20260728 154353 初中数学知识点全清单依据考纲梳理及补充
20260728_154353_初中数学知识点全清单依据考纲梳理及补充.md
发布日期：2026年07月28日
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最后修改：2026-07-28 15:43:53
本文档依据《义务教育数学课程标准》及中考考纲要求，对初中数学（七年级至九年级）全部知识点进行系统梳理，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四大领域。每个知识点附有概念说明与典型示例，便于理解与运用。
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 有理数的概念 |
整数和分数统称为有理数，包括正整数、零、负整数、正分数、负分数 |
$3$、$-5$、$0$、$\dfrac{1}{2}$、$-\dfrac{3}{4}$ 均为有理数 |
| 有理数的分类 |
按定义分：整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）；按符号分：正有理数、零、负有理数 |
$-2$ 按定义属整数，按符号属负有理数 |
| 数轴 |
规定了原点、正方向和单位长度的直线，数轴上的点与有理数一一对应 |
在数轴上，$-2$ 在原点左侧2个单位处 |
| 相反数 |
只有符号不同的两个数互为相反数，$a$ 的相反数为 $-a$；$0$ 的相反数是 $0$ |
$3$ 与 $-3$ 互为相反数；$-( -5 )=5$ |
| 绝对值 |
几何意义：数轴上表示该数的点到原点的距离；代数意义：$ |
a |
| 有理数大小比较 |
正数$>$零$>$负数；两个负数比较，绝对值大的反而小 |
$-\dfrac{1}{2}>-1$，因为 $\dfrac{1}{2}<1$ |
| 有理数的加法 |
同号相加取相同符号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，绝对值相减 |
$(-3)+(-5)=-8$；$(-3)+5=2$ |
| 有理数的减法 |
减去一个数等于加上它的相反数：$a-b=a+(-b)$ |
$7-(-3)=7+3=10$ |
| 有理数的乘法 |
同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘 $0$ 得 $0$ |
$(-4)\times(-3)=12$；$(-4)\times3=-12$ |
| 有理数的除法 |
除以一个不为零的数等于乘它的倒数：$a\div b=a\times\dfrac{1}{b}$ |
$(-12)\div(-4)=3$；$(-12)\div4=-3$ |
| 有理数的乘方 |
$n$ 个相同因数相乘：$a^n$；负数的偶次幂为正，奇次幂为负 |
$(-2)^3=-8$；$(-2)^4=16$ |
| 科学记数法 |
将一个数写成 $a\times10^n$ 的形式，其中 $1\le |
a |
| 有理数的混合运算 |
先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 |
$-2^2+3\times(-1)=-4-3=-7$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 平方根 |
若 $x^2=a$（$a\ge0$），则 $x$ 为 $a$ 的平方根；正的平方根为算术平方根 $\sqrt{a}$ |
$\sqrt{9}=3$（算术平方根）；$9$ 的平方根为 $\pm3$ |
| 立方根 |
若 $x^3=a$，则 $x$ 为 $a$ 的立方根，记作 $\sqrt[3]{a}$；负数有立方根 |
$\sqrt[3]{27}=3$；$\sqrt[3]{-8}=-2$ |
| 无理数 |
无限不循环小数，不能表示为两个整数之比 |
$\sqrt{2}$、$\pi$、$0.1010010001\cdots$ |
| 实数的分类 |
有理数（有限或无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）统称实数 |
$\dfrac{22}{7}$ 是有理数；$\pi$ 是无理数 |
| 实数与数轴 |
每一个实数都可以用数轴上的点来表示，反之亦然——一一对应 |
$\sqrt{2}$ 可在数轴上用边长为 $1$ 的正方形对角线截取 |
| 实数的运算 |
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用 |
$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$ |
| 实数的大小比较 |
可利用数轴、平方法、作差法等比较 |
比较 $\sqrt{3}$ 与 $\sqrt{2}+1$：$(\sqrt{3})^2=3<(\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2}$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 用字母表示数 |
用字母代替具体的数值，表示一般规律或数量关系 |
圆的周长 $C=2\pi r$；偶数 $2n$ |
| 代数式的定义 |
用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数和字母连接起来的式子 |
$2a+3b$、$\dfrac{x}{y+1}$、$a^2-b^2$ |
| 代数式的书写规范 |
数字在前字母在后；除号写成分数线；带分数化为假分数 |
写 $2a$ 而非 $a2$；写 $\dfrac{x}{2}$ 而非 $x\div2$ |
| 代数式的值 |
用数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算所得结果 |
当 $a=2,b=-1$ 时，$a^2+2ab+b^2=4-4+1=1$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 单项式 |
数与字母的积（单独的数或字母也是单项式）；系数为数字因数，次数为所有字母指数之和 |
$-3x^2y$：系数 $-3$，次数 $2+1=3$ |
| 多项式 |
几个单项式的和；每个单项式为项，不含字母的项为常数项；次数为最高次项的次数 |
$2x^3-3x+5$：三次三项式，常数项 $5$ |
| 同类项 |
所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项；几个常数项也是同类项 |
$3x^2y$ 与 $-5x^2y$ 是同类项 |
| 合并同类项 |
系数相加减，字母和字母的指数不变 |
$3x^2y-5x^2y=-2x^2y$ |
| 整式的加减 |
先去括号，再合并同类项；括号前是负号时各项变号 |
$(2a-3b)-(a+2b)=2a-3b-a-2b=a-5b$ |
| 整式的乘法 |
单项式×单项式：系数相乘、同底数幂相乘；单项式×多项式/多项式×多项式：分配律展开 |
$2x(3x^2-1)=6x^3-2x$；$(x+2)(x-3)=x^2-x-6$ |
| 幂的运算 |
同底数幂相乘：$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$；幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$；积的乘方：$(ab)^n=a^n b^n$ |
$x^3\cdot x^4=x^7$；$(x^2)^3=x^6$；$(2x)^3=8x^3$ |
| 乘法公式 |
平方差：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；完全平方：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$ |
$(x+3)(x-3)=x^2-9$；$(2a-b)^2=4a^2-4ab+b^2$ |
| 整式的除法 |
单项式÷单项式：系数相除、同底数幂相除；多项式÷单项式：分配律逐项除 |
$6x^4y^2\div2x^2y=3x^2y$；$(6x^3-2x)\div2x=3x^2-1$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 因式分解的定义 |
