20260726 155249 初中数学九年级上册学习指南

初中数学·九年级上册学习指南 ¶

本指南依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》最新考纲要求，按人教版九年级上册教材章节顺序编写，面向初中生复习与中考备考。九年级上册共五章内容，其中第二十一章一元二次方程、第二十二章二次函数、第二十四章圆均为中考重点，二次函数常作为压轴大题，圆的综合题是几何证明的重头戏，需要重点突破。

提示：圆的几何证明要注重”已知—求证—证明”的规范书写；二次函数题要数形结合、注意分类讨论；一元二次方程注意检验实际意义；概率题优先判断”两步用列表、三步及以上用树状图”。

学习内容概览 ¶

章节	章节名	核心考点	中考地位
第二十一章	一元二次方程	三种解法、根的判别式Δ、韦达定理、实际应用	重点
第二十二章	二次函数	图象与性质、图象变换、与方程关系、最值问题	★压轴重点
第二十三章	旋转	旋转性质、中心对称、关于原点对称的坐标	常考
第二十四章	圆	垂径定理、圆周角定理、切线、弧长扇形面积、正多边形	★重点
第二十五章	概率初步	古典概型、列举法、列表法、树状图法、频率估计	常考

第二十一章一元二次方程 ¶

本章考纲要求 ¶

一元二次方程是初中代数的核心内容，也是后续学习二次函数、不等式、高次方程的工具。中考中常以选择、填空、解答题形式出现，重点考查解法（配方法、公式法、因式分解法）、根的判别式应用、韦达定理及实际应用问题。2022版课标将”根与系数的关系（韦达定理）”重新纳入必学内容（此前为选学/阅读材料），务必掌握。

一、核心概念 ¶

一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程。
一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。其中 a 叫二次项系数，b 叫一次项系数，c 叫常数项。
一元二次方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值。
直接开平方法：对形如 (x + p)² = q（q ≥ 0）的方程，直接开平方求解：x + p = ±√q。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

配方法：通过配方将一般形式方程化为 (x + p)² = q 的形式再开平方。配方步骤：移常数项 → 二次项系数化为 1 → 两边加上一次项系数一半的平方 → 开方求解。
公式法（求根公式）：当 b² − 4ac ≥ 0 时，一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的求根公式为
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
因式分解法：若方程可化为 (x − x₁)(x − x₂) = 0，则 x = x₁ 或 x = x₂。常用十字相乘法、提公因式法、平方差公式等。
根的判别式：Δ = b² − 4ac
- Δ > 0 ⇔ 有两个不相等的实数根
- Δ = 0 ⇔ 有两个相等的实数根
- Δ < 0 ⇔ 没有实数根
韦达定理（根与系数的关系）：若 x₁、x₂ 是一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的两个实数根（需 Δ ≥ 0），则
- x₁ + x₂ = −b/a
- x₁ · x₂ = c/a

三、必会练习 ¶

★基础　用配方法解方程 x² − 4x − 5 = 0。
解析：移项得 x² − 4x = 5；两边加 4 得 (x − 2)² = 9；开方得 x − 2 = ±3；x₁ = 5，x₂ = −1。
★基础　用公式法解方程 2x² + 3x − 2 = 0。
解析：a = 2，b = 3，c = −2，Δ = 9 − 4×2×(−2) = 25 > 0，x = (−3 ± 5) / 4，x₁ = 1/2，x₂ = −2。
★基础　用因式分解法解方程 x² − 5x + 6 = 0。
解析：(x − 2)(x − 3) = 0，x₁ = 2，x₂ = 3。
★★中档　已知关于 x 的方程 x² − 2mx + m² − 1 = 0 有两个实数根，求 m 的取值范围。
解析：Δ = (−2m)² − 4(m² − 1) = 4m² − 4m² + 4 = 4 > 0 恒成立，故 m 为任意实数时方程均有两个不相等的实数根。
★★中档　已知方程 2x² − 3x − 1 = 0 的两根为 x₁、x₂，求 x₁² + x₂² 的值。
解析：由韦达定理，x₁ + x₂ = 3/2，x₁x₂ = −1/2。x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = (3/2)² − 2×(−1/2) = 9/4 + 1 = 13/4。
★★★提高　某商品进价 40 元/件，按 50 元出售时每月可售出 500 件。售价每提高 1 元，月销量减少 10 件。要使每月利润达到 8000 元，售价应定为多少元？
解析：设每件提价 x 元，则售价为 (50 + x) 元，销量为 (500 − 10x) 件。利润 (50 + x − 40)(500 − 10x) = 8000，即 (10 + x)(500 − 10x) = 8000，整理得 x² − 40x + 300 = 0，解得 x = 10 或 x = 30。经检验销量 500 − 10x ≥ 0（x ≤ 50）均成立，故售价定为 60 元或 80 元。

