20260730 222648 小学奥数举一反三一年级

线段的定义：直线上两个点和它们之间的部分叫线段。
基本线段与总线段：一条长线段上有若干分点，分出的每一小段叫”基本线段”，所有能数出的线段（包括由基本线段组合而成的大线段）都要数。
计算公式：如果一条线段上有 $n$ 条基本线段（即 $n+1$ 个端点和分点），则总线段数为：
$$\text{总线段数} = \frac{n(n+1)}{2}$$

【解题策略】¶

先数出基本线段的条数 $n$
用公式 $\dfrac{n(n+1)}{2}$ 算出总线段数
也可以逐步数：先数1段长的，再数2段合成的，……，最后数 $n$ 段合成的
各层次相加即答案

【典型例题】¶

例题1　线段AB上有一个分点C（即A—C—B），图中共有多少条线段？

分析：基本线段有2条：AC、CB。再数由2条基本线段组成的：AB本身是1条。总数 $= 2 + 1$。

解答：
基本线段 $n = 2$：
$$\frac{2 \times 3}{2} = 3 \text{（条）}$$
即 AC、CB、AB，共 3 条。

例题2　线段上有3条基本线段（A—B—C—D），共有多少条线段？

分析：基本线段 $n=3$，用公式计算。

解答：
$$\frac{3 \times 4}{2} = 6 \text{（条）}$$
逐一验证：1段长的3条（AB、BC、CD）+ 2段长的2条（AC、BD）+ 3段长的1条（AD）$= 3+2+1=6$。✓

【举一反三】¶

练习1　一条线段上有4个基本线段，共有多少条线段？

答案：$\dfrac{4\times5}{2}=10$（条）。

练习2　线段上有A、B、C、D、E五个点（A在最左、E在最右），共有多少条线段？

答案：4个基本线段，$\dfrac{4\times5}{2}=10$（条）。

第7讲数三角形 ¶

【知识要点】¶

什么叫数三角形：在一个图形中，找出所有三角形（包括由小三角形拼成的大三角形）。
分类计数法：先数小三角形，再数由2个、3个……小三角形组成的较大三角形。
关键原则：不重复、不遗漏，按大小层次有序地数。

【解题策略】¶

先数最小的单个三角形
再数由2个小三角形拼成的三角形
继续数由更多小三角形拼成的大三角形
把各层数量相加得总数
检查有无漏数或重复

【典型例题】¶

例题1　一个大三角形，从顶点向底边引出两条线段，把底边分成3段，形成3个小三角形。共有多少个三角形？

分析：先数小三角形：3个。再数由2个相邻小三角形组成的：2个。再数由3个小三角形组成的最大三角形：1个。

解答：
$$3 + 2 + 1 = 6 \text{（个）}$$
答：共有 6 个三角形。

例题2　一个三角形，从顶点到底边画了1条线，把三角形分成左右2个小三角形。共有多少个三角形？

分析：最小的三角形有2个，由2个小三角形组成的整个大三角形1个。

解答：
$$2 + 1 = 3 \text{（个）}$$
答：共有 3 个三角形。

【举一反三】¶

练习1　一个大三角形底边被分成4段（从顶点引出3条线），共多少个三角形？

答案：$4+3+2+1=10$（个）。

练习2　一个三角形从顶点引1条线分成2个小三角形，再在1个小三角形中引1条线再分成2个。共有多少个三角形？

答案：最小的3个 + 由2个合成的2个 + 整个最大的1个 $= 6$ 个。

第8讲数正方形 ¶

【知识要点】¶

数正方形的方法：与数三角形类似，要从小到大分层计数。
正方形的计数规律：在一个 $n \times n$ 的方格图中，正方形总数为：
$$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2$$
逐一数法：先数 $1\times1$ 的小正方形，再数 $2\times2$ 的，……，最后数最大的 $n\times n$ 的。

【解题策略】¶

确定方格图的行数和列数
数 $1\times1$ 的正方形：$n \times n$ 个
数 $2\times2$ 的正方形：$(n-1)\times(n-1)$ 个
依次数到最大的正方形
全部相加