把一个多项式化为几个整式的积的形式（与整式乘法互逆） |
$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ |
| 提取公因式法 |
若多项式各项含公共因式，提取出来 |
$6x^2y-3xy=3xy(2x-1)$ |
| 公式法 |
利用平方差公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ 和完全平方公式 $a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$ |
$4x^2-9=(2x+3)(2x-3)$；$x^2+6x+9=(x+3)^2$ |
| 十字相乘法 |
对 $x^2+(p+q)x+pq$ 型可分解为 $(x+p)(x+q)$ |
$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$ |
| 因式分解的步骤 |
一提（公因式）→ 二套（公式）→ 三查（是否分解彻底） |
$2x^3-8x=2x(x^2-4)=2x(x+2)(x-2)$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 分式的概念 |
形如 $\dfrac{A}{B}$（$A,B$ 为整式，$B$ 中含字母且 $B\ne0$）的式子 |
$\dfrac{x+1}{x-2}$ 是分式；$\dfrac{x}{3}$ 不是分式 |
| 分式有意义的条件 |
分母不为零 |
$\dfrac{x}{x-2}$ 有意义则 $x-2\ne0$，即 $x\ne2$ |
| 分式的基本性质 |
$\dfrac{A}{B}=\dfrac{A\times C}{B\times C}=\dfrac{A\div C}{B\div C}$（$C\ne0$） |
$\dfrac{2x}{4y}=\dfrac{x}{2y}$（分子分母同除以2） |
| 约分与通分 |
约分：分子分母除以公因式；通分：化为同分母 |
约分：$\dfrac{6x^2y}{9xy^2}=\dfrac{2x}{3y}$ |
| 分式的乘除 |
乘法：分子乘分子、分母乘分母；除法：除式取倒数后相乘 |
$\dfrac{x}{y}\times\dfrac{y}{z}=\dfrac{x}{z}$；$\dfrac{x}{y}\div\dfrac{z}{y}=\dfrac{x}{z}$ |
| 分式的加减 |
同分母直接加减分子；异分母先通分再加减 |
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{y+x}{xy}$ |
| 分式的混合运算 |
先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号 |
$\left(\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{x^2-x}\right)\div\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1$ |
| 分式的化简求值 |
先化简，再代入求值（注意代入值不使分母为零） |
化简 $\dfrac{x^2-1}{x+1}=x-1$，代入 $x=3$ 得 $2$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 二次根式的概念与性质 |
形如 $\sqrt{a}$（$a\ge0$）的式子；$(\sqrt{a})^2=a$；$sqrt{a^2}= |
a |
| 二次根式的乘法 |
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a\ge0,b\ge0$） |
$\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$ |
| 二次根式的除法 |
$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a\ge0,b>0$） |
$\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3$ |
| 最简二次根式 |
被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数 |
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；$2\sqrt{3}$ 为最简二次根式 |
| 二次根式的加减 |
先化为最简二次根式，再合并同类二次根式（被开方数相同的） |
$\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ |
| 二次根式的混合运算 |
运算顺序同有理数；注意乘法公式可简化运算 |
$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=3-1=2$ |
| 分母有理化 |
将分母中的根号化去：分子分母同乘分母的有理化因式 |
$\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$；$\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 等式的性质 |
性质1：等式两边同加（减）同数仍等；性质2：等式两边同乘同数（或除以不为零的数）仍等 |
若 $x-3=7$，则 $x-3+3=7+3$，即 $x=10$ |
| 一元一次方程的定义 |
只含一个未知数，未知数的最高次数为 $1$ 的整式方程 |
$3x-5=7$ 是；$x^2+2x=1$ 不是（二次） |
| 解方程的步骤 |
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 |
解 $\dfrac{x}{2}-1=\dfrac{x}{3}$：$3x-6=2x\Rightarrow x=6$ |
| 行程问题 |
路程$=$速度$\times$时间；相遇/追及/顺逆水 |
甲乙相距 $120$ km，甲速 $40$ km/h，乙速 $20$ km/h，相向而行几小时相遇？设 $t$ 小时：$40t+20t=120$，$t=2$ |
| 工程问题 |
工作量$=$工作效率$\times$工作时间；常设总量为 $1$ |
甲独做 $6$ 天完成，乙独做 $10$ 天，合作需几天？$\dfrac{1}{6}t+\dfrac{1}{10}t=1$，$t=\dfrac{15}{4}$ 天 |
| 利润问题 |
售价$=$进价$+$利润；利润率$=\dfrac{\text{利润}}{\text{进价}}\times100\%$ |
进价 $200$ 元，加价 $20\%$ 出售，售价 $=200\times(1+20\%)=240$ 元 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 二元一次方程的概念 |
含两个未知数，每个未知数的次数为 $1$ 的整式方程 |
$2x+3y=7$ |
| 二元一次方程组的定义 |
两个二元一次方程联立 |
$\begin{cases}x+y=5\x-y=1\end{cases}$ |
| 代入消元法 |
从一个方程中用一个未知数表示另一个，代入另一方程 |
由 $y=5-x$ 代入 $x-y=1$ 得 $x-(5-x)=1$，$x=3,y=2$ |
| 加减消元法 |
通过方程两边同乘适当数，使某未知数系数相同（或相反），再相减（加） |
两式相加：$2x=6\Rightarrow x=3,y=2$ |
| 三元一次方程组（选学） |
三个未知数、三个方程，逐步消元 |
$\begin{cases}x+y+z=6\x-y=1\y+z=4\end{cases}$ 可消去 $z$ 先解 $x,y$ |
| 方程组的应用 |
设两个未知数列方程组求解实际问题 |
鸡兔同笼：鸡兔共 $35$ 头、$94$ 足，$\begin{cases}x+y=35\2x+4y=94\end{cases}$，$x=23,y=12$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 定义与一般形式 |
含一个未知数，最高次数为 $2$ 的整式方程：$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$） |