四、易错点提醒 ¶

一元二次方程必须满足 a ≠ 0，求参数取值时要检验是否使二次项系数为 0。
使用求根公式和韦达定理前必须把方程化为一般形式，注意 b、c 的正负号。
韦达定理的前提是方程有实数根（Δ ≥ 0），否则不成立；求含参方程的两根时勿忘先算判别式。
实际问题（销售、行程等）求出的根要检验是否符合实际意义（价格非负、销量非负、边长为正等）。

第二十二章二次函数 ¶

本章考纲要求 ¶

二次函数是初中代数的最高峰，更是中考压轴题的”常客”，常与几何图形、动点问题、最值问题综合考查。重点掌握二次函数的概念、图象与性质、y = a(x−h)²+k 的图象变换、二次函数与一元二次方程的关系，以及利用二次函数解决实际最值问题。

一、核心概念 ¶

二次函数：形如 y = ax² + bx + c（a、b、c 为常数，a ≠ 0）的函数称为二次函数。其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
抛物线：二次函数的图象是一条抛物线，是轴对称图形。
顶点式：y = a(x − h)² + k，顶点为 (h, k)，对称轴为直线 x = h。
对称轴：直线 x = −b/(2a)，即顶点横坐标所在直线。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

二次函数 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的性质：
- 顶点坐标：(−b/(2a), (4ac − b²)/(4a))
- 对称轴：直线 x = −b/(2a)
- a > 0 时开口向上，在顶点处取最小值；a < 0 时开口向下，在顶点处取最大值。
- a > 0 时：x < −b/(2a) 时 y 随 x 增大而减小，x > −b/(2a) 时 y 随 x 增大而增大；a < 0 时单调性相反。
图象变换（平移）：由 y = ax² 得到 y = a(x − h)² + k 的规律——“左加右减，上加下减”，即向右（h > 0）/向左（h < 0）平移 |h| 个单位，再向上（k > 0）/向下（k < 0）平移 |k| 个单位。注意平移针对括号内的整体 x。
系数 a、b、c 的符号判断：
- a 由开口方向决定；
- b 由对称轴位置决定：对称轴在 y 轴左侧 ⇒ a、b 同号；在右侧 ⇒ a、b 异号（口诀”左同右异”）；
- c 由与 y 轴交点位置决定（图象与 y 轴交于 (0, c)）；
- b² − 4ac 的符号由与 x 轴交点个数决定；
- a + b + c 是 x = 1 时的函数值，a − b + c 是 x = −1 时的函数值。
二次函数与一元二次方程的关系：抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴交点的横坐标，即方程 ax² + bx + c = 0 的根。
- Δ > 0 ⇔ 抛物线与 x 轴有 2 个交点；
- Δ = 0 ⇔ 有 1 个交点（顶点在 x 轴上）；
- Δ < 0 ⇔ 无交点。
用二次函数求最值：a > 0 时顶点纵坐标为最小值，a < 0 时为最大值（定义域为全体实数时）。若实际问题的自变量有范围限制（定义域为闭区间），需比较顶点值与端点值，最值不一定在顶点处取得。