【典型例题】¶

例题1　一个 $2\times2$ 的方格图（4个小方格），共有多少个正方形？

分析：$1\times1$ 的正方形有 $2\times2=4$ 个，$2\times2$ 的大正方形有1个。

解答：
$$4 + 1 = 5 \text{（个）}$$
即 $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$ 个。✓
答：共有 5 个正方形。

例题2　一个 $3\times3$ 的方格图（9个小方格），共有多少个正方形？

分析：$1\times1$ 的有9个，$2\times2$ 的有4个，$3\times3$ 的有1个。

解答：
$$9 + 4 + 1 = 14 \text{（个）}$$
即 $1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$ 个。✓
答：共有 14 个正方形。

【举一反三】¶

练习1　一个 $4\times4$ 的方格图，共有多少个正方形？

答案：$1+4+9+16=30$（个）。

练习2　在一个 $2\times3$ 的长方形格子图中，共有多少个正方形？

答案：$1\times1$ 的有6个 + $2\times2$ 的有2个 $= 8$ 个。

第9讲找规律画图 ¶

【知识要点】¶

观察规律：仔细观察图形的变化，找出变化规律。变化可能体现在：图形的形状、大小、数量、颜色、方向等方面。
常见规律类型：
- 图形数量按规律增加或减少
- 图形按顺序交替变化
- 图形按顺时针/逆时针旋转
画出后续图：根据规律画出下一个或几个图形。

【解题策略】¶

仔细观察已给出的前几个图形
比较相邻图形之间的变化
总结变化规律
按规律画出下一个图形

【典型例题】¶

例题1　观察规律，画出第4个图形：●　●●　●●●　（？）

分析：第1个图是1个圆点，第2个图是2个圆点，第3个图是3个圆点，数量每次增加1。

解答：
第4个图应该画 4个圆点：●●●●

例题2　观察规律，画出第4个图形：□　△　○　（？）

分析：图形按 □→△→○ 的顺序循环出现。

解答：
第4个图形应该回到 □，即第4个图形是 □。

【举一反三】¶

练习1　找规律画图：★　★★　★★★　★★★★　（？）

答案：第5个是 ★★★★★（5颗星）。

练习2　找规律画图：△　△△　△　△△　（？）

答案：第5个是 △（交替规律：1个、2个、1个、2个、1个）。

第10讲找规律填数 ¶

【知识要点】¶

递增数列：后一个数比前一个数多固定值，如每次 $+1$、$+2$、$+3$ 等。
递减数列：后一个数比前一个数少固定值。
交替规律：奇数项和偶数项分别有自己的规律，或者两个数交替出现。
倍数规律：后一个数是前一个数的2倍、3倍等（一年级了解即可）。

【解题策略】¶

计算相邻两个数的差，看差是否有规律
如果差都一样，说明是等差规律
如果差不一样，检查是否是交替规律或倍数规律
按规律推出后面的数

【典型例题】¶

例题1　找规律填数：2，4，6，8，（　），（　）

分析：每个数比前一个多2（$2+2=4$，$4+2=6$，$6+2=8$），是公差为2的递增数列。

解答：
$$8 + 2 = 10,\quad 10 + 2 = 12$$
答：填 10、12。

例题2　找规律填数：1，3，5，7，（　），（　）

分析：每个数比前一个多2，是连续奇数数列。

解答：
$$7 + 2 = 9,\quad 9 + 2 = 11$$
答：填 9、11。

【举一反三】¶

练习1　找规律填数：10，9，8，7，（　），（　）

答案：填6、5（每次减1）。

练习2　找规律填数：1，4，7，10，（　），（　）

答案：填13、16（每次加3）。

第11讲简单推理 ¶

【知识要点】¶

推理的含义：根据已知的条件，一步步推出结论。
排除法：如果某个选项与条件矛盾，就排除它，剩下的就是答案。
关键句：找到最直接的线索，作为推理的起点。
一年级常见类型：三人比高矮、猜物品、比快慢等。