$2x^2-3x+1=0$（$a=2,b=-3,c=1$） |
| 直接开平方法 |
形如 $x^2=m$（$m\ge0$）或 $(x-n)^2=m$ 直接开方 |
$x^2-9=0\Rightarrow x=\pm3$ |
| 配方法 |
将方程化为 $(x+h)^2=k$ 的形式再开方 |
$x^2+6x+5=0\Rightarrow(x+3)^2=4\Rightarrow x=-1$ 或 $x=-5$ |
| 公式法 |
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ |
$2x^2-3x+1=0$：$x=\dfrac{3\pm\sqrt{9-8}}{4}$，$x=1$ 或 $\dfrac{1}{2}$ |
| 因式分解法 |
将方程化为 $(x-p)(x-q)=0$ 的形式 |
$x^2-5x+6=0\Rightarrow(x-2)(x-3)=0\Rightarrow x=2$ 或 $3$ |
| 根的判别式 |
$\Delta=b^2-4ac$：$\Delta>0$ 两个不等实根；$\Delta=0$ 两个相等实根；$\Delta<0$ 无实根 |
$x^2-4x+4=0$：$\Delta=0$，有唯一根 $x=2$ |
| 韦达定理 |
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$（前提 $\Delta\ge0$） |
$x^2-5x+6=0$：$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=6$ |
| 一元二次方程的应用 |
增长率问题、面积问题、利润问题等 |
某商品两次降价后价格从 $100$ 元降为 $81$ 元，设每次降价率 $x$：$100(1-x)^2=81$，$x=0.1=10\%$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 分式方程的定义 |
分母中含未知数的方程 |
$\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{x+1}=1$ |
| 分式方程的解法 |
方程两边同乘最简公分母化为整式方程，解之 |
$\dfrac{2}{x-1}=3\Rightarrow 2=3(x-1)\Rightarrow x=\dfrac{5}{3}$ |
| 增根与验根 |
乘以公分母后可能产生使原方程分母为零的增根，必须验根 |
解 $\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{2}{x-2}$ 得 $x=2$，但代入原方程分母为 $0$，故为增根，原方程无解 |
| 分式方程的应用 |
工程问题、行程问题中常涉及分式方程 |
甲做 $10$ 天完成，乙做 $15$ 天，合作几天？设 $t$ 天：$\dfrac{t}{10}+\dfrac{t}{15}=1$，$t=6$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 不等式的基本性质 |
性质1：两边同加（减）同数不等号方向不变；性质2：两边同乘（除）正数不等号方向不变；性质3：两边同乘（除）负数不等号方向改变 |
$-2x>6\Rightarrow x<-3$（方向改变） |
| 一元一次不等式的解法 |
与一元一次方程解法类似，注意乘（除）负数时不等号变向 |
$3x-2<7\Rightarrow 3x<9\Rightarrow x<3$ |
| 一元一次不等式组 |
取交集——同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解 |
$\begin{cases}x>2\x<5\end{cases}\Rightarrow 2<x<5$（大小小大取中间） |
| 在数轴上的表示 |
含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈，取交集画公共部分 |
$x\ge1$：实心点 $1$ 向右；$x<3$：空心点 $3$ 向左 |
| 不等式（组）的应用 |
方案设计、最值问题、整数解问题 |
某商品进价 $50$ 元，售价不低于 $60$ 元且利润率不超过 $40\%$，$50(1+x\%)\le50\times1.4$ 且 $50(1+x\%)\ge60$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 平面直角坐标系的建立 |
两条互相垂直的数轴（$x$轴、$y$轴）交于原点，构成坐标平面 |
点 $P(3,2)$：横坐标 $3$，纵坐标 $2$ |
| 各象限内点的坐标特征 |
第一象限$(+,+)$；第二象限$(-,+)$；第三象限$(-,-)$；第四象限$(+,-)$ |
$(-2,3)$ 在第二象限 |
| 坐标轴上点的坐标特征 |
$x$ 轴上纵坐标为 $0$；$y$ 轴上横坐标为 $0$ |
$(0,5)$ 在 $y$ 轴上 |
| 点的对称 |
关于 $x$ 轴对称：纵坐标取反；关于 $y$ 轴对称：横坐标取反；关于原点对称：均取反 |
$(3,-2)$ 关于 $x$ 轴对称点为 $(3,2)$ |
| 两点间的距离 |
$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ |
$A(1,2),B(4,6)$：$AB=\sqrt{9+16}=5$ |
| 函数的概念 |
设在一个变化过程中有两个变量 $x,y$，若对 $x$ 的每一个值 $y$ 都有唯一确定的值与之对应，则 $y$ 是 $x$ 的函数 |
$y=2x+1$ 中 $y$ 是 $x$ 的函数 |
| 函数的表示方法 |
解析法（公式）、列表法（表格）、图象法（画图） |
$y=x^2$ 可用公式、列表、画抛物线表示 |
| 函数的定义域 |
自变量 $x$ 的取值范围：分母不为 $0$、根号下非负、实际意义限制 |
$y=\sqrt{x-1}$ 定义域 $x\ge1$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 一次函数的定义 |
$y=kx+b$（$k\ne0$），$k$ 为斜率，$b$ 为纵截距 |
$y=2x-3$：$k=2,b=-3$ |
| 正比例函数 |
$y=kx$（$k\ne0$），图象过原点，是一次函数 $b=0$ 的特例 |
$y=-\dfrac{1}{2}x$：图象过原点，二四象限 |
| 一次函数的图象 |
过 $(0,b)$ 和 $\left(-\dfrac{b}{k},0\right)$ 两点的直线 |
$y=2x-3$ 过 $(0,-3)$ 和 $\left(\dfrac{3}{2},0\right)$ |
| $k,b$ 的符号对图象的影响 |
$k>0,b>0$：一二三象限；$k>0,b<0$：一三四象限；$k<0,b>0$：一二四象限；$k<0,b<0$：二三四象限 |
$y=-x+2$：$k<0,b>0$，图象在一二四象限 |
| 一次函数的性质 |
$k>0$ 时 $y$ 随 $x$ 增大而增大（递增）；$k<0$ 时递减 |
$y=3x+1$：$k=3>0$，递增 |
| 待定系数法求解析式 |
设 $y=kx+b$，代入两个已知点解 $k,b$ |
已知过 $(1,3)$ 和 $(2,5)$：$\begin{cases}k+b=3\2k+b=5\end{cases}\Rightarrow k=2,b=1$，$y=2x+1$ |
| 与一元一次方程的关系 |
$y=kx+b$ 中令 $y=0$，解方程 $kx+b=0$ 得图象与 $x$ 轴交点 |
$y=2x-4$ 中 $2x-4=0\Rightarrow x=2$，交点 $(2,0)$ |
| 与一元一次不等式的关系 |
图象在 $x$ 轴上方对应 $y>0$（即 $kx+b>0$）；下方对应 $kx+b<0$ |
$y=2x-4$，当 $x>2$ 时 $y>0$ |
| 与二元一次方程组的关系 |
两条直线交点坐标即为方程组的解 |
$\begin{cases}y=2x-1\y=-x+5\end{cases}$ 交点 $(2,3)$ |
| 一次函数的应用 |
行程问题、计费问题、最优方案选择 |
