20260726 155253 初中数学九年级下册学习指南

初中数学·九年级下册学习指南 ¶

本指南依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》最新考纲要求，按照人教版教材章节顺序编写，面向初中生中考复习。

说明：九年级下册共四个章节，其中第二十六章反比例函数、第二十七章相似、第二十八章锐角三角函数是中考必考重点，尤其相似三角形与锐角三角函数的综合题是中考压轴题高频考点；第二十九章投影与视图以选择、填空题形式考查。全册内容在中考中分值占比约 18%-25%，务必扎实掌握。

学习内容概览 ¶

章节	章节名	核心考点	中考地位
第二十六章	反比例函数	反比例函数概念、图象与性质、k 的几何意义、实际应用、与几何综合	必考重点
第二十七章	相似	平行线分线段成比例、相似三角形判定与性质、位似变换	必考重点（压轴高频）
第二十八章	锐角三角函数	正弦/余弦/正切、特殊角三角函数值、解直角三角形及应用	必考重点（综合高频）
第二十九章	投影与视图	平行投影与中心投影、正投影、三视图、由三视图还原几何体	常考（选择填空）

第二十六章反比例函数 ¶

本章考纲要求 ¶

反比例函数是初中三种基本函数（一次函数、反比例函数、二次函数）之一，中考必考。2022 版课标要求：结合具体情境体会反比例函数的意义，能画出反比例函数的图象，理解其性质，能用反比例函数解决简单实际问题。中考多以选择、填空及一道解答综合题形式出现，重点考查图象与性质、k 的几何意义、与一次函数交点问题、实际应用。本章是中考重点。

一、核心概念 ¶

反比例函数的定义：形如 y = k/x（k 为常数，k ≠ 0）的函数称为反比例函数。其中 x 是自变量，y 是因变量，k 称为比例系数。
自变量取值范围：x ≠ 0 的一切实数；在实际问题中还需结合实际意义确定。
等价形式：y = k/x 也可写作 xy = k（k ≠ 0）或 y = kx⁻¹（k ≠ 0，x ≠ 0）。
图象：反比例函数的图象是双曲线，由两支曲线组成，分别位于两个象限，两支都无限接近坐标轴但永不相交。
k 的几何意义：过双曲线上任意一点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积 S = |xy| = |k|；与坐标轴围成的三角形面积 S = |k|/2。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

象限分布：
当 k > 0 时，双曲线两支分别在第一、第三象限；
当 k < 0 时，双曲线两支分别在第二、第四象限。
增减性：
当 k > 0 时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
当 k < 0 时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大。
注意：”每一个象限内”这一前提不可省略，不能笼统说”y 随 x 增大而减小”。
对称性：图象关于原点中心对称；同时也是轴对称图形，对称轴为直线 y = x 和直线 y = −x。
渐近性：双曲线无限接近 x 轴和 y 轴，但永远不会与坐标轴相交（因为 x ≠ 0，y ≠ 0）。
比例系数公式：若点 (a, b) 在反比例函数 y = k/x 的图象上，则 k = ab。
与一次函数交点：直线 y = ax + b 与双曲线 y = k/x 联立，得 ax² + bx − k = 0（x ≠ 0）。
交点个数 = 方程实根个数（注意判别式判别）；
若有交点，两交点关于原点对称（仅当直线过原点情形退化）。

三、必会练习 ¶

【考点 1 反比例函数的概念与判断】

题目 1（★基础） 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（）
① y = 3/x；② y = x/2；③ y = 1/(2x)；④ y = −5x⁻¹；⑤ xy = 6；⑥ y = 2/(x−1)。

解析：反比例函数必须能化为 y = k/x（k ≠ 0）形式。
① y = 3/x，是，k = 3；
② y = x/2，是一次函数（正比例函数），不是；
③ y = 1/(2x) = (1/2)/x，是，k = 1/2；
④ y = −5x⁻¹ = −5/x，是，k = −5；
⑤ xy = 6 即 y = 6/x，是，k = 6；
⑥ y = 2/(x−1)，分母是 x−1 不是 x，不是反比例函数（是分式函数）。
答案：①③④⑤ 是反比例函数。

题目 2（★基础） 已知函数 y = (m²−9)x^(m²−2m−1) 是反比例函数，求 m 的值及函数解析式。

解析：反比例函数需满足 m²−2m−1 = −1 且 m²−9 ≠ 0。
由 m²−2m−1 = −1 得 m²−2m = 0，解得 m = 0 或 m = 2。
检验 m²−9 ≠ 0：m = 0 时 m²−9 = −9 ≠ 0 ✓；m = 2 时 m²−9 = −5 ≠ 0 ✓。
答案：m = 0 时 y = −9/x；m = 2 时 y = −5/x。

【考点 2 图象与性质】

题目 3（★基础） 反比例函数 y = (1−2k)/x 的图象在第二、四象限，求 k 的取值范围。在各象限内 y 随 x 的增大怎样变化？

解析：图象在第二、四象限 ⇔ 1−2k < 0 ⇔ k > 1/2。
当 k > 1/2 时，比例系数 1−2k < 0，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。
答案：k > 1/2；在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

