20260726 155244 初中数学七年级下册学习指南

初中数学·七年级下册学习指南 ¶

本指南依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》考纲要求，按照人教版七年级下册教材章节顺序编写，面向初中生复习与预习。内容涵盖五大核心章节，每章包含考纲要求、核心概念、定理性质公式、必会练习与易错点提醒，力求准确、严谨、贴近考试。

学习内容概览 ¶

章节	章节名	核心考点
第五章	相交线与平行线	邻补角与对顶角、垂线、同位角/内错角/同旁内角、平行线的判定与性质、命题与定理、平移
第六章	实数	平方根与算术平方根、立方根、无理数与实数、实数的大小比较与运算
第七章	平面直角坐标系	有序数对、平面直角坐标系、用坐标表示地理位置、用坐标表示平移
第八章	二元一次方程组	二元一次方程组概念、代入消元法、加减消元法、实际问题与方程组、三元一次方程组
第九章	一元一次不等式和一元一次不等式组	不等式及其性质、一元一次不等式解法、一元一次不等式组、实际问题与不等式
第十章	数据的收集、整理与描述	全面调查与抽样调查、统计图表、直方图、用样本估计总体

第五章相交线与平行线 ¶

本章考纲要求 ¶

本章是初中平面几何的基础章节，在考纲中要求学生理解相交线所成的角的关系，掌握垂线的性质，理解并运用平行线的判定定理和性质定理，了解命题、定理的意义，掌握图形的平移变换。本章是后续学习三角形、四边形等几何知识的重要基础，重点在于几何推理能力的初步培养。

一、核心概念 ¶

邻补角：两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。邻补角互补（即它们的和为 180°）。两条直线相交形成 4 对邻补角。
对顶角：两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角。对顶角相等。两条直线相交形成 2 对对顶角。
垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。记作 $AB \perp CD$。
垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段叫做垂线段。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
同位角：两条直线被第三条直线（截线）所截，在两条直线的同侧、截线的同旁的两个角叫做同位角。形如字母 “F”。
内错角：两条直线被第三条直线所截，在两条直线的内侧（两直线之间）、截线的两侧的两个角叫做内错角。形如字母 “Z”。
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在两条直线的内侧、截线的同旁的两个角叫做同旁内角。形如字母 “U”。
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。记作 $a \parallel b$。
命题：判断一件事情的语句叫做命题。命题由题设（已知事项）和结论（由已知事项推出的事项）组成。命题有真命题和假命题之分。
定理：经过推理证实为真命题的命题叫做定理。
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

1. 对顶角性质
- 对顶角相等。

2. 邻补角性质
- 邻补角互补，即互为邻补角的两个角之和等于 180°。

3. 垂线的性质
- 性质一：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
- 性质二：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称”垂线段最短”）。

4. 平行线的基本事实（平行公理）
- 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
- 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行线的传递性），即若 $a \parallel b$，$b \parallel c$，则 $a \parallel c$。

5. 平行线的判定定理
- 判定方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（简称：同位角相等，两直线平行）
- 判定方法二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（简称：内错角相等，两直线平行）
- 判定方法三：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（简称：同旁内角互补，两直线平行）
- 判定方法四：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。

6. 平行线的性质定理
- 性质一：两直线平行，同位角相等。
- 性质二：两直线平行，内错角相等。
- 性质三：两直线平行，同旁内角互补。

注意：平行线的”判定”是由角的关素推出两直线平行（角→线）；”性质”是由两直线平行推出角的关系（线→角），二者是互逆的过程。

7. 平移的性质
- 平移前后，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。
- 平移不改变图形的形状和大小，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。

三、必会练习 ¶

【练习 1】★基础

如图，直线 $AB$、$CD$ 相交于点 $O$，$\angle AOC = 40°$，求 $\angle BOD$ 和 $\angle AOD$ 的度数。

解析：
- $\angle BOD$ 与 $\angle AOC$ 是对顶角，由对顶角相等得 $\angle BOD = \angle AOC = 40°$。
- $\angle AOD$ 与 $\angle AOC$ 是邻补角，由邻补角互补得 $\angle AOD = 180° - 40° = 140°$。

【练习 2】★基础

下列说法正确的是（）
A. 一个角的邻补角只有一个
B. 相等的角是对顶角
C. 对顶角的补角相等
D. 两条直线相交，有两组对顶角

答案：D

解析：一条直线相交所成的角可以有多组邻补角，A 错；相等的角不一定是对顶角（如两条平行线被截的同位角），B 错；C 中对顶角已经相等，它们的补角也确实相等，但说法不够本质；两条直线相交产生 2 组对顶角，D 正确。

【练习 3】★★中档

如图，$\angle 1 = \angle 2$，$\angle D = 60°$，求 $\angle BCD$ 的度数。

解析：
- $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 是内错角，由 $\angle 1 = \angle 2$ 得 $AB \parallel CD$（内错角相等，两直线平行）。
- 又 $\angle D = 60°$，由两直线平行，内错角相等，$\angle BCD = \angle 2$…

更准确地：$\angle D$ 与 $\angle B$ 所在的位置需结合图形分析。若 $\angle D$ 与某角为同旁内角，则由两直线平行，同旁内角互补求解。

答案：$\angle BCD = 120°$（按同旁内角互补，$\angle BCD = 180° - 60° = 120°$）

【练习 4】★★中档

把命题”对顶角相等”改写成”如果……那么……”的形式，并指出题设和结论。

解析：
- 改写为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
- 题设：两个角是对顶角。
- 结论：这两个角相等。

【练习 5】★★★提高

已知：如图，$AB \parallel CD$，$\angle BAE = 3\angle EAF$，$\angle DCF = 3\angle FCE$，求证：$AE \parallel CF$。

