清已知量、未知量及其关系；② 设未知数（直接设或间接设）；③ 找等量关系列方程；④ 解方程；⑤ 检验方程的解是否符合题意并作答。

三、必会练习

1. 方程的概念与等式性质

★ 基础题：下列各式中是方程的是（ ）。A. $3+2=5$　B. $2x-3$　C. $2x-3=5$　D. $x^{2}+1>0$
解析：方程须含未知数且为等式。A 无未知数；B 不是等式；D 是不等式。答案：C。

★★ 中档题：利用等式性质解方程 $-2x+5=3x-10$，并写出每步依据。
解析：两边同减 $3x$：$-2x-3x+5=-10$，即 $-5x+5=-10$（性质 1）；两边同减 5：$-5x=-15$（性质 1）；两边同除以 $-5$：$x=3$（性质 2）。

2. 解一元一次方程

★ 基础题：解方程 $3(x-2)=2x-4$。
解析：去括号 $3x-6=2x-4$；移项 $3x-2x=-4+6$；合并 $x=2$。

★★ 中档题：解方程 $\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{x+2}{4}=1$。
解析：去分母（两边乘 12）：$4(2x-1)-3(x+2)=12$；去括号：$8x-4-3x-6=12$；合并：$5x-10=12$；移项合并：$5x=22$；系数化为 1：$x=\dfrac{22}{5}$。

★★★ 提高题：解方程 $\dfrac{0.1x-0.2}{0.02}-\dfrac{x+1}{0.5}=2$。
解析：把分子分母同时扩大化为整数：$\dfrac{5x-10}{1}-\dfrac{2x+2}{1}=2$，即 $5x-10-(2x+2)=2$，$5x-10-2x-2=2$，$3x-12=2$，$3x=14$，$x=\dfrac{14}{3}$。

★★中档，解含多层括号：$2-\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{2x-1}{2}-x$。
解析：去分母乘 6：$12-2(x+1)=3(2x-1)-6x$；去括号：$12-2x-2=6x-3-6x$；合并：$10-2x=-3$；移项：$-2x=-13$；$x=\dfrac{13}{2}$。

3. 行程问题

★★ 中档题：甲、乙两人相距 30 km，同时相向而行，甲每小时走 5 km，乙每小时走 4 km，几小时后两人相遇？
解析：设 $x$ 小时后相遇。等量关系：甲走的路程 + 乙走的路程 = 30。
$5x+4x=30$，$9x=30$，$x=\dfrac{10}{3}$（小时）。

★★★ 提高题（追及）：甲在乙前方 6 km，乙速度为 8 km/h，甲速度为 5 km/h，两人同时同向出发，乙几小时后追上甲？
解析：等量关系：乙路程 − 甲路程 = 6。设 $t$ 小时后乙追上甲。
$8t-5t=6$，$3t=6$，$t=2$（小时）。

4. 工程问题

★★ 中档题：一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成。甲先做 2 天后，剩下的甲乙合作，还需几天完成？
解析：设合作还需 $x$ 天。甲效率 $\dfrac{1}{10}$，乙效率 $\dfrac{1}{15}$。
等量关系：甲独做 2 天 + 合作 $x$ 天 = 1。
$\dfrac{1}{10}\times 2+\left(\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15}\right)x=1$，$\dfrac15+\dfrac16 x=1$，$\dfrac16 x=\dfrac45$，$x=\dfrac{24}{5}=4.8$（天）。

★★★ 提高题：一个水池有甲、乙两个进水管，单开甲管 6 h 注满，单开乙管 4 h 注满；若先开甲管 1 h，再两管齐开，还需几小时注满？
解析：设还需 $x$ 小时。甲效率 $\dfrac16$，乙效率 $\dfrac14$。
$\dfrac16\times 1+\left(\dfrac16+\dfrac14\right)x=1$，$\dfrac16+\dfrac{5}{12}x=1$，$\dfrac{5}{12}x=\dfrac56$，$x=2$（小时）。

5. 利润问题

★★ 中档题：一件商品进价 200 元，标价 360 元，商店打折销售仍要保证利润率不低于 20%，则最多可打几折？
解析：设打折率为 $x$（即 $x$ 折对应 $\dfrac{x}{10}$）。售价 $=360\times \dfrac{x}{10}=36x$。
利润不低于 $20\%$：$36x-200\geqslant 200\times 20\%$，$36x\geqslant 240$，$x\geqslant \dfrac{20}{3}\approx 6.67$。
即最多可打 6.7 折（保证利润率不低于 20%）。

★★★ 提高题：某商品进价 1000 元，按标价 8 折出售，仍可获利 10%。求该商品的标价。
解析：设标价为 $x$ 元。售价 = $0.8x$，进价 1000，利润 10% 即 $\dfrac{\text{售价}-1000}{1000}=10\%$。
$0.8x-1000=100$，$0.8x=1100$，$x=1375$（元）。

