20260730 222651 小学奥数举一反三二年级

# 小学奥数举一反三二年级

适用对象 ¶

本教材适用于小学二年级学生（7-8岁），适合已掌握100以内加减法、表内乘除法基础运算的学有余力者使用。可用于课外拓展、思维训练或竞赛启蒙。

内容概述 ¶

本书精选25个经典奥数专题，涵盖数规律、巧算速算、间隔问题、周期问题、逻辑推理、图形计数、数阵填数、排列组合初步、还原问题等核心思维训练模块。每个专题通过知识要点讲解、解题策略归纳、典型例题分析和举一反三练习四个环节，帮助学生建立数学思维框架，提升观察力、分析力和创造力。

学习目标 ¶

掌握找规律、巧算速算的基本方法，提高计算能力与数感
理解间隔、周期、还原等典型问题的解题思路，发展逻辑推理能力
学会数图形、填数阵等空间与结构分析方法，培养有序思考习惯
通过趣味问题的解决，激发数学兴趣，提升综合思维能力

目录 ¶

第1讲找规律填数（一）
第2讲找规律填数（二）
第3讲巧填符号
第4讲巧填算式
第5讲巧算速算（一）
第6讲巧算速算（二）
第7讲间隔之谜
第8讲锯木头
第9讲巧切西瓜
第10讲巧用余数
第11讲周期问题
第12讲年龄问题
第13讲简单推理（一）
第14讲简单推理（二）
第15讲一笔画问题
第16讲数图形
第17讲巧填数阵图
第18讲简单排列
第19讲简单组合
第20讲智力趣题
第21讲图形的拼剪
第22讲猜猜凑凑
第23讲还原问题
第24讲盈亏问题初步
第25讲比眼力

第1讲找规律填数（一）¶

【知识要点】¶

等差数列：一列数中，相邻两个数的差都相等，这个固定的差叫做”公差”。例如：$2, 5, 8, 11, \ldots$，相邻数的差都是 $3$，公差为 $3$。
递增数列：公差为正数，数列越来越大，如 $1, 3, 5, 7, \ldots$
递减数列：公差为负数，数列越来越小，如 $20, 17, 14, 11, \ldots$
找公差的方法：用后一个数减前一个数，多算几次确认差是否相同。

【解题策略】¶

先计算相邻两个数的差（后数减前数）
检查每次的差是否相同
若差相同，用最后一个数加上（或减去）公差，得到下一个数
若差不同，考虑是否有其他规律（下一讲学习）

【典型例题】¶

例题1：找规律填数：$3, 7, 11, 15, (\quad), (\quad)$

分析：计算相邻两数的差：$7-3=4$，$11-7=4$，$15-11=4$。差都是 $4$，公差为 $4$。这是一个等差数列，每次加 $4$。

解答：$15+4=19$，$19+4=23$

所以填：$3, 7, 11, 15, \boxed{19}, \boxed{23}$

例题2：找规律填数：$50, 45, 40, 35, (\quad), (\quad)$

分析：计算相邻两数的差：$45-50=-5$，$40-45=-5$，$35-40=-5$。每次都减少 $5$，公差为 $-5$，是递减的等差数列。

解答：$35-5=30$，$30-5=25$

所以填：$50, 45, 40, 35, \boxed{30}, \boxed{25}$

【举一反三】¶

练习1：找规律填数：$6, 12, 18, 24, (\quad), (\quad)$

提示：公差为 $6$。答案：$30, 36$

练习2：找规律填数：$36, 30, 24, 18, (\quad), (\quad)$

提示：公差为 $-6$。答案：$12, 6$

第2讲找规律填数（二）¶

【知识要点】¶

递推规律：后面的数由前面的数按某种规则生成，如”前两个数相加等于后一个数”（斐波那契型）。
隔项规律：数列中奇数项和偶数项分别有自己的规律。例如：$1, 10, 3, 8, 5, 6, \ldots$，奇数项为 $1, 3, 5, \ldots$（加2），偶数项为 $10, 8, 6, \ldots$（减2）。
组合规律：一个数可能由前面两个数经过运算得到，如第三个数=前两个数之和。

【解题策略】¶

先尝试相邻数之差，看是否为等差数列
若不是等差，尝试相邻数之和：看前两个数之和是否等于第三个数
若仍不行，把数列分成奇数项和偶数项分别观察
确认规律后，按规律推算下一个数

【典型例题】¶

例题1：找规律填数：$1, 1, 2, 3, 5, 8, (\quad), (\quad)$

分析：观察发现 $1+1=2$，$1+2=3$，$2+3=5$，$3+5=8$。规律是：从第三个数起，每个数等于前两个数之和。这是著名的斐波那契数列。

解答：$5+8=13$，$8+13=21$

所以填：$1, 1, 2, 3, 5, 8, \boxed{13}, \boxed{21}$

例题2：找规律填数：$2, 4, 1, 6, 0, 8, (\quad), (\quad)$

分析：相邻数差无规律。尝试隔项：奇数项（第1、3、5、7项）为 $2, 1, 0, \ldots$（每次减1）；偶数项（第2、4、6、8项）为 $4, 6, 8, \ldots$（每次加2）。

解答：第7项（奇数项）：$0-1=-1$；第8项（偶数项）：$8+2=10$。

所以填：$2, 4, 1, 6, 0, 8, \boxed{-1}, \boxed{10}$

【举一反三】¶

练习1：找规律填数：$1, 3, 4, 7, 11, (\quad), (\quad)$

提示：前两个数相加等于后一个数。答案：$18, 29$

练习2：找规律填数：$3, 1, 5, 2, 7, 3, (\quad), (\quad)$

提示：隔项规律，奇数项 $3, 5, 7, \ldots$（加2），偶数项 $1, 2, 3, \ldots$（加1）。答案：$9, 4$

第3讲巧填符号 ¶

【知识要点】¶

在数字之间填入 $+$、$-$、$\times$、$\div$ 等运算符号，使等式成立。
尝试法：先估算等号右边的结果，再尝试不同的符号组合。
可以先尝试加法和减法，不行再尝试乘法和除法。
注意运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号。

【解题策略】¶

先观察等号两边的关系，估算可能的运算
从简单的符号开始尝试（先试加减，再试乘除）
每次尝试后验算结果是否等于右边
找到答案后验证，确保只此一种还是有多种填法

【典型例题】¶

例题1：在 $\bigcirc$ 里填上 $+$ 或 $-$，使等式成立：$8 \bigcirc 3 \bigcirc 5 = 6$

分析：要使结果是 $6$。先尝试全部用加法：$8+3+5=16$，太大。换一个减号试试：

$8+3-5=6$ → $11-5=6$ ✅ 成立！
$8-3+5=10$ → 不成立

解答：$8 \boxed{+} 3 \boxed{-} 5 = 6$

例题2：在 $\bigcirc$ 里填上 $+$、$-$、$\times$ 或 $\div$，使等式成立：$5 \bigcirc 3 \bigcirc 2 = 15$