解析：
- 过点 $E$ 作 $EG \parallel AB$，过点 $F$ 作 $FH \parallel CD$。
- 因为 $AB \parallel CD$，所以 $EG \parallel FH$。
- 由 $AB \parallel EG$，得 $\angle AEG = \angle BAE$（内错角相等）；由 $CD \parallel FH$，得 $\angle CFH = \angle DCF$（内错角相等）。
- 结合 $\angle BAE = 3\angle EAF$ 和 $\angle DCF = 3\angle FCE$ 的条件，经推理可得 $\angle AEG = \angle CFH$，从而 $AE \parallel CF$。

【练习 6】★★中档

在平面直角坐标系中，将点 $A(-2, 3)$ 先向右平移 5 个单位，再向下平移 4 个单位得到点 $A’$，求点 $A’$ 的坐标。

解析：
- 向右平移 5 个单位：横坐标加 5，$-2 + 5 = 3$。
- 向下平移 4 个单位：纵坐标减 4，$3 - 4 = -1$。
- $A’(3, -1)$。

四、易错点提醒 ¶

混淆对顶角与邻补角：对顶角无公共边，邻补角有一条公共边。判断时要看是否”两边互为反向延长线”（对顶角）还是”有一条公共边，另一边互为反向延长线”（邻补角）。
混淆平行线的判定与性质：判定是”由角推线”（已知角的关系，证平行），性质是”由线推角”（已知平行，求角的关系）。写推理时要明确因果关系。
“垂线段最短”误用：垂线段最短是针对”直线外一点与直线上各点的连线”而言，不能用于任意两点间的距离比较。
平移方向混淆坐标变化：向右平移横坐标增大，向左减小；向上平移纵坐标增大，向下减小。做题时方向不要搞反。

第六章实数 ¶

本章考纲要求 ¶

本章从平方根、立方根的概念引入，将数的范围从有理数扩充到实数。考纲要求学生了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示；了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；能求实数的相反数、绝对值，会比较实数的大小，能进行简单的实数运算。本章是后续学习二次根式、勾股定理等知识的基础。

一、核心概念 ¶

算术平方根：如果一个正数 $x$ 的平方等于 $a$，即 $x^2 = a$，那么这个正数 $x$ 叫做 $a$ 的算术平方根。记作 $\sqrt{a}$，读作”根号 $a$”。规定：0 的算术平方根是 0，即 $\sqrt{0} = 0$。其中 $a$ 叫做被开方数，要求 $a \geq 0$。
平方根：如果一个数 $x$ 的平方等于 $a$，即 $x^2 = a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的平方根（也叫二次方根）。正数 $a$ 的平方根有两个，记作 $\pm\sqrt{a}$；0 的平方根是 0；负数没有平方根。求一个数 $a$ 的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。
立方根：如果一个数 $x$ 的立方等于 $a$，即 $x^3 = a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的立方根（也叫三次方根）。记作 $\sqrt[3]{a}$，读作”三次根号 $a$”。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。
无理数：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数包括：$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\pi$ 等。
实数：有理数和无理数统称为实数。有理数包括整数和分数（有限小数和无限循环小数），无理数是无限不循环小数。
实数的分类：
按定义分：实数 = 有理数 + 无理数
按性质分：实数 = 正实数 + 0 + 负实数
相反数：实数 $a$ 的相反数是 $-a$，且 $a + (-a) = 0$。
绝对值：实数 $a$ 的绝对值记作 $|a|$。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。即 $|a| = \begin{cases} a, & a > 0 \ 0, & a = 0 \ -a, & a < 0 \end{cases}$
倒数：实数 $a$（$a \neq 0$）的倒数是 $\dfrac{1}{a}$，且 $a \times \dfrac{1}{a} = 1$。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

1. 平方根的性质
- 正数有两个平方根，它们互为相反数，记作 $\pm\sqrt{a}$（$a > 0$）。
- 0 的平方根是 0，即 $\sqrt{0} = 0$。
- 负数没有平方根。
- $(\sqrt{a})^2 = a$（$a \geq 0$），$\sqrt{a^2} = |a|$。

2. 立方根的性质
- 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。
- $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$（即互为相反数的两个数，其立方根也互为相反数）。
- $(\sqrt[3]{a})^3 = a$，$\sqrt[3]{a^3} = a$。

3. 重要公式
- $(\sqrt{a})^2 = a$（$a \geq 0$）
- $\sqrt{a^2} = |a|$（对任意实数 $a$ 成立）
- $(\sqrt[3]{a})^3 = a$，$\sqrt[3]{a^3} = a$（对任意实数 $a$ 成立）

4. 实数与数轴的关系
- 实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

5. 实数的大小比较
- 正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数。
- 两个正数，绝对值大的数大。
- 两个负数，绝对值大的数反而小。
- 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。

三、必会练习 ¶

【练习 1】★基础

求下列各数的平方根和算术平方根：
（1）25 （2）$\dfrac{16}{9}$ （3）0.01

解析：
- （1）因为 $(\pm 5)^2 = 25$，所以 25 的平方根是 $\pm 5$，算术平方根是 $5$，即 $\sqrt{25} = 5$。
- （2）因为 $\left(\pm\dfrac{4}{3}\right)^2 = \dfrac{16}{9}$，所以平方根是 $\pm\dfrac{4}{3}$，算术平方根是 $\dfrac{4}{3}$。
- （3）因为 $(\pm 0.1)^2 = 0.01$，所以平方根是 $\pm 0.1$，算术平方根是 $0.1$。

【练习 2】★基础

求下列各数的立方根：
（1）27 （2）$-8$ （3）$\dfrac{1}{64}$

解析：
- （1）因为 $3^3 = 27$，所以 $\sqrt[3]{27} = 3$。
- （2）因为 $(-2)^3 = -8$，所以 $\sqrt[3]{-8} = -2$。
- （3）因为 $\left(\dfrac{1}{4}\right)^3 = \dfrac{1}{64}$，所以 $\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}} = \dfrac{1}{4}$。

【练习 3】★★中档

把下列各数分别填在相应的集合中：$\sqrt{4}$，$-\sqrt{3}$，$\dfrac{22}{7}$，$0$，$\sqrt[3]{-1}$，$\pi$，$3.14159$，$0.\dot{3}$（$0.\dot{3}$ 表示 $0.333\ldots$）

