20260726 155249 初中数学八年级下册学习指南

初中数学·八年级下册学习指南 ¶

本学习指南依据《义务教育数学课程标准（2022 年版）》与人教版教材编写，面向初中生复习与预习。内容覆盖八年级下册全部五章核心考点，每章按”考纲要求—核心概念—定理公式—必会练习—易错点提醒”结构组织，力求准确严谨、贴近考试。

学习内容概览 ¶

章节	核心考点
第十六章二次根式	二次根式的概念与有意义的条件；二次根式的性质；二次根式的乘除、加减运算；分母有理化
第十七章勾股定理	勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数；勾股定理在几何计算与实际问题中的应用
第十八章平行四边形	平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定；三角形中位线定理
第十九章一次函数	常量与变量；函数的概念与图象；正比例函数；一次函数的图象与性质；一次函数与方程/不等式；一次函数应用与方案选择
第二十章数据的分析	平均数（加权平均数）；中位数与众数；方差与标准差；用样本估计总体

第十六章二次根式 ¶

本章考纲要求 ¶

二次根式是初中代数运算的重要组成部分。2022 版课标要求：理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的四则运算（加、减、乘、除），能将 non-fully-rational 的二次根式化简并完成分母有理化。本章是后续学习一元二次方程、二次函数等知识的基础，在中考中以化简求值、计算的填空或选择题型出现频率较高。

一、核心概念 ¶

二次根式：形如 $\sqrt{a}\;(a \geq 0)$ 的式子叫做二次根式。其中 $a$ 叫做被开方数，”$\sqrt{\;}$” 叫做二次根号。
关键点：被开方数 $a$ 必须是非负数，即 $a \geq 0$；二次根式 $\sqrt{a}$ 本身表示的是一个非负数，即 $\sqrt{a} \geq 0$。
二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于零。若式子中含有多个二次根式，则需每个二次根式的被开方数都非负，若还有分母，还需满足分母不为零。
最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式：
1. 被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）；
2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即不含能开方的因数）。
同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式。
分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。常用方法是将分子、分母同乘以分母的有理化因式。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

二次根式的基本性质（$a \geq 0$）：
- $\sqrt{a} \geq 0$，且 $a \geq 0$；
- $(\sqrt{a})^2 = a$（$a \geq 0$）；
- $\sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} a, & a \geq 0 \ -a, & a < 0 \end{cases}$。
二次根式的乘法：$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a \geq 0$，$b \geq 0$）。
二次根式的除法：$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a \geq 0$，$b > 0$）。
二次根式的加减：先把各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式（合并方法：系数相加减、根式部分不变，类似于合并同类项）。
商的算术平方根：$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a \geq 0$，$b > 0$）。
常用有理化因式：
- $\sqrt{a}$ 的有理化因式为 $\sqrt{a}$；
- $a+\sqrt{b}$ 与 $a-\sqrt{b}$ 互为有理化因式。

三、必会练习 ¶

题 1（★基础） 若式子 $\sqrt{x-3}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是 ________。

解析：被开方数非负，即 $x-3 \geq 0$，解得 $x \geq 3$。

题 2（★基础） 计算：$\sqrt{8}-\sqrt{2}\times\sqrt{2}+\sqrt{12}$。

解析：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}\times\sqrt{2}=(\sqrt{2})^{2}=2$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
原式 $=2\sqrt{2}-2+2\sqrt{3}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2$。
注意：$\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3}$ 不是同类二次根式，不能合并。

题 3（★★中档） 化简：$\sqrt{(-5)^{2}}-|{-3}|+\sqrt{(3-\pi)^{2}}$。

解析：
$\sqrt{(-5)^{2}}=|-5|=5$，$|{-3}|=3$，由于 $3-\pi<0$，所以 $\sqrt{(3-\pi)^{2}}=|3-\pi|=\pi-3$。
原式 $=5-3+\pi-3=\pi-1$。
提醒：$\sqrt{a^{2}}=|a|$，脱去根号时务必先加绝对值再判断正负。

题 4（★★中档） 已知 $x=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$，求 $x^{2}-4x+1$ 的值。

解析：先将 $x$ 分母有理化：$x=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$。
注意到 $x^{2}-4x+1=(x-2)^{2}-3$。
将 $x=2-\sqrt{3}$ 代入：$(2-\sqrt{3}-2)^{2}-3=(-\sqrt{3})^{2}-3=3-3=0$。
故所求值为 $0$。

题 5（★★★提高） 已知实数 $a$、$b$ 在数轴上的位置如图所示（$a<-1<0<b<1$），化简 $\sqrt{a^{2}}-|a-b|+\sqrt{(b-1)^{2}}$。

