20260730 220539 初中奥数教程小蓝本七年级

初中奥数教程（小蓝本）·七年级 ¶

本文档依据华东师范大学出版社《奥数教程》七年级分册体系整理，面向初中数学竞赛与奥数拓展学习。内容包含知识要点、重要公式定理、经典方法技巧及典型例题解析，配有 LaTeX 数学公式。

目录概览 ¶

有理数的巧算
绝对值
一元一次方程
二元一次方程组
一元一次不等式与不等式组
整式的加减
线段与角
相交线与平行线
奇数与偶数
质数与合数
整数的整除性
最大公约数与最小公倍数
抽屉原理
逻辑推理问题
几何图形计数

1. 有理数的巧算 ¶

1.1 知识要点 ¶

有理数的巧算核心在于灵活运用运算律（交换律、结合律、分配律），通过裂项相消、换元、分组配对、提取公因式等技巧，将复杂运算化简。

1.2 重要技巧与方法 ¶

（1）裂项相消 ¶

对于分数求和，利用裂项公式：

$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$

推广形式：

$$\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}\right)$$

更一般地：

$$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$$

1.3 典型例题 ¶

例题1 计算：

$$S = \frac{1}{1\times2} + \frac{1}{2\times3} + \frac{1}{3\times4} + \cdots + \frac{1}{99\times100}$$

解析利用裂项公式 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$，每一项裂开：

$$S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right)$$

中间项全部相消，仅剩首尾：

$$S = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$$

例题2 计算：

$$S = \frac{1}{1\times3} + \frac{1}{3\times5} + \frac{1}{5\times7} + \cdots + \frac{1}{99\times101}$$

解析利用推广裂项公式 $\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$：

$$S = \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{101}\right)\right]$$

$$= \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{101}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{100}{101} = \frac{50}{101}$$

例题3 计算 $9999^2$。

解析利用平方差公式间接计算或直接配凑：

$$9999^2 = (10000 - 1)^2 = 10000^2 - 2 \times 10000 \times 1 + 1 = 99980001$$

2. 绝对值 ¶

2.1 知识要点 ¶

定义：实数 $a$ 的绝对值记为 $|a|$，

$$|a| = \begin{cases} a, & a \geq 0 \ -a, & a < 0 \end{cases}$$

几何意义：$|a|$ 表示数 $a$ 在数轴上对应的点到原点的距离；$|a - b|$ 表示数轴上点 $a$ 与点 $b$ 之间的距离。

2.2 重要性质 ¶

$|a| \geq 0$（非负性），且 $|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$
$|a| = |-a|$
$|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$
$\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$（$b \neq 0$）
$|a|^2 = a^2$，即 $|a| = \sqrt{a^2}$
三角不等式：$|a + b| \leq |a| + |b|$，当且仅当 $a, b$ 同号时取等号
$|a - b| \geq \big||a| - |b|\big|$

2.3 零点分段法 ¶

处理含多个绝对值的表达式时，先找出各绝对值的”零点”（使绝对值内表达式为零的值），将数轴分段，在每一段内去掉绝对值符号。

步骤：
1. 令每个绝对值内的表达式为零，求出零点
2. 将零点从小到大排列，把数轴分为若干区间
3. 在每个区间内确定各绝对值内表达式的正负，从而去掉绝对值符号
4. 分段求解

2.4 典型例题 ¶

例题1 解方程 $|x - 2| + |x - 5| = 7$。

解析零点为 $x = 2$ 和 $x = 5$，分三段讨论：

情况一：$x < 2$ 时，$|x-2| = 2-x$，$|x-5| = 5-x$：

$$(2-x) + (5-x) = 7 \Rightarrow 7 - 2x = 7 \Rightarrow x = 0$$

$x = 0 < 2$，符合。

情况二：$2 \leq x \leq 5$ 时，$|x-2| = x-2$，$|x-5| = 5-x$：

$$(x-2) + (5-x) = 7 \Rightarrow 3 = 7$$

矛盾，无解。

情况三：$x > 5$ 时，$|x-2| = x-2$，$|x-5| = x-5$：

$$(x-2) + (x-5) = 7 \Rightarrow 2x - 7 = 7 \Rightarrow x = 7$$

$x = 7 > 5$，符合。

故方程的解为 $x = 0$ 或 $x = 7$。

例题2 求 $|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + \cdots + |x - 99|$ 的最小值。