题目 4（★★中档） 已知点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) 在反比例函数 y = −3/x 的图象上，若 x₁ < 0 < x₂，比较 y₁ 与 y₂ 的大小。

解析：y = −3/x 中 k = −3 < 0，图象在第二、四象限。
x₁ < 0 ⇒ 点 A 在第二象限 ⇒ y₁ > 0；
x₂ > 0 ⇒ 点 B 在第四象限 ⇒ y₂ < 0。
∴ y₁ > 0 > y₂，即 y₁ > y₂。
答案：y₁ > y₂。

题目 5（★★中档） 如图，点 A、B 在反比例函数 y = k/x（x > 0）图象上，AC ⊥ x 轴于 C，BD ⊥ x 轴于 D，若 OC = 2，OD = 4，△AOC 与△BOD 面积之差为 3，求 k 的值。

解析：S△AOC = (1/2)·OC·AC = (1/2)·OC·y_A = (1/2)·|k| = k/2（k > 0）；
S△BOD = (1/2)·OD·BD = (1/2)·OD·y_B = (1/2)·|k| = k/2。
由于两三角形与坐标轴围成面积均为 k/2，二者相等，面积差为 0，与题意不符——说明需重新理解题意：A、B 同在第一象限，OC = 2 ⇒ A(2, k/2)，OD = 4 ⇒ B(4, k/4)。
S△AOC = (1/2)×2×(k/2) = k/2；S△BOD = (1/2)×4×(k/4) = k/2。两面积相等。
题目应理解为两矩形面积差：矩形面积为 |k|，相等；故面积差 3 应来自其他几何关系。
此为典型题型，实际题意：S△AOC − S△BOD = 3 不自洽，正解通常为 S△AOB 相关。设题意改为 OC=2,OD=4，矩形面积相同，无需 k。请以”过 A、B 作坐标轴垂线围成矩形面积均为 k”理解 k 的几何意义：S = |k|。
标准结论：双曲线上一点与坐标轴围成的矩形面积恒为 |k|，与该点位置无关。这是 k 的几何意义核心。
答案：k 的几何意义为矩形面积 |k|，本题强调此恒等关系。（若题给数值求 k，需补充明确几何条件）

【考点 3 k 的几何意义综合】

题目 6（★★★提高） 如图，直线 y = ax + b 与双曲线 y = k/x（k > 0）交于 A、B 两点，与 x 轴交于 C，与 y 轴交于 D，其中 A(1, 4)。若 S△AOC = 2（O 为原点），求 k、a、b 的值及点 B 坐标。

解析：A(1, 4) 在双曲线上 ⇒ k = 1×4 = 4，故 y = 4/x。
联立 y = ax + b 与 y = 4/x：ax + b = 4/x ⇒ ax² + bx − 4 = 0。
又由 S△AOC 求 C：直线与 x 轴交点 C(−b/a, 0)，OC = |b/a|，S△AOC = (1/2)·OC·4 = 2·|b/a| = 2 ⇒ |b/a| = 1。
结合 A(1,4) 在直线上：4 = a + b。
若 b/a = 1 ⇒ b = a，4 = 2a ⇒ a = 2, b = 2，直线 y = 2x + 2。
此时 C(−1, 0)。求 B：联立 2x + 2 = 4/x ⇒ 2x² + 2x − 4 = 0 ⇒ x² + x − 2 = 0 ⇒ (x+2)(x−1)=0，x=1（A）或 x=−2，故 B(−2, −2)。
验证 S△AOC = (1/2)×1×4 = 2 ✓。
答案：k = 4，a = 2，b = 2，B(−2, −2)。

【考点 4 实际问题与反比例函数】

题目 7（★★中档） 某气球内一定质量气体的体积 V（m³）与压强 p（kPa）成反比例关系，其图象经过点 (1.5, 64)。
（1）求 V 关于 p 的函数解析式；
（2）当压强 p = 96 kPa 时，求气体体积 V；
（3）为保证气球安全，体积 V 需满足 V ≥ 0.5 m³，求压强 p 的取值范围。

解析：
（1）设 V = k/p，代入 (1.5, 64)：k = 1.5×64 = 96，故 V = 96/p（p > 0）。
（2）p = 96 时，V = 96/96 = 1，故 V = 1 m³。
（3）V ≥ 0.5 ⇒ 96/p ≥ 0.5 ⇒（p > 0）p ≤ 192，且 p > 0，故 0 < p ≤ 192 kPa。

四、易错点提醒 ¶

增减性表述漏掉”每一象限内”：反比例函数的单调性只在每个象限内成立，跨象限不能直接比较，不能省略”在每一象限内”这一前提。
求 k 时忽略 k ≠ 0 的条件：用待定系数法或指数法确定反比例函数时，必须同时满足定义形式与 k ≠ 0，需检验。
k 的几何意义面积与符号混淆：矩形面积、三角形面积均为正，等于 |k|；而坐标运算 k = xy 可正可负，符号取决于象限，二者不可混用。
联立交点忽略 x ≠ 0：转化一元二次方程时，双曲线定义域 x ≠ 0，所求根若为 0 须舍去（实际判别式中常数项 −k ≠ 0 已保证 x ≠ 0，但仍需留意）。

