20260730 222653 小学奥数举一反三三年级

小学奥数举一反三三年级 ¶

适用对象： 小学三年级学生（8-9岁），已掌握基本加减乘除运算，希望拓展数学思维与解题能力。

内容概述： 本书围绕三年级奥数核心内容，精选25个专题，涵盖数列规律、巧算技巧、几何图形、经典应用题（和差倍、鸡兔同笼、植树、盈亏等）、逻辑推理与数阵图等。每讲通过知识要点、解题策略、典型例题和举一反三四步推进，帮助学生举一反三、融会贯通，提升数学思维能力。

学习目标：
1. 掌握25种奥数专题的基本概念与核心方法
2. 学会运用解题策略分析问题、拆解步骤
3. 培养举一反三的迁移能力与逻辑推理能力
4. 提升对数学规律和图形特征的整体把握

目录
1. 找规律
2. 加减法巧算
3. 乘法巧算
4. 除法巧算
5. 巧求周长
6. 巧求面积
7. 和差问题
8. 和倍问题
9. 差倍问题
10. 植树问题
11. 还原问题
12. 盈亏问题
13. 鸡兔同笼
14. 年龄问题
15. 周期问题
16. 简单的幻方
17. 重叠问题
18. 简单推理
19. 一笔画问题
20. 数图形
21. 数阵图
22. 归一问题
23. 归总问题
24. 错中求解
25. 页码问题

第1讲找规律 ¶

【知识要点】

数列规律：观察相邻数之间的关系。等差数列（每相邻两数的差相等）、等比数列（每相邻两数的比值相等）、递推数列（根据前几数推出后一数）。
图形规律：观察图形的数量、形状、位置、颜色等变化趋势。
观察技巧：先看相邻数的差或商是否恒定，再看隔项关系，最后看前几数之和是否等于后一项。

【解题策略】

计算相邻两数的差或商
若差或商不规律，尝试隔项观察（奇数项、偶数项分别看）
尝试递推关系（如”前两项之和等于第三项”）
用找出的规律验证已知数，再推出未知数

【典型例题】

例题1 找出数列 $1,\ 3,\ 6,\ 10,\ \underline{\quad},\ 21$ 的规律并填空。

分析： 计算相邻两数的差：$3-1=2$，$6-3=3$，$10-6=4$，差依次为 $2,3,4,5,\ldots$。所以下一个差应为 $5$，空格处 $=10+5=15$。验证：$15+6=21$，吻合。

解答： $\boxed{15}$

例题2 在 $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \underline{\quad},\ 64$ 中填空。

分析： 相邻两数的比值始终为 $2$：$2\times2=4$，$4\times2=8$，$8\times2=16$，$16\times2=32$，$32\times2=64$。这是一个等比数列。

解答： $\boxed{32}$

【举一反三】

$1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 11,\ \underline{\quad},\ 22$
提示： 差依次为 $1,2,3,4,5$。答案：$16$
$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ \underline{\quad},\ 21$
提示： 前两项之和等于第三项（斐波那契数列）。答案：$13$

第2讲加减法巧算 ¶

【知识要点】

凑整法：把靠近整十、整百的数凑成整数，如 $98=100-2$，$103=100+3$。
加法交换律：$a+b=b+a$；加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$。
分组法：把能凑整的数配在一起，减少计算量。
减法运算中，减去一个数可以转化为加上它的相反数，即 $a-b-c=a-(b+c)$。

【解题策略】

先观察哪些数能凑成整十或整百
运用交换律、结合律调整计算顺序
“借多还少”：把 $98$ 看成 $100-2$，把 $103$ 看成 $100+3$
重新分组后计算，最后汇总

【典型例题】

例题1 计算 $98+103+97+102$。

分析： 将每个数凑成 $100$：$98=100-2$，$103=100+3$，$97=100-3$，$102=100+2$。

解答： $\;98+103+97+102=(100-2)+(100+3)+(100-3)+(100+2)=400+(-2+3-3+2)=\boxed{400}$

例题2 计算 $1000-281-719$。

分析： 连续减去两个数等于减去它们的和：$281+719=1000$。

解答： $\;1000-281-719=1000-(281+719)=1000-1000=\boxed{0}$

【举一反三】

计算 $87+93+95+92+88$
提示： 以 $90$ 为基准，偏差为 $-3,+3,+5,+2,-2$。答案：$455$
计算 $257-98$
提示： 把 $98$ 看成 $100-2$。答案：$159$