三、必会练习 ¶

★基础　求二次函数 y = x² − 4x + 3 的顶点坐标和对称轴。
解析：x = −b/(2a) = 4/2 = 2，y = 4 − 8 + 3 = −1。顶点为 (2, −1)，对称轴为直线 x = 2。
★基础　将抛物线 y = x² 先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，求平移后的解析式。
解析：y = (x − 2)² + 1。
★★中档　已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象开口向下，对称轴为直线 x = −1，与 x 轴交于 (−3, 0) 和 (1, 0) 两点。判断以下结论的正确性：① abc > 0；② 2a − b = 0；③ 4a − 2b + c > 0；④ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小。
解析：可设 y = a(x + 3)(x − 1) = a(x² + 2x − 3) = ax² + 2ax − 3a，故 b = 2a，c = −3a。又开口向下，a < 0。
- ① abc = a·2a·(−3a) = −6a³，因 a < 0 ⇒ a³ < 0 ⇒ −6a³ > 0，正确；
- ② b = 2a ⇒ 2a − b = 0，正确；
- ③ x = −2 在两根 (−3, 1) 之间，开口向下时图象在 x 轴上方，故 y(−2) = 4a − 2b + c > 0，正确；
- ④ 对称轴 x = −1，开口向下 ⇒ x < −1 时 y 随 x 增大而增大，−1 < x < 0 时 y 随 x 增大而减小。故”x < 0 时单调减小”错误。
综上，正确的是 ①②③。
★★中档　抛物线 y = −x² + 2x + 3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于 C 点，求 △ABC 的面积。
解析：令 y = 0，−x² + 2x + 3 = 0 ⇒ x² − 2x − 3 = 0 ⇒ (x − 3)(x + 1) = 0 ⇒ x = −1 或 x = 3，故 A(−1, 0)、B(3, 0)。令 x = 0 得 y = 3，故 C(0, 3)。AB = 3 − (−1) = 4，C 到 AB（x 轴）的距离为 3。S△ABC = 1/2 × 4 × 3 = 6。
★★★提高　某商品成本为 10 元/件，售价为 p 元时销量为 q 件，且 q = −2p + 60（p 为正整数，q > 0）。售价定为多少时利润最大？最大利润是多少？
解析：利润 W = (p − 10)q = (p − 10)(−2p + 60) = −2p² + 80p − 600 = −2(p − 20)² + 200。开口向下，当 p = 20 时 W 取最大值 200。又 q = −2×20 + 60 = 20 > 0 符合题意，故售价定为 20 元，最大利润为 200 元。

四、易错点提醒 ¶

顶点纵坐标公式为 (4ac − b²)/(4a)，注意分子是 4ac − b² 而不是 b² − 4ac，符号易错。
平移规律”左加右减”针对的是括号内的整体 x，配方成顶点式后再判断平移更稳妥。
求最值时务必关注实际问题的自变量取值范围，有范围限制时最值可能在端点处而非顶点处。
二次项系数 a ≠ 0；含参二次函数问题中，若题目说”一次函数”则要讨论 a = 0 的情形。

第二十三章旋转 ¶

本章考纲要求 ¶

图形的旋转是三大图形变换（平移、旋转、轴对称）之一，中考常结合坐标系考查中心对称及关于原点对称的点的坐标，也常与全等三角形、特殊四边形综合出旋转证明题。要求理解旋转的概念与性质，掌握中心对称与中心对称图形的区别，会求关于原点对称的点的坐标。

一、核心概念 ¶

旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度的图形变换。点 O 叫旋转中心，转动的角叫旋转角。
中心对称：把一个图形绕某一点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫对称中心。
中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

旋转的性质：
- 对应点到旋转中心的距离相等；
- 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
- 旋转前、后的图形全等（对应线段相等，对应角相等）。
中心对称的性质：
- 关于中心对称的两个图形是全等图形；
- 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分。
关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标互为相反数。即点 P(x, y) 关于原点的对称点为 P′(−x, −y)。