出租车起步价 $8$ 元/$3$km，超出 $2$ 元/km：$y=\begin{cases}8 & x\le3\8+2(x-3) & x>3\end{cases}$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 反比例函数的定义 |
$y=\dfrac{k}{x}$（$k\ne0$），自变量 $x\ne0$ |
$y=\dfrac{6}{x}$：$k=6$ |
| 反比例函数的图象 |
双曲线，$k>0$ 时在一三象限，$k<0$ 时在二四象限；关于原点中心对称 |
$y=\dfrac{6}{x}$：双曲线在一三象限 |
| 反比例函数的性质 |
$k>0$ 时在各象限内 $y$ 随 $x$ 增大而减小；$k<0$ 时在各象限内 $y$ 随 $x$ 增大而增大 |
$y=\dfrac{6}{x}$：第一象限内 $x$ 增大 $y$ 减小 |
| 待定系数法求解析式 |
设 $y=\dfrac{k}{x}$，代入一个已知点解 $k$ |
过 $(2,3)$：$3=\dfrac{k}{2}\Rightarrow k=6$，$y=\dfrac{6}{x}$ |
| $ |
k |
$ 的几何意义 |
| 反比例函数的应用 |
物理中的反比关系（压力与面积、电流与电阻等） |
压力 $F$ 一定时，压强 $p=\dfrac{F}{S}$，$S$ 增大则 $p$ 减小 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 二次函数的定义 |
$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$），$a$ 决定开口方向 |
$y=x^2-2x-3$：$a=1>0$ 开口向上 |
| 二次函数的图象 |
抛物线，关于对称轴 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 对称 |
$y=x^2-2x-3$ 的对称轴 $x=1$ |
| 顶点式 |
$y=a(x-h)^2+k$，顶点 $(h,k)$ |
$y=2(x-1)^2+3$：顶点 $(1,3)$ |
| 交点式 |
$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，$x_1,x_2$ 为与 $x$ 轴交点的横坐标 |
$y=(x-1)(x+3)$：交点 $(1,0)$ 和 $(-3,0)$ |
| 二次函数的性质 |
$a>0$ 开口向上，顶点处取最小值；$a<0$ 开口向下，顶点处取最大值；对称轴两侧增减性相反 |
$y=-x^2+4x$：$a<0$ 开口向下，顶点 $(2,4)$，最大值 $4$ |
| 图象的平移 |
左加右减（$h$ 方向）、上加下减（$k$ 方向）：$y=a(x-h)^2+k$ |
$y=x^2$ 向右平移 $2$ 个单位、向上平移 $1$ 个单位得 $y=(x-2)^2+1$ |
| 待定系数法求解析式 |
已知顶点用顶点式，已知交点用交点式，已知三点用一般式 |
已知顶点 $(1,2)$ 过原点：$y=a(x-1)^2+2$，代入 $(0,0)$ 得 $a=-2$，$y=-2(x-1)^2+2$ |
| 与一元二次方程的关系 |
$y=ax^2+bx+c=0$ 的实根即抛物线与 $x$ 轴交点的横坐标；$\Delta>0$ 两个交点，$\Delta=0$ 一个，$\Delta<0$ 无交点 |
$y=x^2-2x-3$：令 $y=0$ 得 $x^2-2x-3=0$，$x=-1$ 或 $3$，交点 $(-1,0),(3,0)$ |
| 与不等式的关系 |
$ax^2+bx+c>0$ 的解集即图象在 $x$ 轴上方对应的 $x$ 范围 |
$y=x^2-2x-3>0$ 的解集：$x<-1$ 或 $x>3$ |
| 二次函数的最值 |
顶点处取最值：$a>0$ 时最小值 $k$，$a<0$ 时最大值 $k$ |
$y=-2x^2+8x-5$：顶点 $(2,3)$，最大值 $3$ |
| 二次函数的应用 |
利润最大化、面积最大化、抛物线型实际问题 |
用 $20$m 长栅栏靠墙围矩形：设宽 $x$，面积 $S=x(20-2x)=-2x^2+20x$，顶点 $x=5$ 时 $S_{\max}=50$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 几何图形的分类 |
立体图形（长方体、球等）与平面图形（三角形、圆等） |
圆柱是立体图形，三角形是平面图形 |
| 点、线、面、体 |
点无大小，线无粗细，面无厚薄；点动成线、线动成面、面动成体 |
圆面绕直径旋转一周形成球体 |
| 线段、射线、直线 |
线段有两个端点可度量；射线有一个端点向一方无限延伸；直线向两方无限延伸 |
线段 $AB$ 可度量长度；直线 $AB$ 不可度量 |
| 线段的中点 |
将线段分为两条相等线段的点 |
$M$ 是 $AB$ 中点则 $AM=MB=\dfrac{1}{2}AB$ |
| 线段的比较与度量 |
可用圆规截取比较，或用刻度尺度量 |
$AB=3$ cm，$CD=5$ cm，则 $AB<CD$ |
| 两点之间线段最短 |
连接两点的所有线中，线段最短 |
从 $A$ 到 $B$，走直线（线段）最短 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 角的定义与表示 |
有公共端点的两条射线组成的图形；可用三个字母、数字或希腊字母表示 |
$\angle AOB$、$\angle 1$、$\angle\alpha$ |
| 角的比较与度量 |
用量角器度量，单位为度（°），$1°=60’$，$1’=60’‘$ |
$\angle\alpha=35°30’=35.5°$ |
| 角的平分线 |
从角的顶点出发，将角分为两个相等角的射线 |
$OC$ 平分 $\angle AOB$ 则 $\angle AOC=\angle BOC=\dfrac{1}{2}\angle AOB$ |
| 余角与补角 |
余角：两角之和为 $90°$；补角：两角之和为 $180°$；同角（等角）的余角相等，补角相等 |
$30°$ 的余角为 $60°$，补角为 $150°$ |
| 对顶角 |
两条直线相交形成的两个相对的角，对顶角相等 |
两直线相交，$\angle1$ 与 $\angle3$ 是对顶角，$\angle1=\angle3$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 对顶角的性质 |
对顶角相等 |
$\angle1=40°$，则对顶角 $\angle3=40°$ |
| 垂线与垂线段 |
两条直线相交所成的角为 $90°$ 时称互相垂直；垂线段最短 |
点 $P$ 到直线 $l$ 的垂线段最短 |
| 点到直线的距离 |
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度 |
点 $P$ 到 $l$ 的距离即为垂线段 $PQ$ 的长度 |
| 同位角、内错角、同旁内角 |
两直线被第三条直线所截形成的三类角 |
“F”形同位角、”Z”形内错角、”U”形同旁内角 |
| 平行线的判定 |
同位角相等$\Rightarrow$两直线平行；内错角相等$\Rightarrow$两直线平行；同旁内角互补$\Rightarrow$两直线平行 |
已知 $\angle1=\angle2$（内错角），则 $a\parallel b$ |
| 平行线的性质 |
两直线平行$\Rightarrow$同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 |
已知 $a\parallel b$，则同位角 $\angle1=\angle2$ |
| 平行线之间的距离 |
两条平行线间的垂线段长度处处相等 |
$a\parallel b$，在任意位置作的垂线段等长 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 三角形的定义与分类 |
按边：不等边、等腰、等边；按角：锐角、直角、钝角 |
等腰直角三角形既是等腰也是直角三角形 |
| 内角和定理 |
三角形三个内角之和等于 $180°$ |
$\angle A=50°,\angle B=60°\Rightarrow\angle C=70°$ |
| 外角性质 |
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 |
外角 $\angle ACD=\angle A+\angle B=50°+60°=110°$ |