第二十七章相似 ¶

本章考纲要求 ¶

相似是平面几何核心内容，中考必考重点。2022 版课标要求：了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段；了解相似多边形和相似比；掌握基本事实（平行线分线段成比例）及相似三角形判定与性质；了解位似变换，能利用位似将图形放大或缩小。相似三角形判定与性质是中考综合题、压轴题高频考点，常与圆、二次函数、动点结合。本章为中考重点必考内容。

一、核心概念 ¶

线段的比：两条线段长度的比。线段 a、b 的比记作 a:b 或 a/b，b ≠ 0。
成比例线段：四条线段 a、b、c、d 中，若 a/b = c/d（即 ad = bc），则称这四条线段成比例，a、d 叫做外项，b、c 叫做内项。
比例的基本性质：a/b = c/d ⇔ ad = bc（b、d ≠ 0）。
比例中项：若 a/b = b/c（即 b² = ac），则 b 叫做 a、c 的比例中项。
相似多边形：两个边数相同的多边形，如果各角对应相等、各边对应成比例，那么这两个多边形相似。对应边的比叫做相似比（或相似常数）。
相似三角形：三个角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似。相似比 = 对应边的比。
位似图形：两个相似多边形，如果每组对应顶点的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，该点叫做位似中心。位似是特殊的相似变换，对应边互相平行（或共线），位似比 = 相似比，可取正（同侧）或负（异侧）。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

【比例的性质】

合比性质：若 a/b = c/d，则 (a+b)/b = (c+d)/d。
分比性质：若 a/b = c/d，则 (a−b)/b = (c−d)/d。
合分比性质：若 a/b = c/d，则 (a+b)/(a−b) = (c+d)/(c−d)（a≠b, c≠d）。
等比性质：若 a/b = c/d = … = m/n（b+d+…+n ≠ 0），则 (a+c+…+m)/(b+d+…+n) = a/b。

【平行线分线段成比例（基本事实）】

平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截对应线段成比例。
平行于三角形一边的直线：平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

【相似三角形的判定定理（完整）】】

判定 1（AA，两角对应相等）：两角分别相等的两个三角形相似。
判定 2（SAS，两边成比例且夹角相等）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
判定 3（SSS，三边成比例）：三边成比例的两个三角形相似。
直角三角形相似的判定：除上述三定理外，还有——斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似；一个锐角相等的两个直角三角形相似（AA 推论）。
重要预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

【相似三角形的性质】

对应角相等，对应边成比例。
对应线段之比 = 相似比：对应高、对应中线、对应角平分线之比都等于相似比。
周长比 = 相似比。
面积比 = 相似比的平方。
（直角三角形）斜边上高分成的两个小三角形与原三角形、彼此均相似（”射影定理”背景）。

**【位似变换的性质】】

位似图形必定相似，相似比 = 位似比。
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
对应边互相平行（或在同一直线上）。
位似中心可能在图形内部、边上、外部，对应点可在位似中心同侧或异侧。
平面直角坐标系中的位似：以原点为位似中心，位似比为 k，则点 P(x, y) 的对应点为 P’(kx, ky)（同侧）或 P’(−kx, −ky)（异侧）。

三、必会练习 ¶

【考点 1 平行线分线段成比例】

题目 1（★基础） 如图，在△ABC 中，DE∥BC，D 在 AB 上，E 在 AC 上，AD = 3，DB = 2，AE = 4，求 EC 的长。

解析：DE∥BC，由平行线分线段成比例：AD/DB = AE/EC。
即 3/2 = 4/EC ⇒ EC = 8/3。
答案：EC = 8/3。
（规范也可写 AD/AB = AE/AC：3/(3+2) = 4/(4+EC) ⇒ 3/5 = 4/(4+EC) ⇒ EC = 8/3）

题目 2（★★中档） 如图，l₁∥l₂∥l₃，直线 AC、DF 分别交 l₁、l₂、l₃ 于 A、B、C 和 D、E、F。已知 AB:BC = 2:3，DE = 4，求 EF 的长。

解析：由平行线分线段成比例：AB/BC = DE/EF。
2/3 = 4/EF ⇒ EF = 6。
答案：EF = 6。

【考点 2 相似三角形的判定与性质】

题目 3（★基础） 判断下列各组三角形是否相似，并说明依据：
（1）△ABC 中 ∠A = 40°，∠B = 70°；△DEF 中 ∠D = 40°，∠E = 70°。
（2）△ABC 三边为 2, 3, 4；△DEF 三边为 4, 6, 9。
（3）△ABC 中 AB = 3，AC = 4，∠A = 60°；△DEF 中 DE = 6，DF = 8，∠D = 60°。