三、必会练习 ¶

★基础　点 P(2, −3) 关于原点对称的点 P′ 的坐标是？
解析：P′(−2, 3)。
★基础　下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　）。
A. 等边三角形　B. 平行四边形　C. 矩形　D. 正五边形
解析：等边三角形是轴对称不是中心对称；平行四边形是中心对称不是轴对称；矩形既是轴对称又是中心对称；正五边形是轴对称不是中心对称。选 C。
★★中档　在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为 A(1, 1)、B(3, 1)、C(2, 3)，画出△ABC 绕原点 O 旋转 180° 后的图形△A′B′C′，并写出各顶点坐标。
解析：绕原点旋转 180° 即关于原点对称，故 A′(−1, −1)、B′(−3, −1)、C′(−2, −3)。
★★★提高　如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，BE = 2，CE = 6。将△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到△ADF（点 F 落在 CD 延长线方向上）。求 AF 的长及△AEF 的面积。
解析：正方形边长 AB = BE + CE = 8。旋转前 △ABE 中 AB = 8、BE = 2、∠ABE = 90°，故 AE = √(8² + 2²) = √68 = 2√17，且旋转不改变线段长度，AF = AE = 2√17。旋转角为 90°，对应边 AB 旋转到 AD，故 ∠EAF = ∠BAD = 90°，于是 △AEF 是以 AE、AF 为直角边的直角三角形。S△AEF = 1/2·AE·AF = 1/2×(2√17)² = 1/2×68 = 34。

四、易错点提醒 ¶

中心对称图形与轴对称图形要区分清楚：圆、矩形、菱形、正方形既是轴对称又是中心对称；等边三角形、正五边形只是轴对称而非中心对称。
三种对称的坐标规律不要混淆：关于 x 轴对称 → y 变号；关于 y 轴对称 → x 变号；关于原点对称 → x、y 都变号。
旋转前后图形全等，做旋转综合题要善用”对应线段相等、对应角相等”以及旋转角来构造全等三角形。

第二十四章圆 ¶

本章考纲要求 ¶

圆是初中几何的重要内容，中考中分值占比高，常作为几何证明与计算的综合大题。本章要求系统掌握圆的有关概念与性质，熟练运用垂径定理及推论、弧弦圆心角的关系、圆周角定理及推论，掌握点与圆、直线与圆的位置关系，理解切线的判定与性质、切线长定理、三角形内切圆，会进行正多边形与圆的相关计算，并运用弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积公式解决实际问题。

一、核心概念 ¶

圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。定点为圆心，定长为半径。
弦：连接圆上任意两点的线段。直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。
弧：圆上任意两点间的部分。大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。
圆心角：顶点在圆心的角；圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。
圆锥：圆锥的侧面展开图是扇形。圆锥的母线长 l 即展开扇形的半径，圆锥底面圆周长即展开扇形的弧长。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）；90° 的圆周角所对的弦是直径。
点与圆的位置关系（设圆半径为 r，点到圆心距离为 d）：d > r 在圆外，d = r 在圆上，d < r 在圆内。
直线与圆的位置关系（设圆半径为 r，圆心到直线的距离为 d）：d > r 相离，d = r 相切，d < r 相交。
切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
三角形内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，圆心是三条角平分线的交点（内心）。直角三角形内切圆半径 r = (a + b − c)/2（a、b 为直角边，c 为斜边）。
正多边形与圆：正 n 边形有唯一的外接圆和内切圆，两圆同心。中心角 = 360°/n。正六边形的外接圆半径 = 边长。
弧长公式：l = nπr/180（n 为圆心角度数，r 为半径）。
扇形面积公式：S = nπr²/360 = (1/2)·lr（l 为弧长）。
圆锥侧面积：S侧 = πrl（r 为底面半径，l 为母线长）。
圆锥全面积：S全 = πrl + πr² = πr(r + l)。