分析：结果 $15$ 比较大，可能需要用乘法。尝试：$5 \times 3 = 15$，$15+2=17$，不行。尝试 $5 \times 3 \times 2 = 30$，太大。再想：$3 \times 2 = 6$，$5 \times 3 = 15$… 换思路：让最后结果为 $15$，而 $5 \times 3 = 15$，那么 $2$ 怎么处理？

试 $5 \times (3 \bigcirc 2)$：$3+2=5$，$5 \times 5=25$，不行；但这题无括号。

重新尝试：$5 \times 3 - 2 = 15 - 2 = 13$，不行。$5 + 3 \times 2 = 5+6=11$，不行。

再试：$5 \times 3 + 2 = 17$，不行。$5 + 3 + 2 = 10$，不行。

换法：$(5 \bigcirc 3) \bigcirc 2$，若 $15 \bigcirc 2 = 15$，不可能。但如果允许填 $\times$ 在不同位置：$5 \times (3 \times 2) = 30$。

重新想：可能需要除法。$6 \div 2 = 3$？不对。$15$ 可以分解为 $5 \times 3 = 15$，所以用乘号：让算式变成 $5 \times 3 = 15$，但中间有 $2$。

最后方案：改用 $2$ 和 $5$ 先算：$5 \times 3 \div 2$？$= 7.5$，不行。

换一个思路：$5 \times 3 = 15$，$0$ 可以通过 $2-2$ 得到，但这里只有一个 $2$。

其实题目应该是 $5 \bigcirc 3 \bigcirc 2 = 15$，尝试 $5 \times 3 + 2 = 17 \ne 15$。若允许括号：$5 \times (3 - 2) = 5 \times 1 = 5 \ne 15$。

重新调整：可能答案是 $5 \times 3 \times 2 = 30$，太大了。答案是 $5 \times 3 = 15$ 后 $0$ 不好处理。实际上，此题若不含括号，应尝试 $15-2=13$、$15+2=17$ 等组合。

换一道更合适的例题：$4 \bigcirc 3 \bigcirc 2 = 14$。$4 \times 3 = 12$，$12+2=14$ ✅

解答：$4 \boxed{\times} 3 \boxed{+} 2 = 14$

【举一反三】¶

练习1：在 $\bigcirc$ 里填上 $+$ 或 $-$，使等式成立：$7 \bigcirc 2 \bigcirc 3 = 2$

提示：$7-2-3=2$。答案：$7 \boxed{-} 2 \boxed{-} 3 = 2$

练习2：在 $\bigcirc$ 里填上 $+$、$-$、$\times$ 或 $\div$，使等式成立：$6 \bigcirc 3 \bigcirc 4 = 22$

提示：$6 \times 3 + 4 = 22$。答案：$6 \boxed{\times} 3 \boxed{+} 4 = 22$

第4讲巧填算式 ¶

【知识要点】¶

在竖式（或横式）的空格中填入合适的数字，使算式成立。
关键位推理：从个位、首位或进位/退位处入手，因为这些位置的约束最严格。
注意进位和退位：加法中”满十进一”，减法中”不够减退一”。
每个空格填入 $0 \sim 9$ 中的一个数字，首位不能为 $0$。

【解题策略】¶

先看个位：个位的运算结果往往是约束最强的
再看首位：首位的范围有限，帮助缩小答案范围
利用进位/退位关系推断中间空格
填完后验算整道题，确保每个空格都合理

【典型例题】¶

例题1：在 $\square$ 中填入合适的数字，使加法竖式成立：

  3 □
+ □ 5
-------
  6 8

分析：先看个位：$\square + 5 = 8$（没进位），所以个位的 $\square = 3$。再看十位：$3 + \square = 6$（没进位），所以十位的 $\square = 3$。最后验算：$33+35=68$ ✅

解答：

  3 3
+ 3 5
-------
  6 8

例题2：在 $\square$ 中填入合适的数字，使减法竖式成立：

  □ 4
- 2 □
-------
  3 8

分析：先看个位：$4 - \square = 8$，个位不够减，需要退位。从十位退一后，个位变成 $14 - \square = 8$，所以 $\square = 6$。再看十位：十位原来 $\square$，退去 $1$ 后剩 $\square - 1$，而 $\square - 1 - 2 = 3$，所以 $\square = 6$。验算：$64 - 26 = 38$ ✅

解答：

  6 4
- 2 6
-------
  3 8

【举一反三】¶

练习1：填空使竖式成立：

  2 □
+ □ 8
-------
  5 7

提示：个位 $\square+8=17$（进位），$\square=9$；十位 $2+\square+1=5$，$\square=2$。答案：$29+28=57$

练习2：填空使竖式成立：

  □ 0
- 3 □
-------
  4 6

提示：个位 $10-\square=6$，$\square=4$；十位 $\square-1-3=4$，$\square=8$。答案：$80-34=46$

第5讲巧算速算（一）¶

【知识要点】¶

凑整法：把能凑成整十、整百的数先算。例如 $28+52$ 中，$28+52=80$（凑成整十）。
凑十法：两个数之和为 $10$ 的叫”凑十”，如 $3$ 和 $7$、$4$ 和 $6$、$2$ 和 $8$。
凑百法：两个数之和为 $100$ 的叫”凑百”，如 $37$ 和 $63$。
补数：一个数与另一个数凑成 $10$（或 $100$），这两个数互为补数。看到 $28$ 就想到补数 $72$（凑百）。

【解题策略】¶

观察算式中是否有可以凑整对的数（凑十或凑百）
用带符号搬家的方法，把凑整的数放在一起（加法可交换、可结合）
先算凑整的部分，再算剩余部分
注意：搬数时要带上前面的运算符号一起搬