第3讲乘法巧算 ¶

【知识要点】

乘法交换律：$a\times b=b\times a$；乘法结合律：$(a\times b)\times c=a\times(b\times c)$。
特殊数配对：$25\times4=100$，$125\times8=1000$，$50\times2=100$。
拆分法：把一个因数拆成两个数的积或和，使计算更简便。
乘法分配律：$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$，$a\times(b-c)=a\times b-a\times c$。

【解题策略】

寻找 $25$ 与 $4$、$125$ 与 $8$ 等特殊配对
用结合律调整运算顺序，先凑整
适当拆分因数，如 $32=8\times4$，$36=9\times4$
将乘法分配律用于接近整十、整百数的乘法

【典型例题】

例题1 计算 $25\times7\times4$。

分析： $25$ 与 $4$ 配对得 $100$，利用交换律和结合律调整顺序。

解答： $\;25\times7\times4=25\times4\times7=100\times7=\boxed{700}$

例题2 计算 $999\times9$。

分析： 把 $999$ 看成 $1000-1$，利用分配律。

解答： $\;999\times9=(1000-1)\times9=9000-9=\boxed{8991}$

【举一反三】

计算 $125\times32$
提示： $32=8\times4$。答案：$4000$
计算 $36\times25$
提示： $36=9\times4$。答案：$900$

第4讲除法巧算 ¶

【知识要点】

除法性质：$a\div b\div c=a\div(b\times c)$，连续除以两个数等于除以它们的积。
商不变规律：被除数和除数同时乘以或除以同一个数（$0$ 除外），商不变。
分配律在除法中的应用：$(a+b)\div c=a\div c+b\div c$（要求 $a$、$b$ 都能被 $c$ 整除）。
利用乘除互逆关系简化计算。

【解题策略】

连续除法可合并：$a\div b\div c=a\div(b\times c)$
利用商不变规律：将被除数和除数同时扩大或缩小，使除数变整
将除数凑成整十、整百后计算
被除数可拆分成两个数分别除以除数再相加

【典型例题】

例题1 计算 $3600\div25\div4$。

分析： $25\times4=100$，利用连除等于除以积的性质。

解答： $\;3600\div25\div4=3600\div(25\times4)=3600\div100=\boxed{36}$

例题2 计算 $7000\div125$。

分析： 利用商不变规律，被除数和除数同时乘 $8$：$125\times8=1000$。

解答： $\;7000\div125=(7000\times8)\div(125\times8)=56000\div1000=\boxed{56}$

【举一反三】

计算 $4800\div50\div2$
提示： $50\times2=100$。答案：$48$
计算 $900\div25$
提示： 同时乘 $4$。答案：$36$

第5讲巧求周长 ¶

【知识要点】

周长定义：封闭图形一周的总长度。
长方形周长 $=($长 $+$ 宽$)\times2$，正方形周长 $=$ 边长 $\times4$。
平移法：把不规则图形凹凸部分的边向外平移，转化为标准长方形。平移不改变周长。
关键思想：凹字形、阶梯形等图形，通过平移补齐后周长不变，但要注意有无多出的内部线段。

【解题策略】

观察图形的凹凸结构
将水平方向的短边平移到顶部或底部，拼成一条长边
将竖直方向的短边平移到左侧或右侧，拼成一条宽边
检查是否有多余内部线段，有则加上
用长方形周长公式计算

【典型例题】

例题1 一个长方形长 $10$ 厘米、宽 $6$ 厘米，从上方正中间挖去一个长 $4$ 厘米、宽 $2$ 厘米的凹槽（开口朝上），求剩余图形的周长。

分析： 用平移法将凹槽两侧的竖边向上平移，补成完整长方形。此时周长 $=$ 原长方形周长 $+$ 凹槽两侧多出的竖边 $\times2$。原周长 $=(10+6)\times2=32$ 厘米，凹槽深 $2$ 厘米两侧各多 $2$ 厘米。

解答： $\;32+2\times2=\boxed{36\text{（厘米）}}$

例题2 一个台阶形图形共有 $3$ 级台阶，水平方向总长 $12$ 厘米，竖直方向总高 $9$ 厘米，每级台阶水平 $4$ 厘米、竖直 $3$ 厘米，求此图形的周长。

分析： 将所有水平短边向上平移到顶部，拼成一条长 $12$ 厘米的边；将所有竖直短边向左平移，拼成一条长 $9$ 厘米的边。平移后图形等效于长 $12$ 厘米、宽 $9$ 厘米的长方形。