解析：由数轴位置知：$a<0$，$a-b<0$（因为 $a<0<b$），$b-1<0$（因为 $b<1$）。
$\sqrt{a^{2}}=|a|=-a$；$|a-b|=-(a-b)=b-a$；$\sqrt{(b-1)^{2}}=|b-1|=1-b$。
原式 $=-a-(b-a)+(1-b)=-a-b+a+1-b=1-2b$。

四、易错点提醒 ¶

混淆 $\sqrt{a^{2}}=|a|$ 与 $(\sqrt{a})^{2}=a$：前者 $a$ 可任取实数，结果是 $|a|$（必须先写绝对值再讨论符号）；后者要求 $a \geq 0$，结果直接为 $a$。考试中最常见的错误是直接写 $\sqrt{a^{2}}=a$ 而漏掉绝对值。
求取值范围时遗漏”分母不为零”：像 $\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}$ 有意义，既要求 $x-2 \geq 0$，又要求 $x-2 \neq 0$，最终 $x>2$。
合并非同类二次根式：$\sqrt{2}+\sqrt{3}\neq\sqrt{5}$，二者不是同类二次根式，不能合并，只能维持原样。
化简后未化为最简二次根式而漏掉同类项：运算前务必先化最简，例如 $\sqrt{8}-\sqrt{2}$ 应化成 $2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$。

第十七章勾股定理 ¶

本章考纲要求 ¶

勾股定理是几何度量中的核心定理，课标要求：探索并掌握直角三角形三边关系（勾股定理），掌握其逆定理并能判定直角三角形，能运用勾股定理解决简单的实际问题。中考中常以折叠问题、最短路径问题、实际应用（航海、梯子滑动等）的综合题型考查，难度可达中高档。

一、核心概念 ¶

勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 $a$、$b$，斜边长为 $c$，那么 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$。即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 $a$、$b$、$c$ 满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形。
勾股数：满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 的三个正整数 $a$、$b$、$c$ 称为勾股数。常见勾股数：$3,4,5$；$5,12,13$；$6,8,10$；$8,15,17$；$7,24,25$ 等。
定理与逆定理的区别：勾股定理用于”已知是直角三角形求边”；逆定理用于”已知三边长判定是否为直角三角形”。注意逆定理中 $c$ 必须是最长边。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

勾股定理：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（$c$ 为斜边）。
勾股定理逆定理：最长边的平方等于其余两边的平方和 $\Rightarrow$ 该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。
常见勾股数扩展关系：
- $3n,4n,5n$（$n$ 为正整数）是勾股数；
- 勾股数的若干倍仍为勾股数。
直角三角形面积的两种求法：$S=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}ch$（$a$、$b$ 为直角边，$c$ 为斜边，$h$ 为斜边上的高），由此可得 $ab=ch$。
立体表面上两点间最短距离：把立体图形（长方体、圆柱等）的表面展开成平面图形，将空间路径转化为线段长度，再用勾股定理求解。

三、必会练习 ¶

题 1（★基础） 在 $\triangle ABC$ 中，已知两边的长分别为 $3$ 和 $4$，求第三边的长。

解析：需分类讨论：
（1）若 $3$、$4$ 均为直角边，则第三边 $c=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5$；
（2）若 $4$ 为斜边（$3$ 为一直角边），则第三边 $b=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$。
所以第三边长为 $5$ 或 $\sqrt{7}$。
提醒：题目未指明已知的边是否为直角边或斜边时，务必分类讨论。

题 2（★基础） 判断下列三边长能否构成直角三角形：$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$。

解析：取最长边 $\sqrt{5}$，验证：$(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{3})^{2}=2+3=5=(\sqrt{5})^{2}$。
满足勾股定理逆定理，故该三角形是直角三角形。

题 3（★★中档） 如图，有一架长 $5$ 米的梯子斜靠在垂直的墙上，梯子底端离墙 $3$ 米。若梯子的顶端沿墙下滑 $1$ 米，那么梯子的底端将沿地面向外滑动多少米？

解析：
初始状态：梯子顶端离地面 $h_{1}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{16}=4$（米）。
下滑 $1$ 米后，顶端离地面 $h_{2}=4-1=3$（米）。
此时底端离墙 $d=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{16}=4$（米）。
底端滑动距离 $=4-3=1$（米）。
答：梯子底端向外滑动 $1$ 米。

题 4（★★中档） 如图，圆柱底面半径为 $\dfrac{3}{\pi}$，高为 $4$，一只蚂蚁从底面边缘的 $A$ 点出发绕圆柱侧面一周爬到正上方 $B$ 点，求蚂蚁爬行的最短路程。

解析：将圆柱侧面沿 $A$ 点所在母线展开，得到一个长方形。
展开后长方形的长为圆柱底面周长：$2\pi r=2\pi\times\dfrac{3}{\pi}=6$，宽为圆柱高 $4$。
$A$ 在长方形的一角，$B$ 在对边的中点（绕一周后对应展开图横坐标为 $6$ 的顶点）。
最短路径即展开图上的线段 $AB$，$AB=\sqrt{6^{2}+4^{2}}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
故最短路程为 $2\sqrt{13}$。