【解题策略】¶

仔细读题，列出所有已知条件
找到最直接、最明确的信息作为突破口
用排除法逐步确定答案
最后检查是否符合所有条件

【典型例题】¶

例题1　三个小朋友比高矮。小明说：”我比小红高。”小红说：”我比小华高。”谁最高？谁最矮？

分析：由条件知：小明比小红高，小红比小华高。所以三人从高到矮排列。

解答：
小明 $>$ 小红 $>$ 小华（高）
- 小明最高，小华最矮。

例题2　三个小朋友赛跑。已知：小红不是第一名，小芳是第一名。小红比小华跑得快。请问三个人的名次？

分析：小芳是第一名（直接条件）。剩下小红和小华争第二和第三。小红比小华快，所以小红第二，小华第三。

解答：
- 第一名：小芳
- 第二名：小红（比小华快）
- 第三名：小华
- 验证：小红不是第一名 ✓，小红比小华快 ✓

【举一反三】¶

练习1　小鸡和小鸭比体重。小鸡比小鸭轻，小鹅比小鸭重。谁最重？谁最轻？

答案：小鹅最重，小鸡最轻。（小鹅 $>$ 小鸭 $>$ 小鸡）

练习2　三个盒子里分别装红球、蓝球、黄球。蓝球在B盒，红球不在A盒。A盒里是什么球？

答案：蓝球在B盒，红球不在A盒，所以红球在C盒，A盒是黄球。

第12讲火柴棒游戏 ¶

【知识要点】¶

火柴棒摆图形：用火柴棒可以摆出各种图形和数字。如三角形用3根、正方形用4根。
火柴棒拼算式：用火柴棒摆出算式，通过移动火柴棒使等式成立。
数字间的变换：移动1根火柴棒，可以让一些数字相互变换。例如”6”去掉一根可变”5”，”9”添一根可变”8”等。
共用边：摆多个图形时，共用一条边可以节省火柴棒。

【解题策略】¶

先观察算式两边是否相等
确定要”移一根”还是”添/去一根”
找到可以变化的数字
尝试移动后验证等式是否成立
摆图形题：先数清根数，再想摆法

【典型例题】¶

例题1　用火柴棒摆三角形，摆1个要3根。摆2个独立的三角形要几根？如果两个三角形共用一条边呢？

分析：独立摆2个三角形需要 $3 \times 2 = 6$ 根。如果共用一条边，第二个三角形只需再添2根。

解答：
- 独立摆2个：$3 + 3 = 6$ 根
- 共用一条边：$3 + 2 = 5$ 根
答：独立摆要 6 根，共用一边只要 5 根。

例题2　用火柴棒摆正方形，摆3个正方形排成一排（相邻正方形共用一条边），共需多少根？

分析：第1个正方形用4根，第2个共用1条边只需3根，第3个同理只需3根。

解答：
$$4 + 3 + 3 = 10 \text{（根）}$$
答：共需 10 根火柴棒。

【举一反三】¶

练习1　用4根火柴棒能摆出什么图形？用6根呢？

答案：4根可摆正方形；6根可摆2个三角形或1个长方形。

练习2　用火柴棒摆正方形，摆1个要4根，摆2个（共用一边）要7根。摆3个（排成一排）要几根？

答案：$4 + 3 + 3 = 10$ 根。

第13讲排队问题 ¶

【知识要点】¶

从前往后数和从后往前数：一个人在队伍中的位置可以从两个方向确定。
基本公式：总人数 $=$ 从前往后数的第 $a$ 个 $+$ 从后往前数的第 $b$ 个 $- 1$，即总人数 $= a + b - 1$（因为这个人被数了两次，要减去1）。
两人之间的间隔：第3个和第7个之间，之间有 $7 - 3 - 1 = 3$ 人。

【解题策略】¶

确定是从前数还是从后数
判断该人是否被重复计算
用公式：总人数 $= a + b - 1$
画图辅助理解

【典型例题】¶

例题1　同学们排成一队。从前往后数，小红是第4个；从后往前数，小红是第5个。这队一共多少人？

分析：从前往后数小红第4，说明小红前面有3人。从后往前数小红第5，说明小红后面有4人。总人数 $=$ 前面的人 $+$ 小红 $+$ 后面的人 $= 3 + 1 + 4$。或用公式：$4 + 5 - 1 = 8$。