解析由几何意义，该式表示 $x$ 到 $1, 2, 3, \ldots, 99$ 这 99 个点的距离之和。

对于奇数个点，距离之和最小的点取在中位数处，即 $x = 50$（第 50 个点的位置）。

此时：

$$S_{\min} = |50-1| + |50-2| + \cdots + |50-50| + \cdots + |50-99|$$

$$= 49 + 48 + \cdots + 1 + 0 + 1 + \cdots + 49$$

$$= 2 \times \frac{49 \times 50}{2} = 2450$$

最小值为 $2450$。

例题3 解不等式 $|2x + 1| < 5$。

解析由绝对值的定义，$|2x+1| < 5$ 等价于：

$$-5 < 2x + 1 < 5$$

$$-6 < 2x < 4$$

$$-3 < x < 2$$

解集为 $-3 < x < 2$。

3. 一元一次方程 ¶

3.1 知识要点 ¶

一元一次方程的标准形式为 $ax + b = 0$（$a \neq 0$）。竞赛中的重点在于含字母系数的方程、含绝对值的方程，以及整体思想的运用。

3.2 含字母系数的方程 ¶

形如 $ax + b = cx + d$ 的方程，移项整理为 $(a-c)x = d - b$：

当 $a \neq c$ 时，$x = \dfrac{d - b}{a - c}$，唯一解
当 $a = c$ 且 $d = b$ 时，$x$ 为任意实数，无穷多解
当 $a = c$ 且 $d \neq b$ 时，无解

3.3 重要方法与技巧 ¶

3.4 典型例题 ¶

例题1 解关于 $x$ 的方程：$(a^2 - 4)x = a - 2$。

解析讨论 $a^2 - 4$ 的情况：

当 $a^2 - 4 \neq 0$，即 $a \neq \pm 2$ 时：$x = \dfrac{a-2}{a^2-4} = \dfrac{a-2}{(a-2)(a+2)} = \dfrac{1}{a+2}$
当 $a = 2$ 时：原方程为 $0 \cdot x = 0$，$x$ 为任意实数
当 $a = -2$ 时：原方程为 $0 \cdot x = -4$，无解

例题2 已知 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5}$，且 $x, y$ 均为正整数，求所有解。

解析通分得 $\dfrac{x+y}{xy} = \dfrac{1}{5}$，即 $xy = 5(x+y)$，整理：

$$xy - 5x - 5y = 0$$

两边加 25（配凑因式分解法）：

$$xy - 5x - 5y + 25 = 25$$

$$(x-5)(y-5) = 25$$

因 $x, y$ 为正整数，$25$ 的正因数分解有：$1 \times 25$，$5 \times 5$，$25 \times 1$。

从而：
- $x - 5 = 1, y - 5 = 25 \Rightarrow x = 6, y = 30$
- $x - 5 = 5, y - 5 = 5 \Rightarrow x = 10, y = 10$
- $x - 5 = 25, y - 5 = 1 \Rightarrow x = 30, y = 6$

所有正整数解为 $(x, y) = (6, 30), (10, 10), (30, 6)$。

例题3 解方程 $|3x - 2| = 2x + 1$。

解析零点为 $x = \dfrac{2}{3}$，分两段：

情况一：$x < \dfrac{2}{3}$ 时，$|3x-2| = 2-3x$：

$$2 - 3x = 2x + 1 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$$

$\dfrac{1}{5} < \dfrac{2}{3}$，符合。

情况二：$x \geq \dfrac{2}{3}$ 时，$|3x-2| = 3x-2$：

$$3x - 2 = 2x + 1 \Rightarrow x = 3$$

$3 \geq \dfrac{2}{3}$，符合。

解为 $x = \dfrac{1}{5}$ 或 $x = 3$。 注意：含绝对值的方程必须验根。

4. 二元一次方程组 ¶

4.1 知识要点 ¶

二元一次方程组的标准形式为：

$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$

核心解法为消元法（代入消元、加减消元），竞赛中还需掌握特殊解法和不定方程初步。

4.2 重要方法 ¶

（4）对称式方程组的特殊解法 ¶

当方程组关于 $x, y$ 对称时，令 $s = x + y$，$p = xy$，转化为关于 $s, p$ 的方程组。

4.3 不定方程初步 ¶

形如 $ax + by = c$（$a, b, c$ 为整数）的方程，当 $\gcd(a, b) \mid c$ 时有整数解。设一组特解为 $(x_0, y_0)$，则通解为：

$$\begin{cases} x = x_0 + \frac{b}{d} \cdot t \ y = y_0 - \frac{a}{d} \cdot t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{Z})$$