【典型例题】¶

例题1：巧算 $37+28+63$

分析：观察发现 $37$ 和 $63$ 可以凑成 $100$。利用加法交换律，把 $63$ 搬到 $37$ 后面先算。

解答：

$$37+28+63 = (37+63)+28 = 100+28 = 128$$

例题2：巧算 $99+45+1$

分析：$99$ 和 $1$ 凑成 $100$，先算 $99+1$。

解答：

$$99+45+1 = (99+1)+45 = 100+45 = 145$$

【举一反三】¶

练习1：巧算 $24+39+61+76$

提示：$24+76=100$，$39+61=100$。答案：$200$

练习2：巧算 $98+67$

提示：$98=100-2$，$98+67=100-2+67=167-2=165$。答案：$165$

第6讲巧算速算（二）¶

【知识要点】¶

拆数法：把一个数拆成两个数，使运算更方便。例如 $25 \times 4 = 100$，所以遇到 $25$ 可以配 $4$。
基准数法：当多个相近的数相加时，选一个”基准数”，把其他数表示为”基准数加减几”。例如 $31+29+32+28+30$，以 $30$ 为基准数。
拆补结合：把接近整十、整百的数拆开，凑整后多退少补。

【解题策略】¶

观察是否有关键的数对（如 $25$ 和 $4$、$125$ 和 $8$）
可拆数时，把一个数拆成便于计算的两部分
多个相近数相加时，用基准数法：总和=基准数×个数+各数与基准数的差之和
验算结果是否正确

【典型例题】¶

例题1：巧算 $48+49+50+51+52$

分析：这五个数都接近 $50$，以 $50$ 为基准数。$48=50-2$，$49=50-1$，$50=50+0$，$51=50+1$，$52=50+2$。偏差为 $-2-1+0+1+2=0$。

解答：

$$48+49+50+51+52 = 50 \times 5 + (-2-1+0+1+2) = 250+0 = 250$$

例题2：巧算 $25 \times 7 \times 4$

分析：$25 \times 4 = 100$，利用乘法交换律和结合律，把 $25$ 和 $4$ 先算。

解答：

$$25 \times 7 \times 4 = (25 \times 4) \times 7 = 100 \times 7 = 700$$

【举一反三】¶

练习1：巧算 $38+39+40+41+42$

提示：以 $40$ 为基准。答案：$200$

练习2：巧算 $25 \times 9 \times 4$

提示：$25 \times 4 = 100$。答案：$900$

第7讲间隔之谜 ¶

【知识要点】¶

线段植树问题（两端都栽）：棵数 = 段数 $+ 1$。例如在 $10$ 米的路一边每隔 $2$ 米栽一棵树，两端都栽，段数为 $10 \div 2 = 5$，棵数为 $5+1=6$。
段数与总长的关系：段数 = 总长 $\div$ 间隔长。
关键公式：棵数 = 段数 + $1$；段数 = 棵数 - $1$。
注意”两边都栽”时，要乘以 $2$。

【解题策略】¶

先判断是哪种植树类型（两端栽、一端栽、两端不栽）
用总长 $\div$ 间隔长 = 段数
两端都栽：棵数 = 段数 $+ 1$
一端栽另一端不栽：棵数 = 段数
两端都不栽：棵数 = 段数 - $1$

【典型例题】¶

例题1：一条路长 $30$ 米，在路的一边每隔 $5$ 米种一棵树，两端都种，一共要种多少棵？

分析：先求段数：$30 \div 5 = 6$（段）。两端都种，棵数 = 段数 $+ 1$。

解答：

$$30 \div 5 = 6 \text{（段）}$$

$$6 + 1 = 7 \text{（棵）}$$

答：一共要种 $7$ 棵树。

例题2：从一棵树到另一棵树之间每隔 $3$ 米种一棵花，两端都有树不算花，共种了 $4$ 棵花。两棵树之间相距多少米？

分析：两端不栽花（两端是树），花数 = 段数 - $1$。$4 = $ 段数 $- 1$，所以段数 = $4+1=5$。每段 $3$ 米。

解答：

$$\text{段数} = 4 + 1 = 5$$

$$\text{总长} = 5 \times 3 = 15 \text{（米）}$$

答：两棵树之间相距 $15$ 米。

【举一反三】¶

练习1：一条路长 $40$ 米，每隔 $8$ 米种一棵树，两端都种，种多少棵？

提示：$40 \div 8 = 5$ 段，$5+1=6$。答案：$6$ 棵

练习2：路的一边种了 $5$ 棵树，两端都种，相邻两棵树间隔 $6$ 米，路长多少米？

提示：段数 $=5-1=4$，$4 \times 6=24$。答案：$24$ 米

第8讲锯木头 ¶

【知识要点】¶

核心关系：锯的次数 = 段数 - $1$。锯成 $n$ 段需要锯 $n-1$ 次。
例如锯成 $4$ 段，需要锯 $3$ 次。
每锯一次需要的时间 × 锯的次数 = 总时间。
注意不要把”段数”和”次数”搞混：段数总比次数多 $1$。

【解题策略】¶

先明确题目问的是段数还是次数
段数 → 次数：减 $1$；次数 → 段数：加 $1$
用”每次时间 × 次数”求总时间，或用”总时间 $\div$ 次数”求每次时间
画图帮助理解，每次锯切只产生一个新切口

【典型例题】¶

例题1：一根木头要锯成 $5$ 段，每锯一次用 $3$ 分钟，一共要多少分钟？

分析：锯成 $5$ 段需要锯 $5-1=4$ 次。每次 $3$ 分钟。

解答：

$$5 - 1 = 4 \text{（次）}$$

$$4 \times 3 = 12 \text{（分钟）}$$

答：一共要 $12$ 分钟。

例题2：把一根钢管锯成 $3$ 段用了 $8$ 分钟，如果锯成 $6$ 段要用多少分钟？

分析：锯成 $3$ 段要锯 $3-1=2$ 次，用 $8$ 分钟，所以每次 $8 \div 2 = 4$ 分钟。锯成 $6$ 段要锯 $6-1=5$ 次。

解答：

$$8 \div (3-1) = 4 \text{（分钟/次）}$$

$$4 \times (6-1) = 4 \times 5 = 20 \text{（分钟）}$$

答：要锯成 $6$ 段需要 $20$ 分钟。

【举一反三】¶

练习1：一根木头锯成 $6$ 段，每锯一次 $2$ 分钟，共用多少分钟？

提示：锯 $6-1=5$ 次，$5 \times 2=10$。答案：$10$ 分钟

练习2：锯成 $4$ 段用了 $9$ 分钟，每锯一次多少分钟？

提示：锯 $4-1=3$ 次，$9 \div 3=3$。答案：$3$ 分钟

第9讲巧切西瓜 ¶

【知识要点】¶

切 $n$ 刀最多能把西瓜分成 $\dfrac{n(n+1)}{2}+1$ 块。
切 $1$ 刀最多 $2$ 块；切 $2$ 刀最多 $4$ 块；切 $3$ 刀最多 $7$ 块；切 $4$ 刀最多 $11$ 块。
每次新切的一刀，要和之前的每刀都相交，并且交点不重合，才能切出最多块数。
规律：第 $n$ 刀增加的块数 = 第 $n-1$ 刀时的交点数 $+ 1$。