三、必会练习 ¶

★基础　一个圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，求这个圆锥的侧面积和全面积。
解析：S侧 = πrl = π×3×5 = 15π；S全 = 15π + π×3² = 15π + 9π = 24π。
★★中档（垂径定理）　已知⊙O 的半径为 5，弦 AB = 8，求圆心 O 到弦 AB 的距离。
解析：过 O 作 OC ⊥ AB 于 C，由垂径定理 AC = AB/2 = 4。在 Rt△OAC 中，OC = √(OA² − AC²) = √(25 − 16) = 3。
★★中档（圆周角定理）　如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，∠ABC = 30°，求∠BAC 的度数。
解析：AB 是直径 ⇒ ∠ACB = 90°（直径所对圆周角为直角）。在 Rt△ABC 中，∠BAC = 90° − ∠ABC = 90° − 30° = 60°。
★★中档（三角形内切圆）　在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，求△ABC 内切圆的半径。
解析：斜边 c = √(3² + 4²) = 5。直角三角形内切圆半径 r = (a + b − c)/2 = (3 + 4 − 5)/2 = 1。（也可用面积法：S△ = 1/2×3×4 = 6 = 1/2·r·(3+4+5) = 6r，r = 1。）
★★中档（弧长与扇形面积）　已知扇形的圆心角为 120°，半径为 6。求（1）扇形的弧长；（2）扇形的面积。
解析：（1）l = nπr/180 = 120×π×6/180 = 4π。（2）S = nπr²/360 = 120×π×6²/360 = 12π（也可用 S = (1/2)·lr = (1/2)×4π×6 = 12π 验证）。
★★中档（正多边形与圆）　若正六边形的边长为 2，求它的外接圆半径、内切圆半径和面积。
解析：正六边形外接圆半径 R = 边长 = 2。内切圆半径 r = R·cos30° = 2×(√3/2) = √3。面积 S = (1/2)·C·r = (1/2)×(6×2)×√3 = 6√3。
★★★提高（切线证明规范书写）　如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 与过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，AD 交⊙O 于点 E。求证：AC 平分∠DAB。

证明：连接 OC。
- 因为 CD 切⊙O 于点 C，OC 为过切点的半径，
- 所以 OC ⊥ CD（切线性质定理）。
- 又 AD ⊥ CD（已知），
- 所以 AD ∥ OC（垂直于同一直线的两直线平行）。
- 所以 ∠DAC = ∠ACO（两直线平行，内错角相等）。
- 又 OA = OC（⊙O 的半径），
- 所以 ∠CAO = ∠ACO（等边对等角）。
- 所以 ∠DAC = ∠CAO（等量代换）。
- 即 AC 平分∠DAB。证毕。

★★★提高（切线长定理）　如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 为切点，∠APB = 60°，⊙O 半径为 3，求 PA 的长及 AB 的长。
解析：由切线长定理 PA = PB，且 PO 平分∠APB，故∠APO = 30°。在 Rt△PAO 中（OA ⊥ PA 切线性质），OA = 3，∠APO = 30°，故 PO = 2·OA = 6，PA = √(PO² − OA²) = √(36 − 9) = √27 = 3√3。连接 AB，由切线长定理四边形 OAPB 中可证△OAB 为等边三角形（∠AOB = 180° − ∠APB = 120°？需重算：四边形 OAPB 中∠OAP = ∠OBP = 90°，故∠AOB + ∠APB = 180°，∠AOB = 120°），AB = 2·OA·sin(∠AOB/2) = 2×3×sin60° = 6×(√3/2) = 3√3。

四、易错点提醒 ¶

垂径定理推论”平分弦的直径垂直于弦”的前提是这条弦不是直径，否则结论不成立。
切线的判定与性质不要混淆：判定要证”过半径外端且垂直于这条半径”，性质是”切线垂直于过切点的半径”。证明切线时常连切点与圆心，利用半径垂直关系。
圆周角定理要强调”在同圆或等圆中”“同弧或等弧”，且圆周角等于同弧所对圆心角的一半。
圆锥公式中侧面积用母线长 l，全面积 = 侧面积 + 底面积（πr²），切勿张冠李戴；扇形面积既可用角度公式也可用 (1/2)·lr，注意弧长与扇形面积的统一。