解答：
$$4 + 5 - 1 = 8 \text{（人）}$$
答：这队一共 8 人。

例题2　同学们排成一队。从前数小明是第3个，从后数是第4个。小明后面有几人？

分析：总人数 $= 3 + 4 - 1 = 6$。小明从后数第4，说明他后面有 $4 - 1 = 3$ 人。

解答：
$$\text{总人数} = 3 + 4 - 1 = 6 \text{（人）}$$
小明后面有：$4 - 1 = 3$ 人。
答：小明后面有 3 人。

【举一反三】¶

练习1　从前往后数小芳是第5个，从后往前数是第3个。一共多少人？

答案：$5 + 3 - 1 = 7$（人）。

练习2　一队共10人，从前往后数小华是第4个。从后往前数小华是第几个？

答案：$10 - 4 + 1 = 7$，从后数第7个。

第14讲合理分组 ¶

【知识要点】¶

分组的要求：把一组数分成两组，使两组的和相等，或使两组满足特定条件。
先求总和：把所有数加起来，总和 $\div 2 =$ 每组的和。
尝试搭配：找到两个或几个数的组合，使其和等于目标值。
验证条件：分好的两组要满足题目所有要求。

【解题策略】¶

把所有数加起来求总和
总和 $\div 2 =$ 每组应有的和（如果要两组和相等）
尝试找出和等于该目标的组合
剩余的自动成为另一组
验证两组和是否相等

【典型例题】¶

例题1　把 1、2、3、4、5、6、7 这七个数分成两组，使两组的和相等。

分析：总和 $= 1+2+3+4+5+6+7 = 28$，每组应 $= 14$。找几个数之和等于14。

解答：
尝试：$7 + 6 + 1 = 14$ ✓，剩下 $2+3+4+5 = 14$ ✓。
答：一组为 {7, 6, 1}，另一组为 {2, 3, 4, 5}，两组和都是14。

例题2　把 2、4、6、8 分成两组，使两组和相等。

分析：总和 $= 2+4+6+8 = 20$，每组应 $= 10$。

解答：
$2 + 8 = 10$ ✓，$4 + 6 = 10$ ✓。
答：一组为 {2, 8}，另一组为 {4, 6}，两组和都是10。

【举一反三】¶

练习1　把3、5、7、9分成两组使两组和相等。

答案：$3+9=12$，$5+7=12$。分成{3,9}和{5,7}。

练习2　把1、3、5、7分成两组使两组和相等。

答案：$1+7=8$，$3+5=8$。分成{1,7}和{3,5}。

第15讲巧算加减 ¶

【知识要点】¶

凑十法：加法中，把能凑成10的两个数先加，再加剩余的数。如 $8 + 5 = 8 + 2 + 3 = 10 + 3 = 13$。
凑整法（凑整十）：把接近整十的数凑成整十。如 $18 + 3 = 18 + 2 + 1 = 20 + 1 = 21$。
减法中的凑整：减去一个接近整十的数时，先减整十再加多减的。如 $23 - 9 = 23 - 10 + 1 = 14$。
交换律和结合律：$a + b = b + a$；$(a+b)+c = a+(b+c)$，可以灵活调整顺序凑整。

【解题策略】¶

观察数的特点，看哪些数能凑成10或整十
用凑十法/凑整法重组计算顺序
加法凑十、减法凑整
多个数字相加时，先找能凑整的配对

【典型例题】¶

例题1　巧算：$8 + 7 = ?$

分析：8和2可以凑成10，把7拆成 $2 + 5$，先算 $8 + 2 = 10$，再加5。

解答：
$$8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 10 + 5 = 15$$
答：$8 + 7 = 15$。

例题2　巧算：$17 + 9 = ?$

分析：17接近20，差3。把9拆成 $3 + 6$，先算 $17 + 3 = 20$，再加6。也可以把9看成 $10 - 1$。

解答：
$$17 + 9 = 17 + 3 + 6 = 20 + 6 = 26$$
或：$17 + 10 - 1 = 27 - 1 = 26$。
答：$17 + 9 = 26$。

【举一反三】¶

练习1　巧算：$6 + 8 = ?$

答案：$6 + 4 + 4 = 10 + 4 = 14$。

练习2　巧算：$25 + 19 = ?$

答案：$25 + 20 - 1 = 44$。（把19看成 $20-1$）

第16讲巧填数阵 ¶

【知识要点】¶

数阵的含义：把数字填入图形的某些位置（如圆圈、方格），使得每条线上数字之和相等。
关键概念——重复数：在数阵中，中心位置的数字会被多条线共用，是”重复使用的数”，找到它是解题关键。
解题核心：确定每条线的目标和，找到中心数，再填其余位置。