有理数集合：{ }
无理数集合：{ }

解析：
- $\sqrt{4} = 2$（有理数），$-\sqrt{3}$ 是无理数，$\dfrac{22}{7}$ 是有理数，$0$ 是有理数，$\sqrt[3]{-1} = -1$（有理数），$\pi$ 是无理数，$3.14159$ 是有限小数（有理数），$0.\dot{3}$ 是无限循环小数（有理数）。
- 有理数集合：{$\sqrt{4}$，$\dfrac{22}{7}$，$0$，$\sqrt[3]{-1}$，$3.14159$，$0.\dot{3}$}
- 无理数集合：{$-\sqrt{3}$，$\pi$}

【练习 4】★★中档

比较下列各组数的大小：
（1）$\sqrt{7}$ 与 $2.6$ （2）$-\sqrt{3}$ 与 $-\sqrt{2}$

解析：
- （1）$(2.6)^2 = 6.76$，$(\sqrt{7})^2 = 7$。因为 $7 > 6.76$，所以 $\sqrt{7} > 2.6$。
- （2）$\sqrt{3} > \sqrt{2}$，两个负数比较，绝对值大的反而小，所以 $-\sqrt{3} < -\sqrt{2}$。

【练习 5】★★★提高

计算：$\sqrt{(-3)^2} - |{-2}| + \sqrt[3]{-8} + (-1)^{2024}$

解析：
$$\sqrt{(-3)^2} - |{-2}| + \sqrt[3]{-8} + (-1)^{2024}$$
$$= \sqrt{9} - 2 + (-2) + 1$$
$$= 3 - 2 - 2 + 1 = 0$$

【练习 6】★★中档

已知 $\sqrt{x-2} + \sqrt{y+3} = 0$，求 $x + y$ 的值。

解析：
- 因为 $\sqrt{x-2} \geq 0$ 且 $\sqrt{y+3} \geq 0$，而它们的和为 0，
- 所以 $\sqrt{x-2} = 0$ 且 $\sqrt{y+3} = 0$。
- 得 $x - 2 = 0$，$y + 3 = 0$，即 $x = 2$，$y = -3$。
- 所以 $x + y = 2 + (-3) = -1$。

四、易错点提醒 ¶

混淆平方根与算术平方根：平方根有正负两个（对于正数），算术平方根只有非负的一个。$\sqrt{a}$ 表示算术平方根，$\pm\sqrt{a}$ 才表示平方根。
忽略被开方数的非负性：$\sqrt{a}$ 中要求 $a \geq 0$，负数没有平方根。而立方根 $\sqrt[3]{a}$ 中 $a$ 可以是任意实数。
$\sqrt{a^2} = |a|$ 而非 $\sqrt{a^2} = a$：当 $a < 0$ 时，$\sqrt{a^2} = -a$，必须加绝对值符号。
误将有理数当成无理数：如 $\sqrt{4} = 2$、$\sqrt[3]{-1} = -1$、$\dfrac{22}{7}$ 等都是有理数，不要看到根号或分数就认为是无理数。判断时先化简。

第七章平面直角坐标系 ¶

本章考纲要求 ¶

本章引入平面直角坐标系，实现数与形的初步结合。考纲要求学生理解有序数对及平面直角坐标系的概念，能在平面直角坐标系中根据坐标描点、由点求坐标；掌握各象限内点的坐标的符号特征；掌握点关于坐标轴和原点对称的坐标规律；能用坐标表示地理位置和平移。本章是后续学习函数图像的基础。

一、核心概念 ¶

有序数对：有顺序的两个数 $a$ 与 $b$ 组成的数对，叫做有序数对，记作 $(a, b)$。其中 $a$ 表示水平方向（横坐标），$b$ 表示竖直方向（纵坐标）。（$a$, $b$）与（$b$, $a$）（$a \neq b$ 时）表示不同的位置。
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴称为 $x$ 轴（横轴），取向右为正方向；竖直的数轴称为 $y$ 轴（纵轴），取向上为正方向；两轴的交点 $O$ 为原点。
坐标：对于平面内任意一点 $P$，过点 $P$ 分别向 $x$ 轴、$y$ 轴作垂线，垂足在 $x$ 轴上对应的实数 $a$ 叫做点 $P$ 的横坐标，垂足在 $y$ 轴上对应的实数 $b$ 叫做点 $P$ 的纵坐标，有序数对 $(a, b)$ 叫做点 $P$ 的坐标。
象限：$x$ 轴和 $y$ 轴将坐标平面分成四个部分，按逆时针方向依次为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。
各象限内点的坐标符号：
第一象限：$(+, +)$
第二象限：$(-, +)$
第三象限：$(-, -)$
第四象限：$(+, -)$
坐标轴上点的特征：
$x$ 轴上的点：纵坐标为 0，即 $(x, 0)$
$y$ 轴上的点：横坐标为 0，即 $(0, y)$
原点：$(0, 0)$

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

1. 对称点的坐标规律
- 关于 $x$ 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数。点 $(a, b)$ 关于 $x$ 轴对称的点是 $(a, -b)$。
- 关于 $y$ 轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数。点 $(a, b)$ 关于 $y$ 轴对称的点是 $(-a, b)$。
- 关于原点对称：横、纵坐标都互为相反数。点 $(a, b)$ 关于原点对称的点是 $(-a, -b)$。

2. 象限角平分线上点的坐标特征
- 第一、三象限角平分线上的点：横坐标与纵坐标相等，即 $a = b$，坐标为 $(a, a)$。
- 第二、四象限角平分线上的点：横坐标与纵坐标互为相反数，即 $a = -b$，坐标为 $(a, -a)$。

3. 点到坐标轴的距离
- 点 $(a, b)$ 到 $x$ 轴的距离为 $|b|$。
- 点 $(a, b)$ 到 $y$ 轴的距离为 $|a|$。
- 点 $(a, b)$ 到原点的距离为 $\sqrt{a^2 + b^2}$。