| 三边关系 |
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 |
边长为 $3,5,7$：$3+5>7$ 成立，可构成三角形 |
| 中线、高线、角平分线 |
中线连接顶点与对边中点；高线为顶点到对边的垂线段；角平分线平分内角 |
三条中线交于重心，三条高线交于垂心 |
| 三角形的稳定性 |
三角形三边长度确定后形状唯一，具有稳定性 |
三角形支架比四边形稳定（四边形需加对角线） |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 全等三角形的定义与性质 |
能够完全重合的两个三角形；对应边相等、对应角相等 |
$\triangle ABC\cong\triangle DEF$ 则 $AB=DE,\angle A=\angle D$ 等 |
| 判定方法 |
SSS、SAS、ASA、AAS（普通三角形）；HL（直角三角形） |
已知 $AB=DE,\angle B=\angle E,BC=EF$（SAS），则 $\triangle ABC\cong\triangle DEF$ |
| 角平分线性质定理 |
角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理也成立 |
$OP$ 平分 $\angle MON$，$P$ 到 $OM,ON$ 的距离 $PA=PB$ |
| 常见全等模型 |
平移型、翻折型、旋转型、公共边/角型 |
两个三角形共享一边（公共边模型），利用 $BC=BC$ 补全条件 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 等边对等角 |
等腰三角形的两个底角相等 |
$\triangle ABC$ 中 $AB=AC$，则 $\angle B=\angle C$ |
| 三线合一 |
等腰三角形顶角的平分线、底边的中线和底边的高互相重合 |
$AD$ 既是 $\angle A$ 平分线，又是 $BC$ 中线和高 |
| 等角对等边 |
若三角形中有两个角相等，则它们所对的边也相等（判定的逆） |
$\angle B=\angle C\Rightarrow AB=AC$ |
| 等边三角形 |
三边相等的三角形；每个内角为 $60°$；既是等腰的特例，也具有等腰的一切性质 |
三边相等且三内角均为 $60°$；$AB=BC=CA=5$，高 $=5\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 直角三角形的性质 |
两个锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半；$30°$ 角所对直角边等于斜边一半 |
$\angle C=90°$，$CD$ 是中线则 $CD=\dfrac{1}{2}AB$ |
| 勾股定理 |
直角三角形中，$a^2+b^2=c^2$（$c$ 为斜边） |
$\angle C=90°,a=3,b=4\Rightarrow c=\sqrt{9+16}=5$ |
| 勾股定理的逆定理 |
若 $a^2+b^2=c^2$，则三角形为直角三角形 |
$5^2+12^2=13^2$，所以三边 $5,12,13$ 构成直角三角形 |
| 勾股定理的应用 |
求边长、判断三角形形状、距离计算 |
梯子长 $5$m 靠墙，底端离墙 $3$m，梯子顶端高度 $=\sqrt{25-9}=4$m |
| 常见勾股数组 |
$(3,4,5)$、$(5,12,13)$、$(8,15,17)$、$(7,24,25)$ 及其整数倍 |
$(6,8,10)$ 是 $(3,4,5)$ 的 $2$ 倍 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 比例线段与比例的性质 |
四条线段 $a,b,c,d$ 若 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ 则成比例；合比性质：$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a\pm b}{b}=\dfrac{c\pm d}{d}$ |
若 $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}$，则 $\dfrac{x+y}{y}=\dfrac{5}{3}$ |
| 平行线分线段成比例 |
两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例 |
$l_1\parallel l_2\parallel l_3$ 截直线 $a,b$，若 $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{2}{3}$，则 $\dfrac{DE}{EF}=\dfrac{2}{3}$ |
| 相似三角形的定义 |
对应角相等、对应边成比例的三角形 |
$\triangle ABC\sim\triangle DEF$，相似比 $k=\dfrac{AB}{DE}$ |
| 相似的判定 |
平行线截得、AA（两角相等）、SAS（两边成比且夹角相等）、SSS（三边成比） |
$\angle A=\angle D=60°,\angle B=\angle E=40°\Rightarrow$ AA 判定相似 |
| 相似的性质 |
对应边成比例、对应角相等、周长比$=$相似比、面积比$=$相似比的平方 |
相似比为 $1:2$，则面积比为 $1:4$ |
| 常见相似模型 |
A 型（公共角+平行线）、X 型（对顶角+平行线）、旋转型 |
A 型：$\triangle ABC$ 中 $DE\parallel BC$，则 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$ |
| 位似图形 |
若两个相似图形的对应点连线交于一点，则称位似图形；位似比$=$相似比 |
以 $O$ 为位似中心，$\triangle ABC$ 与 $\triangle A’B’C’$ 位似，$OA:OA’=1:2$ |
| 相似的应用 |
测量不可达物体的高度（利用影子、镜面反射等） |
利用影子测树高：人高 $1.6$m 影长 $0.8$m，树影长 $3$m，树高$=\dfrac{1.6}{0.8}\times3=6$m |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 锐角三角函数的定义 |
在直角三角形中：$\sin A=\dfrac{a}{c}$，$\cos A=\dfrac{b}{c}$，$\tan A=\dfrac{a}{b}$（$a$ 对边、$b$ 邻边、$c$ 斜边） |
$\angle C=90°,a=3,b=4,c=5$：$\sin A=\dfrac{3}{5},\cos A=\dfrac{4}{5},\tan A=\dfrac{3}{4}$ |
| 特殊角的三角函数值 |
$30°$：$\sin=\dfrac{1}{2},\cos=\dfrac{\sqrt3}{2},\tan=\dfrac{\sqrt3}{3}$；$45°$：$\sin=\cos=\dfrac{\sqrt2}{2},\tan=1$；$60°$：$\sin=\dfrac{\sqrt3}{2},\cos=\dfrac{1}{2},\tan=\sqrt3$ |
$\tan60°=\sqrt3$，$\sin45°=\dfrac{\sqrt2}{2}$ |
| 互余两角的三角函数关系 |
$\sin A=\cos(90°-A)$，$\cos A=\sin(90°-A)$ |
$\sin30°=\cos60°=\dfrac{1}{2}$ |
| 同角三角函数关系 |
$\sin^2A+\cos^2A=1$，$\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos A}$ |
已知 $\sin A=\dfrac{3}{5}$，则 $\cos A=\dfrac{4}{5}$，$\tan A=\dfrac{3}{4}$ |
| 解直角三角形 |
已知直角三角形中两个条件（至少一个为边），求出其余元素 |
已知 $\angle A=30°,c=10$，则 $a=c\sin A=5,b=c\cos A=5\sqrt3$ |
| 解直角三角形的应用 |