其中 $d = \gcd(a, b)$。

4.4 典型例题 ¶

例题1 解方程组：

$$\begin{cases} 3x + 2y = 17 \ 2x + 3y = 18 \end{cases}$$

解析两式相加：$5x + 5y = 35$，得 $x + y = 7$。

两式相减：$x - y = -1$，即 $x = y - 1$。

代入 $x + y = 7$：$(y-1) + y = 7 \Rightarrow y = 4$，$x = 3$。

解为 $x = 3, y = 4$。

例题2 求方程 $7x + 4y = 100$ 的所有正整数解。

解析观察 $y = \dfrac{100 - 7x}{4} = 25 - \dfrac{7x}{4}$。

需 $4 \mid 7x$，因 $\gcd(7, 4) = 1$，故 $4 \mid x$。设 $x = 4k$（$k$ 为正整数），则：

$$y = 25 - 7k$$

要求 $x > 0$ 且 $y > 0$：$k \geq 1$ 且 $25 - 7k > 0 \Rightarrow k < \dfrac{25}{7} \approx 3.57$。

故 $k = 1, 2, 3$：

$k$	$x = 4k$	$y = 25 - 7k$
1	4	18
2	8	11
3	12	4

所有正整数解为 $(x, y) = (4, 18), (8, 11), (12, 4)$。

5. 一元一次不等式与不等式组 ¶

5.1 知识要点 ¶

一元一次不等式的标准形式为 $ax + b > 0$（或 $<, \geq, \leq$）。注意不等式两边乘以或除以负数时，不等号方向改变。

5.2 不等式组解集的确定 ¶

$$\begin{cases} x > a \ x > b \end{cases} \Rightarrow x > \max(a, b) \quad \text{（同大取大）}$$

$$\begin{cases} x < a \ x < b \end{cases} \Rightarrow x < \min(a, b) \quad \text{（同小取小）}$$

$$\begin{cases} x > a \ x < b \end{cases} \Rightarrow a < x < b \quad (a < b) \quad \text{（大小取中间）}$$

5.4 典型例题 ¶

例题1 解不等式组：

$$\begin{cases} \dfrac{x+1}{2} > \dfrac{x-1}{3} \ 2x - 3 < 3x \end{cases}$$

并求其整数解。

解析先解第一个不等式：$3(x+1) > 2(x-1) \Rightarrow 3x + 3 > 2x - 2 \Rightarrow x > -5$。

再解第二个不等式：$-3 < x$，即 $x > -3$。

取交集：$x > -3$。

整数解为 $x = -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$（取决于是否有上界限制；若无上界，整数解有无穷多个，此时题目通常会给出额外限制）。

例题2 将若干本书分给若干学生，若每人分 3 本则余 7 本；若每人分 5 本则最后一人不足 3 本。求学生人数和书本数。

解析设学生 $n$ 人，书本 $3n + 7$ 本。第二种分法中，前 $n - 1$ 人各分 5 本，共 $5(n-1)$ 本，最后一人分得 $3n + 7 - 5(n-1) = 12 - 2n$ 本。

由”不足 3 本”且”有分到”可知：

$$1 \leq 12 - 2n < 3$$

解右边：$12 - 2n < 3 \Rightarrow n > \dfrac{9}{2} = 4.5$，故 $n \geq 5$。

解左边：$12 - 2n \geq 1 \Rightarrow n \leq 5.5$，故 $n \leq 5$。

因此 $n = 5$，书本数 $= 3 \times 5 + 7 = 22$ 本。

学生 5 人，书本 22 本。

6. 整式的加减 ¶

6.1 知识要点 ¶

整式的加减核心是去括号、合并同类项。竞赛重点是恒等变形和整体代入求值。

6.2 重要技巧 ¶

（2）降次与消元 ¶

利用已知等式降低多项式次数。例如已知 $x^2 = ax + b$，可将 $x^3, x^4$ 等高次项降为一次式。

6.3 典型例题 ¶

例题1 已知 $x^2 - 3x + 1 = 0$，求 $x^4 + \dfrac{1}{x^4}$ 的值。

解析由 $x^2 - 3x + 1 = 0$，$x \neq 0$，两边除以 $x$：

$$x + \frac{1}{x} = 3$$

平方得：

$$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9 \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$$

再平方：

$$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 49 \Rightarrow x^4 + \frac{1}{x^4} = 47$$

值为 $47$。

例题2 已知 $a + b = 5$，$ab = 6$，求 $a^3 + b^3$ 的值。

解析利用公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$，而 $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 25 - 12 = 13$。

$$a^3 + b^3 = 5 \times (13 - 6) = 5 \times 7 = 35$$

值为 $35$。

7. 线段与角 ¶

7.1 知识要点 ¶

线段 ¶

线段 $AB$ 上有 $n$ 个分点（不含端点），则线段总数为 $\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ 条
线段的 $n$ 等分点：将线段分为 $n$ 等份的 $n - 1$ 个点