4. 用坐标表示平移
- 点的平移：
- 向右平移 $h$ 个单位：$(x, y) \to (x + h, y)$
- 向左平移 $h$ 个单位：$(x, y) \to (x - h, y)$
- 向上平移 $k$ 个单位：$(x, y) \to (x, y + k)$
- 向下平移 $k$ 个单位：$(x, y) \to (x, y - k)$
- 图形的平移：图形的平移转化为图形上各点的平移，各点坐标的变化规律相同。

5. 用坐标表示地理位置
- 利用平面直角坐标系绘制区域分布图，需要建立合适的坐标系（选择适当的原点，确定 $x$ 轴、$y$ 轴的正方向），确定单位长度，然后描点并标注名称。
- 方向与距离：也可以用方位角和距离来确定物体的位置。

三、必会练习 ¶

【练习 1】★基础

在平面直角坐标系中，点 $A(-3, 4)$ 在第几象限？点 $B(0, -2)$ 在什么位置？

答案：
- 点 $A(-3, 4)$ 横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限。
- 点 $B(0, -2)$ 横坐标为 0，在 $y$ 轴（负半轴）上。

【练习 2】★基础

在平面直角坐标系中，标出下列各点：$A(2, 3)$，$B(-2, 3)$，$C(-2, -3)$，$D(2, -3)$，并观察这些点有什么对称关系。

解析：
- $A(2, 3)$ 与 $B(-2, 3)$ 关于 $y$ 轴对称。
- $A(2, 3)$ 与 $D(2, -3)$ 关于 $x$ 轴对称。
- $A(2, 3)$ 与 $C(-2, -3)$ 关于 原点对称。
- 四个点构成一个矩形，对称中心为原点。

【练习 3】★★中档

已知点 $P(m-2, 2m+1)$。
（1）若点 $P$ 在 $y$ 轴上，求 $m$ 的值；
（2）若点 $P$ 在第一象限，求 $m$ 的取值范围。

解析：
- （1）点 $P$ 在 $y$ 轴上，横坐标为 0，即 $m - 2 = 0$，得 $m = 2$。
- 验证：$m = 2$ 时，$P(0, 5)$，在 $y$ 轴正半轴上，符合。
- （2）点 $P$ 在第一象限，要求：$m - 2 > 0$ 且 $2m + 1 > 0$。
- $m > 2$ 且 $m > -\dfrac{1}{2}$，取交集得 $m > 2$。

【练习 4】★★中档

将三角形 $ABC$ 的三个顶点 $A(1, 1)$，$B(4, 1)$，$C(2, 3)$ 向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，求平移后各顶点的坐标。

解析：
- 向左平移 3 个单位：横坐标减 3。
- 向下平移 2 个单位：纵坐标减 2。
- $A’(1-3, 1-2) = A’(-2, -1)$
- $B’(4-3, 1-2) = B’(1, -1)$
- $C’(2-3, 3-2) = C’(-1, 1)$

【练习 5】★★★提高

已知点 $A(a, b)$ 在第二象限，且 $|a| = 3$，$|b| = 2$，求点 $A$ 关于原点对称的点 $A’$ 的坐标，并判断点 $A’$ 在第几象限。

解析：
- 点 $A$ 在第二象限，所以 $a < 0$，$b > 0$。
- 由 $|a| = 3$ 知 $a = -3$；由 $|b| = 2$ 知 $b = 2$。
- $A(-3, 2)$ 关于原点对称的点 $A’$ 为 $(3, -2)$。
- $A’(3, -2)$ 横坐标为正、纵坐标为负，在第四象限。

【练习 6】★★中档

小明的家在学校正东方向 300 m 处，书店在学校正北方向 400 m 处。以学校为原点，正东方向为 $x$ 轴正方向，正北方向为 $y$ 轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：百米），求小明家和书店的坐标，以及小明家到书店的距离。

解析：
- 以学校为原点，小明家在正东 300 m = 3 百米处，坐标为 $(3, 0)$。
- 书店在正北 400 m = 4 百米处，坐标为 $(0, 4)$。
- 小明家到书店的距离：$\sqrt{3^2 + 0^2}$ 不对，应为 $\sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$（百米）$= 500$ m。

四、易错点提醒 ¶

点的坐标顺序：有序数对 $(a, b)$ 中，横坐标在前，纵坐标在后，括号内逗号隔开，不能颠倒顺序。
点到坐标轴的距离与坐标混淆：到 $x$ 轴的距离用纵坐标的绝对值 $|b|$，到 $y$ 轴的距离用横坐标的绝对值 $|a|$。注意距离不带符号，但坐标可正可负。
对称点坐标规律记反：关于 $x$ 轴对称纵坐标变号，关于 $y$ 轴对称横坐标变号。记忆口诀：”关于谁对称谁不变，另一个变号”。
坐标轴上的点不属于任何象限：原点既在 $x$ 轴上又在 $y$ 轴上，但不属于任何象限。

第八章二元一次方程组 ¶

本章考纲要求 ¶

本章是方程与方程组的重要内容。考纲要求学生了解二元一次方程及二元一次方程组的概念，掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组解决实际问题，了解三元一次方程组的解法（选学）。本章重点是消元思想的理解和运用，是后续学习一次函数、一元二次方程等知识的基础。

一、核心概念 ¶

二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。一般形式为 $ax + by = c$（$a, b \neq 0$）。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。一个二元一次方程有无数个解。
二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。通常一个二元一次方程组有唯一解（当两个方程不矛盾且不重复时）。
三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。
消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想叫做消元思想。二元一次方程组通过消元转化为一元一次方程求解。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

1. 代入消元法
- 步骤：
1. 从方程组中选取一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；
2. 将这个代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
3. 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
4. 将求出的未知数的值代回原来的表示式，求出另一个未知数的值；
5. 写出方程组的解。

2. 加减消元法
- 步骤：
1. 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数相同（或互为相反数），可直接相减（或相加）消去这个未知数；
2. 如果同一个未知数的系数既不相同也不互为相反数，就用适当的数乘方程的两边，使一个未知数的系数的绝对值相等；
3. 将两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
4. 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
5. 将求出的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值；
6. 写出方程组的解。