【解题策略】¶

计算所有给定数的总和
确定每条线的目标和（通常题目会给出）
找到中心位置（被多次使用的位置）
先填中心数，再配对填其余位置
验证每条线上的和是否相等

【典型例题】¶

例题1　把1、2、3、4、5分别填入下面的方格中，使横行三个数的和 $=$ 竖列三个数的和 $= 9$（中心格共用）。

　□
□□□
　□

分析：这是一个十字形数阵，中心格被横行和竖列共用。横行3个数之和 $= 9$，竖列3个数之和 $= 9$。中心数被算了两次，所以5个数的总和 $+$ 中心数 $= 9 + 9 = 18$。5个数总和 $= 1+2+3+4+5=15$，所以中心数 $= 18 - 15 = 3$。

解答：
- 中心数填 3
- 横行另两个数和 $= 9 - 3 = 6$：填 1 和 5（或 2 和 4）
- 竖列另两个数和 $= 9 - 3 = 6$：填剩余的两个数
- 一种填法：横行填 1、3、5，竖列填 2、3、4
- 验证：$1+3+5=9$ ✓，$2+3+4=9$ ✓

例题2　把2、4、6、8、10填入十字形（中心共用），使每条线上三个数的和都是16。

分析：5个数总和 $= 2+4+6+8+10=30$。两条线和 $= 16\times2=32$。中心数 $= 32 - 30 = 2$。

解答：
- 中心数填 2
- 每条线另两数和 $= 16 - 2 = 14$：填 4 和 10、6 和 8
- 验证：$4+2+10=16$ ✓，$6+2+8=16$ ✓

【举一反三】¶

练习1　把1、2、3、4、5填入十字形（中心共用），使每条线上三个数的和都是8。

答案：中心填1（总和15，$8\times2-15=1$），其余配对和为7：2+5、3+4。

练习2　把3、4、5、6、7填入十字形，使每条线上三个数的和都是14。

答案：中心填4（总和25，$14\times2-25=3$，但3在数中…验证：$28-25=3$，中心填3，配对和11：$4+7$、$5+6$）。

第17讲单数和双数 ¶

【知识要点】¶

单数（奇数）：1、3、5、7、9……不能正好配对的数叫单数。
双数（偶数）：2、4、6、8、10……能正好配对的数叫双数。
加减法中的奇偶规律：
- 双数 $+$ 双数 $=$ 双数
- 单数 $+$ 单数 $=$ 双数
- 单数 $+$ 双数 $=$ 单数
个位判断法：看一个数的个位数字是单数还是双数，就能判断整个数是单数还是双数。

【解题策略】¶

判断每个数是单数还是双数
利用奇偶规律判断结果
不用算出具体数值就能知道答案是单数还是双数

【典型例题】¶

例题1　不用计算，判断 $8 + 7$ 的结果是单数还是双数。

分析：8是双数，7是单数。根据规律：双数 $+$ 单数 $=$ 单数。

解答：
8是双数，7是单数，双数 $+$ 单数 $=$ 单数。
答：$8 + 7$ 的结果是单数（验证：$8+7=15$，15是单数 ✓）。

例题2　筐里有苹果，2个2个地拿，正好拿完。筐里的苹果数是单数还是双数？

分析：2个2个地拿正好拿完，说明苹果总数能被2整除，即总数是2的倍数，是双数。

解答：
2个2个拿正好拿完 → 总数是双数。
答：筐里的苹果数是双数。

【举一反三】¶

练习1　不用计算，判断 $9 + 5$ 的结果是单数还是双数。

答案：9是单数，5是单数，单数$+$单数$=$双数。结果是双数（验证：$9+5=14$ ✓）。

练习2　5个小朋友分一堆糖果，每人分2块正好分完。这堆糖果是单数还是双数？

答案：每人2块，$5 \times 2 = 10$块，10是双数。或者：2块2块地分，正好分完，所以是双数。

第18讲简单的年龄问题 ¶

【知识要点】¶

年龄差不变原理：两个人的年龄差永远不变。今年大几岁，明年还是大几岁，10年后还是大几岁。
同时增长：每个人每年都长1岁，两个人的年龄同时增长。
关键思路：算出现在的年龄差，任何时刻这个差都不变。