【解题策略】¶

熟记前几刀的块数：$1$ 刀 $2$ 块、$2$ 刀 $4$ 块、$3$ 刀 $7$ 块、$4$ 刀 $11$ 块
用公式 $\dfrac{n(n+1)}{2}+1$ 计算最大块数
理解每多一刀，最多增加”刀数”块
画平面图模拟切线，帮助理解

【典型例题】¶

例题1：一个西瓜切 $3$ 刀，最多能切成多少块？

分析：用公式 $\dfrac{3 \times (3+1)}{2}+1 = \dfrac{12}{2}+1 = 6+1 = 7$。

解答：

$$\frac{3 \times 4}{2}+1 = 6+1 = 7 \text{（块）}$$

答：最多切成 $7$ 块。

例题2：一个西瓜切了 $4$ 刀，最多分成几块？如果切 $5$ 刀呢？

分析：$4$ 刀：$\dfrac{4 \times 5}{2}+1 = 10+1 = 11$ 块。$5$ 刀：$\dfrac{5 \times 6}{2}+1=15+1=16$ 块。

解答：

$$4 \text{刀}：\frac{4 \times 5}{2}+1 = 11 \text{（块）}$$

$$5 \text{刀}：\frac{5 \times 6}{2}+1 = 16 \text{（块）}$$

答：$4$ 刀最多 $11$ 块，$5$ 刀最多 $16$ 块。

【举一反三】¶

练习1：一个西瓜切 $2$ 刀，最多几块？

提示：$\dfrac{2 \times 3}{2}+1 = 4$。答案：$4$ 块

练习2：一个蛋糕切 $6$ 刀，最多分成多少块？

提示：$\dfrac{6 \times 7}{2}+1 = 22$。答案：$22$ 块

第10讲巧用余数 ¶

【知识要点】¶

余数的基本性质：余数一定小于除数，即 $0 \le \text{余数} < \text{除数}$。
除法关系：被除数 $=$ 除数 $\times$ 商 $+$ 余数。
当除数是 $d$ 时，余数可能是 $0, 1, 2, \ldots, d-1$，共 $d$ 种。
最余数用于”周期问题”：确定第 $n$ 项是什么，用 $n \div \text{周期}$ 的余数来判断。

【解题策略】¶

确定除数（周期长度），用除法求商和余数
余数为 $0$ 表示是周期中最后一个；余数为 $k$ 表示是周期中第 $k$ 个
验证：余数 $<$ 除数
结合周期内容（如颜色、字母、数字）确定答案

【典型例题】¶

例题1：有一串珠子按”红、黄、蓝、红、黄、蓝……”排列，第 $17$ 颗是什么颜色？

分析：周期为 $3$（红、黄、蓝）。$17 \div 3 = 5 \cdots 2$，余数为 $2$，对应周期中第 $2$ 个颜色。

解答：

$$17 \div 3 = 5 \cdots 2$$

余数 $2$ 对应第 $2$ 个颜色”黄”。

答：第 $17$ 颗是黄色。

例题2：今天是星期三，再过 $20$ 天是星期几？

分析：一周 $7$ 天为周期。$20 \div 7 = 2 \cdots 6$，余数 $6$ 表示从星期三往后数 $6$ 天。

解答：

$$20 \div 7 = 2 \cdots 6$$

从星期三往后数 $6$ 天：四、五、六、日、一、二 → 星期二。

答：再过 $20$ 天是星期二。

【举一反三】¶

练习1：彩灯按”红、绿、红、绿……”排列，第 $15$ 盏什么颜色？

提示：周期为 $2$，$15 \div 2 = 7 \cdots 1$，余 $1$ 是红色。答案：红色

练习2：今天是星期五，再过 $30$ 天是星期几？

提示：$30 \div 7 = 4 \cdots 2$，从星期五往后数 $2$ 天。答案：星期日

第11讲周期问题 ¶

【知识要点】¶

周期：按照固定规律重复出现的一组内容，每重复一次称为一个周期。
用除法确定第 $n$ 项：用 $n \div \text{周期长度}$，看余数。
余数为 $0$：恰好是周期最后一个；余数为 $k$：是周期中第 $k$ 个。
还可以用周期求总数量，如 $5$ 个完整周期内共有 $5 \times \text{每周期个数}$ 个。

【解题策略】¶

找出循环周期和周期长度
用序号 $\div$ 周期长度，记录商和余数
余数决定该位置的值
若求总数量，用”完整周期数 × 每个周期个数 + 最后不完整周期内的个数”

【典型例题】¶

例题1：数列 $A, B, C, D, A, B, C, D, \ldots$ 中，第 $25$ 个字母是什么？

分析：周期为 $4$（$A, B, C, D$）。$25 \div 4 = 6 \cdots 1$，余数为 $1$，对应第 $1$ 个字母 $A$。

解答：

$$25 \div 4 = 6 \cdots 1$$

余数 $1$ 对应第 $1$ 个字母 $A$。

答：第 $25$ 个字母是 $A$。

例题2：$1, 2, 3, 1, 2, 3, \ldots$ 这列数中，前 $20$ 个数的和是多少？

分析：周期为 $3$（$1, 2, 3$）。$20 \div 3 = 6 \cdots 2$，即 $6$ 个完整周期，再加前 $2$ 个数（$1, 2$）。每个周期之和 $=1+2+3=6$。

解答：

$$20 \div 3 = 6 \cdots 2$$

$$\text{完整周期之和} = 6 \times (1+2+3) = 6 \times 6 = 36$$

$$\text{余下两个数之和} = 1+2 = 3$$

$$\text{总和} = 36+3 = 39$$

答：前 $20$ 个数的和是 $39$。

【举一反三】¶

练习1：$2, 4, 6, 8, 2, 4, 6, 8, \ldots$ 中，第 $19$ 个数是多少？

提示：周期为 $4$，$19 \div 4 = 4 \cdots 3$，第 $3$ 个是 $6$。答案：$6$

练习2：$0, 1, 0, 1, 0, 1, \ldots$ 前 $15$ 个数的和是多少？

提示：周期为 $2$，$15 \div 2 = 7 \cdots 1$，前 $15$ 个含 $7$ 个完整周期（每周期和为 $1$）余 $1$ 个 $0$，和 $=7 \times 1+0=7$。答案：$7$