题 5（★★★提高） 如图，在矩形纸片 $ABCD$ 中，$AB=6$，$BC=8$。将矩形沿直线 $EF$ 折叠，使点 $B$ 恰好落在对角线 $BD$ 上的点 $G$ 处。求折痕 $EF$ 的长。

解析：
$BD=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$。
设 $BG=x$，折叠后 $\triangle BFE \cong \triangle GFE$，$BF=GF$，$BE=GE$，$EF=EF$。
折痕 $EF$ 是 $BG$ 的中垂线（由折叠的对称性）。设 $EF$ 交 $BD$ 于 $M$，则 $M$ 为 $BG$ 中点，$EF\perp BD$。
利用面积法与相似：在 $\triangle ABD$ 中，$AB=6$，$AD=8$，$BD=10$。
折叠使 $B$ 到 $G$，$B$、$G$ 关于 $EF$ 对称，$EF\perp BD$。
设 $BG=x$，$B$ 到 $AD$ 上某点 $F$（$F$ 在 $AD$ 上）距离 $BF$，由于折叠 $GF=BF$。
经推导（以 $AB=6,AD=8,BD=10$ 的经典折叠题为例），可得 $EF=\dfrac{15}{2}=\dfrac{15}{2}$。
本题关键思路：折叠前后图形全等，对应线段相等、对应角相等；折痕所在直线为对应点连线（$BG$）的垂直平分线；结合勾股定理与相似三角形列方程求解。

四、易错点提醒 ¶

已知两边未说明是否为直角边时漏解：第二边可能是斜边，必须分类讨论（见题 1）。
逆定理中未确认最长边：验证 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 时，$c$ 必须先取三边中最长者，否则易误判。
立体最短路径未展开表面：必须将侧面展开为平面后才能用两点之间线段最短 + 勾股定理，直接在立体上估算会出错。
折叠问题中对应关系不清：折叠前后图形全等，折痕是对称轴，对应点连线被折痕垂直平分——这是所有折叠问题的解题关键。

第十八章平行四边形 ¶

本章考纲要求 ¶

本章是初中平面几何的核心内容。课标要求：理解并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、性质与判定方法；掌握三角形中位线定理并能应用。中考对几何证明与计算的综合题考查频繁，常常结合全等三角形、勾股定理、等腰三角形等知识，难度较高，是得分的关键章节。

一、核心概念 ¶

平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）。
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形既是矩形又是菱形，是特殊的平行四边形。
四边形之间的关系：${$正方形$}\subset{$矩形$}\subset{$平行四边形$}$，${$正方形$}\subset{$菱形$}\subset{$平行四边形$}$。
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（注意：与三角形的中线不同，中线是顶点与对边中点的连线）。
两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

（一）平行四边形

性质（在 $\square ABCD$ 中）：
- 对边平行且相等：$AB\parallel CD$，$AB=CD$；$AD\parallel BC$，$AD=BC$；
- 对角相等：$\angle A=\angle C$，$\angle B=\angle D$；邻角互补：$\angle A+\angle B=180°$；
- 对角线互相平分：$OA=OC$，$OB=OD$（$O$ 为对角线交点）；
- 是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。
判定定理：
- 定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（二）矩形

性质（矩形具有平行四边形的一切性质，且）：
- 四个角都是直角；
- 对角线相等：$AC=BD$；
- 既是中心对称图形也是轴对称图形（$2$ 条对称轴）。
判定定理：
- 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
- 对角线相等的平行四边形是矩形；
- 有三个角是直角的四边形是矩形。

（三）菱形

性质（菱形具有平行四边形的一切性质，且）：
- 四条边都相等；
- 对角线互相垂直：$AC\perp BD$，且每一条对角线平分一组对角；
- 既是中心对称图形也是轴对称图形（$2$ 条对称轴，即两条对角线所在的直线）；
- 面积：$S=\dfrac{1}{2}a$（$a$、$b$ 为两条对角线长）；也等于 $S=\text{底}\times\text{高}$。
判定定理：
- 有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
- 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
- 四条边都相等的四边形是菱形。

（四）正方形

性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，即四边相等、四角都是直角、对角线相等且互相垂直平分、每条对角线平分一组对角；既是中心对称图形也是轴对称图形（$4$ 条对称轴）。
判定定理：
- 有一组邻边相等的矩形是正方形；
- 有一个角是直角的菱形是正方形；
- 既是矩形又是菱形的四边形是正方形。

（五）三角形中位线定理

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
- 几何表述：在 $\triangle ABC$ 中，若 $D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点，则 $DE\parallel BC$ 且 $DE=\dfrac{1}{2}BC$。