角 ¶

$1^\circ = 60’$，$1’ = 60’‘$
互余：两角之和为 $90^\circ$
互补：两角之和为 $180^\circ$
钟面角：时针每小时转 $30^\circ$，每分钟转 $0.5^\circ$；分针每分钟转 $6^\circ$

7.2 钟面角公式 ¶

在 $h$ 时 $m$ 分，时针与分针的夹角为：

$$\theta = \left|30h - 5.5m\right|^\circ$$

若 $\theta > 180^\circ$，则取 $360^\circ - \theta$。

7.3 典型例题 ¶

例题1 线段 $AB$ 上依次有 $C, D, E$ 三点，$AC : CB = 1 : 2$，$AD : DB = 1 : 3$，$AE : EB = 1 : 4$，已知 $AB = 60$，求 $CD, DE$ 的长。

解析 $AB = 60$，则：

$AC = 20$，$CB = 40$（$C$ 在 $\dfrac{1}{3}$ 处）
$AD = 15$，$DB = 45$（$D$ 在 $\dfrac{1}{4}$ 处）
$AE = 12$，$EB = 48$（$E$ 在 $\dfrac{1}{5}$ 处）

则 $CD = AD - AC = 15 - 20$？不对，$D$ 在 $A$ 到 $C$ 之间，因为 $AD < AC$。

重新计算：$AD = \dfrac{60}{3} = 15$，但 $AC = \dfrac{60}{3} = 20$。

所以 $D$ 在 $A$ 和 $C$ 之间，$CD = AC - AD = 20 - 15 = 5$。

$DE = AE - AD = 12 - 15 < 0$？说明 $E$ 在 $D$ 之前，$DE = AD - AE = 15 - 12 = 3$。

$CD = 5$，$DE = 3$。

例题2 求 2 点 20 分时，时针与分针的夹角。

解析 $h = 2$，$m = 20$：

$$\theta = |30 \times 2 - 5.5 \times 20| = |60 - 110| = 50^\circ$$

夹角为 $50^\circ$。

8. 相交线与平行线 ¶

8.1 知识要点 ¶

平行线的判定与性质 ¶

判定（由角的关系推平行）：
- 同位角相等 $\Rightarrow$ 两直线平行
- 内错角相等 $\Rightarrow$ 两直线平行
- 同旁内角互补 $\Rightarrow$ 两直线平行

性质（由平行推角的关系）：
- 两直线平行 $\Rightarrow$ 同位角相等
- 两直线平行 $\Rightarrow$ 内错角相等
- 两直线平行 $\Rightarrow$ 同旁内角互补

8.2 典型例题 ¶

例题1 如图，$AB \parallel CD$，$\angle ABE = 30^\circ$，$\angle CDE = 45^\circ$，求 $\angle BED$ 的度数。

解析过 $E$ 作 $EF \parallel AB$（$EF$ 在 $\angle BED$ 内部）。由 $AB \parallel CD$，知 $EF \parallel CD$。

$AB \parallel EF$，$\angle ABE$ 与 $\angle BEF$ 为内错角，故 $\angle BEF = 30^\circ$
$EF \parallel CD$，$\angle FED$ 与 $\angle CDE$ 为内错角，故 $\angle FED = 45^\circ$

$$\angle BED = \angle BEF + \angle FED = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ$$

$\angle BED = 75^\circ$。

方法总结：这是平行线问题中经典的”拐点辅助线法”——过拐点作已知平行线的平行线，将折角分解为两个可求的角。

例题2 $AB \parallel CD$，点 $E$ 在 $AB, CD$ 之间，$\angle ABE = 140^\circ$，$\angle CDE = 130^\circ$，求 $\angle BED$。

解析 $\angle ABE = 140^\circ$ 为钝角，取其邻补角 $\angle ABE$ 的补角 $\angle EBP = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$（$P$ 在 $BA$ 延长线上）。

同理，$\angle CDE = 130^\circ$ 的补角 $\angle EDQ = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$（$Q$ 在 $DC$ 延长线上）。

过 $E$ 作 $EF \parallel AB \parallel CD$：

$\angle BEF = 40^\circ$（与 $\angle EBP$ 为内错角）
$\angle FED = 50^\circ$（与 $\angle EDQ$ 为内错角）

$$\angle BED = 40^\circ + 50^\circ = 90^\circ$$

$\angle BED = 90^\circ$。

9. 奇数与偶数 ¶

9.2 奇偶性运算法则 ¶

运算	结果
奇 + 奇	偶
偶 + 偶	偶
奇 + 偶	奇
奇 × 奇	奇
偶 × 任意	偶

关键性质：
1. 任意多个整数之和为奇数，当且仅当其中奇数的个数为奇数
2. 若干整数之积为奇数，当且仅当每个因子都是奇数
3. 奇数 $\neq$ 偶数（这是奇偶性分析证明的核心依据）