解答： $\;(12+9)\times2=\boxed{42\text{（厘米）}}$

【举一反三】

一个”凸”字形，下面大长方形长 $8$ 厘米、宽 $5$ 厘米，上面小长方形长 $4$ 厘米、宽 $3$ 厘米（居中叠放），求周长。
提示： 平移后等效长方形 $8\times(5+3)$。答案：$32$ 厘米
一个长方形长 $10$ 厘米、宽 $6$ 厘米，从四个角各剪去一个边长 $2$ 厘米的正方形，求剩余图形的周长。
提示： 用平移法，剪去四个角后周长不变。答案：$(10+6)\times2=32$ 厘米

第6讲巧求面积 ¶

【知识要点】

长方形面积 $=$ 长 $\times$ 宽，正方形面积 $=$ 边长 $\times$ 边长。
割补法：把不规则图形分割成规则图形分别求面积再相加，或将多余部分补上变为规则图形。
面积转换：把图形的一部分割下，旋转或平移后补到另一处，使形状变规则而面积不变。
等积变形思想：形状改变了，但面积保持不变。

【解题策略】

观察图形能分割成哪些规则图形
尝试割补、平移使图形变标准
分别计算各部分面积，再求和或求差
扣除法：总面积 $-$ 空白面积 $=$ 所求面积

【典型例题】

例题1 一个长方形长 $10$ 厘米、宽 $6$ 厘米，从中剪去一个最大的正方形，求剩余部分的面积。

分析： 最大正方形边长 $=$ 宽 $=6$ 厘米，面积 $=6\times6=36$ 平方厘米。剩余面积 $=10\times6-36$。

解答： $\;60-36=\boxed{24\text{（平方厘米）}}$

例题2 一个”L”形图形由竖直部分（长 $8$ 厘米、宽 $3$ 厘米）和水平部分（长 $7$ 厘米、宽 $3$ 厘米）组成，两部分重叠区域为 $3\times3$ 的正方形，求 L 形面积。

分析： 面积 $=$ 竖直部分面积 $+$ 水平部分面积 $-$ 重叠部分面积（重叠被算了两次）。

解答： $\;8\times3+7\times3-3\times3=24+21-9=\boxed{36\text{（平方厘米）}}$

【举一反三】

正方形边长 $8$ 厘米，剪去四个角各 $2\times2$ 的小正方形，剩余面积是多少？
提示： $64-4\times4$。答案：$48$ 平方厘米
两个边长 $6$ 厘米的正方形重叠 $2\times2$ 的区域，覆盖的总面积是多少？
提示： $36+36-4$。答案：$68$ 平方厘米

第7讲和差问题 ¶

【知识要点】

已知两数的和与差，求两数。大数 $=\dfrac{\text{和}+\text{差}}{2}$，小数 $=\dfrac{\text{和}-\text{差}}{2}$。
画线段图：把多的部分补到少的上面，总和加差 $=$ 大数的 $2$ 倍。
关键：准确找出”和”与”差”分别代表什么。
验证：大数 $+$ 小数 $=$ 和，大数 $-$ 小数 $=$ 差。

【解题策略】

明确哪个数大、哪个数小
确定”和”与”差”的数值
套公式：大数 $=($ 和 $+$ 差$)\div2$
小数 $=$ 和 $-$ 大数，再用差验证

【典型例题】

例题1 甲乙两数之和为 $120$，甲比乙大 $30$，求甲、乙各是多少。

分析： 和 $=120$，差 $=30$。

解答： $\;$甲 $=(120+30)\div2=75$，乙 $=(120-30)\div2=45$。$\boxed{\text{甲}=75,\ \text{乙}=45}$

例题2 两筐苹果共重 $56$ 千克，从第一筐取出 $3$ 千克放入第二筐后两筐一样重，求原来各重多少。

分析： 移动后相等说明原来第一筐比第二筐多 $2\times3=6$ 千克（移动的量翻倍才是原差）。和 $=56$，差 $=6$。

解答： $\;$第一筐 $=(56+6)\div2=31$ 千克，第二筐 $=(56-6)\div2=25$ 千克。$\boxed{31\text{千克}、25\text{千克}}$

【举一反三】

两数之和 $84$，差 $20$，求两数。答案：$52$ 和 $32$
哥哥和弟弟共有邮票 $78$ 张，哥哥给弟弟 $9$ 张后两人相等，原来各多少？答案：哥哥 $48$ 张，弟弟 $30$ 张

第8讲和倍问题 ¶

【知识要点】

已知两数之和与倍数关系，求两数。小数 $=\dfrac{\text{和}}{\text{倍数}+1}$，大数 $=$ 小数 $\times$ 倍数。
画线段图：把小数看作 $1$ 份，大数看作若干份，和 $\div$ 总份数 $=1$ 份的值。
关键：统一以小数为 “$1$ 倍” 单位。
若倍数带余数（如 “$2$ 倍多 $30$”），先调整数量再算份数。