3. 方程组解的检验
- 将求出的解代入原方程组的每一个方程中，若各方程都成立，则该解是正确的。

4. 三元一次方程组的解法
- 通过代入消元或加减消元，先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步消元转化为一元一次方程求解。基本思路还是”消元”。

三、必会练习 ¶

【练习 1】★基础

用代入消元法解方程组：
$$\begin{cases} y = 2x - 1 \ 3x + 2y = 8 \end{cases}$$

解析：
- 将 $y = 2x - 1$ 代入第二个方程：
$$3x + 2(2x - 1) = 8$$
$$3x + 4x - 2 = 8$$
$$7x = 10$$
$$x = \dfrac{10}{7}$$
- 将 $x = \dfrac{10}{7}$ 代入 $y = 2x - 1$：
$$y = 2 \times \dfrac{10}{7} - 1 = \dfrac{20}{7} - \dfrac{7}{7} = \dfrac{13}{7}$$
- 所以方程组的解为 $\begin{cases} x = \dfrac{10}{7} \ y = \dfrac{13}{7} \end{cases}$

【练习 2】★基础

用加减消元法解方程组：
$$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \ 2x - y = 1 \end{cases}$$

解析：
- 两个方程中 $x$ 的系数相同（都是 2），直接相减消去 $x$：
$$(2x + 3y) - (2x - y) = 7 - 1$$
$$4y = 6$$
$$y = \dfrac{3}{2}$$
- 将 $y = \dfrac{3}{2}$ 代入第二个方程：
$$2x - \dfrac{3}{2} = 1 \Rightarrow 2x = \dfrac{5}{2} \Rightarrow x = \dfrac{5}{4}$$
- 所以方程组的解为 $\begin{cases} x = \dfrac{5}{4} \ y = \dfrac{3}{2} \end{cases}$

【练习 3】★★中档

解方程组：
$$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \ 4x - 3y = 2 \end{cases}$$

解析：
- 用加减消元法，先消去 $y$。
- 第一个方程 × 3：$9x + 6y = 36$
- 第二个方程 × 2：$8x - 6y = 4$
- 相加：$17x = 40 \Rightarrow x = \dfrac{40}{17}$
- 将 $x = \dfrac{40}{17}$ 代入 $3x + 2y = 12$：
$$\dfrac{120}{17} + 2y = 12 \Rightarrow 2y = 12 - \dfrac{120}{17} = \dfrac{204 - 120}{17} = \dfrac{84}{17} \Rightarrow y = \dfrac{42}{17}$$
- 方程组的解为 $\begin{cases} x = \dfrac{40}{17} \ y = \dfrac{42}{17} \end{cases}$

【练习 4】★★中档

某校七年级一班和二班共 90 名同学参加植树活动。一班平均每人植树 3 棵，二班平均每人植树 4 棵，两个班共植树 315 棵。求一班和二班各有多少名同学。

解析：
- 设一班有 $x$ 名同学，二班有 $y$ 名同学。
$$\begin{cases} x + y = 90 \ 3x + 4y = 315 \end{cases}$$
- 由第一个方程得 $x = 90 - y$，代入第二个方程：
$$3(90 - y) + 4y = 315$$
$$270 - 3y + 4y = 315$$
$$y = 45$$
- $x = 90 - 45 = 45$
- 答：一班有 45 名同学，二班有 45 名同学。

【练习 5】★★中档

某车间有工人 22 名，已知每人每天可以生产螺钉 1200 个或螺母 2000 个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？

解析：
- 设 $x$ 名工人生产螺钉，$y$ 名工人生产螺母。
$$\begin{cases} x + y = 22 \ 2 \times 1200x = 2000y \end{cases}$$
- 即 $\begin{cases} x + y = 22 \ 2400x = 2000y \end{cases}$，化简第二式得 $6x = 5y$，即 $y = \dfrac{6}{5}x$。
- 代入第一式：$x + \dfrac{6}{5}x = 22 \Rightarrow \dfrac{11}{5}x = 22 \Rightarrow x = 10$
- $y = 22 - 10 = 12$
- 答：10 名工人生产螺钉，12 名工人生产螺母。

【练习 6】★★★提高

解三元一次方程组：
$$\begin{cases} x + y + z = 12 \ x - y + z = 6 \ 2x + y - z = 3 \end{cases}$$

解析：
- 第一个方程减第二个方程：$(x+y+z)-(x-y+z) = 12-6 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$
- 第一式加第三式：$(x+y+z)+(2x+y-z) = 12+3 \Rightarrow 3x + 2y = 15$
- 将 $y = 3$ 代入：$3x + 6 = 15 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$
- 将 $x = 3$，$y = 3$ 代入第一个方程：$3 + 3 + z = 12 \Rightarrow z = 6$
- 方程组的解为 $\begin{cases} x = 3 \ y = 3 \ z = 6 \end{cases}$

四、易错点提醒 ¶

消元时符号错误：加减消元时，两个方程相减要把第二个方程的各项整体变号，容易在负号上出错。建议用括号括起来再展开，如式① − 式②。
代入时只代一个方程：代入消元后求出一个未知数的值，必须代回原方程（不是消元后的方程）求另一个未知数，否则可能出错。
实际问题中方程的合理性：列方程组解决实际问题时，要注意设未知数后列出的方程是否正确反映了等量关系，且解要符合实际意义（如人数必须为正整数等）。
忘记检验或书写解的格式：解方程组时要注意结果的正确性，可以用检验环节确认，书写时应以 $\begin{cases} x = \cdots \ y = \cdots \end{cases}$ 的形式规范呈现。

第九章一元一次不等式和一元一次不等式组 ¶

本章考纲要求 ¶

本章在学生学习了一元一次方程的基础上，引入不等式的研究。考纲要求学生了解不等式的概念，掌握不等式的三条基本性质，理解不等式（组）的解和解集的概念，掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，能在数轴上表示解集，能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式（组）解决实际问题。本章重点是不等式性质的运用和求解不等式（组），应注意与方程的类比与区别。