仰角（向上看）俯角（向下看）、坡度$i=\dfrac{h}{l}$（坡面铅直高度与水平宽度之比）、方向角 |
从地面距楼 $50$m 处测楼顶仰角 $30°$，楼高$=50\tan30°=\dfrac{50\sqrt3}{3}$m |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 多边形的定义 |
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形 |
三角形、四边形、五边形…… |
| 内角和与外角和 |
$n$ 边形内角和 $=(n-2)\times180°$；任意多边形外角和 $=360°$ |
五边形内角和 $=(5-2)\times180°=540°$ |
| 正多边形 |
各边相等、各角也相等的多边形 |
正六边形每个内角 $=\dfrac{(6-2)\times180°}{6}=120°$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 平行四边形的定义 |
两组对边分别平行的四边形 |
$\square ABCD$：$AB\parallel CD,AD\parallel BC$ |
| 性质 |
对边相等、对角相等、对角线互相平分 |
$AB=CD,AD=BC,\angle A=\angle C$ |
| 判定 |
两组对边分别平行/相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分 |
已知 $AB=CD,AB\parallel CD$，则 $ABCD$ 为平行四边形 |
| 面积 |
$S=$ 底$\times$高 |
底 $8$，高 $5$，$S=8\times5=40$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 矩形的定义 |
有一个角是直角的平行四边形 |
四个角都是直角的四边形 |
| 性质 |
四个角是直角；对角线相等且互相平分 |
矩形 $ABCD$ 中 $AC=BD$ |
| 判定 |
有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；有三个角是直角的四边形 |
平行四边形 $ABCD$ 中 $AC=BD$，则 $ABCD$ 为矩形 |
| 矩形与平行四边形的关系 |
矩形是特殊的平行四边形（增加”角为直角”的条件），具有平行四边形的一切性质 |
矩形既是平行四边形也是轴对称图形 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 菱形的定义 |
有一组邻边相等的平行四边形 |
四边相等的四边形 |
| 性质 |
四边相等；对角线互相垂直且平分对角 |
菱形 $ABCD$ 中 $AC\perp BD$，$AC$ 平分 $\angle A$ 和 $\angle C$ |
| 判定 |
有一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四边相等的四边形 |
平行四边形中 $AC\perp BD$，则为菱形 |
| 面积公式 |
$S=\dfrac{1}{2}d_1 d_2$（$d_1,d_2$ 为两条对角线长） |
对角线长 $6$ 和 $8$，$S=\dfrac{1}{2}\times6\times8=24$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 正方形的定义 |
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（即矩形+菱形） |
正方形既是矩形也是菱形 |
| 性质 |
四边相等、四个角是直角、对角线相等且互相垂直平分 |
正方形对角线长为边长的 $\sqrt{2}$ 倍 |
| 判定 |
有一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形 |
矩形 $ABCD$ 中 $AB=BC$，则为正方形 |
| 与矩形、菱形的关系 |
正方形 $=$ 矩形 $\cap$ 菱形；正方形是最特殊的平行四边形 |
正方形具有矩形和菱形的所有性质 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 梯形的定义 |
只有一组对边平行的四边形，平行的两边为底，不平行的两边为腰 |
$AB\parallel CD,AD$ 不平行于 $BC$ |
| 等腰梯形的性质与判定 |
性质：两腰相等、同一底上两角相等、对角线相等；判定反之 |
等腰梯形中 $\angle A=\angle B,\angle C=\angle D$ |
| 直角梯形 |
有一个角是直角的梯形 |
一腰垂直于底的梯形 |
| 梯形的中位线 |
连接两腰中点的线段，平行于两底且等于两底之和的一半 |
上底 $4$、下底 $8$，中位线 $=\dfrac{4+8}{2}=6$ |
| 梯形的辅助线作法 |
平移一腰、作高、延长两腰交于一点、平移对角线 |
平移一腰可将梯形化为三角形和平行四边形 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 圆的定义 |
平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合；定点为圆心，定长为半径 |
以 $O$ 为圆心、$3$ 为半径的圆记作 $\odot O$ |
| 圆的有关概念 |
弦：连接圆上两点的线段；直径：过圆心的弦；弧：圆上两点间的部分；半圆：直径两端分圆为两条弧 |
直径是最长的弦；弧分优弧（大于半圆）和劣弧（小于半圆） |
| 圆的对称性 |
圆是轴对称图形（每条直径所在直线都是对称轴），也是中心对称图形（对称中心为圆心） |
圆有无数条对称轴 |
| 垂径定理 |
垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧 |
圆 $O$ 中直径 $CD\perp AB$ 于 $M$，则 $AM=MB$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$ |
| 弧、弦、圆心角的关系 |
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、弦相等 |
$\angle AOB=\angle COD\Rightarrow\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},AB=CD$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 圆心角定理 |
圆心角的度数等于它所对弧的度数 |
$\angle AOB=60°\Rightarrow\overset{\frown}{AB}$ 的度数为 $60°$ |
| 圆周角定理 |
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 |
$\overset{\frown}{AB}$ 所对圆心角 $80°$，则圆周角 $=40°$ |
| 推论 |
直径所对的圆周角是 $90°$；$90°$ 的圆周角所对的弦是直径 |
$AB$ 为直径$\Rightarrow\angle ACB=90°$ |
| 圆内接四边形 |
对角互补；外角等于内对角 |
$\angle A+\angle C=180°,\angle B+\angle D=180°$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 点与圆的位置关系 |
设圆心到点距离 $d$，半径 $r$：$d>r$ 在圆外；$d=r$ 在圆上；$d<r$ 在圆内 |
圆心 $O(0,0)$ 半径 $5$，点 $P(3,4)$：$d=5=r$，在圆上 |
| 直线与圆的位置关系 |
设圆心到直线距离 $d$，半径 $r$：$d>r$ 相离；$d=r$ 相切；$d<r$ 相交 |
圆心到直线距离 $=3$，半径 $=5$，$3<5$ 所以相交 |
| 切线的判定与性质 |
判定：过半径外端且垂直于该半径的直线是切线；性质：切线垂直于过切点的半径 |
已知 $OA\perp l$ 于 $A$，$A$ 在圆上$\Rightarrow l$ 是切线 |
| 切线长定理 |
从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；该点与圆心连线平分两条切线的夹角 |