6. 分配与积分问题

★★ 中档题（分配）：某班学生分组，若每组 8 人则多 3 人，若每组 9 人则少 4 人，求学生人数与组数。
解析：设组数为 $x$。则总人数 $=8x+3=9x-4$。
$8x+3=9x-4$，$x=7$。学生人数 $=8\times 7+3=59$（人）。

★★★ 提高题（积分）：某队参加 12 场比赛，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，该队共得 22 分且负了 2 场，求胜、平各几场。
解析：设胜 $x$ 场，则平 $(12-2-x)=(10-x)$ 场。
$3x+1\times(10-x)=22$，$3x+10-x=22$，$2x=12$，$x=6$。胜 6 场，平 $10-6=4$ 场。

7. 数字问题

★★★ 提高题：一个两位数，十位数字与个位数字之和为 9，将十位数字与个位数字对调得到的新两位数比原数大 27，求原两位数。
解析：设十位数字为 $x$，则个位数字为 $9-x$。原数 $=10x+(9-x)=9x+9$；新数 $=10(9-x)+x=90-9x$。
$90-9x=(9x+9)+27$，$90-9x=9x+36$，$-18x=-54$，$x=3$。原数为 $36$。

四、易错点提醒

  1. 去分母漏乘：去分母时方程两边每一项都要乘以最小公倍数，尤其不含分母的常数项易漏乘。如 $\dfrac{x}{2}+1=\dfrac{x+1}{3}$，”1”也要乘 6。
  2. 分子是多项式忘加括号：$\dfrac{x+1}{3}$ 去分母后应写成 $(x+1)\times 2$，要加括号防止符号错误。
  3. 移项忘变号：移项必须变号，而等号同一边交换位置不变号，两者不要混淆。
  4. 分母含小数要先行处理：如 $\dfrac{0.3x-0.6}{0.5}$，应利用分数基本性质把分子分母同乘 10 化为 $\dfrac{3x-6}{5}$。
  5. 应用题忽视检验与单位：求出方程的解后要检验是否符合实际意义（如人数、天数必须为正整数），并写明单位与答语。

第四章 几何图形初步

本章考纲要求

本章是初中平面几何的入门，是学习相交线、平行线、三角形、四边形、圆等内容的基础。2022 版课标要求：通过实物和模型感受立体图形与平面图形，能识别柱、锥、球等基本立体图形及其展开图；理解点、线、面、体之间的关系；掌握直线、射线、线段的概念与表示，理解”两点确定一条直线”“两点之间线段最短”等基本事实；理解角的概念与表示，会进行角的度、分、秒换算与角的计算；理解余角、补角的概念及其性质，理解对顶角相等。中考常以选择题、计算题、简单证明题形式出现。

一、核心概念

  • 立体图形：图形上各点不全在同一平面内的图形叫做立体图形。如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。
  • 平面图形：图形上各点都在同一平面内的图形叫做平面图形。如线段、角、三角形、长方形、圆等。
  • 展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为立体图形的展开图。
  • 点、线、面、体：几何体简称体；包围着体的是面；面与面相交形成线；线和线相交形成点。点动成线、线动成面、面动成体。点是构成图形的基本元素。
  • 直线：直线是最简单、最基础的几何图形，没有端点，向两方无限延伸，不可度量。
  • 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量。
  • 线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段，线段有两个端点，可以度量。
  • 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。若 $M$ 是 $AB$ 的中点，则 $AM=MB=\dfrac12 AB$。
  • 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两边。角也可以看成是一条射线绕其端点旋转而成的图形。
  • 角的度量单位：把一个周角 360 等分，每一份就是 1 度的角，记作 $1^{\circ}$；$1^{\circ}=60’$（分），$1’=60’‘$（秒）。
  • 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
  • 互为余角（简称余角）：如果两个角的和等于 $90^{\circ}$（直角），就说这两个角互为余角。
  • 互为补角（简称补角）：如果两个角的和等于 $180^{\circ}$（平角），就说这两个角互为补角。
  • 对顶角：两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。
  • 方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体方向的角，如”北偏东 30°”。
  • 钝角、锐角、直角、平角、周角：锐角 $<90^{\circ}$；直角 $=90^{\circ}$；$90^{\circ}<$ 钝角 $<180^{\circ}$；平角 $=180^{\circ}$；周角 $=360^{\circ}$。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则

1. 直线的基本事实与性质

  • 基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线（两点确定一条直线）。
  • 性质：两条直线相交，只有一个交点。