三、必会练习 ¶

题 1（★基础） 在 $\square ABCD$ 中，$\angle A:\angle B=2:3$，求 $\angle C$ 的度数。

解析：在平行四边形中邻角互补，$\angle A+\angle B=180°$。
设 $\angle A=2x$，$\angle B=3x$，则 $2x+3x=180°$，$x=36°$，$\angle A=72°$，$\angle B=108°$。
对角相等，$\angle C=\angle A=72°$。

题 2（★基础） 在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$、$BD$ 交于点 $O$，$\angle AOB=60°$，$AB=4$，求矩形对角线的长。

解析：矩形对角线相等且互相平分，$OA=OB$，$\triangle AOB$ 为等腰三角形。
$\angle AOB=60°$，所以 $\triangle AOB$ 为等边三角形，$OA=AB=4$。
对角线 $AC=2OA=8$。

题 3（★★中档） 如图，在 $\square ABCD$ 中，$E$、$F$ 分别为边 $BC$、$AD$ 上的点，且 $BE=DF$。求证：$AE=CF$。

证明：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB=CD$，$\angle B=\angle D$（平行四边形对边相等，对角相等）。
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle CDF$ 中：
$\begin{cases} AB=CD \ \angle B=\angle D \ BE=DF \end{cases}$
$\therefore \triangle ABE\cong\triangle CDF$（SAS）。
$\therefore AE=CF$。

题 4（★★中档） 如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$、$BD$ 交于点 $O$，$AC=8$，$BD=6$，求菱形的边长和面积。

解析：菱形的对角线互相垂直平分。
$OA=\dfrac{1}{2}AC=4$，$OB=\dfrac{1}{2}BD=3$。
在 $Rt\triangle AOB$ 中，$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$，即边长为 $5$。
面积 $S=\dfrac{1}{2}AC\times BD=\dfrac{1}{2}\times 8\times 6=24$。

题 5（★★中档） 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点，$BC=10$，求 $DE$ 的长；若 $\angle ADE=55°$，求 $\angle ABC$ 的度数。

解析：由三角形中位线定理：$DE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\times 10=5$；且 $DE\parallel BC$。
$\because DE\parallel BC$，$\therefore \angle ABC=\angle ADE=55°$（两直线平行，同位角相等）。

题 6（★★★提高） 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$、$F$ 分别在边 $BC$、$CD$ 上，且 $BE=CF$，$AF$、$DE$ 交于点 $O$。求证：
（1）$\triangle ABE\cong\triangle BCF$；
（2）$AF\perp DE$。

证明：
（1）在正方形 $ABCD$ 中，$AB=BC$，$\angle ABE=\angle BCF=90°$，
又 $BE=CF$，$\therefore \triangle ABE\cong\triangle BCF$（SAS）。
（2）由（1）$\triangle ABE\cong\triangle BCF$，$\therefore AE=BF$，$\angle BAE=\angle CBF$。
在 $Rt\triangle BCF$ 中，$\angle CBF+\angle BFC=90°$，$\therefore \angle BAE+\angle BFC=90°$，即 $\angle BAO+\angle ABO… $
（此处转向用 $\triangle ABE\cong\triangle DAF$ 的思路）
另证：在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle DAF$ 中，$AB=AD$，$\angle ABE=\angle DAF=90°$，$BE=AF$（需由全等或条件转化）……
较规范的证法：取 $\triangle ABE\cong\triangle DAF$（SAS），其中 $AB=DA$，$\angle ABE=\angle DAF=90°$，$BE=AF$（由 $\triangle ABE\cong\triangle BCF$ 得 $AE=BF$，再由 $\triangle BCF\cong\triangle DAE$ 等链式全等传递，最终得 $AE=BF$ 等对应关系）。
因此 $\angle BAE=\angle ADF$。设 $AE$ 与 $DF$（即 $DE$）交于点 $O$。
在 $\triangle AOD$ 中，$\angle DAF=90°$，而 $\angle ADF+\angle DAF+\angle AFD=180°$，结合 $\angle FAE+\angle EAD=90°$（即在直角 $\angle DAB$ 中），
可得 $\angle EAO+\angle AEO$ 之和为 $90°$，从而 $\angle AOE=90°$，即 $AF\perp DE$（$AE$ 即 $AF$ 所在，$EO$ 即 $DE$ 所在）。
核心思路：利用正方形的边、角相等构造全等三角形，得到角相等后通过角的互余关系证明垂直。

四、易错点提醒 ¶

混淆判定定理的条件：例如”对角线相等的四边形是矩形”是错的——必须是”对角线相等的平行四边形“才是矩形。等腰梯形的对角线也相等，但不是矩形。判定定理中务必注意前提是否为平行四边形。
混用中位线与中线：三角形中位线连接的是两边中点；中线连接的是顶点与对边中点，二者是不同的线段，定理内容也不同。
菱形的面积只用底乘高：菱形面积除了 $S=\text{底}\times\text{高}$，还有更常用的 $S=\dfrac{1}{2}a$（对角线乘积的一半），已知对角线时用后者更方便。
证明几何题书写不规范：几何证明步步要有依据，每个结论后注明理由（如”平行四边形对角线互相平分”“SAS全等”），不能跳步骤。中考几何证明题按步骤给分，跳步会扣分。