$PA,PB$ 为切线$\Rightarrow PA=PB$，$OP$ 平分 $\angle APB$ |
| 内切圆与外接圆 |
内切圆：与三边都相切的圆，圆心为内心（角平分线交点）；外接圆：过三顶点的圆，圆心为外心（中垂线交点） |
等边三角形内切圆与外接圆的圆心重合 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 两圆的位置关系 |
设圆心距 $d$，两圆半径 $R,r$（$R\ge r$）：外离（$d>R+r$）、外切（$d=R+r$）、相交（$R-r<d<R+r$）、内切（$d=R-r$）、内含（$d<R-r$） |
$R=5,r=3$，$d=2$：$d=R-r$，内切 |
| 与圆心距、半径的关系 |
位置关系由 $d$ 与 $R\pm r$ 的大小关系确定 |
$d=9,R=5,r=3$：$d>R+r=8$，外离 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 弧长公式 |
$l=\dfrac{n\pi r}{180}$（$n$ 为圆心角度数） |
$120°$ 的弧，$r=6$：$l=\dfrac{120\times\pi\times6}{180}=4\pi$ |
| 扇形面积公式 |
$S=\dfrac{n\pi r^2}{360}$ 或 $S=\dfrac{1}{2}lr$ |
$90°$ 扇形，$r=4$：$S=\dfrac{90\times\pi\times16}{360}=4\pi$ |
| 圆锥的侧面积与全面积 |
侧面积 $S=\pi r l$（$r$ 底面半径，$l$ 母线长）；全面积$=$侧面积$+$底面积 |
底面半径 $3$，母线长 $5$：侧面积 $=15\pi$，底面积 $=9\pi$，全面积 $=24\pi$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 平移的定义与性质 |
在平面内，将图形沿某个方向移动一定距离；平移不改变图形的形状和大小；对应点连线平行且相等 |
$\triangle ABC$ 向右平移 $3$ 个单位，$A(1,2)\to A’(4,2)$ |
| 平移作图 |
找关键点$\to$按方向和距离移动$\to$连接对应点 |
将点 $(1,2)$ 向右平移 $3$、向上平移 $1$ 得 $(4,3)$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 轴对称与轴对称图形 |
轴对称：两个图形关于某直线对称；轴对称图形：一个图形关于某直线对称，自身与自身重合 |
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线 |
| 轴对称的性质 |
对称轴垂直平分对称点连线；对应线段相等、对应角相等 |
$A$ 关于 $y$ 轴的对称点 $A’(-x,y)$ |
| 轴对称作图 |
找关键点$\to$作对称轴的垂线$\to$截取等长$\to$连接 |
点 $(2,3)$ 关于 $x$ 轴对称点为 $(2,-3)$ |
| 常见轴对称图形 |
等腰三角形（1条）、等边三角形（3条）、矩形（2条）、菱形（2条）、正方形（4条）、圆（无数条） |
正方形有 $4$ 条对称轴 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 旋转的定义与性质 |
将图形绕某点旋转一定角度；旋转不改变图形的形状和大小；对应点到旋转中心距离相等，对应点连线夹角等于旋转角 |
$\triangle ABC$ 绕 $O$ 旋转 $90°$，$OA=OA’$，$\angle AOA’=90°$ |
| 旋转作图 |
找旋转中心$\to$连关键点到中心$\to$旋转指定角度$\to$截取等长$\to$连接 |
点 $(2,0)$ 绕原点逆时针旋转 $90°$ 得 $(0,2)$ |
| 中心对称与中心对称图形 |
中心对称：两个图形关于某点中心对称（旋转 $180°$ 重合）；中心对称图形：一个图形绕某点旋转 $180°$ 与自身重合 |
平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 投影 |
平行投影：光线平行（太阳光）；中心投影：光线从一点发出（灯光） |
太阳光下旗杆的影子是平行投影；路灯下人的影子是中心投影 |
| 三视图 |
正视图（从正前方看）、侧视图（从左侧看）、俯视图（从正上方看） |
正方体的三视图都是正方形 |
| 由三视图还原几何体 |
根据三个视图的形状和尺寸推断原几何体 |
正视图三角形、侧视图三角形、俯视图圆形$\Rightarrow$圆锥 |
| 展开图 |
直棱柱展开为一组矩形+两个多边形；圆锥展开为扇形+圆 |
圆柱展开为两个圆+一个矩形 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 作线段等于已知线段 |
以一点为端点，用圆规截取已知线段长，在射线上截取 |
作 $A’B’=AB$：以 $A’$ 为圆心、$AB$ 长为半径画弧交射线于 $B’$ |
| 作角等于已知角 |
利用SSS全等原理，在射线上截取等弦长，再截取等弧 |
以 $\angle O$ 顶点为圆心画弧得交点，在新射线上复刻交点位置 |
| 作角的平分线 |
在角的两边截取等距点，分别以两交点为圆心画弧交于内部，连接顶点与交点 |
$OC$ 平分 $\angle AOB$，$OM=ON,MP=NP$ |
| 作线段的垂直平分线 |
分别以线段两端为圆心、大于半长为半径画弧，连接两交点 |
$MN$ 垂直平分 $AB$ 于中点，$AM=MB$ |
| 过一点作直线的垂线 |
点在直线上：利用角平分线方法作 $90°$；点在直线外：以点为圆心画弧截取两点，再作中垂线 |
过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足 $Q$ |
| 过直线外一点作平行线 |
利用同位角相等的原理，作等角后截取平行线 |
作 $\angle1=\angle2$（同位角），得平行线 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 全面调查与抽样调查 |
全面调查（普查）：对所有对象逐一调查；抽样调查：从总体中抽取部分进行调查 |
人口普查是全面调查；质检一批灯泡的寿命用抽样调查 |
| 总体、个体、样本、样本容量 |
总体：所有考察对象；个体：每一个考察对象；样本：抽取的部分；样本容量：样本中个体的数目 |
考察 $1000$ 名学生的身高，抽取 $50$ 名：总体 $1000$，样本容量 $50$ |
| 数据的收集方法 |
问卷调查、实地测量、实验记录、查阅资料 |
用问卷收集全班同学最喜欢的科目 |
| 数据的整理 |
分类、排序、分组，使数据更有条理 |
将考试成绩从低到高排列 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 统计表 |
将数据按一定格式排列在表格中 |
成绩统计表：姓名、语文、数学、英语 |
| 条形统计图 |
用长方形的高度表示数据大小，直观比较各项 |
各班人数条形图，一班 $40$ 人、二班 $45$ 人…… |
| 折线统计图 |
用折线连接各数据点，反映数据变化趋势 |
某地月平均气温折线图，反映一年温度变化 |
| 扇形统计图 |
用扇形面积表示各部分占总体的百分比 |
班级出行方式：步行 $30°$、公交 $120°$、骑车 $90°$、其他 $120°$ |
| 频数与频率 |
频数：各类别出现的次数；频率$=\dfrac{\text{频数}}{\text{总数}}$ |
$40$ 人中 $12$ 人选数学，频数 $12$，频率 $\dfrac{12}{40}=0.3$ |
| 频数分布直方图 |
用矩形面积表示各组频数，横轴为分组区间，纵轴为频数/频率 |
成绩分组 $50\sim60$ 频数 $3$，$60\sim70$ 频数 $8$…… |
| 频数分布折线图 |
在直方图基础上取各矩形顶部中点连线 |
观察数据分布的整体趋势 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 算术平均数 |
所有数据之和除以数据个数：$\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$ |