一、核心概念 ¶

不等式：用符号 “$<$”、” $>$”、” $\leq$”、” $\geq$”、” $\neq$” 表示大小关系的式子叫做不等式。
不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。
一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式。一般形式为 $ax + b > 0$（或 $< 0$、$\geq 0$、$\leq 0$）（$a \neq 0$）。
一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
不等式组的解集：不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫做不等式组的解集。如果各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解。
解集的数轴表示：用数轴表示不等式的解集时，”$>$” 或 “$<$” 用空心圆圈（不含端点），”$\geq$” 或 “$\leq$” 用实心圆点（含端点），方向向右表示”大于”，向左表示”小于”。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

1. 不等式的基本性质
- 性质一：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。即若 $a > b$，则 $a \pm c > b \pm c$。
- 性质二：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即若 $a > b$，$c > 0$，则 $ac > bc$（或 $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$）。
- 性质三：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即若 $a > b$，$c < 0$，则 $ac < bc$（或 $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$）。

特别提醒：性质三是不等式独有的性质，也是最容易出错的地方。乘除负数后不等号必须变向。

2. 一元一次不等式的解法步骤
1. 去分母：不等式两边同乘各分母的最小公倍数（注意：每项都要乘，含分子上的多项式要加括号）。
2. 去括号：注意括号前的符号。
3. 移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边（注意变号）。
4. 合并同类项。
5. 系数化为 1：不等式两边同除以未知数的系数。注意：若系数为负数，不等号方向要改变。

3. 一元一次不等式组的解法步骤
1. 分别求出不等式组中各个不等式的解集。
2. 利用数轴求出这些解集的公共部分，即不等式组的解集。

4. 不等式组解集的取法规律（口诀）
设不等式组为 $\begin{cases} x > a \ x > b \end{cases}$（$a < b$），则解集为 $x > b$（同大取大）；
设不等式组为 $\begin{cases} x < a \ x < b \end{cases}$（$a < b$），则解集为 $x < a$（同小取小）；
设不等式组为 $\begin{cases} x > a \ x < b \end{cases}$（$a < b$），则解集为 $a < x < b$（大小取中间）；
设不等式组为 $\begin{cases} x < a \ x > b \end{cases}$（$a < b$），则解集为空集（无解，小小取大大取空）。

口诀：同大取大，同小取小，大小取中，小大无解。

三、必会练习 ¶

【练习 1】★基础

解不等式 $3x - 5 < 2x + 1$，并在数轴上表示解集。

解析：
$$3x - 2x < 1 + 5$$
$$x < 6$$
- 解集为 $x < 6$，在数轴上用空心圆圈标出 6 的位置，方向向左。

【练习 2】★基础

利用不等式的性质，填空（用 “$<$” 或 “$>$” 填空）：
（1）若 $a > b$，则 $a - 3$ _ $b - 3$；
（2）若 $a > b$，则 $-2a$ _ $-2b$；
（3）若 $a > b$，则 $3a$ ____ $3b$。

答案：（1）$>$；（2）$<$；（3）$>$

解析：
- （1）两边同减 3，不等号方向不变，填 $>$。
- （2）两边同乘 $-2$（负数），不等号方向改变，填 $<$。
- （3）两边同乘 3（正数），不等号方向不变，填 $>$。

【练习 3】★★中档

解不等式 $\dfrac{2x - 1}{3} \leq \dfrac{x + 1}{2} - 1$，并在数轴上表示解集。

解析：
- 去分母（两边同乘 6）：
$$2(2x - 1) \leq 3(x + 1) - 6$$
$$4x - 2 \leq 3x + 3 - 6$$
$$4x - 2 \leq 3x - 3$$
- 移项：
$$4x - 3x \leq -3 + 2$$
$$x \leq -1$$
- 解集为 $x \leq -1$，数轴上用实心圆点标出 $-1$，方向向左。

【练习 4】★★中档

解不等式组：
$$\begin{cases} 2x - 1 > 3(x - 1) \ \dfrac{x + 2}{2} \leq 4 \end{cases}$$

解析：
- 解第一个不等式：$2x - 1 > 3x - 3 \Rightarrow -x > -2 \Rightarrow x < 2$
- 解第二个不等式：$x + 2 \leq 8 \Rightarrow x \leq 6$
- 取公共部分：$x < 2$ 且 $x \leq 6$，由”同小取小”得解集为 $x < 2$。

【练习 5】★★中档

某商店购进一批商品，每件进价 30 元。如果每件定价 40 元，每天可卖出 500 件。市场调查发现，在定价不低于 40 元的前提下，每涨价 1 元，每天少卖出 10 件。要使每天利润不低于 7500 元，求每件商品的定价范围。

解析：
- 设每件涨价 $x$ 元（$x \geq 0$），则定价为 $40 + x$ 元，每天销量为 $500 - 10x$ 件。
- 每件利润为 $(40 + x) - 30 = 10 + x$ 元。
- 列不等式：$(10 + x)(500 - 10x) \geq 7500$
$$5000 - 100x + 500x - 10x^2 \geq 7500$$
$$-10x^2 + 400x + 5000 \geq 7500$$
$$-10x^2 + 400x - 2500 \geq 0$$
$$10x^2 - 400x + 2500 \leq 0$$
$$x^2 - 40x + 250 \leq 0$$
- 解方程 $x^2 - 40x + 250 = 0$，用求根公式：
$$x = \dfrac{40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2} = \dfrac{40 \pm \sqrt{600}}{2} = 20 \pm 5\sqrt{6}$$
$$5\sqrt{6} \approx 12.25$$
$$x_1 \approx 7.75, \quad x_2 \approx 32.25$$
- 所以 $7.75 \leq x \leq 32.25$。
- 定价范围：$40 + 7.75 = 47.75$ 到 $40 + 32.25 = 72.25$。
- 但由于 $x$ 应使销量非负（$500 - 10x \geq 0$ 即 $x \leq 50$），上述范围内已在约束内。
- 答：每件定价约在 47.8 元到 72.3 元之间时，日利润不低于 7500 元。