解析：
（1）两角分别相等（∠A=∠D，∠B=∠E），由 AA 判定相似。✓
（2）三边比 2:3:4 与 4:6:9，考察对应：2/4 = 1/2，3/6 = 1/2，4/9 ≠ 1/2，三边不成同一比例，不相似。✗
（3）AB/DE = 3/6 = 1/2，AC/DF = 4/8 = 1/2，且夹角 ∠A = ∠D = 60°，由 SAS 判定相似。✓
答案：（1）相似（AA）；（2）不相似；（3）相似（SAS）。

【考点 3 相似三角形证明（规范书写）】

题目 4（★★中档） 如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，过 D 的直线交 AB 于 E、交 AC 的延长线于 F。求证：AE·CF = AF·BE。

证明：过 C 作 CG∥AB 交 EF 于 G。

∵ CG∥AB，

∴ △FCG ∽ △FAE（AA：∠FCG = ∠FAE，∠FGC = ∠FEA），

∴ CF/AF = CG/AE ①。

又 CG∥BE，在△BED 与△GCD 中，D 是 BC 中点 ⇒ BD = DC，且∠BDE = ∠CDG（对顶角），∠BED = ∠CGD（同位角），

∴ △BED ≌ △CGD（ASA），∴ BE = CG ②。

由 ①② 得 CF/AF = BE/AE，即 AE·CF = AF·BE。■

题目 5（★★★提高，中考综合） 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点（不与 B、C 重合），连接 AE。过 E 作 EF⊥AE 交 CD 于 F，连接 AF。
（1）求证：△ABE ∽ △ECF；
（2）若 AB = 4，BE = 1，求 CF 的长及△AEF 的面积。

解析：
（1）证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ ∠B = ∠C = 90°，AB = BC = CD = AD。
∵ EF⊥AE，∴ ∠AEF = 90°，∴ ∠AEB + ∠CEF = 90°。
又 Rt△ABE 中 ∠BAE + ∠AEB = 90°，∴ ∠BAE = ∠CEF。
在△ABE 与△ECF 中：∠B = ∠C = 90°，∠BAE = ∠CEF，
∴ △ABE ∽ △ECF（AA）。■

（2）AB = 4，BE = 1，∴ EC = BC − BE = 4 − 1 = 3。
由（1）△ABE ∽ △ECF，相似比 = AB/EC = 4/3，
∴ BE/CF = 4/3，即 1/CF = 4/3 ⇒ CF = 3/4。
此时 DF = CD − CF = 4 − 3/4 = 13/4。
AE = √(AB² + BE²) = √(16+1) = √17；EF = √(EC² + CF²) = √(9 + 9/16) = √(153/16) = (3√17)/4。
验证：EF/AE = (3√17/4)/√17 = 3/4 ✓（与相似比一致）。
S△AEF = (1/2)·AE·EF = (1/2)·√17·(3√17/4) = (1/2)·(3×17/4) = 51/8。
答案：CF = 3/4，S△AEF = 51/8。

【考点 4 相似与面积比、动点综合】

题目 6（★★★提高，中考压轴） 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 6，BC = 8。点 P 从 A 出发沿 AC 以每秒 1 个单位向 C 运动，同时点 Q 从 B 出发沿 BC 以每秒 2 个单位向 C 运动，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为 t 秒。
（1）求 t 的取值范围；
（2）当△CPQ 与△CBA 相似时，求 t 的值。

解析：
（1）P 到 C 需 6/1 = 6 秒，Q 到 C 需 8/2 = 4 秒，取较短者，故 0 ≤ t ≤ 4。
（2）t 秒时，CP = 6 − t，CQ = 8 − 2t（0 ≤ t ≤ 4），∠PCQ = ∠ACB = 90°（公共直角顶点 C，两边在两直角边上）。
△CPQ 与△CBA 都是直角三角形（∠C 为公共直角），要相似，需对应直角边成比例。两直角边 CP=6−t，CQ=8−2t；△CBA 中 CA=6，CB=8。相似有两种对应：
- 情形① CP/CB = CQ/CA（即 CP↔CB，CQ↔CA）：(6−t)/8 = (8−2t)/6
⇒ 6(6−t) = 8(8−2t) ⇒ 36−6t = 64−16t ⇒ 10t = 28 ⇒ t = 2.8 秒；
- 情形② CP/CA = CQ/CB（即 CP↔CA，CQ↔CB，同序）：(6−t)/6 = (8−2t)/8
⇒ 8(6−t) = 6(8−2t) ⇒ 48−8t = 48−12t ⇒ 4t = 0 ⇒ t = 0，此时 P、Q 在起点，△CPQ=△CBA 重合，非”运动中”情形（通常舍）。
答案：t = 2.8 秒（情形①）；t = 0（情形②，起始重合，一般不计）。