9.3 典型例题 ¶

例题1 能否将 $1, 2, 3, \ldots, 25$ 这 25 个数排列成一个圆圈，使得任意相邻两数之和为质数？

解析质数中，除 2 外都是奇数。两数之和为奇数，必须是一奇一偶；两数之和为 2（唯一偶质数），只有 $1 + 1 = 2$，不可能由不同的正整数实现。

因此任意相邻两数之和为奇质数，要求一奇一偶交替排列。但 25 是奇数，无法在圆圈上实现严格的奇偶交替（需要偶数个位置才能首尾相接交替）。

不能。

例题2 证明：对任意整数 $n$，$n^2 + n$ 是偶数。

证明 $n^2 + n = n(n+1)$。$n$ 与 $n+1$ 是两个连续整数，必一奇一偶，其积为偶数。故 $n^2 + n$ 是偶数。$\blacksquare$

例题3 黑板上写着 $1, 2, 3, \ldots, 2024$。每次操作：擦去两个数 $a, b$，写上 $a - b$。经过 2023 次操作后只剩一个数。证明：最后一个数是奇数。

证明初始时所有数之和 $S = 1 + 2 + \cdots + 2024 = \dfrac{2024 \times 2025}{2} = 1012 \times 2025$。

每次操作将 $a, b$ 替换为 $a - b$，总和变化为 $(a-b) - (a + b) = -2b$，即每次操作总和减少偶数。

因此最终剩余的数的奇偶性等于初始总和 $S$ 的奇偶性。

$S = 1012 \times 2025$，$1012$ 为偶数，故 $S$ 为偶数？让我重新分析。

实际上，更准确的分析：每次操作 $a \to a - b$，考虑奇偶性的变化。$a - b$ 与 $a + b$ 的奇偶性相同（因为 $(a+b) - (a-b) = 2b$ 为偶数）。因此每次操作后，所有数之和的奇偶性不变。

初始 2024 个数中奇数有 1012 个，偶数有 1012 个。操作 2023 次后剩 1 个数。考虑各数之和的奇偶性：初始总和 $= 1012 \times 2025$，$1012$ 为偶数 $\Rightarrow$ 初始总和为偶数。

每次操作 $a, b \to a - b$，总和从 $S$ 变为 $S - 2b$，奇偶性不变。

但还需更细致地分析最终只剩一个数时其为奇还是偶。换一种思路：

每次操作 $a, b \to a - b$，考虑所有剩余数的”奇数次幂”信息。更简单地，考虑：所有数之和模 2 不变。

最终一个数 $= S \pmod{2} \Rightarrow$ 偶数。但这说最终数是偶数，与题目矛盾。

修正：题目中应理解为”最后一个数可能为奇或偶，取决于操作顺序”。但若改为擦去 $a, b$ 写 $a + b$，则最终总是 Sum 不变 = 偶。对于 $a - b$ 操作，实际上每次 $S’ = S - 2b$，总和每次减少 $2b$（偶数），所以总和模 2 恒为初始总和模 2。但最终只剩余一个数时，该数 $= S_{\text{final}}$，$S_{\text{final}} \equiv S_{\text{initial}} \pmod{2}$。

应理解为本题核心技巧是不变量方法：找到操作中不变的性质（这里是和的奇偶性），从而推断最终状态。

10. 质数与合数 ¶

10.1 知识要点 ¶

质数（素数）：大于 1 的自然数，除了 1 和自身外没有其他约数
合数：大于 1 的自然数，除了 1 和自身外还有其他约数
1 既不是质数也不是合数
2 是唯一的偶质数

10.2 唯一分解定理（算术基本定理）¶

任何大于 1 的自然数 $n$ 都可以唯一地分解为质数的乘积：

$$n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$$

10.3 约数个数与约数和公式 ¶

设 $n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$，则：

约数个数：

$$d(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1)$$

约数和：

$$\sigma(n) = \frac{p_1^{a_1+1} - 1}{p_1 - 1} \cdot \frac{p_2^{a_2+1} - 1}{p_2 - 1} \cdots \frac{p_k^{a_k+1} - 1}{p_k - 1}$$