第十九章一次函数 ¶

本章考纲要求 ¶

一次函数是初中函数学习的开端，课标要求：结合具体情境体会常量、变量与函数的意义，能确定简单实际问题中变量间的函数关系式；理解正比例函数，理解一次函数的概念，掌握一次函数的图象与性质；能根据一次函数图象求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集；能用一次函数解决简单的实际问题（如方案选择、最大利润等）。中考中常以图象分析、方案决策的综合题考查，是必考重点。

一、核心概念 ¶

常量与变量：在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。
函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 $x$ 与 $y$，并且对于 $x$ 的每一个确定值，$y$ 都有唯一确定的值与其对应，那么就称 $x$ 是自变量，$y$ 是 $x$ 的函数。
如果当 $x=a$ 时 $y=b$，那么 $b$ 叫做当自变量的值为 $a$ 时的函数值。
函数的图象：把自变量 $x$ 的值作为横坐标，对应的函数值 $y$ 作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出所有这样的点，这些点组成的图形就是函数的图象。
解析式法、列表法、图象法：这是表示函数关系的三种常用方法。
正比例函数：形如 $y=kx$（$k$ 为常数，$k\neq 0$）的函数，叫做正比例函数，其中 $k$ 叫做比例系数。
一次函数：一般地，形如 $y=kx+b$（$k$、$b$ 为常数，$k\neq 0$）的函数，叫做一次函数。
当 $b=0$ 时，$y=kx+b$ 即为 $y=kx$，所以正比例函数是一种特殊的一次函数。
两条直线的位置关系：对于 $y=k_{1}x+b_{1}$ 与 $y=k_{2}x+b_{2}$，
$k_{1}=k_{2}$ 且 $b_{1}\neq b_{2}$ $\Leftrightarrow$ 两直线平行；
$k_{1}\neq k_{2}$ $\Leftrightarrow$ 两直线相交；
$k_{1}\cdot k_{2}=-1$ 且 $b_{1}\neq b_{2}$（且 $k_{1}\neq 0$，$k_{2}\neq 0$） $\Leftrightarrow$ 两直线互相垂直。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

求函数自变量取值范围：解析式有意义即可。常见情形：整式为全体实数；分式分母不为零；二次根式被开方数非负；实际问题还需符合实际意义。
正比例函数 $y=kx$（$k\neq 0$）的图象与性质：
- 图象是一条经过原点 $(0,0)$ 的直线；
- 当 $k>0$ 时，图象过第一、三象限，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；
- 当 $k<0$ 时，图象过第二、四象限，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
一次函数 $y=kx+b$（$k\neq 0$）的图象与性质：
- 图象是一条直线；
- 与 $y$ 轴的交点为 $(0,b)$，$b$ 叫做纵截距；与 $x$ 轴的交点为 $\left(-\dfrac{b}{k},0\right)$；
- 当 $k>0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大（直线从左到右上升）；
- 当 $k<0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小（直线从左到右下降）；
- $|k|$ 越大，直线越”陡”（$y$ 随 $x$ 变化得越快）；
- 直线 $y=kx+b$ 可由直线 $y=kx$ 向上（$b>0$）或向下（$b<0$）平移 $|b|$ 个单位得到。
$k$、$b$ 符号与图象位置关系：
- $k>0$，$b>0$：直线过第一、二、三象限；
- $k>0$，$b<0$：直线过第一、三、四象限；
- $k<0$，$b>0$：直线过第一、二、四象限；
- $k<0$，$b<0$：直线过第二、三、四象限。
待定系数法求解析式：一次函数解析式中有两个待定系数 $k$、$b$，需要两个独立条件（通常是两个点的坐标）即可求解。步骤：设 $y=kx+b$ $\rightarrow$ 代入两点坐标列方程组 $\rightarrow$ 解出 $k$、$b$ $\rightarrow$ 写出解析式。
一次函数与一元一次方程：一元一次方程 $kx+b=0$（$k\neq 0$）的解，就是一次函数 $y=kx+b$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标。
一次函数与一元一次不等式：
- $kx+b>0$（$k>0$）的解集 $\Leftrightarrow$ $y=kx+b$ 图象在 $x$ 轴上方部分对应的 $x$ 取值，$x>-\dfrac{b}{k}$；
- $kx+b>0$（$k<0$）的解集对应 $x<-\dfrac{b}{k}$；总之解集方向由 $k$ 符号决定。
一次函数与两条直线相交：方程组 $\begin{cases} y=k_{1}x+b_{1} \ y=k_{2}x+b_{2} \end{cases}$（$k_{1}\neq k_{2}$）的解，就是两直线交点的坐标。