【解题策略】¶

找到两人的年龄信息
算出年龄差（大年龄 $-$ 小年龄 $=$ 年龄差）
牢记年龄差不变
利用年龄差推算过去或未来的年龄

【典型例题】¶

例题1　今年小红8岁，妈妈32岁。妈妈比小红大几岁？5年后妈妈比小红大几岁？

分析：今年妈妈比小红大 $32 - 8 = 24$ 岁。年龄差永远不变，5年后还是大24岁。

解答：
$$32 - 8 = 24 \text{（岁）}$$
答：妈妈比小红大 24 岁。5年后妈妈还是比较大 24 岁（年龄差不变）。

例题2　小明今年7岁，哥哥比小明大3岁。哥哥今年几岁？3年前哥哥几岁？

分析：哥哥比小明大3岁，所以哥哥今年 $7 + 3 = 10$ 岁。3年前哥哥 $10 - 3 = 7$ 岁。

解答：
- 哥哥今年：$7 + 3 = 10$（岁）
- 3年前哥哥：$10 - 3 = 7$（岁）
答：哥哥今年 10 岁，3年前哥哥 7 岁。

【举一反三】¶

练习1　今年小芳6岁，爸爸30岁。爸爸比小芳大几岁？10年后爸爸比小芳大几岁？

答案：$30-6=24$（岁），大24岁。10年后仍然大24岁。

练习2　姐姐今年12岁，弟弟今年8岁。当姐姐20岁时，弟弟几岁？

答案：年龄差 $=12-8=4$岁。姐姐20岁时，弟弟 $20-4=16$岁。

第19讲间隔问题 ¶

【知识要点】¶

锯木头问题：把一根木头锯成几段，需要锯的次数 $=$ 段数 $- 1$。比如锯成3段需要锯2次。
爬楼梯问题：从1楼到3楼，爬了2层楼梯（不是3层）。层数 $=$ 楼层差。
核心规律：间隔数 $=$ 段数 $- 1$，即”植树问题”的基本模型。

【解题策略】¶

分清”段数”和”次数/间隔数”
段数 $-$ 1 $=$ 次数（间隔数）
画图帮助理解段与次的关系
反过来：次数 $+$ 1 $=$ 段数

【典型例题】¶

例题1　把一根木头锯成4段，需要锯几次？

分析：锯成4段，需要锯 $4 - 1 = 3$ 次。画图：$|$—$|$—$|$—$|$（3刀4段）。

解答：
$$4 - 1 = 3 \text{（次）}$$
答：需要锯 3 次。

例题2　小红家住3楼，每层楼有20级台阶。从1楼到家要走多少级台阶？

分析：从1楼到3楼，实际爬了 $3 - 1 = 2$ 层楼梯（不是3层）。每层20级，共 $2 \times 20 = 40$ 级。

解答：
$$3 - 1 = 2 \text{（层）},\quad 2 \times 20 = 40 \text{（级）}$$
答：从1楼到家要走 40 级台阶。

【举一反三】¶

练习1　把一根铁丝剪成5段，需要剪几次？

答案：$5 - 1 = 4$（次）。

练习2　小明家住6楼，从1楼走到6楼用了多少层楼梯？如果每层18级，共走了多少级台阶？

答案：$6-1=5$层楼梯，$5 \times 18 = 90$级台阶。

第20讲简单的排列 ¶

【知识要点】¶

排列的含义：把几个物品按不同顺序摆放，看看有几种不同的摆法。
有序列举法：按一定顺序把所有可能的情况列出来，不重复不遗漏。
基本规律：2个物品有2种排法，3个物品有 $3\times2\times1=6$ 种排法（一年级用列举法即可）。
固定位置法：先固定一个位置，再排其余位置。