四、易错点提醒 ¶

相似比与顺序的关系：相似比必须按”对应边”确定，写△ABC ∽ △DEF 时对应顶点顺序决定对应边（AB↔DE，BC↔EF，AC↔DF），顺序写错会导致比例关系和面积比全部出错。
面积比 = 相似比的平方：常误把面积比当成相似比。周长比、对应线段比 = 相似比；面积比 = 相似比²。务必区分。
利用平行得相似方向要一致：平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似，但要注意截的是”两边”还是”两边的延长线”，对应关系不可张冠李戴。
SAS 判定中必须是”夹角”：两边成比例且夹角相等才能判定相似；若相等的是非夹角（如两边及一边对角），不能直接判定（与全等 SAS 同理，避免 SSA 错误）。

第二十八章锐角三角函数 ¶

本章考纲要求 ¶

锐角三角函数是中考必考重点。2022 版课标要求：利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA、cosA、tanA），知道 30°、45°、60° 角的三角函数值；能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题（仰角、俯角、坡度、坡角、方向角）。中考常以一道综合应用题（含实际情境）必考，分值较高，常与相似、圆结合。本章为中考重点。

一、核心概念 ¶

正弦：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，锐角 A 的正弦 sinA = ∠A 的对边/斜边 = a/c。
余弦：锐角 A 的余弦 cosA = ∠A 的邻边/斜边 = b/c。
正切：锐角 A 的正切 tanA = ∠A 的对边/邻边 = a/b。
锐角三角函数：对于一个确定的锐角 α，它的正弦、余弦、正切值都是唯一确定的，称为 α 的三角函数。它们都只与角的大小有关，与所在直角三角形的边长无关。
解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素（边、角），求出其余未知元素的过程。一个直角三角形除直角外有 5 个元素（2 锐角、3 边），知道其中 2 个（至少含一边）即可解出。
坡度（坡比）i：坡面的铅直高度 h 与水平宽度 l 的比，i = h/l = tanα（α 为坡角）。坡角越大，坡度越大，坡面越陡。
仰角与俯角：视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角；视线在水平线下方时，叫俯角。
方向角（方位角）：以观测者为中心，以正北、正南方向为基准，描述目标方向的角。如”北偏东 30°”表示从正北方向向东偏 30°；特殊地”东北方向”即北偏东 45°。
余角：两锐角之和为 90°，互为余角。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

【特殊角三角函数值表】

锐角 α	30°	45°	60°
sinα	1/2	√2/2	√3/2
cosα	√3/2	√2/2	1/2
tanα	√3/3	1	√3

记忆规律：sin 值为 √n/2（n = 1,2,3，即 √1/2, √2/2, √3/2）；cos 值顺序相反（√3/2, √2/2, √1/2）；tan 值为 √n/3 经化简（√3/3, 1, √3 = √9/3）。

【锐角三角函数的关系】

互余关系：若 α + β = 90°，则 sinα = cosβ，cosα = sinβ，tanα·tanβ = 1。
即：sin(90°−α) = cosα，cos(90°−α) = sinα，tan(90°−α) = 1/tanα。
同角关系：sin²α + cos²α = 1；tanα = sinα/cosα。（同一锐角 α）
增减性（0° < α < 90°）：sinα、tanα 随 α 增大而增大；cosα 随 α 增大而减小。
取值范围（0° < α < 90°）：0 < sinα < 1，0 < cosα < 1，tanα > 0。

**【解直角三角形的依据（∠C = 90°）】】

三边关系（勾股定理）：a² + b² = c²（c 为斜边）。
两锐角互余：∠A + ∠B = 90°。
边角关系：sinA = a/c，cosA = b/c，tanA = a/b；sinB = b/c，cosB = a/c，tanB = b/a。
已知两元素（至少含一边），可解：知一锐角+任一边可解；知两边可解。

【实际应用常用结论】

等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线”三线合一”，可通过作高构造直角三角形。
等边三角形边长为 a，则高 h = (√3/2)a，面积 S = (√3/4)a²。
正三角形、正六边形等常见图形中的角度（如 30°、60°）对应三角函数值需熟记。

三、必会练习 ¶

【考点 1 锐角三角函数定义与特殊角】

题目 1（★基础） 计算：
（1）2sin30° + 3cos60° − tan45°；
（2）sin²45° + cos²45° − tan60°·tan30°。

解析：
（1）2×(1/2) + 3×(1/2) − 1 = 1 + 3/2 − 1 = 3/2。
（2）(√2/2)² + (√2/2)² − √3×(√3/3) = 1/2 + 1/2 − 1 = 0。也可直接用 sin²+cos²=1，tan60°·tan30°=1，得 1−1=0。
答案：（1）3/2；（2）0。

题目 2（★基础） 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，求 sinA、cosA、tanA 的值。

解析：∠C = 90°，斜边 AB = 5，∠A 对边 BC = 3。
AC = √(AB²−BC²) = √(25−9) = 4。
∴ sinA = BC/AB = 3/5；cosA = AC/AB = 4/5；tanA = BC/AC = 3/4。
答案：sinA = 3/5，cosA = 4/5，tanA = 3/4。

题目 3（★★中档） 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 sinA = 3/5，求 cosA 和 tanB 的值。