2. 线段的基本事实与性质

  • 基本事实：两点之间，线段最短。
  • 距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
  • 中点公式：若点 $M$ 是线段 $AB$ 的中点，则 $AM=MB=\dfrac{1}{2}AB$，$AB=2AM=2MB$。

3. 直线、射线、线段对比

名称 端点个数 延伸情况 可否度量 表示方法
直线 0 个 向两方无限延伸 不可 直线 $AB$ 或直线 $l$
射线 1 个 向一方无限延伸 不可 射线 $OA$（端点 $O$ 在前）
线段 2 个 不延伸 可以 线段 $AB$ 或线段 $a$

4. 角的性质与运算

  • 角的比较：可用度量法（比较度数）和叠合法。
  • 角的和差：$\angle AOB+\angle BOC=\angle AOC$（当 $OC$ 在 $\angle AOB$ 内部时）。
  • 角的平分线：若 $OC$ 平分 $\angle AOB$，则 $\angle AOC=\angle BOC=\dfrac{1}{2}\angle AOB$，$\angle AOB=2\angle AOC=2\angle BOC$。
  • 度分秒换算：$1^{\circ}=60’$，$1’=60’‘$，$1^{\circ}=3600’‘$。运算时按”逢 60 进 1，借 1 当 60”处理。

5. 余角与补角的性质

  • 同角（或等角）的余角相等。
  • 同角（或等角）的补角相等。
  • 互余的两个角一定都是锐角；互补的两个角可能是一个锐角和一个钝角，也可能是两个直角。
  • 一个锐角的补角比它的余角大 $90^{\circ}$。即若 $\alpha+\beta=90^{\circ}$，$\alpha+\gamma=180^{\circ}$，则 $\gamma-\beta=90^{\circ}$。

6. 对顶角的性质

  • 对顶角相等。

7. 邻补角

  • 两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角，邻补角互补（和为 $180^{\circ}$）。

三、必会练习

1. 立体图形与平面图形

★ 基础题：下列图形中哪些是柱体、锥体、球？① 圆柱；② 圆锥；③ 球；④ 棱柱；⑤ 棱锥；⑥ 长方体。
解析：柱体：①圆柱、④棱柱、⑥长方体；锥体：②圆锥、⑤棱锥；球：③球。

★★ 中档题（展开图）：一个无盖正方体纸盒的展开图应含几个小正方形？下列图形（一字形、田字形）能否折叠成正方体？
解析：无盖正方体展开图含 5 个小正方形（完整正方体展开图共 6 个，去掉上盖后 5 个）。正方体表面展开图共有 11 种，典型排除：”一字形”（六连成一条直线）不能、”田字形”（含 $2\times2$ 方块）不能折叠成无盖正方体的完整盒子。

2. 直线、射线、线段

★ 基础题：下列说法正确的是（ ）。A. 延长射线 $OA$；B. 直线 $AB$ 的长度为 5 cm；C. 经过两点有且只有一条直线；D. 两点之间直线最短。
解析：射线本身向一方无限延伸，不能”延长”，A 错；直线不可度量，B 错；两点之间线段最短而非直线，D 错。答案：C。

★★ 中档题：已知线段 $AB=10$ cm，点 $C$ 是 $AB$ 的中点，点 $D$ 是 $AC$ 的中点，求 $BD$ 的长。
解析：$C$ 为 $AB$ 中点，$AC=CB=5$ cm；$D$ 为 $AC$ 中点，$AD=DC=2.5$ cm。
$BD=BC+CD=5+2.5=7.5$ cm。（注意：$D$ 在 $A$、$C$ 之间，故 $BD=BC+CD$。）

★★★ 提高题：已知线段 $AB=12$ cm，在直线 $AB$ 上取一点 $C$，使 $AC=4$ cm，若 $M$ 为 $BC$ 中点，求 $AM$ 的长。
解析：$C$ 的位置有两种情况。
① 当 $C$ 在线段 $AB$ 上时，$BC=AB-AC=12-4=8$，$M$ 为 $BC$ 中点，$CM=BM=4$，$AM=AC+CM=4+4=8$（cm）；
② 当 $C$ 在 $AB$ 的延长线上时，$BC=AC+AB$？再讨论：$A$ 在 $B$、$C$ 之间，$BC=AC-AB$？需具体分析。更准确：若 $C$ 在 $A$ 远离 $B$ 一侧，$B$ 在 $A$、$C$ 之间，$BC=AC-AB=4-12<0$ 不成立；故 $C$ 只能在 $AB$ 上或 $B$ 远离 $A$ 一侧。若 $B$ 在 $A$、$C$ 之间，$AC=AB+BC=12+BC$，已知 $AC=4$ 矛盾，舍；若 $A$ 在 $B$、$C$ 之间，$BC=AB+AC=12+4=16$，$M$ 为 $BC$ 中点，$BM=8$，$AB=12>BM=8$，则 $M$ 在线段 $AB$ 上？$AM=AB-BM=12-8=4$（cm）。
综合答案：$AM=8$ cm 或 $4$ cm。