【解题策略】¶

用列举法，有序地列出所有可能
先固定第一个位置，再考虑其余位置
每换一个固定位置，得到一组新的排列
统计总数

【典型例题】¶

例题1　有2本书A和B，排在书架上，有几种不同排法？

分析：先排A在左边：AB；再排B在左边：BA。共2种。

解答：
- 第1种：A B
- 第2种：B A
答：共有 2 种排法。

例题2　有3个数字1、2、3，能组成多少个不同的两位数？（每个数字只用一次）

分析：十位选1种，个位选剩下的2种之一。用列举法：
- 十位填1：12、13
- 十位填2：21、23
- 十位填3：31、32

解答：
共能组成6个不同的两位数：12、13、21、23、31、32。

【举一反三】¶

练习1　3个小朋友排队照相，有几种排法？

答案：6种。固定第一个人后，剩下2人有2种排法，$3 \times 2 = 6$种。

练习2　用2和5能组成几个不同的两位数？

答案：2个：25、52。

第21讲认识钟表 ¶

【知识要点】¶

钟面的认识：钟面上有12个数字（1～12），12个大格。时针走1大格是1小时，分针走1大格是5分钟。
整时：时针指向某个数字，分针指向12，就是几时整。如时针指3、分针指12，就是3时整。
半时：时针指向两个数字中间，分针指向6，就是几时半。如3时半，时针在3和4之间。
时间推算：过几小时就是在现在时间上加几小时。

【解题策略】¶

先看分针：指向12是整时，指向6是半时
再看时针：指向几就是几时
半时看时针在两个数之间，取较小的数
推算时间时，在原时间上加减

【典型例题】¶

例题1　钟面上时针指向8，分针指向12。现在是几时？

分析：分针指向12说明是整时，时针指向8说明是8时整。

解答：
现在是 8时整（8:00）。

例题2　现在是3时，再过2小时是几时？

分析：3时 $+$ 2小时 $=$ 5时。

解答：
$$3 + 2 = 5 \text{（时）}$$
答：再过2小时是 5时。

【举一反三】¶

练习1　钟面上时针指向10和11之间，分针指向6。现在是几时？

答案：10时半（10:30）。

**练习2　** 现在是7时，再过3小时是几时？

答案：$7 + 3 = 10$（时），10时。

第22讲简单应用题 ¶

【知识要点】¶

加法应用题：求”一共”“总共”用加法。
减法应用题：求”还剩”“多多少”“少多少”用减法。
审题关键：分清”已知条件”和”所求问题”，判断用加法还是减法。
列式检查：列完算式后，检查是否符合题意，写上单位名称。

【解题策略】¶

读题，找出已知条件和问题
判断该用加法还是减法
列式计算
写上单位名称和答语
检查结果是否合理

【典型例题】¶

例题1　教室里有12个男生和8个女生。教室里一共有多少个学生？

分析：求”一共”用加法。男生数 $+$ 女生数 $=$ 总人数。

解答：
$$12 + 8 = 20 \text{（个）}$$
答：教室里一共有 20 个学生。

例题2　小华有15元，买文具用了7元。还剩多少元？

分析：求”还剩”用减法。原有的 $-$ 用去的 $=$ 剩下的。

解答：
$$15 - 7 = 8 \text{（元）}$$
答：还剩 8 元。

【举一反三】¶

练习1　树上有10只鸟，又飞来6只。现在树上有多少只鸟？

答案：$10 + 6 = 16$（只）。

练习2　妈妈买了20个鸡蛋，吃了8个。还剩多少个？

答案：$20 - 8 = 12$（个）。

第23讲巧分图形 ¶

【知识要点】¶

巧分图形的含义：把一个规则图形分成形状相同、大小相等的几部分。
常见分法：
- 把正方形分成2个相同的长方形或三角形
- 把正方形分成4个相同的小正方形
- 把长方形分成若干相同的小长方形
关键原则：分成的每一部分形状相同、大小相等。