第12讲年龄问题 ¶

【知识要点】¶

核心规律：两个人的年龄差永远不变。今年相差几岁，过多少年后仍相差几岁。
每过一年，每个人的年龄都增加 $1$ 岁。
若干年前，两人的年龄都减少了相同的年数，年龄差不变。
利用”年龄差不变”列式求解。

【解题策略】¶

找出两人现在的年龄或年龄差
利用”年龄差不变”列等式
经过 $n$ 年后，各加 $n$ 岁；$n$ 年前，各减 $n$ 岁
验算答案是否满足题意

【典型例题】¶

例题1：小明今年 $8$ 岁，妈妈今年 $34$ 岁。再过多少年，妈妈的年龄正好是小明的 $2$ 倍？

分析：年龄差 $=34-8=26$，年龄差永远不变。当妈妈是小明 $2$ 倍时，妈妈比小明多 $1$ 倍，即多 $26$ 岁，说明那时小明 $26$ 岁。

解答：

$$34-8=26 \text{（年龄差不变）}$$

当妈妈是小明 $2$ 倍时，小明 $= 26 \div (2-1) = 26$ 岁。

$$26-8=18 \text{（年）}$$

验算：$18$ 年后，小明 $26$ 岁，妈妈 $52$ 岁，$52=26 \times 2$ ✅

答：再过 $18$ 年。

例题2：姐姐比弟弟大 $4$ 岁，两年前姐弟俩的年龄和是 $18$ 岁。弟弟今年多少岁？

分析：两年前两人的年龄和是 $18$，现在各长 $2$ 岁，年龄和 $=18+2 \times 2=22$。又知年龄差为 $4$。

解答：

$$\text{今年年龄和} = 18+2+2 = 22$$

$$\text{弟弟今年} = (22-4) \div 2 = 9 \text{（岁）}$$

验算：弟弟 $9$ 岁，姐姐 $13$ 岁，差 $4$ 岁；两年前 $7$ 和 $11$，和 $18$ ✅

答：弟弟今年 $9$ 岁。

【举一反三】¶

练习1：小华今年 $7$ 岁，爸爸今年 $35$ 岁。再过多少年爸爸的年龄是小华的 $3$ 倍？

提示：年龄差 $28$，$3$ 倍时小华 $=28 \div (3-1)=14$，$14-7=7$。答案：$7$ 年

练习2：哥哥和妹妹共 $25$ 岁，哥哥比妹妹大 $3$ 岁。妹妹多少岁？

提示：$(25-3) \div 2=11$。答案：$11$ 岁

第13讲简单推理（一）¶

【知识要点】¶

排除法：根据已知条件排除不可能的情况，逐步缩小范围。
从最确定的条件入手，先推出必然正确的结论。
画表格辅助推理，把条件和结论对应起来。
每推出一个结论，用”排除法”减少剩余的未知。

【解题策略】¶

读完所有条件，找出最直接、最确定的那一条
从该条件出发推出第一个结论
利用新结论和剩余条件继续推理
每步检查是否有矛盾，确保推理正确

【典型例题】¶

例题1：三个小朋友分苹果、香蕉、橘子各一种。已知：小红没拿苹果，小明拿了橘子，小亮没拿香蕉。他们各拿了什么？

分析：由”小明拿了橘子”直接确定小明拿橘子。剩下苹果和香蕉给小红和小亮。小红没拿苹果，所以小红拿香蕉，小亮拿苹果。

解答：
- 小明 → 橘子（已知）
- 小红 → 香蕉（不拿苹果，只剩香蕉）
- 小亮 → 苹果（剩下的）

验算：小亮没拿香蕉 ✅（他拿苹果）

例题2：甲、乙、丙三人分别是医生、教师、警察。已知：甲不是医生，乙不是教师，丙既不是教师也不是医生。他们各是什么职业？

分析：丙既不是教师也不是医生，所以丙是警察。甲不是医生，教师还没确定是谁（乙不是教师），所以甲是教师。乙不是教师，也不是警察（丙是），所以乙是医生。

解答：
- 丙 → 警察（排除法）
- 甲 → 教师（不是医生，教师空缺）
- 乙 → 医生（剩下的）

【举一反三】¶

练习1：三个球红、黄、蓝分给 A、B、C。A 没拿红球，B 拿了蓝球，C 没拿黄球。各拿什么球？

提示：B→蓝，A 不拿红所以拿黄，C 拿红。答案：A黄，B蓝，C红

练习2：甲乙丙赛跑，甲不是第一，丙不是最后，乙比丙快。排名是？

提示：乙>丙，甲不是第一所以乙第一，丙不是最后所以丙第二，甲第三。答案：1乙 2丙 3甲

第14讲简单推理（二）¶

【知识要点】¶

假设法：先假设某个情况成立，再根据条件检验是否产生矛盾。
如果假设导致矛盾，说明假设错误，反之成立。
适用于”真假话”问题：假设某人说真话或假话。
关键是找到矛盾点，一旦矛盾就否定假设。

【解题策略】¶

选择一个不确定的情况进行假设
根据假设推导所有相关结论
检查结论之间或与已知条件之间有无矛盾
有矛盾则假设错误，换另一种假设

【典型例题】¶

例题1：三个盒子分别装苹果、橘子、苹果和橘子混合。标签全贴错了。只允许从一个盒子里取一个水果，怎样判断每个盒子装什么？

分析：从标”混合”的盒子里取（因为标签全错，这盒不是混合）。如果取出苹果，则这盒是苹果；标”橘子”的盒不能是橘子（标签全错），也不是苹果（已确定），所以是混合；标”苹果”的盒是橘子。

解答：从标”混合”的盒子取一个水果。

若取出苹果：标”混合”→苹果；标”橘子”→混合；标”苹果”→橘子
若取出橘子：标”混合”→橘子；标”苹果”→混合；标”橘子”→苹果

例题2：A、B、C 三人中有一人说谎。A说”B在说谎”，B说”C在说谎”，C说”A和B都在说谎”。谁在说谎？

分析：假设 A 说真话，则 B 在说谎，B 说”C在说谎”是假的，所以 C 说真话。但 C 说”A和B都在说谎”，与 A 说真话矛盾！所以 A 在说谎。

A 说谎 → B 没说谎 → B 说真话 → C 在说谎 → C 说”A和B都在说谎”是假的，即 A 和 B 不都在说谎，与 A 说谎、B 说真话一致 ✅

解答：A 和 C 在说谎，B 说真话。

【举一反三】¶

练习1：甲说”乙是男孩”，乙说”我是女孩”，两人中至少一人说真话。谁的性别是什么？

提示：两人说法矛盾，必一真一假。乙说”我是女孩”若真，则甲假。答案：乙是女孩，乙说真话，甲说谎

练习2：A、B、C 中恰有一人会开车。A说”我不会”，B说”A会”，谁会开车？

提示：A和B说法矛盾，必一真一假，C说的话若为真则A假。答案：A会开车（A说谎，B说真话）

第15讲一笔画问题 ¶

【知识要点】¶

一笔画：从某点出发，不重复地走完所有线段，回到起点或到达另一点。
奇点：与该点相连的线段数为奇数条。偶点：线段数为偶数条。
判定规则：
- 奇点个数为 $0$：可以从任意点出发，一笔画完回到原点。
- 奇点个数为 $2$：必须从一个奇点出发，到另一个奇点结束。
- 奇点个数超过 $2$：不能一笔画。
数奇点时，把每个顶点连出的线段条数数清楚。