必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，概率为 1。
不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，概率为 0。
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
概率：刻画随机事件发生可能性大小的数值，记为 P(A)，0 ≤ P(A) ≤ 1。
频率：在 n 次重复试验中，事件 A 发生了 m 次，则 m/n 称为事件 A 发生的频率。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

古典概型概率公式：如果一次试验中所有结果出现的可能性相等，那么事件 A 的概率
P(A) = 事件 A 包含的结果数 / 所有等可能结果总数。
- 0 ≤ P(A) ≤ 1；必然事件 P = 1，不可能事件 P = 0。
列表法：适用于一次试验涉及两个因素（两步）的情况（如两个转盘、先后两次操作等）。通过列表列出所有等可能结果再计数。
树状图法：适用于一次试验涉及三个或三个以上因素（多步）的情况。从第一步开始逐层分支，列出所有等可能结果。
选择原则：两步用列表法，三步及以上必须用树状图法。
用频率估计概率：在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在一个常数附近，这个常数可作为该事件概率的估计值。试验次数越多，频率越接近概率。

三、必会练习 ¶

★基础　掷一枚质地均匀的骰子，求朝上的点数大于 4 的概率。
解析：大于 4 的点数有 5、6 共 2 种，总结果 6 种，P = 2/6 = 1/3。
★★中档（列表法）　甲、乙两人分别从 A、B、C 三个景点中随机选一个游览，用列表法求两人选到同一景点的概率。

甲＼乙	A	B	C
A	(A,A)	(A,B)	(A,C)
B	(B,A)	(B,B)	(B,C)
C	(C,A)	(C,B)	(C,C)

解析：共 9 种等可能结果，两人选到同一景点的有 (A,A)、(B,B)、(C,C) 共 3 种，P = 3/9 = 1/3。

★★中档（一次性摸球的列举）　一个口袋中有 3 个红球、2 个白球，它们除颜色外完全相同。从口袋中一次性摸出 2 个球，求摸出的 2 个球恰好一红一白的概率。
解析：记 3 个红球为 R₁、R₂、R₃，2 个白球为 W₁、W₂。一次性摸出 2 个球的所有可能结果共 C(5,2) = 10 种（一一列举：R₁R₂、R₁R₃、R₂R₃、R₁W₁、R₁W₂、R₂W₁、R₂W₂、R₃W₁、R₃W₂、W₁W₂），其中一红一白有 6 种，P = 6/10 = 3/5。
（说明：本题是”一次性摸出”，不能用列表法，需列举所有组合；若改为”不放回摸两次”则可用列表法，结果相同。）
★★中档（树状图法）　甲、乙、丙三人分别从 A、B、C 三个景点中随机选一个游览，用树状图法求三人都选到同一景点的概率。
解析：树状图三层分支，每人 3 种选择，共 3×3×3 = 27 种等可能结果。三人都选同一景点的有 (A,A,A)、(B,B,B)、(C,C,C) 共 3 种，P = 3/27 = 1/9。
★★★提高　甲、乙两人玩”石头、剪刀、布”游戏（每人每次只能出一种），用画树状图法求甲获胜的概率。
解析：树状图共 3×3 = 9 种等可能结果。甲获胜的情况有：(石头, 剪刀)、(剪刀, 布)、(布, 石头) 共 3 种，P = 3/9 = 1/3。同理乙胜的概率为 1/3，平局概率为 1/3。

四、易错点提醒 ¶

列表法只适用于两步（两因素）试验，三步及以上必须用树状图，切勿错用。
注意”放回”与”不放回”对结果总数的影响：放回时总结果数不变，不放回时第二步可选数量减少。
“一次性摸出”与”逐次摸”的区别：一次性摸出 2 球是组合问题，需注意 (A,B) 与 (B,A) 是同一种结果，不能重复计数。
概率取值范围为 0 到 1；用列表或树状图前要确认所有结果是否等可能，结果总数务必数全不遗漏。

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