10.4 典型例题 ¶

例题1 求 360 的约数个数和约数和。

解析分解：$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$。

约数个数：$d(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$

约数和：

$$\sigma(360) = \frac{2^4 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^3 - 1}{3 - 1} \cdot \frac{5^2 - 1}{5 - 1} = 15 \times 13 \times 6 = 1170$$

约数个数为 24，约数和为 1170。

例题2 求所有约数个数恰好为 6 的最小正整数。

解析 $d(n) = 6$。因 $6 = 6 \times 1 = 3 \times 2 = 2 \times 3$，对应质因数分解形式：

$n = p^5$：最小为 $2^5 = 32$
$n = p^2 \cdot q$：最小为 $2^2 \times 3 = 12$
$n = p \cdot q^2$：最小为 $2 \times 3^2 = 18$

取最小值：$n = 12$。

答案为 12。

11. 整数的整除性 ¶

11.1 知识要点 ¶

若 $a \mid b$（$a$ 整除 $b$），则存在整数 $k$ 使 $b = ak$。

11.2 常见整除特征 ¶

除数	整除特征
2	末位是偶数
3	各位数字之和能被 3 整除
4	末两位数能被 4 整除
5	末位是 0 或 5
6	能被 2 和 3 同时整除
8	末三位数能被 8 整除
9	各位数字之和能被 9 整除
11	奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 11 整除
7 / 13	截尾法：去掉末位 $a$，剩余部分减去 $a \times$ 对应系数（截尾倍数法）

11.3 同余初步 ¶

若 $a, b$ 除以 $m$ 的余数相同，则称 $a \equiv b \pmod{m}$。

同余的性质：
- 若 $a \equiv b \pmod{m}$，$c \equiv d \pmod{m}$，则 $a + c \equiv b + d \pmod{m}$
- 若 $a \equiv b \pmod{m}$，$c \equiv d \pmod{m}$，则 $ac \equiv bd \pmod{m}$
- 若 $a \equiv b \pmod{m}$，则 $a^k \equiv b^k \pmod{m}$

11.4 典型例题 ¶

例题1 判断 $7\,654\,321$ 能否被 11 整除。

解析奇数位（从右起第 1、3、5、7 位）数字之和：$1 + 3 + 5 + 7 = 16$

偶数位（从右起第 2、4、6 位）数字之和：$2 + 4 + 6 = 12$

差：$16 - 12 = 4$，$4$ 不能被 11 整除。

$7\,654\,321$ 不能被 11 整除。

例题2 求 $3^{2024}$ 除以 7 的余数。

解析计算 $3$ 的幂次模 7 的循环：

$3^1 \equiv 3 \pmod{7}$
$3^2 \equiv 2 \pmod{7}$
$3^3 \equiv 6 \pmod{7}$
$3^4 \equiv 4 \pmod{7}$
$3^5 \equiv 5 \pmod{7}$
$3^6 \equiv 1 \pmod{7}$

周期为 6。$2024 = 6 \times 337 + 2$，故 $3^{2024} \equiv 3^2 \equiv 2 \pmod{7}$。

余数为 2。

12. 最大公约数与最小公倍数 ¶

12.1 知识要点 ¶

$\gcd(a, b)$：$a$ 和 $b$ 的最大公约数；$\text{lcm}(a, b)$：$a$ 和 $b$ 的最小公倍数。

重要关系：

$$\gcd(a, b) \times \text{lcm}(a, b) = a \times b$$

12.2 辗转相除法（欧几里得算法）¶

$$\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b), \quad \gcd(a, 0) = a$$

12.3 典型例题 ¶

例题1 求 $\gcd(1071, 462)$。

解析辗转相除：

$1071 = 2 \times 462 + 147$
$462 = 3 \times 147 + 21$
$147 = 7 \times 21 + 0$

余数为 0，$\gcd(1071, 462) = 21$。

例题2 一个数除以 12 余 7，除以 18 余 13，除以 30 余 25。求满足条件的最小正整数。

解析注意余数与除数的关系：

$x \equiv 7 \pmod{12} \Leftrightarrow x \equiv -5 \pmod{12}$
$x \equiv 13 \pmod{18} \Leftrightarrow x \equiv -5 \pmod{18}$
$x \equiv 25 \pmod{30} \Leftrightarrow x \equiv -5 \pmod{30}$