【解题策略】¶

数出图中每个顶点连出的线段条数
统计奇点（条数为奇数的顶点）的个数
$0$ 个奇点 → 能一笔画，任意起止；$2$ 个奇点 → 能一笔画，奇点起止；$>2$ → 不能
画图验证路线

【典型例题】¶

例题1：”日”字形（两个正方形上下相连），能否一笔画？

分析：有 $6$ 个顶点。上下各 $2$ 个角点连 $2$ 条线（偶点），中间 $2$ 个交点各连 $3$ 条线（奇点）。奇点数 $=2$，可以一笔画。

解答：奇点数为 $2$，能一笔画。从一个奇点出发，走到另一个奇点结束。

例题2：”田”字形（一个正方形中间加十字），能否一笔画？

分析：有 $9$ 个交点。中心点连 $4$ 条线（偶点）；四条边中点各连 $3$ 条线（奇点），共 $4$ 个奇点。$4 > 2$，不能一笔画。

解答：奇点数为 $4$，不能一笔画。

【举一反三】¶

练习1：一个三角形能否一笔画？

提示：$3$ 个顶点各连 $2$ 条线（偶点），奇点数 $=0$。答案：能，从任意点出发回到原点

练习2：五角星（五条线交叉）能否一笔画？

提示：所有交点连出的线段数都是偶数。答案：能一笔画

第16讲数图形 ¶

【知识要点】¶

数线段：一条线上有 $n$ 个点，线段总数 $= \dfrac{n(n-1)}{2}$。例如 $4$ 个点有 $\dfrac{4 \times 3}{2}=6$ 条线段。
数三角形：底边被分成 $n$ 段，共尖顶相同的三角形 $= \dfrac{n(n+1)}{2}$ 个。
数长方形：长被分 $m$ 段、宽被分 $n$ 段的长方形网格中，长方形个数 $= \dfrac{m(m+1)}{2} \times \dfrac{n(n+1)}{2}$。
数图形要有序，从单个小图形数到大图形，不重不漏。

【解题策略】¶

先数最小的基本图形
再数由 $2$ 个基本图形组成的
逐步增加到最大图形
求和得到总数，或直接用公式

【典型例题】¶

例题1：一条线段上有 $5$ 个点（含两端），共有多少条线段？

分析：$5$ 个点，用公式 $\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{5 \times 4}{2}=10$。

解答：

$$\frac{5 \times 4}{2} = 10 \text{（条）}$$

答：共有 $10$ 条线段。

例题2：下图中（一个大三角形，底边有 $3$ 个等分点，共 $4$ 段），以顶点为尖，底边上不同段为底，共多少个三角形？

分析：底边被分成 $4$ 段（$n=4$），三角形数 $= \dfrac{4 \times 5}{2}=10$。

解答：

$$\frac{4 \times 5}{2} = 10 \text{（个）}$$

答：共有 $10$ 个三角形。

【举一反三】¶

练习1：一条直线上有 $6$ 个点，多少条线段？

提示：$\dfrac{6 \times 5}{2}=15$。答案：$15$ 条

练习2：一个 $2 \times 3$ 的长方形网格（长 $3$ 段宽 $2$ 段），有多少个长方形？

提示：$\dfrac{3 \times 4}{2} \times \dfrac{2 \times 3}{2}=6 \times 3=18$。答案：$18$ 个

第17讲巧填数阵图 ¶

【知识要点】¶

数阵图：把数填入图形的圆圈中，使每条线上的数之和相等。
辐射型：中心一个数，向外辐射若干条线。常先确定中心数。
闭合型：若干个数排在封闭图形的顶点上，每条边和相等。
关键技巧：找”重叠”位置——被多条线共用的数，先确定它。

【解题策略】¶

计算所有数之和与目标和的关系，确定重叠位置的数
先填重叠位置（中心或公共顶点）
再分配剩余数，使每条线之和相等
验算每条线的和是否相同

【典型例题】¶

例题1：把 $1, 2, 3, 4, 5$ 填入辐射型数阵（中心 $1$ 个圈，三条线上各 $2$ 个外圈），使每条线上三个数之和为 $9$。中心填什么？

分析：三条线每条和为 $9$，总和 $=9 \times 3=27$。而 $1+2+3+4+5=15$。中心数被算了 $3$ 次（多算 $2$ 次），所以 $27-15=12$ 是中心数的 $2$ 倍，中心数 $=12 \div 2=6$？

但数中没有 $6$，说明和不能是 $9$。调整：若每条线和为 $8$，总和 $8 \times 3=24$，$24-15=9$，中心 $=9 \div 2$ 不是整数。若每条线和为 $10$，$30-15=15$，中心 $=15 \div 2$ 不行。

换题设计：用 $2, 4, 6, 8, 10$，每线和为 $16$。$16 \times 3=48$，$48-30=18$，中心 $=18 \div 2=9$？不在数中。

用标准题：$1\sim7$ 填入三条线辐射图，每线三个数和为 $10$。总和 $10 \times 3=30$，$1\sim7$ 之和 $=28$，$30-28=2$，中心 $=2 \div 2=1$。

解答：中心填 $1$。三条线分别是：$1, 2, 7$（和 $10$）；$1, 3, 6$（和 $10$）；$1, 4, 5$（和 $10$）。

例题2：把 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 填入三角形三个顶点和三条边中点，使每条边上三个数之和相等。每边和是多少？

分析：三角形有 $3$ 条边。三个顶点各被 $2$ 条边共用，三个中点各被 $1$ 条边用。总和 $=1+2+3+4+5+6=21$。设每边和为 $S$，$3S=21+$ 顶点之和（因顶点被多算一次）。设顶点和为 $T$，$3S=21+T$。

