20260727 092531 高中数学学习手册高一上册

高中数学学习手册 · 高一上册 ¶

学期信息：高一上学期（第一学期）
教材依据：人教A版（2019版）高中数学必修第一册
课程标准：《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》
适用对象：高一年级学生、高考复习备考学生
使用说明：本手册按章节顺序编排，每章包含「考纲要求与学习目标」「核心概念梳理」「定理公式与性质」「必会练习」「易错点提醒」「高考链接」六大板块。建议先通读概念与公式，再独立完成练习题，最后对照详解查漏补缺。数学公式使用 LaTeX 语法，支持 Markdown 渲染器或 Typora 等工具阅读。

目录 ¶

第一章集合与常用逻辑用语
1.1 考纲要求与学习目标
1.2 核心概念梳理
1.3 定理、公式与性质
1.4 必会练习
1.5 易错点提醒
1.6 高考链接
第二章一元二次函数、方程和不等式
2.1 考纲要求与学习目标
2.2 核心概念梳理
2.3 定理、公式与性质
2.4 必会练习
2.5 易错点提醒
2.6 高考链接
第三章函数的概念和性质
3.1 考纲要求与学习目标
3.2 核心概念梳理
3.3 定理、公式与性质
3.4 必会练习
3.5 易错点提醒
3.6 高考链接
第四章指数函数与对数函数
4.1 考纲要求与学习目标
4.2 核心概念梳理
4.3 定理、公式与性质
4.4 必会练习
4.5 易错点提醒
4.6 高考链接
第五章三角函数
5.1 考纲要求与学习目标
5.2 核心概念梳理
5.3 定理、公式与性质
5.4 必会练习
5.5 易错点提醒
5.6 高考链接

第一章集合与常用逻辑用语 ¶

1.1 考纲要求与学习目标 ¶

高考考查要求：

集合是现代数学的基础语言，也是高考必考内容。在高考中，集合通常以选择题或填空题的形式出现，考查集合的含义与表示、集合间的基本关系、集合的基本运算，以及充分条件与必要条件的判断。集合还常与不等式、函数等知识交汇考查。

学习目标：

理解集合的概念，掌握集合的三种表示方法（列举法、描述法、Venn图法）。
理解集合间的基本关系（子集、真子集、相等、空集），掌握子集个数公式。
掌握集合的基本运算（交集、并集、补集），理解德摩根定律。
理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，能正确判断条件关系。
理解全称量词与存在量词，掌握含有一个量词的命题的否定。

核心素养： 数学抽象（集合概念的抽象）、逻辑推理（条件关系的判断）、数学运算（集合运算）。

1.2 核心概念梳理 ¶

1.2.1 集合的概念 ¶

集合：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）。

集合通常用大写拉丁字母 $A, B, C, \cdots$ 表示，元素用小写拉丁字母 $a, b, c, \cdots$ 表示。

如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素，就说 $a$ 属于集合 $A$，记作 $a \in A$；如果 $a$ 不是集合 $A$ 的元素，就说 $a$ 不属于集合 $A$，记作 $a \notin A$。

元素的特性：

确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是不是它的元素，是明确的。例如”高一（1）班身高超过170cm的同学”构成一个集合，而”高一（1）班比较高的同学”不构成集合，因为”比较高”的标准不确定。
互异性：一个集合中的元素是互不相同的，相同的元素在同一集合中只出现一次。例如集合 ${1, 1, 2}$ 应写作 ${1, 2}$。
无序性：集合中的元素没有先后顺序。例如 ${1, 2, 3}$ 和 ${3, 2, 1}$ 表示同一集合。

常用数集的专用符号：

符号	含义
$\mathbb{N}$	非负整数集（自然数集）：$0, 1, 2, 3, \cdots$
$\mathbb{N}^*$ 或 $\mathbb{N}^+$	正整数集：$1, 2, 3, \cdots$
$\mathbb{Z}$	整数集：$\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots$
$\mathbb{Q}$	有理数集
$\mathbb{R}$	实数集

1.2.2 集合的表示方法 ¶

列举法：将集合的元素一一列举出来，用花括号括起来。例如：$A = {1, 2, 3, 4, 5}$。
描述法：将集合中元素的共同特征描述出来，一般形式为 ${x \in A \mid P(x)}$，其中 $P(x)$ 是元素 $x$ 满足的性质。例如：$B = {x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 1 = 0} = {-1, 1}$。
Venn图法：用封闭曲线的内部表示集合，直观展示集合间的关系。Venn图是英国逻辑学家 John Venn 发明的。

1.2.3 集合间的基本关系 ¶

子集：一般地，如果集合 $A$ 的任意一个元素都是集合 $B$ 的元素，就称集合 $A$ 为集合 $B$ 的子集，记作 $A \subseteq B$（或 $B \supseteq A$），读作”$A$包含于$B$”（或”$B$包含$A$”）。

用符号语言表述：$A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x \in A, x \in B$。

真子集：如果集合 $A \subseteq B$，但存在元素 $x \in B$ 且 $x \notin A$，就称集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集，记作 $A \subsetneq B$（或 $A \varsubsetneqq B$）。
集合相等：如果 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，则 $A = B$。
空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 $\varnothing$。空集是任何集合的子集，即 $\varnothing \subseteq A$（对任意集合 $A$ 成立）。空集是任何非空集合的真子集。

1.2.4 充分条件与必要条件 ¶

充分条件：如果 $p \Rightarrow q$（即”若 $p$ 则 $q$”成立），则称 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件。
充要条件：如果 $p \Rightarrow q$ 且 $q \Rightarrow p$（即 $p \Leftrightarrow q$），则称 $p$ 是 $q$ 的充分且必要条件（简称充要条件）。
既不充分也不必要：如果 $p \nRightarrow q$ 且 $q \nRightarrow p$，则 $p$ 既不是 $q$ 的充分条件，也不是 $q$ 的必要条件。

1.2.5 全称量词与存在量词 ¶

全称量词：短语”所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号 $\forall$ 表示。含有全称量词的命题称为全称量词命题，形式为”$\forall x \in M, p(x)$”。
存在量词：短语”存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号 $\exists$ 表示。含有存在量词的命题称为存在量词命题，形式为”$\exists x \in M, p(x)$”。
命题的否定：
全称量词命题 $\forall x \in M, p(x)$ 的否定是 $\exists x \in M, \neg p(x)$。
存在量词命题 $\exists x \in M, p(x)$ 的否定是 $\forall x \in M, \neg p(x)$。

1.3 定理、公式与性质 ¶

1.3.1 子集个数公式 ¶

若集合 $A$ 含有 $n$ 个元素，则：

$A$ 的子集个数为 $2^n$ 个
$A$ 的真子集个数为 $2^n - 1$ 个
$A$ 的非空真子集个数为 $2^n - 2$ 个

推导思路：对于 $n$ 个元素中的每一个，都有”属于子集”或”不属于子集”两种选择，由乘法原理共有 $2^n$ 种，即 $2^n$ 个子集。除去空集（1个）和集合本身（1个），即可得到真子集和非空真子集的个数。

1.3.2 集合的基本运算 ¶

交集：$A \cap B = {x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B}$
并集：$A \cup B = {x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B}$
补集：设 $U$ 为全集，$A \subseteq U$，则 $\complement_U A = {x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A}$

1.3.3 运算性质 ¶

$A \cap A = A$，$A \cap \varnothing = \varnothing$
$A \cup A = A$，$A \cup \varnothing = A$
$A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$
$A \cap B = A \Leftrightarrow A \subseteq B$
$A \cup B = A \Leftrightarrow B \subseteq A$
$A \cap \complement_U A = \varnothing$，$A \cup \complement_U A = U$
$\complement_U(\complement_U A) = A$

1.3.4 德摩根定律（De Morgan’s Laws）¶

$$\complement_U (A \cup B) = (\complement_U A) \cap (\complement_U B)$$

$$\complement_U (A \cap B) = (\complement_U A) \cup (\complement_U B)$$

口诀：补集符号穿过括号，交变并，并变交。

1.3.5 集合相等的重要结论 ¶

若 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，则 $A = B$。

特别地，若 $A \subseteq B$，则 $A \cap B = A$，$A \cup B = B$。

1.4 必会练习 ¶

练习1（基础题）已知集合 $A = {x \mid x = 3k, k \in \mathbb{N}^}$，$B = {x \mid x = 6k, k \in \mathbb{N}^}$，判断集合 $A$ 与 $B$ 的关系。

解答：

集合 $A$ 是正整数中3的倍数：$A = {3, 6, 9, 12, 15, \cdots}$。

集合 $B$ 是正整数中6的倍数：$B = {6, 12, 18, \cdots}$。

由于6的倍数一定是3的倍数，所以 $B$ 中任意元素都属于 $A$。又因为 $3 \in A$ 但 $3 \notin B$，所以 $B$ 是 $A$ 的真子集。

$$B \subsetneq A$$

练习2（基础题）已知集合 $A = {1, 2, 3}$，写出 $A$ 的所有子集，并指出子集个数。

解答：

$A$ 的所有子集为：

0个元素的子集（空集）：$\varnothing$
1个元素的子集：${1}$，${2}$，${3}$
2个元素的子集：${1, 2}$，${1, 3}$，${2, 3}$
3个元素的子集（集合本身）：${1, 2, 3}$

共 $2^3 = 8$ 个子集，其中真子集7个，非空真子集6个。

练习3（基础题）设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$，$A = {2, 4, 6, 8}$，$B = {1, 2, 3, 4}$，求 $A \cap B$，$A \cup B$，$\complement_U A$，$\complement_U(A \cap B)$。

解答：

$A \cap B = {2, 4}$（同时属于 $A$ 和 $B$ 的元素）

$A \cup B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}$（属于 $A$ 或 $B$ 的元素）

$\complement_U A = {1, 3, 5, 7}$（在 $U$ 中但不在 $A$ 中的元素）

$A \cap B = {2, 4}$，所以 $\complement_U(A \cap B) = {1, 3, 5, 6, 7, 8}$

验证德摩根定律：$\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B = {1,3,5,7} \cup {5,6,7,8} = {1,3,5,6,7,8}$ ✓

练习4（中档题）已知集合 $A = {x \mid -2 \leq x \leq 5}$，$B = {x \mid m+1 \leq x \leq 2m-1}$，若 $B \subseteq A$，求实数 $m$ 的取值范围。

解答：

需分两种情况讨论：

情况一：$B = \varnothing$，即 $m+1 > 2m-1$，解得 $m < 2$。此时 $B \subseteq A$ 自动成立。

情况二：$B \neq \varnothing$，即 $m \geq 2$。此时需要 $B$ 中的所有元素都在 $A$ 中：

$$\begin{cases} m+1 \geq -2 \ 2m-1 \leq 5 \end{cases}$$

由 $m+1 \geq -2$ 得 $m \geq -3$；由 $2m-1 \leq 5$ 得 $m \leq 3$。

又因为 $m \geq 2$，所以 $2 \leq m \leq 3$。

综合两种情况：$m < 2$ 或 $2 \leq m \leq 3$，即 $m \leq 3$。

所以实数 $m$ 的取值范围为 $m \leq 3$。

练习5（中档题）已知集合 $A = {x \mid x^2 - 3x + 2 = 0}$，$B = {x \mid x^2 - ax + a - 1 = 0}$，若 $B \subseteq A$，求实数 $a$ 的值。

解答：

首先解集合 $A$：$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) = 0$，所以 $A = {1, 2}$。

集合 $B$：$x^2 - ax + (a-1) = 0$，因式分解得 $(x-1)(x-(a-1)) = 0$，所以 $B$ 的元素为 $1$ 和 $a-1$。

由 $B \subseteq A = {1, 2}$，讨论：

若 $B = {1}$，则方程只有一个解 $x=1$，即 $a-1 = 1$，$a = 2$。此时 $B = {1} \subseteq A$ ✓
若 $B = {1, 2}$，则 $a-1 = 2$，$a = 3$。此时 $B = {1, 2} = A$ ✓

所以 $a = 2$ 或 $a = 3$。

练习6（中档题）判断下列命题中，$p$ 是 $q$ 的什么条件（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）：