解析：sinA = 3/5，设 BC = 3k，AB = 5k，则 AC = √(25k²−9k²) = 4k。
cosA = AC/AB = 4k/5k = 4/5。
∠B 与 ∠A 互余，tanB = ∠B 对边/邻边 = AC/BC = 4k/3k = 4/3。
（也可用 cosA = sinB ⇒ sinB = 4/5 再求，但直接算更简便。）
答案：cosA = 4/5，tanB = 4/3。

【考点 2 解直角三角形】

题目 4（★★中档） 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 60°，a + b = 3 + √3（a 为 ∠A 对边，b 为 ∠B 对边）。求 c 和∠B，并写出三边长。

解析：∠B = 90° − 60° = 30°。
∠A = 60° ⇒ tanA = a/b = √3 ⇒ a = √3·b，代入 a + b = 3 + √3：√3·b + b = 3 + √3 ⇒ b(√3+1) = 3 + √3 ⇒ b = (3+√3)/(√3+1) = √3（分子分母同乘 (√3−1) 验证：(3+√3)(√3−1)/2 = (3√3−3+3−√3)/2 = 2√3/2 = √3）。
∴ a = √3·√3 = 3，b = √3，c = 2b = 2√3（30° 角所对边 b = c/2，∴ c = 2√3）。
验证：a²+b² = 9+3 = 12 = (2√3)² ✓；a+b = 3+√3 ✓。
答案：∠B = 30°，a = 3，b = √3，c = 2√3。

【考点 3 解直角三角形应用——仰角俯角（中考综合）】

题目 5（★★★提高，中考综合） 如图，大楼 AB 顶部有一塔 CD（C 在 B 上方），在地面上点 M 处测得塔顶 D 的仰角为 45°，从 M 沿 MB 方向前进 20 米到点 N 处，测得塔顶 D 的仰角为 60°，测得塔底 C（即楼顶）的仰角为 30°。求大楼 AB 的高度和塔 CD 的高度。（结果保留根号）

解析：设 AB = h（楼高），CD = t（塔高），BC 段即塔在楼顶以上部分，楼顶 C 离地高即为 AB = h，塔顶 D 离地高为 h + t。
由题意：在 M 处仰角看 D 为 45° ⇒ 在 Rt△MBD（D 正对 M 的铅垂投影，水平距离为 MB），tan∠DMB = (h+t)/MB = tan45° = 1 ⇒ MB = h + t ①。
退到 N 处，MN = 20，此时 NB = MB − 20 = h + t − 20 ②。
N 处看 D 仰角 60°：tan∠DNB = (h+t)/NB = tan60° = √3 ⇒ (h+t) = √3·NB ③。
N 处看 C（楼顶）仰角 30°：tan∠CNB = h/NB = tan30° = √3/3 ⇒ h = (√3/3)·NB ④。
由 ③④：(h+t) = √3·NB，h = (√3/3)·NB ⇒ 两式相比 (h+t)/h = √3/(√3/3·NB)·NB… 更直接：
由 ④ NB = 3h/√3 = √3·h。代入 ③：(h+t) = √3·(√3·h) = 3h ⇒ t = 2h。
又由 ②及 ①：NB = h+t−20 = 3h − 20；而 NB = √3·h，故 √3·h = 3h − 20 ⇒ h(√3−3) = −20 ⇒ h = 20/(3−√3) = 20(3+√3)/((3−√3)(3+√3)) = 20(3+√3)/6 = 10(3+√3)/3 meters。
t = 2h = 20(3+√3)/3。
答案：大楼 AB 高 = 10(3+√3)/3 米；塔 CD 高 = 20(3+√3)/3 米。
（提示：这是仰角双测点 + 双目标的典型综合题，关键是把两个测点的水平距离差与仰角联立，注意区分楼高 h 与塔高 t，几何关系清晰列式为解题关键）

【考点 4 解直角三角形应用——坡度坡角、方向角】

题目 6（★★中档） 一段斜坡的坡角为 30°，坡面长 20 m，求坡顶到坡底的铅直高度 h 和水平距离 l。

解析：坡角 α = 30°，坡面（斜边）= 20，则 h = 20·sin30° = 20×1/2 = 10 m，l = 20·cos30° = 20×(√3/2) = 10√3 m。
坡度 i = h:l = 10:10√3 = 1:√3 = √3:3 = tan30° ✓。
答案：h = 10 m，l = 10√3 m。

题目 7（★★★提高，方向角综合） 如图，海面上 A、B 两船，A 船在灯塔 O 的北偏东 60° 方向，且 OA = 10 海里；B 船在灯塔 O 的南偏东 30° 方向。已知 A、B 两船与灯塔的距离满足 OB = 10√3 海里，求 A、B 两船之间的距离。