顶点取最小 $1,2,3$，$T=6$，$S=9$。中点填 $4,5,6$：边 $1$-$4$-$2$（$7$）不对。

重算：边 $1$（顶点 A-Mid₁-顶点 B），和要等于 $S$。取顶点 $1,2,3$。边含顶点 $1$ 和 $2$，中点需 $S-3$。若 $S=9$，中点 $=6$。边含 $1$ 和 $3$，中点 $=9-4=5$。边含 $2$ 和 $3$，中点 $=9-5=4$。中点取 $4,5,6$ ✅

解答：顶点填 $1, 2, 3$；中点填 $4, 5, 6$。每边和 $=9$。如 $1+6+2=9$，$1+5+3=9$，$2+4+3=9$。

【举一反三】¶

练习1：把 $1\sim5$ 填入辐射图（三条线），每线和为 $9$，中心填几？

提示：$9 \times 3=27$，$27-15=12$，$12 \div 2=6$。但 $6$ 不在 $1\sim5$ 中，改为每线和 $8$：$24-15=9$，不行。用 $1\sim7$，和 $=10$，中心 $=1$。答案：中心填 $1$

练习2：把 $1\sim6$ 填三角形三顶点三中点，每边和为 $12$，顶点和是多少？

提示：$3 \times 12=36$，$36-21=15$。答案：顶点和 $=15$（如 $4,5,6$）

第18讲简单排列 ¶

【知识要点】¶

排列：从几个不同元素中，按一定顺序选取，不同的顺序算不同排法。
用列举法列出所有可能，做到不重不漏。
$3$ 个不同的元素全排列有 $3 \times 2 \times 1 = 6$ 种。
关键是”有序列举”：先固定第一位，再排后面的。

【解题策略】¶

确定排几个位置，每个位置有几个选择
用乘法原理：第1位的选择数 × 第2位的选择数 × …
数量少时用列举法，确保不漏
检查是否有重复排列

【典型例题】¶

例题1：用 $1, 2, 3$ 三个数字可以组成多少个不同的三位数？

分析：百位 $3$ 种选择，十位剩 $2$ 种，个位剩 $1$ 种。$3 \times 2 \times 1=6$。

解答：

$$3 \times 2 \times 1 = 6 \text{（个）}$$

列举：$123, 132, 213, 231, 312, 321$。

答：可以组成 $6$ 个三位数。

例题2：$3$ 个小朋友排队拍照，有多少种排法？

分析：第 $1$ 个位置 $3$ 种选择，第 $2$ 个位置 $2$ 种，第 $3$ 个位置 $1$ 种。

解答：

$$3 \times 2 \times 1 = 6 \text{（种）}$$

答：有 $6$ 种排法。

【举一反三】¶

练习1：用 $2, 4, 6, 8$ 组成不同的四位数，可以组成几个？

提示：$4 \times 3 \times 2 \times 1=24$。答案：$24$ 个

练习2：$4$ 个小朋友中选 $2$ 个排成一行（有顺序），有几种排法？

提示：$4 \times 3=12$。答案：$12$ 种

第19讲简单组合 ¶

【知识要点】¶

组合：从几个元素中选取，不考虑顺序。选 A 和 B 与选 B 和 A 是同一种。
用连线法或列举法计算组合数。
从 $n$ 个中选 $2$ 个的组合数 $= \dfrac{n(n-1)}{2}$。
与排列的区别：组合不讲究顺序，排列讲究顺序。

【解题策略】¶

判断是否考虑顺序（考虑→排列，不考虑→组合）
选 $2$ 个：用 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 或列举
连线法：每个元素与其他元素连线，总数除以 $2$
列举时按顺序写，避免重复

【典型例题】¶

例题1：$4$ 个小朋友两两握手，一共握多少次？

分析：$4$ 人中选 $2$ 人，不考虑顺序，用 $\dfrac{4 \times 3}{2}=6$。

解答：

$$\frac{4 \times 3}{2} = 6 \text{（次）}$$

答：一共握 $6$ 次手。

例题2：有 $5$ 本不同的书，选 $2$ 本借给同学，有几种选法？

分析：从 $5$ 本选 $2$ 本，不考虑顺序。$\dfrac{5 \times 4}{2}=10$。

解答：

$$\frac{5 \times 4}{2} = 10 \text{（种）}$$

答：有 $10$ 种选法。

【举一反三】¶

练习1：$6$ 个球队进行单循环赛，共赛多少场？

提示：$\dfrac{6 \times 5}{2}=15$。答案：$15$ 场

练习2：有 $4$ 种水果，选 $2$ 种做水果拼盘，有几种选法？

提示：$\dfrac{4 \times 3}{2}=6$。答案：$6$ 种

第20讲智力趣题 ¶

【知识要点】¶

智力趣题类型多样：称重、过河、排队、蜗牛爬井等。
解题关键是仔细审题、突破常规思维。
注意”隐藏条件”——题目中没有明说但要考虑的现实因素。
有些趣题答案不符合第一直觉，要多想一步。

【解题策略】¶

仔细读题，找出所有已知条件和隐含条件
画图或模拟过程帮助思考
检查”最后一步”是否有特殊情况
验证答案是否符合所有条件

【典型例题】¶

例题1：一只蜗牛爬 $5$ 米深的井，白天爬 $3$ 米，晚上滑下 $2$ 米。几天能爬出井？

分析：每天净爬 $3-2=1$ 米。但最后一天白天爬 $3$ 米就到顶了，不会滑下。前 $2$ 天爬 $2$ 米到 $2$ 米处，第 $3$ 天白天爬 $3$ 米到 $5$ 米，出井！

解答：

前 $2$ 天：每天净爬 $1$ 米 $\times 2 = 2$ 米。

第 $3$ 天白天：$2+3=5$ 米，爬出井。

答：$3$ 天爬出井。

例题2：用天平称 $1\sim9$ 克的整数重量，至少需要几个砝码？每个多少克？

分析：用 $1, 3, 9$ 三个砝码，利用放在两边可以表示差值。

$1$ 克：$1$
$2$ 克：$3-1$
$3$ 克：$3$
$4$ 克：$3+1$
$5$ 克：$9-3-1$
$6$ 克：$9-3$
$7$ 克：$9-3+1$
$8$ 克：$9-1$
$9$ 克：$9$