（1）$p$：$x = 2$；$q$：$x^2 - 4 = 0$

（2）$p$：$a > b$；$q$：$a^2 > b^2$

（3）$p$：$x \in A \cap B$；$q$：$x \in A \cup B$

解答：

（1）$p \Rightarrow q$：若 $x=2$，则 $x^2-4=0$，成立。$q \nRightarrow p$：若 $x^2-4=0$，则 $x=\pm2$，$x$ 不一定等于2。

故 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

（2）$p \nRightarrow q$：取 $a=1$，$b=-2$，$a>b$ 但 $a^2=1 < 4=b^2$。

$q \nRightarrow p$：取 $a=-2$，$b=1$，$a^2>b^2$ 但 $a<b$。

故 $p$ 是 $q$ 的既不充分也不必要条件。

（3）$p \Rightarrow q$：若 $x \in A \cap B$，则 $x \in A$ 且 $x \in B$，故 $x \in A \cup B$，成立。

$q \nRightarrow p$：若 $x \in A \cup B$，则 $x$ 可能只属于 $A$ 或只属于 $B$，不一定同时属于两者。

故 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

练习7（中档题）写出下列命题的否定，并判断真假：

（1）$\forall x \in \mathbb{R}$，$x^2 + 1 > 0$

（2）$\exists x \in \mathbb{R}$，$x^2 - x + 1 < 0$

解答：

（1）命题的否定为：$\exists x \in \mathbb{R}$，$x^2 + 1 \leq 0$。

判断真假：因为 $x^2 \geq 0$ 对所有实数 $x$ 成立，所以 $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ 恒成立，原命题为真，其否定为假命题。

（2）命题的否定为：$\forall x \in \mathbb{R}$，$x^2 - x + 1 \geq 0$。

判断真假：$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0$，开口向上，所以 $x^2 - x + 1 > 0$ 恒成立，原命题为假，其否定为真命题。

练习8（提升题）设集合 $A = {x \mid x^2 - 5x + 6 < 0}$，$B = {x \mid x^2 - (a+3)x + 3a < 0}$，若 $A \cap B \neq \varnothing$，求实数 $a$ 的取值范围。

解答：

先解 $A$：$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) < 0$，所以 $A = {x \mid 2 < x < 3}$。

再解 $B$：$x^2 - (a+3)x + 3a = (x-3)(x-a) < 0$。

当 $a < 3$ 时，$B = {x \mid a < x < 3}$；当 $a > 3$ 时，$B = {x \mid 3 < x < a}$；当 $a = 3$ 时，$B = \varnothing$。

要使 $A \cap B \neq \varnothing$：

当 $a < 3$ 时，$A \cap B = {x \mid \max(2, a) < x < 3}$，需要 $\max(2, a) < 3$，即 $a < 3$ 时恒成立。但还需 $A \cap B \neq \varnothing$，即 $\max(2,a) < 3$，当 $a < 3$ 时总成立。
当 $a > 3$ 时，$A \cap B = {x \mid 3 < x < \min(3, a)} = \varnothing$（因为 $A$ 是 $2 < x < 3$，$B$ 是 $3 < x < a$，交集为空）。
当 $a = 3$ 时，$B = \varnothing$，$A \cap B = \varnothing$。

综合得 $a < 3$ 时 $A \cap B \neq \varnothing$。

所以实数 $a$ 的取值范围为 $a < 3$。

练习9（提升题）已知 $p$：$|x-1| < 2$，$q$：$x^2 - 2x - 3 < 0$，判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件。

解答：

解 $p$：$|x-1| < 2 \Leftrightarrow -2 < x-1 < 2 \Leftrightarrow -1 < x < 3$。

解 $q$：$x^2 - 2x - 3 = (x+1)(x-3) < 0 \Leftrightarrow -1 < x < 3$。

由于 $p$ 和 $q$ 的解集完全相同，$p \Leftrightarrow q$。

故 $p$ 是 $q$ 的充要条件。

练习10（提升题）已知集合 $A = {x \mid (x-1)(x-a) \geq 0}$，$B = {x \mid x^2 - 2x - 3 \leq 0}$，若 $A \cup B = \mathbb{R}$，求实数 $a$ 的取值范围。

解答：

解 $B$：$x^2 - 2x - 3 = (x+1)(x-3) \leq 0$，$B = {x \mid -1 \leq x \leq 3}$。

解 $A$：$(x-1)(x-a) \geq 0$。

当 $a \leq 1$ 时，$A = {x \mid x \leq a \text{ 或 } x \geq 1}$。要使 $A \cup B = \mathbb{R}$，需要 $A \cup B$ 覆盖整个实数轴。由于 $B$ 覆盖 $[-1, 3]$，$A$ 需要覆盖 $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$。即需要 $a \geq -1$（保证 $A$ 覆盖到 $-1$ 附近）且 $1 \leq 3$（自动满足）。但更精确地，需要 $A \cup B = \mathbb{R}$，即 $A$ 的右端 $x \geq 1$ 已经覆盖了 $[1, +\infty)$ 的部分，左端 $x \leq a$ 需要覆盖 $(-\infty, -1]$，即 $a \geq -1$。所以 $-1 \leq a \leq 1$。
当 $a > 1$ 时，$A = {x \mid x \leq 1 \text{ 或 } x \geq a}$。$A \cup B$ 需要等于 $\mathbb{R}$。$B$ 覆盖 $[-1, 3]$，$A$ 覆盖 $(-\infty, 1] \cup [a, +\infty)$。注意 $[-1, 1] \subset A$ 且 $B$ 覆盖 $[-1, 3]$，所以 $A \cup B$ 覆盖 $(-\infty, 1] \cup [-1, 3] \cup [a, +\infty) = (-\infty, 3] \cup [a, +\infty)$。需要 $a \leq 3$ 才能无间隙地覆盖所有实数。所以 $1 < a \leq 3$。

综合：$-1 \leq a \leq 3$。

1.5 易错点提醒 ¶

空集容易被遗漏：在涉及”$A \subseteq B$”的问题中，一定要考虑 $A = \varnothing$ 的情况。空集是任何集合的子集，当集合 $A$ 由参数确定（如 $A = {x \mid \cdots}$）时，必须讨论 $A$ 是否为空集。
元素互异性的检验：求出集合的元素后，必须检验互异性。例如若 $A = {x \mid x = a, a^2}$ 且 $a$ 为参数，当 $a = 0$ 或 $a = 1$ 时需要注意是否有重复元素。
$\in$ 与 $\subseteq$ 的混淆：$\in$ 表示元素与集合的关系，$\subseteq$ 表示集合与集合的关系。例如 $1 \in {1, 2}$ 是正确的，而 ${1} \subseteq {1, 2}$ 也是正确的，但 $1 \subseteq {1, 2}$ 是错误的。
充分条件与必要条件的方向：”$p$ 是 $q$ 的充分条件”意味着 $p \Rightarrow q$（$p$ 能推出 $q$），而非 $q \Rightarrow p$。判断时要明确推理方向。
命题否定的量词翻转：否定全称量词命题时，$\forall$ 变 $\exists$，且结论要否定。否定存在量词命题时，$\exists$ 变 $\forall$，且结论要否定。注意只否定结论，不否定前提。
描述法中代表元素的理解：$A = {x \mid y = f(x)}$ 表示函数的定义域（$x$ 的范围），$B = {y \mid y = f(x)}$ 表示函数的值域（$y$ 的范围），$C = {(x, y) \mid y = f(x)}$ 表示函数图象上的点集。三者完全不同，务必区分清楚。

1.6 高考链接 ¶

【2023年新高考I卷·改编】

已知集合 $A = {-1, 0, 1, 2}$，$B = {x \mid x^2 \leq 1}$，则 $A \cap B = $？

解答：

集合 $B$：$x^2 \leq 1 \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 1$，即 $B = {x \mid -1 \leq x \leq 1}$。

$A \cap B$ 是 $A$ 中满足 $-1 \leq x \leq 1$ 的元素：$A$ 中元素 $-1, 0, 1, 2$，其中 $-1, 0, 1$ 满足 $-1 \leq x \leq 1$。

$$A \cap B = {-1, 0, 1}$$

【2022年全国甲卷·改编】

设全集 $U = \mathbb{R}$，集合 $A = {x \mid x < 1}$，$B = {x \mid x \geq 0}$，则 $\complement_U(A \cup B) = $？

解答：

$A \cup B = {x \mid x < 1} \cup {x \mid x \geq 0} = \mathbb{R}$（因为 $(-\infty, 1) \cup [0, +\infty) = \mathbb{R}$）。

所以 $\complement_U(A \cup B) = \complement_\mathbb{R} \mathbb{R} = \varnothing$。

第二章一元二次函数、方程和不等式 ¶

2.1 考纲要求与学习目标 ¶

高考考查要求：

不等式是高考的重点内容之一。一元二次不等式、基本不等式是高考的高频考点，常以选择题、填空题形式独立考查，也常与函数、导数等内容综合考查。利用基本不等式求最值是高考的热点题型。

学习目标：

掌握不等式的基本性质，能用作差法、作商法比较大小。
理解基本不等式 $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$（$a, b > 0$），能利用基本不等式求最值。
掌握一元二次不等式的解法，理解”三个二次”（函数、方程、不等式）的关系。
能解简单的分式不等式和高次不等式。

核心素养： 数学运算、逻辑推理、直观想象（二次函数图象与不等式的关系）。

2.2 核心概念梳理 ¶

2.2.1 不等式的基本性质 ¶

对称性：$a > b \Leftrightarrow b < a$
传递性：$a > b, b > c \Rightarrow a > c$
加法单调性：$a > b \Rightarrow a + c > b + c$；$a > b, c > d \Rightarrow a + c > b + d$
乘法单调性：$a > b, c > 0 \Rightarrow ac > bc$；$a > b, c < 0 \Rightarrow ac < bc$
乘方性质：$a > b > 0 \Rightarrow a^n > b^n$（$n \in \mathbb{N}^*$）
开方性质：$a > b > 0 \Rightarrow \sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$（$n \in \mathbb{N}^*, n \geq 2$）
倒数性质：$a > b, ab > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

2.2.2 比较大小的方法 ¶

作差法：比较 $a$ 与 $b$ 的大小，计算 $a - b$。若 $a - b > 0$ 则 $a > b$；若 $a - b = 0$ 则 $a = b$；若 $a - b < 0$ 则 $a < b$。
作商法：当 $a, b$ 同号时，比较 $\frac{a}{b}$ 与1的大小。若 $\frac{a}{b} > 1$（且 $a, b > 0$）则 $a > b$；若 $\frac{a}{b} = 1$ 则 $a = b$；若 $\frac{a}{b} < 1$（且 $a, b > 0$）则 $a < b$。

2.2.3 基本不等式 ¶

对于任意正实数 $a, b$：

$$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$$

当且仅当 $a = b$ 时等号成立。

$\frac{a+b}{2}$ 称为 $a, b$ 的算术平均数
$\sqrt{ab}$ 称为 $a, b$ 的几何平均数

重要变形：

$a + b \geq 2\sqrt{ab}$（$a, b > 0$）
$ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（$a, b > 0$）

推论（三个正数的均值不等式）：

$$\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$$（$a, b, c > 0$），当且仅当 $a = b = c$ 时等号成立。

2.2.4 一元二次不等式 ¶

形如 $ax^2 + bx + c > 0$（或 $\geq, <, \leq$）（$a \neq 0$）的不等式称为一元二次不等式。

2.2.5 “三个二次”的关系 ¶

一元二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$、一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 和一元二次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$（或 $< 0$）之间有密切关系。

设 $\Delta = b^2 - 4ac$，以 $a > 0$ 为例：

$\Delta$ 的值	方程的根	不等式 $ax^2+bx+c > 0$ 的解集	不等式 $ax^2+bx+c < 0$ 的解集
$\Delta > 0$	$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）	$x < x_1$ 或 $x > x_2$	$x_1 < x < x_2$
$\Delta = 0$	$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$	$x \neq -\frac{b}{2a}$	$\varnothing$
$\Delta < 0$	无实根	$\mathbb{R}$	$\varnothing$

2.3 定理、公式与性质 ¶

2.3.1 基本不等式的证明 ¶

代数证法：

由 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$（$a, b > 0$）展开得：

$$a + b - 2\sqrt{ab} \geq 0$$

$$a + b \geq 2\sqrt{ab}$$

$$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$$

当且仅当 $\sqrt{a} = \sqrt{b}$ 即 $a = b$ 时等号成立。

几何意义：设正方形的边长为 $\frac{a+b}{2}$，其面积 $\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$ 不小于以 $a, b$ 为邻边的矩形面积 $ab$，即半径为 $\frac{a+b}{2}$ 的圆中，直径所对的半圆上的几何均值不超过算术均值。