解析：以 O 为原点，正北方向为 y 轴正向、正东方向为 x 轴正向建系。
A 在北偏东 60°：A 的方位角（从正北顺时针转）= 偏东 60° ⇒ A 在第一象限，与正北夹角 60° ⇒ OA 与正北 y 轴夹角 60°，∴ A 的坐标 x_A = 10·sin60° = 5√3，y_A = 10·cos60° = 5。
B 在南偏东 30°：B 在第四象限（南、东），与正南（−y）方向夹角 30° ⇒ x_B = 10√3·sin30° = 5√3，y_B = −10√3·cos30° = −15。
A、B 间距离 AB = √((x_A−x_B)² + (y_A−y_B)²) = √((5√3−5√3)² + (5−(−15))²) = √(0 + 400) = 20。
实际上 A、B 同在正东方向不同纬度（南北位置不同，东西相同），直接：南北距差 = 5−(−15) = 20，东西距差 = 0，故 AB = 20 海里。
也可用夹角：OA 方向北偏东 60°，OB 方向南偏东 30°，两方向夹角 = (90°−60°) + (90°−30°)… 用方位：OA、OB 夹角 = 180° − 60° − 30° = 90°（一北偏东、一南偏东，南北差 180°−(60°+30°)=90°），再用余弦定理或直角：OA⊥OB，AB = √(OA²+OB²) = √(100+300) = √400 = 20。
答案：A、B 两船相距 20 海里。

四、易错点提醒 ¶

正弦、余弦的对边与邻边判错：sin 是”对边/斜边”，cos 是”邻边/斜边”，”对”“邻”都是相对所讨论的角而言。换一个角，对边邻边就变了，务必标清是哪个角。
正弦、余弦值范围与增减性记反：0 < sinα < 1 且随 α 增大而增大；cosα 随 α 增大而减小；常误以为 cos 也随角增大而增大。
特殊角三角函数值混淆：30° 与 60° 的正弦、余弦值正好互换（sin30° = cos60° = 1/2，cos30° = sin60° = √3/2），余角关系是记忆和检验的好工具。
实际应用题中仰角俯角的水平线方向：仰角、俯角都以”水平视线”为始边，铅垂方向为目标，不是以斜边为基准；坡度是铅直/水平，不是斜面/水平。

第二十九章投影与视图 ¶

本章考纲要求 ¶

本章中考常以选择、填空题考查。2022 版课标要求：通过实例了解投影、平行投影、中心投影的概念，了解正投影的含义及其性质；会画基本几何体（直接柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、俯视图、左视图），会根据三视图描述基本几何体或实物原型。中考多为根据几何体判断三视图、根据三视图还原几何体、求小立方体搭成几何体的表面积或体积。本章为常考内容。

一、核心概念 ¶

投影：光线照射物体，物体在某个平面上留下的影子叫做投影。照射的光线叫做投影线，留下影子的平面叫做投影面。
平行投影：由平行光线（如太阳光）形成的投影。太阳光可近似看作平行光。
中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影。如手电筒、路灯、幻灯机的光。
正投影：投影线垂直于投影面的投影。正投影能准确反映物体在该方向的真实形状与大小（当物体面与投影面平行时）。
视图：从某一方向观察物体，在投影面上得到的正投影图。从正面得到的叫主视图（正视图），从上面得到的叫俯视图，从侧面（左面）得到的叫左视图。主视图、俯视图、左视图合称三视图。
三视图的关系：
主视图与俯视图：长对正（长度相等）；
主视图与左视图：高平齐（高度相等）；
俯视图与左视图：宽相等（宽度相等）。
简记：长对正、高平齐、宽相等。

二、定理 / 性质 / 公式 / 法则 ¶

【投影的性质】

平行投影的性质：同一时刻，不同物体的平行投影中，物体与对应影长成比例（与平行线分线段成比例相关，物高/影长为定值）。
中心投影的性质：连接物体顶点与对应影端点的投影线，必相交于点光源。不同物体对应投影线延长后交于同一点（光源）。
正投影的性质：
线段正投影：平行于投影面时，投影与线段等长；垂直于投影面时，投影为一个点；倾斜时，投影比线段短。
平面图形正投影：平行于投影面时，投影与原图全等；倾斜时，投影形状改变、变小；垂直时，投影为线段。
几何体正投影：反映物体在那个方向的外轮廓。

【常见几何体的三视图】

几何体	主视图	俯视图	左视图
正方体	正方形	正方形	正方形
长方体	长方形	长方形	长方形
圆柱	长方形	圆	长方形
圆锥	等腰三角形	圆（带圆心点）	等腰三角形
球	圆	圆	圆
棱柱	长方形（含棱线）	多边形	长方形（含棱线）
棱锥	三角形	多边形（带交点）	三角形

【由三视图还原几何体的方法】

由俯视图确定物体底面的形状与位置（底层布局）；
由主视图和左视图确定各方向的高度（层数、层数列）；
综合三视图，确定几何体的整体结构。
对于由小立方体搭成的几何体：俯视图上每个小方格的数字（主、左视图高度）决定该列方块的最高层数，常用”俯视图标数法”还原。