解答：需要 $3$ 个砝码：$1$ 克、$3$ 克、$9$ 克。

【举一反三】¶

练习1：蜗牛爬 $6$ 米井，白天爬 $4$ 米，晚上滑 $3$ 米，几天出井？

提示：前 $2$ 天到 $2$ 米，第 $3$ 天 $2+4=6$。答案：$3$ 天

练习2：一只锅一次能煎 $2$ 个饼，每面煎 $1$ 分钟，煎 $3$ 个饼最少要几分钟？

提示：先煎饼A饼B正面，再煎A反B反…用 $3$ 分钟。答案：$3$ 分钟

第21讲图形的拼剪 ¶

【知识要点】¶

分割：把一个图形分成若干部分，满足特定条件（如形状相同、面积相等）。
拼接：把几个图形拼成一个新图形。
常见技巧：沿对称轴剪、沿对角线剪、剪成”凹凸互补”的形状。
数格点或数小方格辅助判断面积关系。

【解题策略】¶

先看目标图形的形状和面积
确定需要分成几块、每块什么形状
利用对称性寻找切割线
画图验证拼/剪方案

【典型例题】¶

例题1：一个正方形剪两刀，最多能分成几块？

分析：两刀最多分成 $4$ 块（两刀都穿过，互相交叉）。

解答：两刀交叉切，最多分成 $4$ 块。

例题2：把一个 $4 \times 3$ 的长方形分成两个形状相同的图形，怎么分？

分析：$4 \times 3=12$ 格，分 $2$ 份每份 $6$ 格。

方法1：沿长边中线横切，分两个 $4 \times 1.5$……不行。
方法2：沿中间一条线竖切，分两个 $2 \times 3$，形状相同 ✅

解答：沿中间竖线切开，分成两个 $2 \times 3$ 的长方形。

【举一反三】¶

练习1：一个正方形剪一刀，能分成两个什么形状？

提示：沿对角线剪→两个三角形；沿中线剪→两个长方形。答案：两个三角形或两个长方形

练习2：用 $4$ 个相同的小正方形能拼成几种不同的图形？（旋转后相同算一种）

提示：一字形、L形、T形、田字形、Z形等。答案：$5$ 种

第22讲猜猜凑凑 ¶

【知识要点】¶

列举尝试法：对于未知数较少的问题，可以列出可能值逐一尝试。
逐步调整：先猜一个值，看结果偏大还是偏小，再调整。
适用于”鸡兔同笼”等经典问题的初步解法。
关键是有序列举，不漏不重。

【解题策略】¶

设一个未知量为某值
根据条件推算其他量
检查是否满足所有条件
不满足则调整（增大或减小），直到找到答案

【典型例题】¶

例题1：鸡兔同笼，共 $8$ 个头，$26$ 只脚。鸡和兔各几只？

分析：用列举法。设有 $x$ 只兔，则鸡 $8-x$ 只。脚数 $=4x+2(8-x)=16+2x$。

$x=1$：$16+2=18$，少
$x=5$：$16+10=26$ ✅

解答：兔 $5$ 只，鸡 $8-5=3$ 只。

验算：$5 \times 4+3 \times 2=20+6=26$ ✅，$5+3=8$ ✅

答：鸡 $3$ 只，兔 $5$ 只。

例题2：两个数的和是 $15$，差是 $3$。这两个数是多少？

分析：用列举法。大数 + 小数 $=15$，大数 - 小数 $=3$。猜大数为 $9$，小数 $6$：$9+6=15$ ✅，$9-6=3$ ✅

解答：大数为 $9$，小数为 $6$。

$$\text{大数}=(15+3) \div 2=9，\quad \text{小数}=(15-3) \div 2=6$$

【举一反三】¶

练习1：鸡兔同笼，$10$ 个头 $32$ 只脚，鸡兔各几只？

提示：设兔 $x$ 只，$4x+2(10-x)=32$，$2x=12$，$x=6$。答案：兔 $6$ 只，鸡 $4$ 只

练习2：两数和 $20$，差 $4$，两数各是多少？

提示：大 $=12$，小 $=8$。答案：$12$ 和 $8$

第23讲还原问题 ¶

【知识要点】¶

还原问题：知道最后的结果，要求原来的数。方法是倒推。
逆运算：加法的逆是减法，乘法的逆是除法。
从最后一步开始，每一步用逆运算还原。
画流程图帮助理清顺序：正推时写”→”，逆推时写”←”。

【解题策略】¶

从结果出发，按运算的反顺序逆推
原来加的，逆推时减；原来减的，逆推时加
原来乘的，逆推时除；原来除的，逆推时乘
每步算完后，可正向验算

【典型例题】¶

例题1：一个数加上 $5$，乘 $3$，减去 $6$，等于 $15$。这个数是多少？

分析：逆推。最后减 $6$ 得 $15$，所以减之前是 $15+6=21$。$21$ 是乘 $3$ 得到的，所以乘之前是 $21 \div 3=7$。$7$ 是加 $5$ 得到的，所以原数 $=7-5=2$。

解答：

$$15+6=21 \rightarrow 21 \div 3=7 \rightarrow 7-5=2$$

答：这个数是 $2$。

验算：$(2+5) \times 3-6=21-6=15$ ✅

例题2：小明的压岁钱，先花了一半买书，又花了 $10$ 元买文具，还剩 $15$ 元。原有压岁钱多少？

分析：逆推。剩 $15$ 元是在花了 $10$ 元后，所以花 $10$ 元前有 $15+10=25$ 元。$25$ 元是花了一半后的，所以原有一半 $=25$，原有 $=25 \times 2=50$。

解答：

$$15+10=25 \text{（花一半后）} \rightarrow 25 \times 2=50 \text{（原有）}$$

答：原有压岁钱 $50$ 元。

验算：$50 \div 2=25$，$25-10=15$ ✅

【举一反三】¶

练习1：一个数乘 $4$，减 $8$，除以 $2$，等于 $10$。原数是多少？

提示：$10 \times 2=20$，$20+8=28$，$28 \div 4=7$。答案：$7$

练习2：一筐苹果，先卖一半，又卖 $5$ 个，还剩 $8$ 个。原有几个？

提示：$(8+5) \times 2=26$。答案：$26$ 个

第24讲盈亏问题初步 ¶

【知识要点】¶

盈亏问题：两种分配方案产生的”盈”（多）或”亏”（少），通过比较求出人数或物品数。
核心公式：
- 人数 $= ($ 盈 $+$ 亏$) \div$ 分配差
- 人数 $= ($ 大盈 $-$ 小盈$) \div$ 分配差
- 人数 $= ($ 大亏 $-$ 小亏$) \div$ 分配差
分配差 $=$ 两种方案中每人分得数的差。
先比较两种方案的盈亏，再求人数，最后求物品数。