即 $x + 5$ 同时被 12、18、30 整除。求 $\text{lcm}(12, 18, 30)$。

$12 = 2^2 \times 3$，$18 = 2 \times 3^2$，$30 = 2 \times 3 \times 5$。

$\text{lcm} = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$。

$x + 5 = 180 \Rightarrow x = 175$。

最小正整数为 175。

13. 抽屉原理 ¶

13.1 知识要点 ¶

简单形式：将 $n + 1$ 个苹果放入 $n$ 个抽屉，则至少有一个抽屉里有至少 2 个苹果。

一般形式：将 $mn + 1$ 个苹果放入 $n$ 个抽屉，则至少有一个抽屉里有至少 $m + 1$ 个苹果。

等价表述：$n$ 个整数放到 $m$ 个类中，则至少有一类含有至少 $\left\lceil \dfrac{n}{m} \right\rceil$ 个数。

13.2 应用技巧 ¶

构造抽屉：关键在于合理地划分”抽屉”（即分类方式）
利用剩余类：整数按模 $m$ 的剩余类是常用的抽屉
区间分割：将连续区间等分为若干小区间作为抽屉
反证法配合：假设每个抽屉都不超过限制，推出矛盾

13.3 典型例题 ¶

例题1 从 $1, 2, 3, \ldots, 20$ 中任取 11 个数，证明：必有两个数，其中一个整除另一个。

证明将 $1 \sim 20$ 的每个数写成 $2^k \cdot m$（$m$ 为奇数）的形式。奇数 $m \in {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}$，共 10 个不同的奇数。

以奇数部分 $m$ 为抽屉，共 10 个抽屉。任取 11 个数，由抽屉原理，必有两个数具有相同的奇数部分 $m$。

设这两个数为 $2^a \cdot m$ 和 $2^b \cdot m$（$a \neq b$），不妨设 $a < b$，则 $2^a \cdot m \mid 2^b \cdot m$。$\blacksquare$

例题2 证明：在任意 6 个人中，必有 3 个人互相认识或互相不认识。

证明任选一人 $A$，其余 5 人分两组：与 $A$ 认识的人和与 $A$ 不认识的人。由抽屉原理，至少有一组有 $\geq 3$ 人。

情形一：与 $A$ 认识的至少 3 人。若这 3 人中有 2 人互相认识，则加上 $A$ 构成 3 人互相认识；若 3 人两两不认识，则构成 3 人互相不认识。

情形二：与 $A$ 不认识的至少 3 人。若这 3 人中有 2 人互相不认识，加上 $A$ 构成 3 人互相不认识；若 3 人两两认识，则构成 3 人互相认识。

两种情形均成立。$\blacksquare$

14. 逻辑推理问题 ¶

14.1 知识要点 ¶

逻辑推理问题没有固定公式，核心方法包括：

列表法：用表格梳理条件，逐步填充确定信息
假设法：假设某个判断为真或假，推导是否产生矛盾
排除法：逐一排除不可能的情况，缩小范围
穷举法：情况有限时逐一验证

14.2 典型例题 ¶

例题1 甲、乙、丙三人分别是教师、医生、律师（各不相同），已知：
（1）丙比律师年龄大；
（2）甲和医生不同岁；
（3）医生比乙年龄小。

确定甲、乙、丙各是什么职业。

解析由条件（3），医生 $\neq$ 乙（因”医生比乙小”说明医生不是乙）。

由条件（2），医生 $\neq$ 甲。

因此医生只能是丙。

由条件（1），丙（医生）比律师大；由条件（3），医生（丙）比乙小。

所以乙 > 丙（医生）> 律师，故乙不是律师（乙年龄最大）。

乙不是医生（已知），乙不是律师 $\Rightarrow$ 乙是教师。

甲不是医生（条件2），不是教师 $\Rightarrow$ 甲是律师。

验证：年龄顺序乙（教师）> 丙（医生）> 甲（律师），满足全部条件。

甲是律师，乙是教师，丙是医生。

例题2 A、B、C、D 四人进行乒乓球比赛，每两人各赛一场。已知：
（1）A 赢了 3 场；
（2）B 赢了 1 场，且 B 输给了 C；
（3）C 和 D 赢的场数相同。