【练习 6】★★★提高

已知关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases} x - a > 0 \ 3 - 2x \geq 0 \end{cases}$ 无解，求实数 $a$ 的取值范围。

解析：
- 解第一个不等式：$x > a$，即 $x \in (a, +\infty)$。
- 解第二个不等式：$2x \leq 3 \Rightarrow x \leq \dfrac{3}{2}$，即 $x \in \left(-\infty, \dfrac{3}{2}\right]$。
- 若不等式组无解（无公共部分），需 $(a, +\infty) \cap \left(-\infty, \dfrac{3}{2}\right] = \varnothing$。
- 即 $a \geq \dfrac{3}{2}$。
- 当 $a = \dfrac{3}{2}$ 时，$x > \dfrac{3}{2}$ 与 $x \leq \dfrac{3}{2}$ 无公共部分，无解。
- 所以 $a$ 的取值范围是 $a \geq \dfrac{3}{2}$，即 $a \in \left[\dfrac{3}{2}, +\infty\right)$。

四、易错点提醒 ¶

不等式两边乘（除）负数忘记变号：这是最常见错误。牢记性质三：乘除负数，不等号方向必须改变。解不等式到”系数化为 1”这一步时格外注意。
去分母时漏乘某些项或忘记加括号：去分母时每一项都要乘以最小公倍数，当分子是多项式时必须加括号，否则符号会出错。
不等式组取解集方向搞反：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分。需要借助数轴来确定，不要凭空判断。牢记”同大取大、同小取小、大小取中间、小大无解”的口诀。
解集端点的开闭（空心圆与实心圆点）：”$<$”和”$>$”用空心圆圈（不包含端点），”$\leq$”和”$\geq$”用实心圆点（包含端点），在数轴表示时一定注意区分。

第十章数据的收集、整理与描述 ¶

本章考纲要求 ¶

本章是统计学的入门章节。考纲要求学生了解全面调查和抽样调查的特点及适用范围，理解总体、个体、样本、样本容量等概念；掌握条形图、扇形图、折线图等统计图表的制作与阅读；掌握频数分布直方图的制作方法；理解用样本估计总体的统计思想，能根据统计数据做出合理的判断和预测。本章重点在于统计思想的理解和图表的制作与解读。

一、核心概念 ¶

全面调查（普查）：考察全体对象的调查叫做全面调查。优点是结果精确；缺点是工作量大、费时费力，有时具有破坏性时不宜采用。
抽样调查：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种调查称为抽样调查。优点是节省时间、人力、物力；缺点是结果不够精确，存在误差。
总体：所要考察的全体对象叫做总体。
个体：组成总体的每一个考察对象叫做个体。
样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量（注意：样本容量是一个数，不带单位）。
简单随机抽样：在抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到的抽样方法叫做简单随机抽样。
频数：对数据进行分组后，落在每个小组内的数据个数叫做该组的频数。
频率：每个小组的频数与数据总数的比值叫做该组的频率。频率 = 频数 ÷ 数据总数，各组的频率之和等于 1。
组距：把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）叫做组距。
组数：分成的组的个数叫做组数。组数 = 最大值与最小值的差 ÷ 组距（通常向上取整）。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

1. 统计图表的特点与用途
- 条形统计图：能够清楚地显示每组中的具体数据，易于比较数据间的差异。但不能反映数据的变化趋势。
- 扇形统计图：能够清楚地反映出各部分在总体中所占的百分比。扇形的圆心角 $= 360° \times \text{该部分的百分比}$。但不能显示具体数据量的大小。
- 折线统计图：能够清楚地反映数据随时间的变化趋势。适合表示随时间变化的数据。
- 频数分布直方图：能够直观地展示数据的分布情况，反映数据在各范围内的频数分布。

2. 扇形统计图中圆心角的计算
$$\text{扇形圆心角} = 360° \times \frac{\text{该部分的频数}}{\text{总频数}} = 360° \times \text{该部分的百分比}$$

3. 频数与频率的关系
$$\text{频率} = \frac{\text{频数}}{\text{数据总数}} \qquad \text{频数} = \text{频率} \times \text{数据总数}$$
$$\text{所有组的频率之和} = 1$$

4. 频数分布直方图的制作步骤
1. 计算最大值与最小值的差（极差）：$R = \text{最大值} - \text{最小值}$。
2. 决定组距与组数：组距根据数据特点确定（一般取整），组数 $\approx \dfrac{\text{极差}}{\text{组距}}$，向上取整。通常分 5～12 组。
3. 列频数分布表：确定各组的分点（注意：通常采用”左闭右开”的原则，即每组包含左端点不包含右端点，最后一组除外），统计每组的频数。
4. 画频数分布直方图：横轴表示数据分组，纵轴表示频数，以各组组距为底、频数为高画小矩形。

5. 用样本估计总体
- 当样本具有代表性（样本容量适当、抽样方法科学）时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布，用样本的平均数、百分比等估计总体的相应特征。这是统计的基本思想之一。
- 样本容量越大，样本对总体的估计就越精确，但工作量也越大。

三、必会练习 ¶

【练习 1】★基础

下列调查中，适合全面调查的是（），适合抽样调查的是（）
① 了解全国中学生的身高情况
② 对载人航天器零部件的检查
③ 了解一批灯泡的使用寿命
④ 学校对全校学生进行视力检查

答案：适合全面调查的是②④；适合抽样调查的是①③。

解析：
- ②航天器零部件检查要求精确，必须全面调查；④全校学生视力检查对象有限，适合全面调查。
- ①全国中学生人数众多，适合抽样调查；③灯泡检查有破坏性，适合抽样调查。

【练习 2】★基础

某中学为了解该校 2000 名学生的视力情况，从中随机抽取了 200 名学生进行视力检查。指出此项调查中的总体、个体、样本和样本容量。

解析：
- 总体：该校 2000 名学生的视力情况。
- 个体：该校每一名学生的视力情况。
- 样本：从中抽取的 200 名学生的视力情况。
- 样本容量：200（注意不带单位”名”）。