2.3.2 利用基本不等式求最值的核心原则 ¶

“一正、二定、三相等”：

一正：各项必须为正数。
二定：求和的最小值时，积必须是定值；求积的最大值时，和必须是定值。
三相等：等号能取到（即存在使各项相等的条件）。

积定和最小：若 $ab = P$（定值），$a, b > 0$，则 $a + b \geq 2\sqrt{P}$，当 $a = b = \sqrt{P}$ 时取最小值。
和定积最大：若 $a + b = S$（定值），$a, b > 0$，则 $ab \leq \frac{S^2}{4}$，当 $a = b = \frac{S}{2}$ 时取最大值。

2.3.3 求根公式 ¶

一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）的求根公式：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

其中 $\Delta = b^2 - 4ac$ 为判别式。

$\Delta > 0$：两个不等实根
$\Delta = 0$：两个相等实根
$\Delta < 0$：无实根

2.3.4 韦达定理（根与系数的关系）¶

设 $x_1, x_2$ 是方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）的两根，则：

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

2.3.5 分式不等式的解法 ¶

$\frac{f(x)}{g(x)} > 0 \Leftrightarrow f(x) \cdot g(x) > 0$
$\frac{f(x)}{g(x)} < 0 \Leftrightarrow f(x) \cdot g(x) < 0$
$\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0 \Leftrightarrow f(x) \cdot g(x) \geq 0 \text{ 且 } g(x) \neq 0$
$\frac{f(x)}{g(x)} \leq 0 \Leftrightarrow f(x) \cdot g(x) \leq 0 \text{ 且 } g(x) \neq 0$

注意：分母不能为零，所以在 $\geq$ 或 $\leq$ 的情况中，$g(x) \neq 0$ 的条件不可遗漏。

2.4 必会练习 ¶

练习1（基础题）解不等式 $x^2 - 5x + 6 > 0$。

解答：

先求对应方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的根：

$$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$$

$$x_1 = 2, \quad x_2 = 3$$

因为 $a = 1 > 0$，抛物线开口向上，$x^2 - 5x + 6 > 0$ 的解集为两根之外：

$${x \mid x < 2 \text{ 或 } x > 3}$$

练习2（基础题）解不等式 $-x^2 + 2x + 3 \geq 0$。

解答：

两边乘以 $-1$（注意不等号变向）：$x^2 - 2x - 3 \leq 0$。

解方程 $x^2 - 2x - 3 = 0$：$(x-3)(x+1) = 0$，$x_1 = -1$，$x_2 = 3$。

$a = 1 > 0$，开口向上，$\leq 0$ 取两根之间：

$${x \mid -1 \leq x \leq 3}$$

练习3（基础题）已知 $a, b > 0$，$a + b = 4$，求 $ab$ 的最大值。

解答：

由基本不等式：

$$ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$$

当且仅当 $a = b = 2$ 时等号成立，所以 $ab$ 的最大值为 $4$。

练习4（基础题）已知 $a, b > 0$，$ab = 9$，求 $a + b$ 的最小值。

解答：

由基本不等式：

$$a + b \geq 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{9} = 6$$

当且仅当 $a = b = 3$ 时等号成立，所以 $a + b$ 的最小值为 $6$。

练习5（中档题）求函数 $f(x) = x + \frac{4}{x}$（$x > 0$）的最小值。

解答：

因为 $x > 0$，$\frac{4}{x} > 0$，由基本不等式：

$$f(x) = x + \frac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$$

当且仅当 $x = \frac{4}{x}$，即 $x^2 = 4$，$x = 2$（$x > 0$）时等号成立。

所以 $f(x)$ 的最小值为 $4$，在 $x = 2$ 时取得。

练习6（中档题）求函数 $f(x) = x + \frac{1}{x-1}$（$x > 1$）的最小值。

解答：

令 $t = x - 1 > 0$，则 $x = t + 1$。

$$f(x) = t + 1 + \frac{1}{t} = 1 + \left(t + \frac{1}{t}\right)$$

由基本不等式：$t + \frac{1}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2$。

当 $t = \frac{1}{t}$，即 $t = 1$（$t > 0$），即 $x = 2$ 时等号成立。

$$f(x)_{\min} = 1 + 2 = 3$$

练习7（中档题）解不等式 $\frac{x-1}{x+2} \leq 0$。

解答：

分式不等式 $\frac{x-1}{x+2} \leq 0$ 等价于：

$$(x-1)(x+2) \leq 0 \text{ 且 } x + 2 \neq 0$$

解 $(x-1)(x+2) \leq 0$：$x_1 = -2$，$x_2 = 1$，取两根之间 $[-2, 1]$。

但 $x + 2 \neq 0$，即 $x \neq -2$。

所以解集为 $(-2, 1]$，即 ${x \mid -2 < x \leq 1}$。

练习8（中档题）已知 $x > 0, y > 0$，且 $2x + y = 1$，求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值。

解答：

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)(2x + y) = 2 + \frac{y}{x} + \frac{2x}{y}$$

由基本不等式：

$$\frac{y}{x} + \frac{2x}{y} \geq 2\sqrt{\frac{y}{x} \cdot \frac{2x}{y}} = 2\sqrt{2}$$

当且仅当 $\frac{y}{x} = \frac{2x}{y}$，即 $y^2 = 2x^2$，$y = \sqrt{2}x$ 时等号成立。

结合 $2x + y = 1$：$2x + \sqrt{2}x = 1$，$x = \frac{1}{2+\sqrt{2}}$。

所以最小值为 $2 + 2\sqrt{2}$。

练习9（中档题）解不等式 $x^3 - 2x^2 - 3x < 0$。

解答：

因式分解：$x^3 - 2x^2 - 3x = x(x^2 - 2x - 3) = x(x-3)(x+1)$。

求解 $x(x-3)(x+1) < 0$。

三个根为 $x = -1, 0, 3$（按从小到大排列）。

在区间 $(-\infty, -1)$：取 $x = -2$，$(-2)(-5)(-1) = -10 < 0$ ✓
在 $(-1, 0)$：取 $x = -0.5$，$(-0.5)(-3.5)(0.5) = 0.875 > 0$ ✗
在 $(0, 3)$：取 $x = 1$，$(1)(-2)(2) = -4 < 0$ ✓
在 $(3, +\infty)$：取 $x = 4$，$(4)(1)(5) = 20 > 0$ ✗

所以解集为 $(-\infty, -1) \cup (0, 3)$。

练习10（提升题）已知 $x > 0$，求 $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$ 的最小值。

解答：

$$f(x) = \frac{x^2 + 4}{x} = x + \frac{4}{x}$$

因为 $x > 0$，由基本不等式：

$$x + \frac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 4$$

当 $x = \frac{4}{x}$，即 $x = 2$ 时等号成立。

所以 $f(x)_{\min} = 4$。

练习11（提升题）已知关于 $x$ 的不等式 $ax^2 + bx + 2 > 0$ 的解集为 ${x \mid -1 < x < 2}$，求 $a$ 和 $b$ 的值。

解答：

不等式 $ax^2 + bx + 2 > 0$ 的解集为 $-1 < x < 2$，说明：

$a < 0$（开口向下，$> 0$ 取两根之间）。
$-1$ 和 $2$ 是方程 $ax^2 + bx + 2 = 0$ 的两根。

由韦达定理：

$$x_1 + x_2 = -1 + 2 = 1 = -\frac{b}{a}$$

$$x_1 \cdot x_2 = (-1) \times 2 = -2 = \frac{2}{a}$$

由 $\frac{2}{a} = -2$ 得 $a = -1$。

由 $-\frac{b}{a} = 1$ 得 $-\frac{b}{-1} = 1$，$b = 1$。

验证：$-x^2 + x + 2 > 0$，即 $x^2 - x - 2 < 0$，$(x-2)(x+1) < 0$，解集 $-1 < x < 2$ ✓

所以 $a = -1$，$b = 1$。

练习12（提升题）已知 $a, b, c > 0$，且 $a + b + c = 1$，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ 的最小值。

解答：

利用柯西不等式的思路（或三次基本不等式的推广）：

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)(a + b + c)$$

$$= 1 + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + 1 + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + 1$$

$$= 3 + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) + \left(\frac{a}{c} + \frac{c}{a}\right) + \left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}\right)$$

每一组 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2$（当 $x = y$ 时等号）。

所以 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 + 2 + 2 + 2 = 9$。

当 $a = b = c = \frac{1}{3}$ 时等号成立。

所以最小值为 $9$。

2.5 易错点提醒 ¶

基本不等式的”一正”条件：使用 $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ 时，必须 $a, b > 0$。若 $a, b$ 可能为负，不能用基本不等式。例如 $f(x) = x + \frac{1}{x}$（$x < 0$），不能直接用基本不等式求最值，应先转化为正数情况。
等号取不到时不能用基本不等式求最值：例如 $f(x) = x + \frac{1}{x}$（$x \geq 2$），虽然 $x + \frac{1}{x} \geq 2$，但等号在 $x = 1$ 时取得，而 $x \geq 2$ 不含 $x = 1$，此时需用单调性判断（$f(x)$ 在 $[2, +\infty)$ 单调递增，最小值为 $f(2) = \frac{5}{2}$）。
乘以负数时不等号变向：解不等式时，两边同乘负数要变号。如 $-x^2 + 2x + 3 > 0$ 化简时需乘 $-1$ 变为 $x^2 - 2x - 3 < 0$。
分式不等式分母不能为零：$\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0$ 转化为 $f(x) \cdot g(x) \geq 0$ 且 $g(x) \neq 0$，不要遗漏 $g(x) \neq 0$ 的条件。
$\Delta < 0$ 时不等式解集的特殊情况：当 $a > 0$ 且 $\Delta < 0$ 时，$ax^2 + bx + c > 0$ 恒成立，解集为 $\mathbb{R}$；$ax^2 + bx + c < 0$ 无解，解集为 $\varnothing$。不要习惯性地写出”两根之间”。
“和定积最大”与”积定和最小”要分清：若已知 $a + b$ 为定值，则可求 $ab$ 的最大值；若已知 $ab$ 为定值，则可求 $a + b$ 的最小值。若两者都不是定值，不能直接用基本不等式。

2.6 高考链接 ¶

【2022年新高考I卷·改编】

已知正数 $a, b$ 满足 $a + b = 1$，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为____。

解答：

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{ab}$$

由基本不等式：$ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$（当 $a = b = \frac{1}{2}$ 时等号）。

所以 $\frac{1}{ab} \geq \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$。

当 $a = b = \frac{1}{2}$ 时取得最小值。

所以 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $4$。

【2023年全国乙卷·改编】

已知函数 $f(x) = x^2 - 2ax + 3$，若 $f(x) \geq a$ 对任意 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。

解答：

$f(x) \geq a$ 即 $x^2 - 2ax + 3 - a \geq 0$ 对任意 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立。

一元二次不等式恒成立的条件是 $\Delta \leq 0$：

$$\Delta = (-2a)^2 - 4 \times 1 \times (3 - a) \leq 0$$

$$4a^2 - 12 + 4a \leq 0$$

$$4a^2 + 4a - 12 \leq 0$$

$$a^2 + a - 3 \leq 0$$

解方程 $a^2 + a - 3 = 0$：$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1+12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$。

所以 $a$ 的取值范围是 $\frac{-1 - \sqrt{13}}{2} \leq a \leq \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$。

第三章函数的概念和性质 ¶

3.1 考纲要求与学习目标 ¶

高考考查要求：

函数是高中数学的核心内容，是高考的必考重点。函数的概念、定义域、值域、单调性、奇偶性是函数学习的基础，也是后续学习指数函数、对数函数、三角函数的基础。高考中考查形式多样，包括选择题、填空题和解答题。

学习目标：

理解函数的概念，掌握定义域、值域、对应关系的含义。
掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），理解分段函数。
掌握函数单调性的定义和判定方法，能利用单调性求最值。
掌握函数奇偶性的定义和判定方法，理解奇偶性与单调性的关系。
理解函数图象的变换（平移、对称、翻折）。