【解题策略】¶

先看分成几份
想想怎样用直线把图形平均分割
确保每份形状和大小都相同
画线分割并验证

【典型例题】¶

例题1　把一个正方形分成4个形状、大小都相同的图形，可以怎样分？

分析：可以横竖各画1条线，把正方形平均分成4个小正方形。

解答：
在正方形中间画1条横线、1条竖线（十字交叉），把正方形分成 4个小正方形，每个形状大小都相同。

也可以沿两条对角线画，分成4个相同的三角形。

例题2　把一个长方形分成2个相同的三角形，可以怎样分？

分析：沿长方形的对角线画1条线，就分成2个相同的三角形。

解答：
沿长方形的一条对角线画1条线，分成 2个相同的三角形。

【举一反三】¶

练习1　把一个正方形分成2个形状相同的图形，有几种分法？

答案：可以对折分（2个长方形），或沿对角线分（2个三角形），有2种分法。

练习2　把一个长方形分成4个相同的长方形，可以怎样分？

答案：画3条等间距的平行线（竖向或横向），分成4个小长方形。

第24讲图形等分 ¶

【知识要点】¶

图形等分的含义：把一个图形平均分成若干份，使每份的面积相等（每份”一样大”）。
等分的本质：分成的每一部分所占面积相同，不一定形状相同（但一年级主要考虑形状也相同）。
常见等分：正方形等分2份、4份；长方形等分2份、3份、4份等。
验证方法：检查每份是否同样大，总数是否对。

【解题策略】¶

确定要分成几等份
想办法用直线等分图形
确保每份面积相同
画线并验证

【典型例题】¶

例题1　把一个正方形平均分成2等份。有几种方法？

分析：可以横着分（中间画1条横线）、竖着分（中间画1条竖线）、或沿对角线分（2条对角线之一）。

解答：
有4种方法：
1. 中间横线分 → 2个长方形
2. 中间竖线分 → 2个长方形
3. 沿一条对角线分 → 2个三角形
4. 沿另一条对角线分 → 2个三角形

（其中方法1和2得到的长方形形状相同，方法3和4得到的三角形形状相同。）

例题2　一个正方形分成4等份，使每份形状大小都相同。有几种分法？

分析：可以十字线分成4个小正方形，也可以两条对角线分成4个三角形。

解答：
至少2种方法：
1. 画十字线（1横1竖）→ 4个小正方形
2. 画2条对角线 → 4个小三角形

答：有 2 种方法（每份形状大小都相同）。

【举一反三】¶

练习1　把一个圆分成4等份，怎样分？

答案：画2条互相垂直的直径，分成4个相同的扇形。

练习2　把一个长方形分成3等份（3个相同的小长方形），怎样分？

答案：沿长边方向画2条等间距的平行线，分成3个相同的小长方形。

第25讲趣味问题 ¶

【知识要点】¶

趣味数学题：用数学知识解决有趣的、有”陷阱”的问题，需要仔细思考。
常见类型：蜗牛爬井、青蛙跳井、树上鸟飞走等问题。
解题关键：不要被表面数字迷惑，要想清楚最后一步的特殊情况。
画图辅助：用画图或列表的方法帮助理清思路。

【解题策略】¶

仔细读题，特别注意”陷阱”
想清楚最后一步会发生什么
用画图或逐步推算的方法
检查逻辑是否正确

【典型例题】¶

例题1　一只蜗牛要爬上5米高的墙。白天爬3米，晚上滑下2米。几天能爬到墙顶？

分析：蜗牛每天实际爬 $3 - 2 = 1$ 米。但最后一天白天爬3米就到顶了，不再滑下来。所以前2天爬了2米，第3天白天爬3米到顶。

解答：
- 第1天：白天到3米，晚上滑到1米
- 第2天：白天到4米，晚上滑到2米
- 第3天：白天到5米（到顶！不需要再滑下）
答：3天能爬到墙顶。

例题2　树上有5只鸟，”砰”的一声枪响后，树上还有几只鸟？

分析：这是一道脑筋急转弯。枪响后鸟全被吓飞了，不是减少1只。

解答：
答：树上还有 0只鸟。枪响后所有鸟都被吓飞了。

【举一反三】¶

练习1　一只青蛙在井底，井深6米。白天跳3米，晚上滑下1米。几天能跳出井？

答案：每天实际跳 $3-1=2$米。第2天到4米，第3天白天跳3米到 $4+3=7$米 $>6$米，跳出。答：3天。

练习2　一根绳子剪3刀，最多能分成几段？

答案：$3+1=4$段（每刀增加1段，3刀最多4段）。