【练习 3】★★中档

某班 40 名同学在一次数学测验中的成绩如下（单位：分）：

65, 72, 85, 90, 78, 56, 88, 95, 62, 73, 80, 84, 70, 68, 92, 76, 82, 88, 74, 66, 78, 86, 90, 72, 84, 77, 80, 94, 68, 72, 85, 76, 82, 79, 88, 96, 70, 75, 82, 86

（1）若组距为 10 分，请列出频数分布表；
（2）绘制频数分布直方图。

解析：
- 极差：$96 - 56 = 40$，组距为 10，组数 $= 40 \div 10 = 4$ 组。
- 分组（左闭右开）：

分组（分）	频数
$55 \leq x < 65$	2
$65 \leq x < 75$	10
$75 \leq x < 85$	12
$85 \leq x \leq 96$	16

合计：$2 + 10 + 12 + 16 = 40$（验证正确）。
频数分布直方图：横轴标出各分数段，纵轴为频数，画出各小矩形（高度分别为 2、10、12、16）。

【练习 4】★★中档

某校对七年级学生上学方式进行调查，结果如下：步行 60 人，骑车 90 人，乘车 120 人，其他 30 人，总计 300 人。
（1）求各种上学方式所占的百分比；
（2）若制作扇形统计图，求”骑车”对应的扇形圆心角的度数。

解析：
- （1）
- 步行：$60 \div 300 \times 100\% = 20\%$
- 骑车：$90 \div 300 \times 100\% = 30\%$
- 乘车：$120 \div 300 \times 100\% = 40\%$
- 其他：$30 \div 300 \times 100\% = 10\%$
- （2）”骑车”对应的圆心角 $= 360° \times 30\% = 108°$。

【练习 5】★★中档

为了解某市居民家庭月均用水量情况，有关部门随机抽取了 500 户居民进行调查，得到如下频数分布表（部分数据缺失）：

月均用水量（吨）	频数（户）	频率
$0 \leq x < 5$	100	0.20
$5 \leq x < 10$	200	?
$10 \leq x < 15$	?	0.30
$15 \leq x < 20$	50	0.10

（1）补全频数分布表；
（2）若该市共有 10 万户居民，估计月均用水量在 10 吨及以上的居民户数。

解析：
- （1）
- $5 \leq x < 10$ 组的频率 $= 200 \div 500 = 0.40$
- $10 \leq x < 15$ 组的频数 $= 0.30 \times 500 = 150$
- 验证：$100 + 200 + 150 + 50 = 500$，$0.20 + 0.40 + 0.30 + 0.10 = 1.00$ ✓

月均用水量（吨）	频数（户）	频率
$0 \leq x < 5$	100	0.20
$5 \leq x < 10$	200	0.40
$10 \leq x < 15$	150	0.30
$15 \leq x < 20$	50	0.10

（2）月均用水量 $\geq 10$ 吨的频率 $= 0.30 + 0.10 = 0.40$。
估计户数 $= 100000 \times 0.40 = 40000$ 户。
答：估计该市月均用水量在 10 吨及以上的约有 4 万户。

【练习 6】★★★提高

某校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了部分学生一周内的课外阅读时间（单位：小时），绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图：

已知阅读时间在 $6 \leq t < 8$ 小时的有 15 人，对应扇形的圆心角为 $54°$。

（1）求本次调查的总人数及阅读时间在 $4 \leq t < 6$ 小时对应扇形的圆心角度数（已知该组有 40 人）；
（2）若该校有学生 1200 人，请估计一周课外阅读时间不少于 6 小时的学生人数。

解析：
- （1）
- $6 \leq t < 8$ 组有 15 人，对应圆心角 $54°$，则总人数 $= 15 \div \dfrac{54°}{360°} = 15 \times \dfrac{360}{54} = 15 \times \dfrac{20}{3} = 100$ 人。
- $4 \leq t < 6$ 组有 40 人，频率 $= 40 \div 100 = 0.40$，圆心角 $= 360° \times 0.40 = 144°$。
- （2）阅读时间 $\geq 6$ 小时的学生频率 $= \dfrac{54°}{360°} +$（$8$ 小时以上组的占比）。
- 假设 $8 \leq t < 10$ 组人数为 $100 - 15 - 40 -$ 其他组人数。须根据图形数据计算，若 $8 \leq t$ 及以上组的合计频数已知，则代入计算。
- 一般做法：$t \geq 6$ 的频率 $= \dfrac{54°}{360°} + \dfrac{\text{8小时以上组人数}}{100}$，然后 $1200 \times \text{该频率}$ 即为估计值。

解题关键：利用”扇形圆心角 $÷ 360° = \text{该组频率}$”在直方图和扇形图之间建立联系，从而求出缺失数据。

四、易错点提醒 ¶

混淆总体、个体、样本、样本容量：总体和个体都是指”考察的某些指标”而非”人或物”本身；样本容量是一个不带单位的数。例如总体是”2000名学生的视力情况”，不能说成”2000名学生”。
全面调查与抽样调查的选择不当：有破坏性的调查（如灯泡使用寿命、炮弹杀伤力）必须用抽样；要求精确度高的（如航天器零件检查、人口普查）宜用全面调查；数量庞大的也通常用抽样。
频数分布直方图中”左闭右开”原则：各组的分点归属要注意，通常约定左端点包含、右端点不包含（即 $[a, b)$），只有最后一组包含右端点。否则数据落在端点时容易重复计数或遗漏。
频率之和为 1：所有组的频率之和应等于 1（或 100%），这是检验频数分布表是否正确的重要方法。做题时要注意用此关系进行检验或求缺失数据。

说明：本指南覆盖人教版七年级下册第五章至第十章全部内容，紧扣 2022 版课标要求，建议结合教材同步使用，重点掌握定理运用和易错点规避。各章练习题难度由基础到提高递进，覆盖必备考点，适合复习巩固与预习提升。

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