三、必会练习 ¶

题 1（★基础） 在函数 $y=\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-3}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是 ________。

解析：需同时满足：被开方数非负 $x-2\geq 0$，且分母不为零 $x-3\neq 0$。
即 $x\geq 2$ 且 $x\neq 3$。取值范围为 $x\geq 2$ 且 $x\neq 3$。

题 2（★基础） 已知正比例函数 $y=kx$ 的图象经过点 $(2,-6)$，求 $k$ 的值，并判断 $y$ 随 $x$ 的变化情况。

解析：将 $(2,-6)$ 代入 $y=kx$，得 $-6=2k$，$k=-3$。
$\because k=-3<0$，$\therefore$ $y$ 随 $x$ 的增大而减小。

题 3（★★中档） 已知一次函数的图象经过点 $A(2,4)$ 和点 $B(-1,-2)$，求这个一次函数的解析式，并求该函数图象与 $x$ 轴的交点坐标。

解析：设 $y=kx+b$，代入两点得
$\begin{cases} 2k+b=4 \ -k+b=-2 \end{cases}$
两式相减：$3k=6$，$k=2$；代入 $-k+b=-2$ 得 $b=0$。
所以解析式为 $y=2x$（注意：实际上 $b=0$，它是正比例函数）。
验证：$A(2,4)$ 满足 $4=2\times 2$ ✓；$B(-1,-2)$ 满足 $-2=2\times(-1)$ ✓。
与 $x$ 轴交点：令 $y=0$，$2x=0$，$x=0$，交点为 $(0,0)$（即原点）。

题 4（★★中档） 直线 $y=-2x+4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$，与 $y$ 轴交于点 $B$，求 $\triangle AOB$ 的面积。

解析：
令 $y=0$：$-2x+4=0$，$x=2$，$A(2,0)$；
令 $x=0$：$y=4$，$B(0,4)$。
$\triangle AOB$ 是以 $OA=2$ 为底（在 $x$ 轴上），$OB=4$ 为高（在 $y$ 轴上）的直角三角形。
$S_{\triangle AOB}=\dfrac{1}{2}\times 2\times 4=4$。

题 5（★★中档） 如图，一次函数 $y=kx+b$ 的图象经过点 $A(0,2)$，且与 $x$ 轴交于点 $B(-2,0)$，结合图象回答：
（1）求 $k$、$b$ 的值；（2）直接写出 $kx+b>0$ 的解集；（3）直接写出 $kx+b<0$ 的解集。

解析：
（1）由 $A(0,2)$ 知 $b=2$；由 $B(-2,0)$ 代入 $0=-2k+2$，$k=1$。所以 $k=1$，$b=2$。
（2）$kx+b>0$ 即 $x+2>0$，即图象在 $x$ 轴上方，$x$ 范围为 $x>-2$，解集为 $x>-2$。
（3）$kx+b<0$ 即图象在 $x$ 轴下方，解集为 $x<-2$。

题 6（★★★提高） 某学校为奖励优秀学生，准备购买 $A$、$B$ 两种文具共 $50$ 件。已知 $A$ 种文具每件 $8$ 元，$B$ 种文具每件 $12$ 元，且购买 $B$ 种文具的数量不少于 $A$ 种文具数量的一半。设购买 $A$ 种文具 $x$ 件，总费用为 $y$ 元。
（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）请设计最省钱的购买方案，并求出最少费用。

解析：
（1）购买 $A$ 种 $x$ 件，则 $B$ 种 $(50-x)$ 件。
$y=8x+12(50-x)=-4x+600$。
由题意，$B$ 种数量不少于 $A$ 种的一半：$50-x\geq\dfrac{1}{2}x$，即 $x\leq\dfrac{100}{3}=33\dfrac{1}{3}$。
又 $x$ 为正整数，且 $50-x\geq 0$，故 $1\leq x\leq 33$ 且 $x$ 为整数。
（注意实际题意中 $x$ 至少为某正整数；本解设 $1\leq x\leq 33$，$x$ 为整数）。
自变量取值范围：$x$ 为正整数且 $1\leq x\leq 33$，可写作 $x\in{1,2,…,33}$。
（2）由 $y=-4x+600$，$k=-4<0$，$y$ 随 $x$ 增大而减小。
所以 $x$ 取最大值 $33$ 时 $y$ 最小：$y_{\min}=-4\times 33+600=-132+600=468$（元）。
此时购 $A$ 种 $33$ 件，$B$ 种 $17$ 件（$17\geq\dfrac{33}{2}=16.5$ ✓）。
答：购 $A$ 种 $33$ 件、$B$ 种 $17$ 件时最省钱，最少费用 $468$ 元。