确定每场比赛的结果。

解析每人比赛 3 场，共 $\dfrac{4 \times 3}{2} = 6$ 场。总胜场 = 总负场 = 6。

由（1），A 赢 3 场（胜 B、C、D），即 A 全胜。

由（2），B 赢 1 场。B 输给了 A（因 A 全胜），B 输给了 C。所以 B 唯一赢的一场是对 D。

由（3），C 和 D 胜场相同。C 赢了 B（条件2），C 输给了 A。C 对 D 的结果待定。

D 输给了 A，输给了 B，D 对 C 待定。

目前胜场：A = 3，B = 1（胜 D），C = 1（胜 B），D = 0。还剩 C vs D 一场。

总胜场应 = 6。$3 + 1 + 1 + 0 = 5$，差 1，即 C vs D 中有一方赢。

若 C 赢 D：C = 2，D = 0。不满足 C = D。

若 D 赢 C：C = 1，D = 1。C = D = 1，满足！

结果：A 胜 B、C、D；B 负 A、负 C、胜 D；C 负 A、胜 B、负 D；D 负 A、负 B、胜 C。

15. 几何图形计数 ¶

15.1 知识要点 ¶

线段计数 ¶

直线上有 $n$ 个点，线段总数为：

$$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$$

角的计数 ¶

从一点引出 $n$ 条射线，角的个数为 $C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}$。

三角形计数 ¶

需要根据具体图形分析，常用方法有标数法和分类计数法。

15.2 重要方法 ¶

（1）标数法 ¶

在图形的每个基本区域标上数字，递推累计。常用于三角形和矩形的计数。

（2）分类计数 ¶

将图形按形状、位置分类，分别计数后求和，避免遗漏或重复。

（3）递推法 ¶

利用图形的递推关系，从小规模推导到大规模。

15.3 长方形计数公式 ¶

在 $m \times n$ 的网格（$m$ 行 $n$ 列）中，长方形总数为：

$$\frac{m(m+1)}{2} \times \frac{n(n+1)}{2}$$

15.4 典型例题 ¶

例题1 线段 $AB$ 上有 7 个分点（含端点共 9 个点），求线段总数。

解析共 9 个点，任取 2 点构成一条线段：

$$C_9^2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$$

线段总数为 36 条。

例题2 下图是由 $3 \times 2$ 的网格组成的长方形（3 列 2 行），求其中长方形的总数。

解析横向有 4 条线（$3+1$），纵向有 3 条线（$2+1$）。

长方形数 = 横向任取 2 条线 $\times$ 纵向任取 2 条线：

$$C_4^2 \times C_3^2 = 6 \times 3 = 18$$

长方形总数为 18 个。

例题3 如图，$\triangle ABC$ 中，$D, E$ 分别在 $AB, AC$ 上，$D, E$ 与 $A$ 之间各有一个分点（即 $AB$ 上 3 等分，$AC$ 上 3 等分），$DE \parallel BC$。求图中三角形的总数。

解析设 $AB$ 上的等分点为 $D_1, D_2$，$AC$ 上的等分点为 $E_1, E_2$，其中 $D_1 E_1 \parallel BC$，$D_2 E_2 \parallel BC$。

这样 $AB$ 上有 $A, D_1, D_2, B$ 四个点，$AC$ 上有 $A, E_1, E_2, C$ 四个点。

三角形的顶点可以从 $AB$ 上取一个点、$AC$ 上取一个点，再加上 $A$ 点本身。

不经过 $A$ 的三角形：在 $AB$ 段的 4 个点和 $AC$ 段的 4 个点中，取不在同一射线上的组合。

更精确地分析：三角形必须以 $A$ 为顶点（因为 $D_1E_1 \parallel D_2E_2 \parallel BC$），故三角形个数为 $AB$ 上分点数 $\times$ $AC$ 上分点数 $= 3 \times 3 = 9$。

此外，还要考虑以 $DE$ 线段与下方部分的三角形。但完整计数需要具体分析图中线段关系，这里给出标数法思路：

在 $A$ 点标 1，沿 $AB$ 方向递增（$D_1$ 标 2，$D_2$ 标 3，$B$ 标 4），沿 $AC$ 方向递增（$E_1$ 标 2，$E_2$ 标 3，$C$ 标 4）。每个小三角形的两条侧边标数相乘再求和即得总数。

按标数法：

$$1 \times (1+1+1) + 2 \times (1+1+1) + 3 \times (1+1+1) = 3 + 6 + 9 = 18$$

三角形总数为 18 个。

方法归纳：标数法的核心原则是”每个底边对应一个三角形，其两条腰的标数之积即为以该底边的三角形个数”。正确运用需结合具体图形结构。

结语 ¶

以上涵盖了《奥数教程》七年级分册的 15 个核心知识模块。学习建议：

先掌握方法：每个模块的核心思想和公式定理务必理解透彻
精做例题：典型例题代表了该模块的经典题型，要反复琢磨解题思路
归纳总结：每做完一类题，总结其通用方法和常见变形
逐步提升：从基础例题出发，逐步挑战更高难度的竞赛题

竞赛数学的学习重在思维方法的积累与迁移，而非单纯的题海战术。希望本文档能帮助同学们系统梳理七年级奥数知识体系，为后续的竞赛学习打下坚实基础。

整理依据：华东师范大学出版社《奥数教程》七年级分册体系

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