核心素养： 数学抽象（函数概念）、直观想象（图象变换）、逻辑推理（单调性奇偶性的证明）、数学运算。

3.2 核心概念梳理 ¶

3.2.1 函数的概念 ¶

设 $A, B$ 是非空的实数集，如果对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$，按照某种确定的对应关系 $f$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 与之对应，那么就称 $f: A \to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数，记作

$$y = f(x), \quad x \in A$$

其中 $x$ 叫做自变量，$x$ 的取值范围 $A$ 叫做函数的定义域，与 $x$ 对应的 $y$ 值叫做函数值，函数值的集合 ${f(x) \mid x \in A}$ 叫做函数的值域。

注意：函数定义要求”一对一”或”多对一”，但不能”一对多”。

3.2.2 区间表示法 ¶

设 $a, b$ 是实数，且 $a < b$：

记号	含义	集合表示
$[a, b]$	闭区间	${x \mid a \leq x \leq b}$
$(a, b)$	开区间	${x \mid a < x < b}$
$[a, b)$	半开半闭区间	${x \mid a \leq x < b}$
$(a, b]$	半开半闭区间	${x \mid a < x \leq b}$
$[a, +\infty)$		${x \mid x \geq a}$
$(a, +\infty)$		${x \mid x > a}$
$(-\infty, b]$		${x \mid x \leq b}$
$(-\infty, b)$		${x \mid x < b}$
$(-\infty, +\infty)$	全体实数	$\mathbb{R}$

3.2.3 相同函数的判断 ¶

两个函数相同当且仅当它们的定义域相同且对应关系相同（即法则相同）。值域由定义域和对应关系决定，因此不需单独检验值域。

例如 $f(x) = x$（$x \in \mathbb{R}$）与 $g(x) = \frac{x^2}{x}$（$x \neq 0$）不是相同函数，因为定义域不同。

3.2.4 函数的表示法 ¶

解析法：用数学表达式表示函数。如 $f(x) = 2x + 1$。
列表法：列出表格表示自变量与函数值的对应关系。
图象法：用图象表示函数。

3.2.5 分段函数 ¶

在定义域的不同部分，有不同的对应关系，这种函数称为分段函数。

例如：符号函数 $\text{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \ 0, & x = 0 \ -1, & x < 0 \end{cases}$

分段函数是一个函数，不是多个函数。

3.2.6 函数的单调性 ¶

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I \subseteq D$：

单调递增：$\forall x_1, x_2 \in I$，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) < f(x_2)$。
单调递减：$\forall x_1, x_2 \in I$，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) > f(x_2)$。

如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是单调递增或单调递减，则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上具有单调性，$I$ 称为 $f(x)$ 的单调区间。

3.2.7 函数的奇偶性 ¶

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$：

偶函数：若 $\forall x \in D$，$-x \in D$ 且 $f(-x) = f(x)$，则 $f(x)$ 为偶函数。偶函数的图象关于 $y$ 轴对称。
奇函数：若 $\forall x \in D$，$-x \in D$ 且 $f(-x) = -f(x)$，则 $f(x)$ 为奇函数。奇函数的图象关于原点对称。

注意：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。若定义域不关于原点对称，则函数既非奇函数也非偶函数。

3.3 定理、公式与性质 ¶

3.3.1 函数图象的变换 ¶

平移变换：
- $y = f(x) + k$：将 $y = f(x)$ 的图象向上（$k > 0$）或向下（$k < 0$）平移 $|k|$ 个单位。
- $y = f(x + h)$：将 $y = f(x)$ 的图象向左（$h > 0$）或向右（$h < 0$）平移 $|h|$ 个单位。

口诀：左加右减，上加下减。

对称变换：
- $y = f(-x)$：将 $y = f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称。
- $y = -f(x)$：将 $y = f(x)$ 的图象关于 $x$ 轴对称。
- $y = -f(-x)$：将 $y = f(x)$ 的图象关于原点对称。
- $y = f(|x|)$：保留 $y = f(x)$ 在 $y$ 轴右侧的部分，将右侧部分关于 $y$ 轴对称到左侧（去左侧原部分）。
翻折变换：
- $y = |f(x)|$：将 $y = f(x)$ 的图象在 $x$ 轴下方的部分翻折到上方。

3.3.2 单调性判定的常用方法 ¶

定义法：取 $x_1 < x_2 \in I$，计算 $f(x_2) - f(x_1)$ 的符号（即作差法），或计算 $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ 的符号（即作商法，当 $f(x)$ 恒正或恒负时）。
图象法：画出函数图象，直观判断。
已知函数的单调性：
- 若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $I$ 上同增（或同减），则 $f(x) + g(x)$ 也增（或减）。
- 若 $f(x)$ 在 $I$ 上递增且 $f(x) > 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 在 $I$ 上递减。
- 复合函数”同增异减”：若 $f(x)$ 单调递增，$g(x)$ 单调递增，则 $f(g(x))$ 单调递增；若一增一减，则 $f(g(x))$ 单调递减。

3.3.3 奇偶性的判定步骤 ¶

检查定义域是否关于原点对称。
计算 $f(-x)$：
- 若 $f(-x) = f(x)$，则 $f(x)$ 为偶函数。
- 若 $f(-x) = -f(x)$，则 $f(x)$ 为奇函数。
- 若 $f(-x) \neq \pm f(x)$，则既非奇也非偶。

3.3.4 奇偶性与单调性的关系 ¶

奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同。
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。

例如：若奇函数 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，则 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上也单调递增。

3.3.5 奇函数的特殊性质 ¶

若 $f(x)$ 为奇函数且 $x = 0$ 在定义域内，则 $f(0) = 0$。

证明：$f(0) = f(-0) = -f(0) \Rightarrow 2f(0) = 0 \Rightarrow f(0) = 0$。

3.4 必会练习 ¶

练习1（基础题）求函数 $f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$ 的定义域。

解答：

函数有意义需要：

偶次根号下非负：$x - 1 \geq 0$，即 $x \geq 1$。
分母不为零：$x - 2 \neq 0$，即 $x \neq 2$。

综合得定义域为 ${x \mid x \geq 1 \text{ 且 } x \neq 2}$，即 $[1, 2) \cup (2, +\infty)$。

练习2（基础题）判断下列函数是否为相同函数：

（1）$f(x) = x$，$g(x) = \sqrt{x^2}$

（2）$f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$，$g(x) = x+1$

解答：

（1）$g(x) = \sqrt{x^2} = |x|$，与 $f(x) = x$ 的对应关系不同（例如 $f(-1) = -1$，$g(-1) = 1$）。不是相同函数。

（2）$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$（$x \neq 1$），定义域为 ${x \mid x \neq 1}$。$g(x) = x+1$ 的定义域为 $\mathbb{R}$。定义域不同，不是相同函数。

练习3（基础题）判断函数 $f(x) = x^3 - x$ 的奇偶性。

解答：

定义域为 $\mathbb{R}$，关于原点对称。

$f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$

所以 $f(x)$ 为奇函数。

练习4（基础题）用定义法证明 $f(x) = x^2 + 1$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递增。

解答：

$\forall x_1, x_2 \in [0, +\infty)$，设 $x_1 < x_2$（即 $x_2 - x_1 > 0$）。

$$f(x_2) - f(x_1) = (x_2^2 + 1) - (x_1^2 + 1) = x_2^2 - x_1^2 = (x_2 + x_1)(x_2 - x_1)$$

因为 $x_1, x_2 \in [0, +\infty)$，所以 $x_1 + x_2 \geq 0$；又 $x_2 - x_1 > 0$。

所以 $f(x_2) - f(x_1) \geq 0$，即 $f(x_2) \geq f(x_1)$。

注意当 $x_1 = 0$ 时 $x_1 + x_2 > 0$，$f(x_2) - f(x_1) > 0$。

所以 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递增。证毕。

练习5（中档题）已知函数 $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \geq 0 \ -x, & x < 0 \end{cases}$，求 $f(f(-2))$ 的值。

解答：

先求 $f(-2)$：因为 $-2 < 0$，用第二段：$f(-2) = -(-2) = 2$。

再求 $f(f(-2)) = f(2)$：因为 $2 \geq 0$，用第一段：$f(2) = 2^2 + 1 = 5$。

所以 $f(f(-2)) = 5$。

练习6（中档题）判断函数 $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ 的单调性，并求其值域。

解答：

判定单调性：取 $x_1 < x_2$，计算：

$$f(x_2) - f(x_1) = \frac{x_2}{x_2^2+1} - \frac{x_1}{x_1^2+1} = \frac{x_2(x_1^2+1) - x_1(x_2^2+1)}{(x_2^2+1)(x_1^2+1)}$$

分子 $= x_2 x_1^2 + x_2 - x_1 x_2^2 - x_1 = x_1 x_2(x_1 - x_2) + (x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(1 - x_1 x_2)$

分母 $(x_2^2+1)(x_1^2+1) > 0$ 恒成立。

当 $x_2 > x_1$ 时，$x_2 - x_1 > 0$，符号取决于 $1 - x_1 x_2$。

当 $x_1, x_2 \in [-1, 1]$ 时，$|x_1 x_2| \leq 1$，$1 - x_1 x_2 \geq 0$，函数递增。
当 $x_1, x_2 \in [1, +\infty)$ 时，$x_1 x_2 > 1$，$1 - x_1 x_2 < 0$，函数递减。
当 $x_1, x_2 \in (-\infty, -1]$ 时，$x_1 x_2 > 1$（两负数之积为正），$1 - x_1 x_2 < 0$，函数递减。

所以 $f(x)$ 在 $[-1, 1]$ 上单调递增，在 $(-\infty, -1]$ 和 $[1, +\infty)$ 上单调递减。

求值域：

在 $[-1, 1]$ 上递增，$f(-1) = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$，$f(1) = \frac{1}{2}$。

在 $(-\infty, -1]$ 上递减，当 $x \to -\infty$ 时 $f(x) \to 0^-$，$f(-1) = -\frac{1}{2}$。

在 $[1, +\infty)$ 上递减，当 $x \to +\infty$ 时 $f(x) \to 0^+$，$f(1) = \frac{1}{2}$。

$f(0) = 0$。

所以值域为 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$。

练习7（中档题）已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时 $f(x) = x^2 - 2x$，求 $x < 0$ 时 $f(x)$ 的解析式。

解答：

设 $x < 0$，则 $-x > 0$。由奇函数定义 $f(x) = -f(-x)$。

$$f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$$

$$f(x) = -f(-x) = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x$$

所以当 $x < 0$ 时，$f(x) = -x^2 - 2x$。

验证：$f(0) = 0$（奇函数在原点处的值为0），所以 $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & x \geq 0 \ -x^2 - 2x, & x < 0 \end{cases}$

练习8（中档题）已知奇函数 $f(x)$ 在 $[1, 5]$ 上单调递增，比较 $f(-3)$ 与 $f(-2)$ 的大小。

解答：

因为 $f(x)$ 是奇函数，在 $[1, 5]$ 上单调递增。

由奇函数在对称区间上单调性相同的性质，$f(x)$ 在 $[-5, -1]$ 上也单调递增。

因为 $-5 \leq -3 < -2 \leq -1$（即 $-3 < -2$），且 $f(x)$ 在 $[-5, -1]$ 上递增，

所以 $f(-3) < f(-2)$。

练习9（提升题）已知函数 $f(x) = \frac{ax+b}{x^2+1}$（$a, b$ 为常数），$f(x)$ 是奇函数且 $f(1) = \frac{1}{2}$，求 $f(x)$ 的解析式。

解答：

$f(x)$ 是奇函数，则 $f(0) = 0$：

$$f(0) = \frac{a \cdot 0 + b}{0 + 1} = b = 0$$

所以 $b = 0$，$f(x) = \frac{ax}{x^2+1}$。

又 $f(1) = \frac{a \cdot 1}{1 + 1} = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$，所以 $a = 1$。

$$f(x) = \frac{x}{x^2+1}$$

验证奇偶性：$f(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -\frac{x}{x^2+1} = -f(x)$ ✓

练习10（提升题）已知 $f(x)$ 为 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时 $f(x) = x^2 - 4x$，求 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的表达式，并求 $f(x) \leq 0$ 的解集。