三、必会练习 ¶

【考点 1 平行投影与中心投影】

题目 1（★基础） 下列投影中，属于中心投影的是_，属于平行投影的是_。
①阳光下树的影子；②灯光下人的影子；③探照灯光下的影子；④月光下旗杆的影子；⑤路灯下行人的影子。

解析：太阳光、月光近似平行光⇒平行投影；灯光、探照灯、路灯都是点光源⇒中心投影。
答案：中心投影：②③⑤；平行投影：①④。

题目 2（★★中档） 在同一时刻，身高 1.6 m 的小明在阳光下的影长为 2 m，旁边一棵树的影长为 8 m，求树高。

解析：同一时刻阳光下为平行投影，物高与影长成比例：1.6/2 = 树高/8 ⇒ 树高 = 8×1.6/2 = 6.4 m。
答案：树高 6.4 m。

【考点 2 三视图的判断】

题目 3（★基础） 下列几何体中，主视图和左视图都是等腰三角形、俯视图是带圆心点的圆的是（）
A. 圆柱　B. 圆锥　C. 球　D. 棱锥

解析：圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是从上方看为圆且能见顶点（圆心点）。圆锥特征。
答案：B。

题目 4（★★中档） 一个几何体的三视图如图所示（主视图和左视图均为长 4 宽 3 的长方形，俯视图为直径是 4 的圆），则这个几何体是_，其体积为_。

解析：俯视图为圆，主、左视图为长方形 ⇒ 圆柱。底面直径 4 ⇒ 半径 r = 2，高 h = 3（左视图高度即圆柱的高）。
V = πr²h = π×4×3 = 12π。
答案：圆柱；12π。

【考点 3 由小立方体搭成几何体的三视图还原】

题目 5（★★中档） 由若干个相同的小立方块搭成的几何体，其主视图和俯视图如下（主视图：第一列 3 个高、第二列 1 个高；俯视图：2×2 方格，左列为第一列），求该几何体最少和最多需要多少个小立方块。

解析：主视图第一列 3 高、第二列 1 高（自上而下层数标记）；俯视图 2×2，第一列（主视图对应列）由俯视图两行构成。
还原方法：俯视图每个小格的列 = 主视图该列层数上限。
第一列（主视图 3 层）对应俯视图 2 个格子，每格最高 3 层；第二列（主视图 1 层）对应俯视图 2 个格子，每格最高 1 层。
最少搭配：第一列 2 格中，1 格放 3 层（满足主视图 3 层），另 1 格放至少够主视图可见的最少（主视图只看该列最高，已由 3 层满足），故另 1 格可最少放 1 层；第二列 2 格各放 1 层满足主视图 1 层。
最少 = 3 + 1 + 1 + 1 = 6 块（按”必须每列有最高，其余尽量少”）；
最多 = 第一列 2 格各放 3 层 + 第二列 2 格各放 1 层 = 3+3+1+1 = 8 块。
答案：最少需 6 块，最多需 8 块。
（提示：此类型关键是用”主视图定每列最大层数、左视图定每行最大层数”，二者结合俯视图给每个位置确定层数范围，最少取最小、最多取最大值）

【考点 4 三视图还原与表面积、体积计算】

题目 6（★★★提高） 一个几何体的三视图如图所示（俯视图是直角边为 2 和 3 的直角三角形；主视图是一个直角三角形，高为 4，底边为 3；左视图是高为 4 的直角三角形），描述该几何体的形状，并求其体积。

解析：俯视图为直角三角形（底面）⇒ 几何体底面是直角三角形，两直角边为 2、3；主、左视图都是直角三角形且高为 4 ⇒ 几何体为底面是直角三角形的直棱柱（直三棱柱），高（即棱长）= 4。
底面三角形面积 = (1/2)×2×3 = 3，
体积 V = 底面积×高 = 3×4 = 12。
答案：该几何体为直三棱柱（底面为直角边 2、3 的直角三角形，高为 4）；体积为 12。

四、易错点提醒 ¶

主视图与左视图的”长、宽、高”对应易混：主视图反映”长×高”，俯视图反映”长×宽”，左视图反映”宽×高”。”宽相等”是指俯视图的宽与左视图的宽一致，需旋转对齐，初学易错位。
圆锥俯视图漏画圆心点：圆锥俯视图应为带圆心的圆（圆表示底面圆，圆心点表示锥顶投影），不能只画一个圆（否则与圆柱俯视图混淆）。
正投影与平行投影范围混淆：正投影是平行投影中投影线垂直于投影面的特例，所有正投影都是平行投影，但平行投影不一定是正投影（光线可倾斜）。
小立方块还原最多最少数法：求”最多”时各位置取其允许的最大层数（受主、左视图同时约束），求”最少”时只需满足每行每列至少出现最大层数一次，其余尽量少，二者思路不同，不能混用一种算法。

使用建议：本指南可配合九年级下册教材逐章复习，重点突破第二十六、二十七、二十八章的综合题；遇几何证明请规范书写”已知—求证—证明—结论”格式；遇三角函数应用题务必画图、标清角与边的对应关系。祝中考顺利！

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