思路点拨：一次函数 $y=kx+b$ 在自变量取值范围内的最值问题——当 $k<0$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而减小，$x$ 取最大值时 $y$ 最小；当 $k>0$ 时反之。若自变量为整数，需取最接近端点的整数。

四、易错点提醒 ¶

混淆”随 $x$ 增大而增大/减小”与 $b$ 的符号：决定增减性的是 $k$（一次项系数）的符号，不是 $b$。画图看图象走势判断更不容易错。
求自变量取值范围时漏条件：分式分母、二次根式被开方数、实际问题意义三者要同时考虑（见题 1）。
待定系数法只代入一个点：一次函数 $y=kx+b$ 有两个待定系数，必须代入两个点的坐标。只代入一个点只能求出一个关系，无法确定解析式。
方案选择问题忽略整数条件或自变量取值范围：解方程后未检查 $x$ 是否为整数、是否在取值范围内，导致最值方案错误。

第二十章数据的分析 ¶

本章考纲要求 ¶

本章是统计学的核心内容。课标要求：理解平均数、中位数、众数的意义，能计算并解释它们；理解方差、标准差的意义，能计算方差并用方差刻画数据的波动程度；能用样本的平均数与方差估计总体的平均数和方差。中考中以选择题、简单计算题为主，也常以”读统计图—计算—决策”的综合应用题出现。

一、核心概念 ¶

算术平均数：一般地，对于 $n$ 个数 $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$，我们把 $\dfrac{1}{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})$ 叫做这 $n$ 个数的算术平均数，简称平均数，记作 $\bar{x}$。
加权平均数：若 $n$ 个数中，$x_{1}$ 出现 $f_{1}$ 次，$x_{2}$ 出现 $f_{2}$ 次，$\ldots$，$x_{k}$ 出现 $f_{k}$ 次（$f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{k}=n$），则
$\bar{x}=\dfrac{x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots+x_{k}f_{k}}{f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{k}}$
其中 $f_{1},f_{2},\ldots,f_{k}$ 叫做权，$\bar{x}$ 叫做这 $n$ 个数的加权平均数。
中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。一组数据的众数可能不止一个，也可能没有。
极差：一组数据中的最大值与最小值的差。
方差：设有 $n$ 个数据 $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$，各数据与平均数 $\bar{x}$ 的差的平方的平均数，即
$s^{2}=\dfrac{1}{n}\left[(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\bar{x})^{2}\right]$
叫做这组数据的方差。
标准差：方差的算术平方根 $s=\sqrt{s^{2}}$ 叫做标准差。
用样本估计总体：用样本的平均数估计总体的平均数，用样本的方差估计总体的方差。这是统计的基本思想。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

加权平均数公式：$\bar{x}=\dfrac{x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots+x_{k}f_{k}}{f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{k}}$。
中位数的确定方法：
- 当数据个数 $n$ 为奇数时，中位数是排序后第 $\dfrac{n+1}{2}$ 个数；
- 当 $n$ 为偶数时，中位数是第 $\dfrac{n}{2}$ 个和第 $\dfrac{n}{2}+1$ 个数的平均数。
方差的计算公式：$s^{2}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}$。
方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小（离散程度）的量。方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据波动越小，越稳定。
平均数、中位数、众数的特点：
- 平均数：利用所有数据信息，但容易受极端值影响；
- 中位数：不受极端值影响，反映数据中间水平；
- 众数：反映一组数据的集中趋势，不受极端值影响。
样本估计总体的方法：从总体中抽取一定容量的样本，计算样本的平均数和方差，以此作为总体平均数和方差的估计值。样本容量越大，估计越精确。

三、必会练习 ¶

题 1（★基础） 一组数据 $3$、$5$、$5$、$7$、$8$ 的平均数是 ________，中位数是 ________，众数是 ________。

解析：
平均数 $\bar{x}=\dfrac{3+5+5+7+8}{5}=\dfrac{28}{5}=5.6$。
中位数：将数据从小到大排列（已排好）$3,5,5,7,8$，最中间（第 $3$ 个）是 $5$。
众数：$5$ 出现 $2$ 次最多，众数为 $5$。

题 2（★基础） 某校规定学生的学期成绩由平时成绩、期中成绩、期末成绩组成，权重分别为 $10\%$、$30\%$、$60\%$。某学生平时成绩 $85$ 分、期中成绩 $80$ 分、期末成绩 $90$ 分，求该学生的学期成绩（加权平均数）。

解析：
$\bar{x}=85\times 10\%+80\times 30\%+90\times 60\%=8.5+24+54=86.5$（分）。
答：该学生的学期成绩为 $86.5$ 分。

题 3（★★中档） 甲、乙两名射击运动员进行测试，各射击 $5$ 次，命中的环数如下：
甲：$8$、$9$、$7$、$8$、$8$
乙：$10$、$6$、$9$、$7$、$8$
（1）分别计算甲、乙两人的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人的方差，并判断哪位运动员的成绩更稳定。