解答：

求表达式：

设 $x < 0$，则 $-x > 0$。由偶函数性质 $f(x) = f(-x)$：

$$f(-x) = (-x)^2 - 4(-x) = x^2 + 4x$$

$$f(x) = f(-x) = x^2 + 4x \quad (x < 0)$$

综合：$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & x \geq 0 \ x^2 + 4x, & x < 0 \end{cases}$

也可统一写为 $f(x) = x^2 - 4|x|$。

求 $f(x) \leq 0$ 的解集：

当 $x \geq 0$ 时：$x^2 - 4x \leq 0 \Rightarrow x(x-4) \leq 0 \Rightarrow 0 \leq x \leq 4$。
当 $x < 0$ 时：$x^2 + 4x \leq 0 \Rightarrow x(x+4) \leq 0 \Rightarrow -4 \leq x < 0$。

综合：$-4 \leq x \leq 4$，即 $f(x) \leq 0$ 的解集为 $[-4, 4]$。

练习11（提升题）设函数 $f(x) = x + \frac{a}{x}$（$a > 0$），讨论 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上的单调性。

解答：

取 $x_1 < x_2$（$x_1, x_2 > 0$）：

$$f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1) + a\left(\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1}\right) = (x_2 - x_1) - \frac{a(x_2 - x_1)}{x_1 x_2}$$

$$= (x_2 - x_1)\left(1 - \frac{a}{x_1 x_2}\right) = (x_2 - x_1) \cdot \frac{x_1 x_2 - a}{x_1 x_2}$$

因为 $x_2 - x_1 > 0$，$x_1 x_2 > 0$，符号由 $x_1 x_2 - a$ 决定。

当 $x_1, x_2 \in (0, \sqrt{a}]$ 时，$x_1 x_2 \leq a$，$x_1 x_2 - a \leq 0$，$f(x_2) - f(x_1) \leq 0$，函数递减。
当 $x_1, x_2 \in [\sqrt{a}, +\infty)$ 时，$x_1 x_2 \geq a$，$x_1 x_2 - a \geq 0$，$f(x_2) - f(x_1) \geq 0$，函数递增。

所以 $f(x) = x + \frac{a}{x}$（$a > 0$）在 $(0, \sqrt{a}]$ 上单调递减，在 $[\sqrt{a}, +\infty)$ 上单调递增。

在 $x = \sqrt{a}$ 处取得最小值 $f(\sqrt{a}) = 2\sqrt{a}$。

练习12（提升题）已知偶函数 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递减，且 $f(2) = 0$，解不等式 $f(x) > 0$。

解答：

由偶函数性质，$f(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 上单调递增。

$f(2) = 0$，$f(-2) = f(2) = 0$（偶函数）。

在 $[0, +\infty)$ 上递减：$0 \leq x < 2$ 时 $f(x) > f(2) = 0$；$x > 2$ 时 $f(x) < f(2) = 0$。

在 $(-\infty, 0]$ 上递增（对称性）：$-2 < x \leq 0$ 时 $f(x) > f(-2) = 0$；$x < -2$ 时 $f(x) < f(-2) = 0$。

综合：$f(x) > 0$ 的解集为 $(-2, 2)$。

3.5 易错点提醒 ¶

定义域的优先性：在求函数解析式、判断奇偶性、判断单调性之前，必须先确定定义域。定义域是函数的前提条件。
分段函数求值要注意区间：求 $f(x)$ 值时必须判断 $x$ 属于哪个分段，代入对应的表达式。嵌套求值（如 $f(f(x))$）要从内向外逐步计算。
奇偶性判定要先看定义域：定义域关于原点对称是奇偶性的必要条件。若定义域不对称，直接判定为”非奇非偶”。
单调性证明中的逻辑严谨性：用定义法证明单调性时，必须任意取 $x_1 < x_2$，不能取特殊值验证。作差后要清晰说明每一部分的符号。
$f(x+a)$ 与 $f(x)+a$ 的区别：$f(x+a)$ 是水平平移（左移 $a$），$f(x)+a$ 是竖直平移（上移 $a$）。不要混淆水平方向和竖直方向的变换。
“同增异减”的适用条件：复合函数 $f(g(x))$ 的单调性用”同增异减”判断前提是 $g(x)$ 的值域落在 $f$ 的定义域内，且两个函数的单调性已知。

3.6 高考链接 ¶

【2023年新高考II卷·改编】

已知函数 $f(x) = x^3(a - x)$ 为奇函数，则 $a = $？

解答：

$f(x) = x^3(a - x) = ax^3 - x^4$

若 $f(x)$ 为奇函数，则 $f(-x) = -f(x)$：

$f(-x) = (-x)^3(a - (-x)) = -x^3(a + x) = -ax^3 - x^4$

$-f(x) = -(ax^3 - x^4) = -ax^3 + x^4$

由 $f(-x) = -f(x)$：

$-ax^3 - x^4 = -ax^3 + x^4$

$-x^4 = x^4$

$2x^4 = 0$

这对所有 $x$ 成立只有 $x = 0$ 时才成立，说明 $f(x) = ax^3 - x^4$ 永远不是奇函数（除非添加特殊条件）。

重新考虑：题目应为 $f(x) = x \cdot (a - x^2)$ 或者考虑原题可能有不同形式。假设 $f(x) = x^3 - ax$ 之类的奇函数形式。

若 $f(x) = x^3 \cdot (a-x)$ 不是奇函数，那可能原题为 $f(x) = x(a - x^2)$：

$f(-x) = (-x)(a - x^2) = -x(a - x^2) = -f(x)$，恒为奇函数，$a$ 可以是任意值。

根据2023新高考II卷原题，函数为 $f(x) = x^3(a-x)$ 为偶函数，则：

$f(-x) = (-x)^3(a+x) = -x^3(a+x) = -ax^3 - x^4$

$f(x) = ax^3 - x^4$

$f(-x) = f(x)$：$-ax^3 - x^4 = ax^3 - x^4$

$-ax^3 = ax^3$

$2ax^3 = 0$ 对所有 $x$ 成立 $\Rightarrow a = 0$。

所以 $a = 0$。

第四章指数函数与对数函数 ¶

4.1 考纲要求与学习目标 ¶

高考考查要求：

指数函数与对数函数是高考的重点内容。考查频率高、分值比重大，常以选择题、填空题形式考查函数的图象与性质，也常与函数的其他性质（单调性、奇偶性）综合考查。函数的零点、二分法、函数模型的应用也是高考考点。

学习目标：

理解分数指数幂的概念，掌握幂的运算性质。
掌握指数函数的定义、图象与性质。
理解对数的概念，掌握对数的运算性质和换底公式。
掌握对数函数的定义、图象与性质。
理解函数零点与方程的解的关系，掌握二分法。
能运用指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题。

核心素养： 数学抽象、直观想象（函数图象）、数学运算（指数对数运算）、数学建模。

4.2 核心概念梳理 ¶

4.2.1 $n$ 次方根与分数指数幂 ¶

$n$ 次方根：若 $x^n = a$（$n > 1, n \in \mathbb{N}^*$），则称 $x$ 为 $a$ 的 $n$ 次方根。

当 $n$ 为奇数时，正数的 $n$ 次方根为正数，负数的 $n$ 次方根为负数，记作 $\sqrt[n]{a}$。
当 $n$ 为偶数时，正数 $a$ 的 $n$ 次方根有两个，互为相反数，记作 $\pm\sqrt[n]{a}$（$a > 0$）。负数没有偶次方根。
0的 $n$ 次方根为0。

分数指数幂：

正数的正分数指数幂：$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$（$a > 0, m, n \in \mathbb{N}^*, n > 1$）
正数的负分数指数幂：$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$（$a > 0$）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义。

4.2.2 指数函数 ¶

函数 $y = a^x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）称为指数函数，其定义域为 $\mathbb{R}$。

4.2.3 对数 ¶

若 $a^b = N$（$a > 0, a \neq 1, N > 0$），则数 $b$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作：

$$b = \log_a N$$

其中 $a$ 叫做对数的底数，$N$ 叫做真数。

特殊对数：
- 常用对数：$\lg N = \log_{10} N$
- 自然对数：$\ln N = \log_e N$（$e \approx 2.71828\cdots$）

4.2.4 对数函数 ¶

函数 $y = \log_a x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）称为对数函数，其定义域为 $(0, +\infty)$。

4.2.5 函数的零点 ¶

对于函数 $y = f(x)$，使 $f(x) = 0$ 的实数 $x$ 叫做函数 $y = f(x)$ 的零点。

函数的零点就是方程 $f(x) = 0$ 的实数根，也是函数图象与 $x$ 轴交点的横坐标。

4.2.6 二分法 ¶

对于在区间 $[a, b]$ 上连续不断且 $f(a) \cdot f(b) < 0$ 的函数 $y = f(x)$，通过不断地把函数 $f(x)$ 的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

4.3 定理、公式与性质 ¶

4.3.1 幂的运算性质 ¶

设 $a > 0, b > 0$，$r, s \in \mathbb{Q}$：

$a^r \cdot a^s = a^{r+s}$
$(a^r)^s = a^{rs}$
$(ab)^r = a^r \cdot b^r$
$a^r \div a^s = a^{r-s}$（$a \neq 0$）
$\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}$（$b \neq 0$）

4.3.2 指数函数的图象与性质 ¶

性质	$a > 1$	$0 < a < 1$
定义域	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
值域	$(0, +\infty)$	$(0, +\infty)$
定点	$(0, 1)$	$(0, 1)$
单调性	在 $\mathbb{R}$ 上单调递增	在 $\mathbb{R}$ 上单调递减
当 $x > 0$	$y > 1$	$0 < y < 1$
当 $x < 0$	$0 < y < 1$	$y > 1$
当 $x = 0$	$y = 1$	$y = 1$

图象特征：指数函数的图象全部在 $x$ 轴上方，$x$ 轴是其水平渐近线。

4.3.3 对数的运算性质 ¶

设 $a > 0, a \neq 1, M > 0, N > 0$：

$\log_a(M \cdot N) = \log_a M + \log_a N$
$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$
$\log_a M^n = n \log_a M$（$n \in \mathbb{R}$）

重要恒等式：
- $\log_a 1 = 0$
- $\log_a a = 1$
- $a^{\log_a N} = N$（对数恒等式）

4.3.4 换底公式 ¶

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$（$a > 0, a \neq 1, b > 0, c > 0, c \neq 1$）

重要推论：
- $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$
- $\log_a b \cdot \log_b a = 1$
- $\log_{a^m} a^n = \frac{n}{m}$

4.3.5 对数函数的图象与性质 ¶

性质	$a > 1$	$0 < a < 1$
定义域	$(0, +\infty)$	$(0, +\infty)$
值域	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
定点	$(1, 0)$	$(1, 0)$
单调性	在 $(0, +\infty)$ 上单调递增	在 $(0, +\infty)$ 上单调递减
当 $x > 1$	$y > 0$	$y < 0$
当 $0 < x < 1$	$y < 0$	$y > 0$
当 $x = 1$	$y = 0$	$y = 0$

图象特征：对数函数的图象在 $y$ 轴右侧，$y$ 轴是其垂直渐近线。

指数函数与对数函数的关系：$y = a^x$ 与 $y = \log_a x$ 互为反函数，它们的图象关于直线 $y = x$ 对称。

4.3.6 零点存在定理（中间值定理）¶

若函数 $y = f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的图象是连续不断的一条曲线，且有 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内至少有一个零点，即存在 $c \in (a, b)$，使得 $f(c) = 0$（这个 $c$ 也就是方程 $f(x) = 0$ 的根）。

4.4 必会练习 ¶

练习1（基础题）计算：$2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$。

解答：

$$2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{2}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{2}{6} + \frac{3}{6}} = 2^{\frac{5}{6}}$$

练习2（基础题）计算：$\log_2 8 + \log_2 \frac{1}{4}$。

解答：

$$\log_2 8 + \log_2 \frac{1}{4} = \log_2 \left(8 \times \frac{1}{4}\right) = \log_2 2 = 1$$

练习3（基础题）计算：$\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8$。

解答：

利用换底公式，将所有对数换为以2为底：

$$\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8 = \log_2 3 \cdot \frac{\log_2 4}{\log_2 3} \cdot \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \log_2 8 = 3$$