$85,90,78$ 的平均数 $=\dfrac{85+90+78}{3}=84.3$ |
| 加权平均数 |
各数据乘以相应权重后求和除以权重之和：$\bar{x}=\dfrac{x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_nw_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}$ |
期中占 $30\%$（$80$ 分）、期末占 $70\%$（$90$ 分）：$80\times0.3+90\times0.7=87$ |
| 中位数 |
将数据从小到大排列后，处于中间位置的数（偶数个取中间两数的平均） |
$2,5,7,9,11$ 中位数为 $7$；$2,5,7,9$ 中位数为 $\dfrac{5+7}{2}=6$ |
| 众数 |
一组数据中出现次数最多的数 |
$2,3,3,5,7$ 的众数为 $3$ |
| 方差与标准差 |
方差 $s^2=\dfrac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2]$；标准差 $s=\sqrt{s^2}$；越小越稳定 |
数据 $2,4,6,8,10$：$\bar{x}=6$，$s^2=\dfrac{16+4+0+4+16}{5}=8$ |
| 用样本估计总体 |
用样本的平均数、方差等估计总体的相应特征 |
抽样 $50$ 人平均身高 $165$ cm，估计全校平均身高约 $165$ cm |
| 数据分析的应用 |
根据平均数、中位数、众数、方差等综合判断，做出合理决策 |
比较两个班成绩：甲班平均分高但方差大（不稳定），乙班平均分略低但方差小（稳定） |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 确定事件与随机事件 |
必然事件（一定发生，$P=1$）；不可能事件（一定不发生，$P=0$）；随机事件（可能发生也可能不发生，$0<P<1$） |
太阳从东边升起——必然事件；掷骰子得 $7$——不可能事件；掷骰子得 $3$——随机事件 |
| 概率的定义 |
事件 $A$ 发生的可能性大小，记作 $P(A)$，$0\le P(A)\le1$ |
$P(\text{必然事件})=1$，$P(\text{不可能事件})=0$ |
| 等可能事件概率 |
若所有结果等可能，$P(A)=\dfrac{\text{事件}A\text{包含的结果数}}{\text{所有可能结果数}}$ |
掷一枚骰子，点数为偶数的概率 $=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ |
| 列表法 |
用表格列出所有可能结果，数出满足条件的结果数 |
同时掷两枚骰子，列出 $6\times6$ 表格，求点数之和为 $7$ 的概率 $=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$ |
| 树状图法 |
用树状图分层次列出所有可能结果，适合多步骤事件 |
先抛硬币再掷骰子：$2\times6=12$ 种结果 |
| 用频率估计概率 |
大量重复试验中，事件发生的频率趋于稳定值，即为概率的估计值 |
抛硬币 $1000$ 次，正面 $503$ 次，估计 $P\approx0.503\approx0.5$ |
| 概率的应用 |
彩票中奖率、游戏公平性判断、决策分析 |
甲乙游戏：$P(\text{甲赢})=\dfrac{1}{3},P(\text{乙赢})=\dfrac{2}{3}$，游戏不公平 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 从实际问题中建立数学模型 |
将实际问题抽象为数学问题，用数学语言描述、求解、验证 |
“如何最省运费”$\to$建立函数模型求最小值 |
| 代数模型 |
用方程、不等式、函数等代数工具建模 |
利润问题：设售价 $x$，利润 $y=(x-10)(100-4x)$，求最大值 |
| 几何模型 |
用几何关系建模 |
测量河宽：构造相似三角形模型 |
| 统计模型 |
用统计方法建模 |
产品合格率：抽样调查$\to$估计总体合格率 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 归纳推理 |
从特殊到一般，观察若干特例得出一般结论 |
$1+3=4=2^2,1+3+5=9=3^2,1+3+5+7=16=4^2\Rightarrow$前 $n$ 个奇数之和 $=n^2$ |
| 演绎推理 |
从一般到特殊，由已知公理、定理推出具体结论 |
因为三角形内角和 $180°$，所以直角三角形两个锐角之和 $=90°$ |
| 数学证明 |
用逻辑推理从已知条件推出结论，每步有据 |
证明：$\because AB=AC,\therefore\angle B=\angle C$（等边对等角） |
| 反证法 |
假设结论不成立，推出矛盾，从而证明原结论成立 |
证明 $\sqrt{2}$ 是无理数：假设 $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$（既约），推出 $p,q$ 均为偶数，矛盾 |
| 综合法与分析法 |
综合法：由因导果；分析法：执果索因 |
综合法：$\because A,\therefore B,\therefore C$；分析法：要证 $C$，只需证 $B$，只需证 $A$ |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 数形结合 |
将数量关系与图形性质相结合，借助图形直观理解代数问题，或用代数方法研究几何问题 |
解不等式 $x^2-2x-3>0$ 时画抛物线找 $x$ 轴上方区域 |
| 分类讨论 |
问题有多种情况时，分别讨论每一种可能，确保不遗漏 |
已知等腰三角形一边长 $4$，周长 $18$，需分 $4$ 为底边或腰两种情况 |
| 方程与函数思想 |
用方程表示等量关系，用函数描述变化规律 |
利润最大化：建立二次函数模型求最值 |
| 转化与化归 |
将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题 |
解分式方程转化为整式方程；求不规则图形面积转化为规则图形面积之和 |
| 整体思想 |
把某些部分视为整体来处理，简化运算 |
计算 $(x+y)^2-2(x+y)+1$：令 $t=x+y$，原式 $=t^2-2t+1=(t-1)^2$ |
| 模型思想 |
用数学模型描述和解决实际问题 |
行程问题模型：$s=vt$；工程问题模型：工作量$=$效率$\times$时间 |
| 知识点 |
概念说明 |
典型示例 |
| 方案设计与比较 |
综合运用数学知识设计多种方案，并比较优劣 |
两种采购方案比较：方案一总费用 $200+5n$，方案二 $300+3n$，令 $200+5n=300+3n$ 得 $n=50$ 为临界点 |
| 图案设计与几何变换 |
运用平移、对称、旋转设计图案 |
正六边形通过旋转 $60°$ 六次可铺满平面 |
| 数据调查与分析报告 |
确定调查问题$\to$收集数据$\to$整理描述$\to$分析推断$\to$撰写报告 |
调查全班同学课外阅读时间，制作统计图表并写出分析结论 |
| 学期 |
数与代数 |
图形与几何 |
统计与概率 |
| 七上 |
有理数、整式加减、一元一次方程 |
几何图形初步、相交线平行线 |
数据的收集与整理 |
| 七下 |
二元一次方程组、不等式与不等式组 |
三角形 |
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| 八上 |
整式乘除与因式分解、分式 |
全等三角形、轴对称 |
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| 八下 |
二次根式、一次函数 |
勾股定理、平行四边形 |
数据的分析 |
| 九上 |
一元二次方程、二次函数 |
旋转、圆 |
概率初步 |
| 九下 |
反比例函数 |
相似、锐角三角函数、投影与视图 |
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参考依据：《义务教育数学课程标准（2022年版）》、人教版初中数学教材（七至九年级）
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