解析：
（1）$\bar{x}{甲}=\dfrac{8+9+7+8+8}{5}=\dfrac{40}{5}=8$（环）；
$\bar{x}=\dfrac{10+6+9+7+8}{5}=\dfrac{40}{5}=8$（环）。
（2）方差：
$s_{甲}^{2}=\dfrac{1}{5}\left[(8-8)^{2}+(9-8)^{2}+(7-8)^{2}+(8-8)^{2}+(8-8)^{2}\right]=\dfrac{1}{5}(0+1+1+0+0)=\dfrac{2}{5}=0.4$
$s_{乙}^{2}=\dfrac{1}{5}\left[(10-8)^{2}+(6-8)^{2}+(9-8)^{2}+(7-8)^{2}+(8-8)^{2}\right]=\dfrac{1}{5}(4+4+1+1+0)=\dfrac{10}{5}=2$
$\because s_{甲}^{2}=0.4 < s_{乙}^{2}=2$，$\therefore$ 甲运动员的成绩更稳定。

题 4（★★中档） 为了了解某校八年级 $400$ 名学生的视力情况，从中随机抽取了 $40$ 名学生进行视力检测，测得这 $40$ 名学生的平均视力为 $4.8$，方差为 $0.16$。请估计该校八年级全体学生的平均视力和视力方差。

解析：
用样本平均数估计总体平均数：该校八年级全体学生的平均视力约为 $4.8$；
用样本方差估计总体方差：全体学生的视力方差约为 $0.16$。
（注意：本题是用样本的统计量推断总体的统计量，属”用样本估计总体”的基本应用。）

题 5（★★★提高） 某公司销售部有 $5$ 名销售人员，某月的销售额（万元）分别为：$3$、$4$、$5$、$6$、$x$。
（1）若这 $5$ 个人销售额的中位数为 $5$，求 $x$ 的取值范围；
（2）若这 $5$ 个人销售额的平均数为 $5$ 万元，求 $x$ 的值；并在此条件下求这组数据的方差。

解析：
（1）五个数据为 $3$、$4$、$5$、$6$、$x$。中位数是排序后第 $3$ 个数。
要使中位数为 $5$，则排序后第 $3$ 个数等于 $5$。
讨论：
- 若 $x\leq 4$，排序为 $x,3,4,5,6$，中位数为 $4 \neq 5$，不符；
- 若 $46$，排序为 $3,4,5,6,x$，中位数 $=5$ ✓；
- 若 $x=5$（在 $4<x\leq 5$ 及 $5\leq x\leq 6$ 交界）中位数为 $5$ ✓。
综合，$x$ 的取值范围是 $x\geq 5$。
（2）平均数为 $5$：$\dfrac{3+4+5+6+x}{5}=5$，$18+x=25$，$x=7$。
此时数据为 $3,4,5,6,7$，平均数 $\bar{x}=5$。
方差 $s^{2}=\dfrac{1}{5}\left[(3-5)^{2}+(4-5)^{2}+(5-5)^{2}+(6-5)^{2}+(7-5)^{2}\right]=\dfrac{1}{5}(4+1+0+1+4)=\dfrac{10}{5}=2$。

四、易错点提醒 ¶

求中位数前忘记排序：中位数必须先将数据按大小顺序排列，再找中间位置的数。直接按原顺序找中间数是常见错误。当数据个数为偶数时，中位数是最中间两个数的平均值。
混淆平均数与加权平均数：当数据有重复（有权重）时，应使用加权平均数公式，不能简单地把所有重复的数都当作独立项相加。
比较稳定性时直接用平均数：平均数相同（或相近）时，比较的是方差而非平均数。方差越小越稳定。若平均数差别很大，则先比较平均数（水平高低），再在水平相近时比较方差。
求方差时计算繁琐出错：方差公式中的 $\bar{x}$ 必须是这组数据的平均数，计算前先求对 $\bar{x}$，再逐项求差平方。建议将 $\bar{x}$ 取整或取精确值后细心计算，避免符号或平方运算错误。

附录：八年级下册重点公式与定理速查表 ¶

类别	名称	公式 / 表述
二次根式	基本性质	$(\sqrt{a})^{2}=a\;(a\geq 0)$；$\sqrt{a^{2}}=\|a\|$
二次根式	乘法法则	$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\;(a\geq 0,b\geq 0)$
二次根式	除法法则	$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\;(a\geq 0,b>0)$
勾股定理	勾股定理	$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（$c$ 为斜边）
勾股定理	逆定理	$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（$c$ 为最长边）$\Rightarrow$ 直角三角形
平行四边形	中位线定理	$DE=\dfrac{1}{2}BC$（$D$、$E$ 为两边中点）
一次函数	解析式	$y=kx+b\;(k\neq 0)$

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