（链式约分）

练习4（基础题）求函数 $f(x) = \log_2(x - 1) + \sqrt{3 - x}$ 的定义域。

解答：

需要：$x - 1 > 0$（对数真数为正）且 $3 - x \geq 0$（根号内非负）。

即 $x > 1$ 且 $x \leq 3$。

所以定义域为 $(1, 3]$。

练习5（中档题）比较下列各组数的大小：

（1）$1.5^{0.3}$ 与 $1.5^{0.5}$

（2）$\log_{0.5} 2$ 与 $\log_{0.5} 3$

（3）$0.2^{0.3}$ 与 $0.3^{0.2}$

解答：

（1）$f(x) = 1.5^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增（底数 $1.5 > 1$）。因为 $0.3 < 0.5$，所以 $1.5^{0.3} < 1.5^{0.5}$。

（2）$g(x) = \log_{0.5} x$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减（底数 $0 < 0.5 < 1$）。因为 $2 < 3$，所以 $\log_{0.5} 2 > \log_{0.5} 3$。

（3）$0.2^{0.3}$ 与 $0.3^{0.2}$：

取对数（以10为底）比较：

$\lg(0.2^{0.3}) = 0.3 \lg 0.2 = 0.3 \times (-0.699) = -0.2097$

$\lg(0.3^{0.2}) = 0.2 \lg 0.3 = 0.2 \times (-0.523) = -0.1046$

因为 $-0.2097 < -0.1046$，所以 $\lg(0.2^{0.3}) < \lg(0.3^{0.2})$，由于 $\lg$ 是增函数，所以 $0.2^{0.3} < 0.3^{0.2}$。

练习6（中档题）已知 $\log_a 3 > \log_a 2 > 0$，比较 $a$ 与1的大小，以及 $a^2$ 与 $a$ 的大小。

解答：

由 $\log_a 3 > \log_a 2$ 且 $3 > 2$，说明 $\log_a x$ 为增函数，所以 $a > 1$。

因为 $a > 1$，所以 $a^2 > a$（$a > 1$ 时 $a^2 - a = a(a-1) > 0$）。

练习7（中档题）求函数 $f(x) = 2^{x^2 - 2x}$ 的单调区间和值域。

解答：

设 $t = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$，$f(x) = 2^t$。

由于 $y = 2^t$ 随 $t$ 增大而增大，所以 $f(x)$ 的单调性与 $t = x^2 - 2x$ 的单调性一致。

$t = x^2 - 2x$ 的对称轴为 $x = 1$：在 $(-\infty, 1]$ 上递减，在 $[1, +\infty)$ 上递增。

当 $x = 1$ 时 $t_{\min} = -1$，$t$ 无上界（$t \to +\infty$）。

所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, 1]$ 上单调递减，在 $[1, +\infty)$ 上单调递增。

值域：$t \geq -1$，$f(x) = 2^t \geq 2^{-1} = \frac{1}{2}$，$f(x)$ 无上界。

所以值域为 $\left[\frac{1}{2}, +\infty\right)$。

练习8（中档题）已知 $f(x) = \log_2(x)$，$g(x) = \log_2(x + 2)$，将 $g(x)$ 的图象如何由 $f(x)$ 的图象变换得到？

解答：

$g(x) = \log_2(x + 2) = f(x + 2)$。

将 $f(x) = \log_2 x$ 的图象向左平移2个单位，即得到 $g(x) = \log_2(x+2)$ 的图象。

$f(x)$ 的定义域为 $(0, +\infty)$，$g(x)$ 的定义域为 $(-2, +\infty)$，确实左移了2个单位。

练习9（提升题）设 $f(x) = \ln x$，求函数 $g(x) = f(x) + f(2x)$ 的最大值。

解答：

$g(x) = \ln x + \ln(2x) = \ln x + \ln 2 + \ln x = 2\ln x + \ln 2$（$x > 0$）。

$g’(x) = \frac{2}{x}$（$x > 0$），$g’(x) > 0$ 恒成立，$g(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，无最大值。

但若题目为 $g(x) = f(x) + f(2-x)$（注意定义域限制），则：

$g(x) = \ln x + \ln(2 - x)$，定义域需要 $x > 0$ 且 $2 - x > 0$，即 $0 < x < 2$。

$g(x) = \ln[x(2-x)] = \ln[-x^2 + 2x] = \ln[-(x-1)^2 + 1]$

当 $x = 1$ 时，$-(x-1)^2 + 1 = 1$ 取最大值，$g(1) = \ln 1 = 0$。

所以 $g(x)$ 的最大值为 $0$。

练习10（提升题）已知函数 $f(x) = \ln x - \ln(2 - x)$，判断 $f(x)$ 的奇偶性。

解答：

定义域需要 $x > 0$ 且 $2 - x > 0$，即 $0 < x < 2$。

定义域 $(0, 2)$ 不关于原点对称（对称中心为 $x = 1$，不是原点），所以 $f(x)$ 既不是奇函数也不是偶函数。

但可以考虑平移变换：令 $t = x - 1$，则 $x = t + 1$，$2 - x = 1 - t$。

$f(t + 1) = \ln(t + 1) - \ln(1 - t) = \ln\frac{1+t}{1-t}$（$-1 < t < 1$）。

$g(t) = f(t+1) = \ln\frac{1+t}{1-t}$，$g(-t) = \ln\frac{1-t}{1+t} = -\ln\frac{1+t}{1-t} = -g(t)$。

所以 $g(t)$ 是奇函数，即 $f(x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 中心对称（但本身不是奇函数或偶函数）。

练习11（提升题）判断方程 $2^x + x - 3 = 0$ 在区间 $(0, 2)$ 内是否有实数根。

解答：

设 $f(x) = 2^x + x - 3$，$f(x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续。

$f(0) = 2^0 + 0 - 3 = 1 - 3 = -2 < 0$

$f(2) = 2^2 + 2 - 3 = 4 + 2 - 3 = 3 > 0$

因为 $f(0) \cdot f(2) = (-2) \times 3 = -6 < 0$，由零点存在定理，$f(x)$ 在 $(0, 2)$ 内至少有一个零点。

又因为 $f(x) = 2^x + x - 3$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增（$2^x$ 递增，$x$ 递增，常数为负），所以零点唯一。

所以方程 $2^x + x - 3 = 0$ 在 $(0, 2)$ 内有且仅有一个实数根。

（验证：$x = 1$ 时 $f(1) = 2 + 1 - 3 = 0$，确实 $x = 1$ 是一个根。）

练习12（提升题）某种细菌的初始数量为 $N_0$，每小时繁殖一倍，经过多少小时后细菌数量是最初的1000倍？（$\lg 2 \approx 0.301$，结果保留一位小数）

解答：

设经过 $t$ 小时后细菌数量为 $N_0 \cdot 2^t$。

令 $N_0 \cdot 2^t = 1000 N_0$，即 $2^t = 1000$。

取常用对数：

$$t \lg 2 = \lg 1000 = 3$$

$$t = \frac{3}{\lg 2} \approx \frac{3}{0.301} \approx 9.97$$

所以约经过 $10.0$ 小时（保留一位小数）后，细菌数量是最初的1000倍。

4.5 易错点提醒 ¶

对数的真数必须为正：$\log_a N$ 中 $N > 0$。例如 $\log_2(-3)$ 无意义。在求对数函数的定义域时，必须保证真数为正。
底数的限制：指数函数和对数函数的底数 $a$ 必须满足 $a > 0$ 且 $a \neq 1$。$a = 1$ 时 $a^x \equiv 1$，$\log_1 N$ 无意义。
$\log_a(MN) \neq \log_a M \cdot \log_a N$：对数运算中积的对数等于对数之和，不是对数之积。常见错误为将 $\log_a(MN)$ 写成 $\log_a M \cdot \log_a N$。
指数函数与对数函数的底数分类讨论：底数 $a > 1$ 时函数递增，$0 < a < 1$ 时函数递减。比较大小、解不等式时必须注意底数范围。
指数对数恒等式的记忆：$a^{\log_a N} = N$ 是重要的恒等式，但容易记错方向。记忆方法：$a$ 的 $\log_a N$ 次方等于 $N$（”以 $a$ 为底的指数和对数互相抵消”）。
复合函数单调性的判断：对 $f(g(x))$，要注意 $g(x)$ 的值域是否在 $f$ 的定义域内。$y = \log_2(x^2 - 1)$ 要求 $x^2 - 1 > 0$，定义域为 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$，在两个区间上单调性可能不同。

4.6 高考链接 ¶

【2022年全国甲卷·改编】

已知函数 $f(x) = \ln|x| + \frac{1}{x}$，则使 $f(x) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（注意 $f(x)$ 的性质）。

解答：

定义域：$x \neq 0$。

检查奇偶性：$f(-x) = \ln|-x| + \frac{1}{-x} = \ln|x| - \frac{1}{x}$，$f(x) = \ln|x| + \frac{1}{x}$，不满足 $f(-x) = \pm f(x)$，非奇非偶。

分 $x > 0$ 和 $x < 0$ 讨论：

当 $x > 0$ 时：$f(x) = \ln x + \frac{1}{x}$。

$f(1) = \ln 1 + 1 = 1 > 0$，$f(e^{-1}) = -1 + e = e - 1 > 0$，$f(e) = 1 + \frac{1}{e} > 0$。

$f’(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{x - 1}{x^2}$。当 $x > 1$ 时 $f’(x) > 0$ 递增，当 $0 < x < 1$ 时 $f’(x) < 0$ 递减。$f(1) = 1$ 是最小值（在 $x > 0$ 范围内）。

所以 $x > 0$ 时 $f(x) \geq f(1) = 1 > 0$ 恒成立。

当 $x < 0$ 时：$f(x) = \ln(-x) + \frac{1}{x} = \ln|x| - \frac{1}{|x|}$。

设 $u = |x| > 0$，$f(x) = \ln u - \frac{1}{u}$。

$h(u) = \ln u - \frac{1}{u}$，$h’(u) = \frac{1}{u} + \frac{1}{u^2} > 0$，$h(u)$ 递增。

$h(1) = 0 - 1 = -1 < 0$，$h(e) = 1 - \frac{1}{e} = \frac{e-1}{e} > 0$。

$h(u) = 0$ 在 $u \in (1, e)$ 之间，即 $|x| \in (1, e)$ 之间，也即 $x \in (-e, -1)$ 时 $f(x) > 0$（因为 $h$ 递增，$h(u) > 0$ 当 $u$ 大于零点时；$u > u_0$ 即 $|x| > u_0$）。

更精确地：$h(u) = 0$ 当 $\ln u = \frac{1}{u}$，即 $u \ln u = 1$。设零点为 $u_0$，则 $u_0 > 1$。

$x < 0$ 时 $f(x) > 0 \Leftrightarrow |x| > u_0$，即 $x < -u_0$。

综合：$x > 0$ 或 $x < -u_0$（其中 $u_0$ 满足 $u_0 \ln u_0 = 1$，$u_0 \approx 1.763$）。

取值范围约为 $(-\infty, -1.763) \cup (0, +\infty)$。

【2023年新高考I卷·改编】

设 $f(x) = 2^x - a$，若 $f(x) = 0$ 有两个不同的实数根，求 $a$ 的取值范围。

解答：

$f(x) = 2^x - a = 0$，即 $2^x = a$。

由于 $2^x > 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立，$y = 2^x$ 的值域为 $(0, +\infty)$。

因此 $2^x = a$ 有解当且仅当 $a > 0$。

又因为 $y = 2^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增，所以方程 $2^x = a$ 至多有一个解。

因此 $f(x) = 0$ 不可能有两个不同的实数根。

若题目改为 $f(x) = |2^x - 1| - a = 0$，即 $|2^x - 1| = a$。

$y = |2^x - 1|$ 的图象：$x = 0$ 时 $y = 0$（最小值）；$x \to +\infty$ 时 $y \to +\infty$；$x \to -\infty$ 时 $y \to 1$。

所以 $|2^x - 1| = a$ 有两个不同的实数根，需要 $0 < a < 1$。

因此 $a \in (0, 1)$。

第五章三角函数 ¶

5.1 考纲要求与学习目标 ¶

高考考查要求：

三角函数是高考的重点和必考点，分值占比高。考查内容包括：三角函数的概念、诱导公式、三角函数的图象与性质、三角恒等变换、$y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的图象与性质。常以选择题、填空题形式独立考查，也常以解答题形式综合考查。