3. 角的概念与计算

★ 基础题：将 $36.25^{\circ}$ 化为度分秒。
解析：$0.25^{\circ}=0.25\times 60’=15’$。故 $36.25^{\circ}=36^{\circ}15’$。

★★ 中档题：计算 $23^{\circ}32’+48^{\circ}47’$；$90^{\circ}-37^{\circ}24‘18’‘$。
解析：① $23^{\circ}32’+48^{\circ}47’=(23+48)^{\circ}+(32+47)’=71^{\circ}79’=72^{\circ}19’$（满 60 进 1）；
② $90^{\circ}-37^{\circ}24‘18’‘=89^{\circ}59‘60’‘-37^{\circ}24‘18’‘=52^{\circ}35‘42’‘$。

★★★ 提高题：如图，$OC$ 是 $\angle AOB$ 的平分线，$OD$ 是 $\angle BOC$ 的平分线，已知 $\angle AOB=80^{\circ}$，求 $\angle AOD$ 的度数。
解析：$OC$ 平分 $\angle AOB$，$\angle BOC=\angle COB=\angle AOC=\dfrac12\times 80^{\circ}=40^{\circ}$。
$OD$ 平分 $\angle BOC$，$\angle COD=\dfrac12 \angle BOC=20^{\circ}$。
$\angle AOD=\angle AOC-\angle COD=40^{\circ}-20^{\circ}=20^{\circ}$。

4. 余角和补角

★ 基础题：$\angle\alpha=35^{\circ}$，求它的余角和补角。
解析：余角 $=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$；补角 $=180^{\circ}-35^{\circ}=145^{\circ}$。

★★ 中档题：一个角的补角比它的余角的 3 倍少 $10^{\circ}$，求这个角。
解析：设这个角为 $x^{\circ}$，则补角为 $(180-x)^{\circ}$，余角为 $(90-x)^{\circ}$。
$180-x=3(90-x)-10$，$180-x=270-3x-10$，$180-x=260-3x$，$2x=80$，$x=40$。这个角为 $40^{\circ}$。

★★★ 提高题：如图，直线 $AB$ 与 $CD$ 相交于点 $O$，$\angle 1$ 与 $\angle 2$ 是对顶角，已知 $\angle 1=2\angle 2-30^{\circ}$，求 $\angle 1$ 和 $\angle 2$ 的度数。
解析：$\angle 1$ 与 $\angle 2$ 是对顶角，$\angle 1=\angle 2$。代入 $\angle 1=2\angle 2-30^{\circ}$，得 $\angle 1=2\angle 1-30^{\circ}$，$\angle 1=30^{\circ}$，$\angle 2=30^{\circ}$。

5. 综合应用（方位角与计算）

★★★ 提高题：轮船从 $A$ 港出发，沿北偏东 $60^{\circ}$ 方向航行至 $B$ 港，再从 $B$ 港沿南偏西 $60^{\circ}$ 方向返回 $A$ 港。说明航线 $AB$ 与 $BA$ 的关系。
解析：北偏东 $60^{\circ}$ 是从 $A$ 出发看 $B$ 的方向；南偏西 $60^{\circ}$ 是从 $B$ 出发看 $A$ 的方向。两者互为反方向，正好相差 $180^{\circ}$，说明 $A$、$B$ 在同一直线上，往返航线重合。

四、易错点提醒

  1. 直线、射线、线段表示易混：射线 $OA$ 必须把端点 $O$ 写在前面，端点不同则射线不同；直线 $AB$ 与直线 $BA$ 表示同一条直线，但”延长线段 $AB$”与”延长线段 $BA$”是不同方向的延长线。
  2. “两点确定一条直线”与”两点之间线段最短”勿混：前者说的是确定直线的存在唯一性；后者说的是两点之间连线中线段最短，是两点距离的依据。
  3. 度分秒运算要逢 60 进 1、借 1 当 60：角度是 60 进制，不是 10 进制，相加超过 60’ 要进 1°，相减不够要借 1°当 60’。
  4. 角的位置讨论要全面：求线段或角时若题意未给点的位置关系，要分类讨论（如点在线段上、延长线上），避免漏解。
  5. 余角与补角的范围：只有锐角才有余角；钝角只有补角没有余角。互余两角必都是锐角；互补两角不一定都是直角（也可一锐一钝）。

使用建议：本指南涵盖七年级上册四章全部核心内容，建议先通读概念与定理形成知识网络，再按”基础→中档→提高”梯度练习，最后对照易错点查漏补缺，做到”概念清、法则熟、计算准、应用活”。

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