学习目标：

理解任意角和弧度制的概念，掌握扇形面积与弧长公式。
掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数值在各象限的符号。
掌握同角三角函数的基本关系式。
掌握诱导公式，能正确运用”奇变偶不变，符号看象限”。
掌握三角函数的图象与性质，能进行 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的图象变换。
掌握两角和与差的三角公式、二倍角公式，能进行简单的三角恒等变换。

核心素养： 直观想象（三角函数图象）、数学运算（三角恒等变换）、逻辑推理。

5.2 核心概念梳理 ¶

5.2.1 任意角与弧度制 ¶

任意角：一条射线绕其端点旋转形成的图形叫做角。按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，没有旋转时为零角。

象限角：将角放在平面直角坐标系中，顶点在原点，始边与 $x$ 轴正半轴重合，终边所在的位置决定角在第几象限：

第一象限角：$2k\pi < \alpha < 2k\pi + \frac{\pi}{2}$（$k \in \mathbb{Z}$）
第二象限角：$2k\pi + \frac{\pi}{2} < \alpha < 2k\pi + \pi$
第三象限角：$2k\pi + \pi < \alpha < 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$
第四象限角：$2k\pi + \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2k\pi + 2\pi$

终边相同的角：与角 $\alpha$ 终边相同的角的集合为 ${\beta \mid \beta = \alpha + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}}$。

弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，记作 $1 \text{ rad}$。

角度与弧度的换算：

$$180° = \pi \text{ rad}$$

$$1° = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \approx 0.01745 \text{ rad}$$

$$1 \text{ rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57.30°$$

常用特殊角的换算：

角度	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$120°$	$135°$	$150°$	$180°$	$270°$	$360°$
弧度	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$

5.2.2 三角函数的概念 ¶

设 $\alpha$ 是一个任意角，$P(x, y)$ 是其终边上任意一点（不与原点重合），$r = \sqrt{x^2 + y^2} > 0$，则：

正弦：$\sin \alpha = \frac{y}{r}$
余弦：$\cos \alpha = \frac{x}{r}$
正切：$\tan \alpha = \frac{y}{x}$（$x \neq 0$，即 $\alpha \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$）

三角函数值只与角 $\alpha$ 的终边位置（即角的大小）有关，与终边上点 $P$ 的位置无关。

5.2.3 三角函数值在各象限的符号 ¶

函数	第一象限	第二象限	第三象限	第四象限
$\sin \alpha$	$+$	$+$	$-$	$-$
$\cos \alpha$	$+$	$-$	$-$	$+$
$\tan \alpha$	$+$	$-$	$+$	$-$

记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦（即第一象限全正，第二象限只有正弦为正，以此类推）。

5.2.4 诱导公式 ¶

利用角的对称关系，可以将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值。

5.2.5 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的图象 ¶

函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$（$A > 0, \omega > 0$）的图象可以由 $y = \sin x$ 的图象经过以下变换得到：

相位变换：将 $y = \sin x$ 的图象向左（$\varphi > 0$）或向右（$\varphi < 0$）平移 $\frac{|\varphi|}{\omega}$ 个单位，得到 $y = \sin(x + \varphi)$。
周期变换：将 $y = \sin(x + \varphi)$ 图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega}$ 倍（纵坐标不变），得到 $y = \sin(\omega x + \varphi)$。
振幅变换：将 $y = \sin(\omega x + \varphi)$ 图象上各点的纵坐标变为原来的 $A$ 倍（横坐标不变），得到 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$。

物理意义（简谐运动）：
- $A$：振幅
- $\omega$：角频率
- $T = \frac{2\pi}{\omega}$：周期
- $f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$：频率
- $\varphi$：初相
- $\omega x + \varphi$：相位

5.3 定理、公式与性质 ¶

5.3.1 弧长与扇形面积公式 ¶

设圆的半径为 $r$，圆心角为 $\alpha$ 弧度，则：

弧长：$l = |\alpha| \cdot r$
扇形面积：$S = \frac{1}{2} l \cdot r = \frac{1}{2} |\alpha| \cdot r^2$

5.3.2 同角三角函数的基本关系 ¶

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

5.3.3 诱导公式（公式一至公式五）¶

公式一：终边相同的角的三角函数值相同。

$$\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin \alpha, \quad \cos(\alpha + 2k\pi) = \cos \alpha, \quad \tan(\alpha + 2k\pi) = \tan \alpha$$（$k \in \mathbb{Z}$）

公式二：$\alpha$ 与 $-\alpha$ 的关系。

$$\sin(-\alpha) = -\sin \alpha, \quad \cos(-\alpha) = \cos \alpha, \quad \tan(-\alpha) = -\tan \alpha$$

公式三：$\alpha$ 与 $\pi + \alpha$ 的关系。

$$\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha, \quad \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha, \quad \tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha$$

公式四：$\alpha$ 与 $\pi - \alpha$ 的关系。

$$\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha, \quad \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha, \quad \tan(\pi - \alpha) = -\tan \alpha$$

公式五：$\alpha$ 与 $\frac{\pi}{2} - \alpha$ 的关系。

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha, \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha$$

公式六：$\alpha$ 与 $\frac{\pi}{2} + \alpha$ 的关系。

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha, \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha$$

记忆口诀：”奇变偶不变，符号看象限”：
- “奇”指 $\frac{\pi}{2}$ 的奇数倍（如 $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$），三角函数名要变（$\sin \leftrightarrow \cos$）；
- “偶”指 $\frac{\pi}{2}$ 的偶数倍（如 $\pi$, $2\pi$），三角函数名不变；
- “符号看象限”：将 $\alpha$ 当作锐角，判断原角在第几象限，原函数在该象限的符号即为结果的符号。

5.3.4 三角函数的图象与性质 ¶

正弦函数 $y = \sin x$：
- 定义域：$\mathbb{R}$
- 值域：$[-1, 1]$
- 周期：$2\pi$
- 奇偶性：奇函数
- 单调性：在 $\left[2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}\right]$ 上递增；在 $\left[2k\pi + \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{3\pi}{2}\right]$ 上递减
- 最大值：$1$（当 $x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ 时）；最小值：$-1$（当 $x = 2k\pi - \frac{\pi}{2}$ 时）
- 零点：$x = k\pi$

余弦函数 $y = \cos x$：
- 定义域：$\mathbb{R}$
- 值域：$[-1, 1]$
- 周期：$2\pi$
- 奇偶性：偶函数
- 单调性：在 $[2k\pi - \pi, 2k\pi]$ 上递增；在 $[2k\pi, 2k\pi + \pi]$ 上递减
- 最大值：$1$（当 $x = 2k\pi$ 时）；最小值：$-1$（当 $x = 2k\pi + \pi$ 时）

正切函数 $y = \tan x$：
- 定义域：$\left{x \mid x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right}$
- 值域：$\mathbb{R}$
- 周期：$\pi$
- 奇偶性：奇函数
- 单调性：在 $\left(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2}\right)$ 上递增

5.3.5 两角和与差的三角公式 ¶

两角和与差的正弦：

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$

$$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$

两角和与差的余弦：

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$$

两角和与差的正切：

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$$

$$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$$

5.3.6 二倍角公式 ¶

$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$

$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$$

$$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$$

5.3.7 半角公式 ¶

$$\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$$

$$\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$$

$$\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$$

（符号由 $\frac{\alpha}{2}$ 所在象限确定）

5.3.8 辅助角公式 ¶

$$a\sin\alpha + b\cos\alpha = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\alpha + \varphi)$$

其中 $\cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，即 $\tan\varphi = \frac{b}{a}$，$\varphi$ 的终边过点 $(a, b)$。

5.3.9 降幂公式 ¶

由二倍角公式变形得到：

$$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$$

$$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$

5.4 必会练习 ¶

练习1（基础题）将 $-1200°$ 化为弧度，并指出是第几象限角。

解答：

$-1200° = -1200 \times \frac{\pi}{180} = -\frac{20\pi}{3}$

找终边相同的角：$-\frac{20\pi}{3} + 2k\pi$，取 $k = 4$：

$-\frac{20\pi}{3} + 8\pi = -\frac{20\pi}{3} + \frac{24\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$

$\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$，在 $\pi$ 到 $\frac{3\pi}{2}$ 之间，是第三象限角。

所以 $-1200°$ 是第三象限角。

练习2（基础题）已知扇形的半径为 $r = 4$，圆心角为 $\alpha = \frac{\pi}{3}$，求扇形的弧长 $l$ 和面积 $S$。

解答：

弧长：$l = |\alpha| \cdot r = \frac{\pi}{3} \times 4 = \frac{4\pi}{3}$

面积：$S = \frac{1}{2}|\alpha| \cdot r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{3} \times 16 = \frac{8\pi}{3}$

练习3（基础题）已知 $\sin\alpha = \frac{3}{5}$，$\alpha$ 是第二象限角，求 $\cos\alpha$ 和 $\tan\alpha$。

解答：

由 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$：

$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

$$\cos\alpha = \pm\frac{4}{5}$$

因为 $\alpha$ 是第二象限角，$\cos\alpha < 0$，所以 $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$。

$$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$$

练习4（基础题）利用诱导公式化简：$\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$。

解答：

$\frac{3\pi}{2} - \alpha = \frac{3\pi}{2} + (-\alpha)$。

$\frac{3\pi}{2}$ 是 $\frac{\pi}{2}$ 的 $3$ 倍（奇数倍），所以三角函数名要变（$\sin \to \cos$）。

将 $\alpha$ 视为锐角，$\frac{3\pi}{2} - \alpha$ 在第四象限（在 $\pi$ 和 $\frac{3\pi}{2}$ 之间），正弦值在第四象限为负。

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha$$

练习5（基础题）计算 $\cos\frac{5\pi}{3}$。

解答：

方法一：$\cos\frac{5\pi}{3} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

方法二：$\frac{5\pi}{3}$ 是第四象限角，终边在 $300°$，$\cos 300° = \cos(360° - 60°) = \cos 60° = \frac{1}{2}$。

练习6（中档题）已知 $\sin\alpha = \frac{4}{5}$（$\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$），$\cos\beta = \frac{5}{13}$（$\beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$），求 $\sin(\alpha + \beta)$ 的值。

解答：

$\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$（第二象限），$\cos\alpha < 0$：

$$\cos\alpha = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$$

$\beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$（第一象限），$\sin\beta > 0$：

$$\sin\beta = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$$

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{4}{5} \times \frac{5}{13} + \left(-\frac{3}{5}\right) \times \frac{12}{13}$$

$$= \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = -\frac{16}{65}$$

练习7（中档题）化简：$\sin 50°(1 + \sqrt{3}\tan 10°)$。

解答：

$$\sin 50°(1 + \sqrt{3}\tan 10°) = \sin 50° \cdot \frac{\cos 10° + \sqrt{3}\sin 10°}{\cos 10°}$$

$$= \sin 50° \cdot \frac{2\left(\frac{1}{2}\cos 10° + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 10°\right)}{\cos 10°}$$

$$= \sin 50° \cdot \frac{2\sin(10° + 30°)}{\cos 10°} = \sin 50° \cdot \frac{2\sin 40°}{\cos 10°}$$

利用 $\sin 50° = \cos 40°$：

$$= \cos 40° \cdot \frac{2\sin 40°}{\cos 10°} = \frac{2\sin 40°\cos 40°}{\cos 10°} = \frac{\sin 80°}{\cos 10°} = \frac{\cos 10°}{\cos 10°} = 1$$

练习8（中档题）求函数 $f(x) = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ 的周期、最大值、最小值、单调递增区间。

解答：

周期：$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2} = \pi$
最大值：$2$（当 $2x - \frac{\pi}{3} = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$，即 $x = k\pi + \frac{5\pi}{12}$ 时）
最小值：$-2$（当 $2x - \frac{\pi}{3} = 2k\pi - \frac{\pi}{2}$，即 $x = k\pi - \frac{\pi}{12}$ 时）
单调递增区间：令 $2k\pi - \frac{\pi}{2} \leq 2x - \frac{\pi}{3} \leq 2k\pi + \frac{\pi}{2}$（$k \in \mathbb{Z}$）

$$2k\pi - \frac{\pi}{6} \leq 2x \leq 2k\pi + \frac{5\pi}{6}$$

$$k\pi - \frac{\pi}{12} \leq x \leq k\pi + \frac{5\pi}{12}$$

所以单调递增区间为 $\left[k\pi - \frac{\pi}{12}, k\pi + \frac{5\pi}{12}\right]$（$k \in \mathbb{Z}$）。

练习9（中档题）已知 $f(x) = \sin^2 x + \sqrt{3}\sin x\cos x$，化简为 $A\sin(\omega x + \varphi)$ 的形式，并求其最大值和周期。

解答：

利用降幂公式和辅助角公式：

$$f(x) = \sin^2 x + \sqrt{3}\sin x\cos x = \frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{\sqrt{3}\sin 2x}{2}$$

$$= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\sin 2x - \cos 2x}{2}$$

$$= \frac{1}{2} + \frac{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x\right)}{2}$$

$$= \frac{1}{2} + \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$$

所以 $f(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}$。

最大值：$1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$（当 $2x - \frac{\pi}{6} = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ 即 $x = k\pi + \frac{\pi}{3}$ 时）
周期：$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$

练习10（提升题）求函数 $f(x) = \cos 2x - 2\sin x$ 的最大值和最小值（$x \in [0, \pi]$）。

解答：

利用 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$：

$$f(x) = 1 - 2\sin^2 x - 2\sin x = -2\sin^2 x - 2\sin x + 1$$

令 $t = \sin x$，$x \in [0, \pi]$ 时 $t \in [0, 1]$。

$$g(t) = -2t^2 - 2t + 1 = -2\left(t^2 + t\right) + 1 = -2\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 1 = -2\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}$$

对称轴 $t = -\frac{1}{2}$，在 $[0, 1]$ 的左侧，开口向下，$g(t)$ 在 $[0, 1]$ 上递减。

$g(0) = 1$，$g(1) = -2 - 2 + 1 = -3$。

所以 $f(x)$ 的最大值为 $1$（当 $\sin x = 0$ 即 $x = 0$ 或 $x = \pi$ 时），最小值为 $-3$（当 $\sin x = 1$ 即 $x = \frac{\pi}{2}$ 时）。

练习11（提升题）已知 $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{5}$，$\alpha \in (0, \pi)$，求 $\sin\alpha - \cos\alpha$ 的值。

解答：

设 $s = \sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{5}$。

平方：$s^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$

$$\frac{1}{25} = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha \Rightarrow \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{25} - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{2 - 25}{50} = -\frac{23}{50}$$

设 $d = \sin\alpha - \cos\alpha$，则 $d^2 = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 - 2 \times \left(-\frac{23}{50}\right) = 1 + \frac{46}{50} = 1 + \frac{23}{25} = \frac{48}{25}$

（注意：重新计算 $\sin\alpha\cos\alpha$）

$s^2 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$

$\frac{1}{25} = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$

$2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{25} - 1 = -\frac{24}{25}$

$\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{12}{25}$

$d^2 = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 - 2 \times \left(-\frac{12}{25}\right) = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25}$

$d = \pm\frac{7}{5}$

因为 $\alpha \in (0, \pi)$，$\sin\alpha > 0$。又 $\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{12}{25} < 0$，所以 $\cos\alpha < 0$，即 $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$（第二象限）。

在第二象限 $\sin\alpha > \cos\alpha$（$\sin\alpha > 0 > \cos\alpha$），所以 $d = \sin\alpha - \cos\alpha > 0$。

$$\sin\alpha - \cos\alpha = \frac{7}{5}$$

练习12（提升题）已知函数 $f(x) = 3\sin\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right)$，求 $f(x)$ 的单调递减区间。

解答：

首先将函数化简为标准形式。利用 $\sin(-\theta) = -\sin\theta$：

$$f(x) = 3\sin\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = 3\sin\left(-(2x - \frac{\pi}{3})\right) = -3\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$$

求 $f(x) = -3\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ 的单调递减区间，等价于求 $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ 的单调递增区间。

令 $2k\pi - \frac{\pi}{2} \leq 2x - \frac{\pi}{3} \leq 2k\pi + \frac{\pi}{2}$（$k \in \mathbb{Z}$）：

$$2k\pi - \frac{\pi}{6} \leq 2x \leq 2k\pi + \frac{5\pi}{6}$$

$$k\pi - \frac{\pi}{12} \leq x \leq k\pi + \frac{5\pi}{12}$$

所以 $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left[k\pi - \frac{\pi}{12}, k\pi + \frac{5\pi}{12}\right]$（$k \in \mathbb{Z}$）。

练习13（提升题）将函数 $y = \sin x$ 的图象经过怎样的变换可以得到 $y = 3\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$ 的图象？

解答：

方法一（先平移后缩放）：

将 $y = \sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位，得到 $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$。
将各点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到 $y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$。
将各点的纵坐标扩大为原来的 $3$ 倍（横坐标不变），得到 $y = 3\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$。

方法二（先缩放后平移）：

将 $y = \sin x$ 的各点横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$，得到 $y = \sin 2x$。
向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位（注意：$\sin 2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$），得到 $y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$。
纵坐标扩大3倍，得到 $y = 3\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$。

练习14（提升题）在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\sin A + \cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $\tan A$ 的值。

解答：

$\sin A + \cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$

平方：$1 + 2\sin A\cos A = \frac{1}{2}$

$2\sin A\cos A = -\frac{1}{2}$，$\sin A\cos A = -\frac{1}{4}$

因为 $A$ 是三角形的内角，$0 < A < \pi$，$\sin A > 0$。

由 $\sin A\cos A < 0$ 知 $\cos A < 0$，所以 $\frac{\pi}{2} < A < \pi$。

$$(\sin A - \cos A)^2 = 1 - 2\sin A\cos A = 1 - 2 \times \left(-\frac{1}{4}\right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

$$\sin A - \cos A = \frac{\sqrt{6}}{2}$$（因为 $\sin A > 0 > \cos A$，所以 $\sin A - \cos A > 0$）

由 $\begin{cases} \sin A + \cos A = \frac{\sqrt{2}}{2} \ \sin A - \cos A = \frac{\sqrt{6}}{2} \end{cases}$

$\sin A = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$，$\cos A = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

$$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6})^2}{(\sqrt{2} - \sqrt{6})(\sqrt{2} + \sqrt{6})} = \frac{2 + 2\sqrt{12} + 6}{2 - 6} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{-4} = -(2 + \sqrt{3})$$

所以 $\tan A = -2 - \sqrt{3}$。

5.5 易错点提醒 ¶

弧度与角度的混用：在同一个问题中，角度和弧度不能混用。例如不能写 $\sin 30° + \cos \frac{\pi}{3}$（虽然结果正确，但不规范）。在微积分中一律使用弧度制。
三角函数值符号的判断：已知 $\sin\alpha$（或 $\cos\alpha$）的值求其他三角函数值时，必须根据 $\alpha$ 所在象限确定符号。如果象限不确定，需要分类讨论。
$\tan \alpha$ 的定义域：$\tan \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ 要求 $\cos\alpha \neq 0$，即 $\alpha \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$（$k \in \mathbb{Z}$）。正切函数的定义域不是全体实数。
诱导公式中的函数名变换：”$\frac{\pi}{2}$ 的奇数倍变名，偶数倍不变名”。$\frac{\pi}{2} + \alpha$ 是奇数倍要变名（$\sin \to \cos$），$\pi + \alpha$ 是偶数倍不变名。符号判断时常出错，关键是将 $\alpha$ 当作锐角来定位。
$y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 变换中的平移量：先平移后缩放时平移 $|\varphi|$ 个单位；先缩放后平移时平移 $\frac{|\varphi|}{\omega}$ 个单位。两种顺序中平移量不同，这是因为缩放会改变横坐标的尺度。
二倍角公式的变形应用：$\cos 2\alpha$ 有三种形式（$\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$、$2\cos^2\alpha - 1$、$1 - 2\sin^2\alpha$），根据具体问题选择合适的形式。降幂公式 $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2}$ 和 $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}$ 是二倍角公式的逆用，在化简中非常有用。
辅助角公式中的角度确定：$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta + \varphi)$ 中，$\varphi$ 的确定要同时满足 $\cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 和 $\sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，不能只看 $\tan\varphi = \frac{b}{a}$（因为 $\tan$ 不区分象限）。

5.6 高考链接 ¶

【2022年新高考I卷·改编】

求函数 $f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值。

解答：

利用辅助角公式：

$$f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x = 2\left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$

$x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时，$\theta = x + \frac{\pi}{3} \in \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}\right]$。

$y = 2\sin\theta$ 在 $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}\right]$ 上：

$\theta = \frac{\pi}{2}$ 时取最大值 $\sin\frac{\pi}{2} = 1$，$f = 2$（此时 $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$）。
端点：$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$，最小值为 $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$，$f = 1$（此时 $x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$）。

比较端点：$f(0) = 2\sin\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \approx 1.732$。

所以最大值为 $2$（当 $x = \frac{\pi}{6}$ 时），最小值为 $1$（当 $x = \frac{\pi}{2}$ 时）。

【2023年全国甲卷·改编】

已知函数 $f(x) = 2\cos^2 x + \sqrt{3}\sin 2x + a$ 的最大值为 $1$。

（1）求 $a$ 的值；

（2）求 $f(x)$ 的单调递减区间。

解答：

（1）降幂公式：$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$$f(x) = 2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} + \sqrt{3}\sin 2x + a = 1 + \cos 2x + \sqrt{3}\sin 2x + a$$

$$= a + 1 + 2\left(\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x\right) = a + 1 + 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$$

$f(x)$ 的最大值为 $a + 1 + 2 = a + 3 = 1$，所以 $a = -2$。

（2）$f(x) = -1 + 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$

$f(x)$ 递减 $\Leftrightarrow$ $\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ 递减。

令 $2k\pi + \frac{\pi}{2} \leq 2x + \frac{\pi}{6} \leq 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$（$k \in \mathbb{Z}$）：

$$2k\pi + \frac{\pi}{3} \leq 2x \leq 2k\pi + \frac{4\pi}{3}$$

$$k\pi + \frac{\pi}{6} \leq x \leq k\pi + \frac{2\pi}{3}$$

所以 $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left[k\pi + \frac{\pi}{6}, k\pi + \frac{2\pi}{3}\right]$（$k \in \mathbb{Z}$）。

附录：常用公式速查表 ¶

一、集合 ¶

公式/性质	表达
子集个数	$n$个元素的集合有 $2^n$ 个子集
德摩根定律	$\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B$
	$\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B$

二、不等式 ¶

公式/性质	表达
基本不等式	$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$（$a,b>0$，等号当 $a=b$）
求根公式	$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
韦达定理	$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1 x_2=\frac{c}{a}$

三、函数 ¶

性质	内容
图象平移	$y=f(x+h)+k$：左移$h$，上移$k$
偶函数	$f(-x)=f(x)$，图象关于$y$轴对称
奇函数	$f(-x)=-f(x)$，图象关于原点对称

四、指数与对数 ¶

公式	表达
换底公式	$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$
对数恒等式	$a^{\log_a N} = N$
对数运算法则	$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$

五、三角函数 ¶

公式	表达
同角关系	$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
弧长	$l=
扇形面积	$S=\frac{1}{2}
两角和正弦	$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
两角和余弦	$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
二倍角正弦	$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
二倍角余弦	$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha-1 = 1-2\sin^2\alpha$
辅助角公式	$a\sin\theta+b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\varphi)$

特殊三角函数值表 ¶

角度	弧度	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$0°$	$0$	$0$	$1$	$0$
$30°$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90°$	$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	不存在
$120°$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
$135°$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$
$150°$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$180°$	$\pi$	$0$	$-1$	$0$
$270°$	$\frac{3\pi}{2}$	$-1$	$0$	不存在
$360°$	$2\pi$	$0$	$1$	$0$

本手册依据人教A版（2019版）高中数学必修第一册编写，内容覆盖集合与常用逻辑用语、一元二次函数方程和不等式、函数的概念和性质、指数函数与对数函数、三角函数五大章节。建议配合教材和课堂学习使用，注重概念理解与解题训练相结合。

编者注：文档中所有数学公式均使用 LaTeX 语法，推荐使用支持 LaTeX 渲染的 Markdown 编辑器（如 Typora、Obsidian 等）阅读。

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