【解题策略】

确定谁是 $1$ 倍（小数），谁是多倍（大数）
总份数 $=$ 倍数 $+1$
小数 $=$ 和 $\div$ 总份数
大数 $=$ 和 $-$ 小数（验证）

【典型例题】

例题1 图书馆有故事书和科技书共 $480$ 本，故事书是科技书的 $3$ 倍，各有多少本？

分析： 科技书为 $1$ 份，故事书为 $3$ 份，共 $4$ 份。

解答： $\;$科技书 $=480\div4=120$ 本，故事书 $=120\times3=360$ 本。$\boxed{\text{故事书}360\text{本，科技书}120\text{本}}$

例题2 甲仓存粮是乙仓的 $2$ 倍多 $30$ 吨，两仓共存粮 $450$ 吨，求各仓存粮。

分析： 若甲仓少 $30$ 吨则恰为乙仓的 $2$ 倍，此时总量 $=450-30=420$ 吨，总份数 $=1+2=3$ 份。

解答： $\;$乙仓 $=420\div3=140$ 吨，甲仓 $=140\times2+30=310$ 吨。验证：$140+310=450$ ✓ $\boxed{\text{甲仓}310\text{吨，乙仓}140\text{吨}}$

【举一反三】

两数之和 $200$，大数是小数的 $4$ 倍，各是多少？答案：$40$ 和 $160$
师傅做零件数是徒弟的 $3$ 倍多 $5$ 个，共做 $125$ 个，各做多少？答案：徒弟 $30$ 个，师傅 $95$ 个

第9讲差倍问题 ¶

【知识要点】

已知两数之差与倍数关系，求两数。小数 $=\dfrac{\text{差}}{\text{倍数}-1}$，大数 $=$ 小数 $\times$ 倍数。
画线段图：大数比小数多出的部分恰好对应 $($倍数 $-1)$ 份。
关键：倍数和差必须对应同一个对象。
若倍数带余数，先调整差再对应份数。

【解题策略】

确定谁是 $1$ 倍（小数），谁是多倍（大数）
差对应的份数 $=$ 倍数 $-1$
小数 $=$ 差 $\div($ 倍数 $-1)$
验证：大数 $-$ 小数 $=$ 差

【典型例题】

例题1 甲比乙大 $120$，甲是乙的 $4$ 倍，求甲、乙各是多少。

分析： 乙为 $1$ 份，甲为 $4$ 份，甲比乙多 $3$ 份 $=120$。

解答： $\;$乙 $=120\div3=40$，甲 $=40\times4=160$。$\boxed{\text{甲}=160,\ \text{乙}=40}$

例题2 某粮店大米比面粉多 $240$ 袋，大米的袋数是面粉的 $5$ 倍多 $16$ 袋，各有多少袋？

分析： 若大米减少 $16$ 袋则恰等于面粉的 $5$ 倍，此时差变为 $240-16=224$ 袋，份差 $=5-1=4$ 份。

解答： $\;$面粉 $=224\div4=56$ 袋，大米 $=56\times5+16=296$ 袋。验证：$296-56=240$ ✓ $\boxed{\text{大米}296\text{袋，面粉}56\text{袋}}$

【举一反三】

甲是乙的 $3$ 倍，甲比乙大 $60$，各是多少？答案：甲 $90$，乙 $30$
姐姐的书是弟弟的 $4$ 倍多 $5$ 本，比弟弟多 $50$ 本，各多少本？（提示：若姐姐少 $5$ 本则为 $4$ 倍，差变为 $45$）答案：弟弟 $15$ 本，姐姐 $65$ 本

第10讲植树问题 ¶

【知识要点】

线形两端栽树：棵数 $=$ 段数 $+1=\dfrac{\text{总长}}{\text{间距}}+1$。
线形一端栽树：棵数 $=$ 段数 $=\dfrac{\text{总长}}{\text{间距}}$。
线形两端不栽：棵数 $=$ 段数 $-1=\dfrac{\text{总长}}{\text{间距}}-1$。
环形植树：棵数 $=$ 段数 $=\dfrac{\text{周长}}{\text{间距}}$。
楼层楼梯问题类似”两端栽”：楼梯数 $=$ 楼层数 $-1$。

【解题策略】

判断类型：两端栽 $/$ 一端栽 $/$ 两端不栽 $/$ 环形
求段数：总长 $\div$ 间距
根据类型调整（两端栽 $+1$，两端不栽 $-1$，环形和一端不变）
验证

【典型例题】

例题1 一条路长 $120$ 米，每隔 $5$ 米种一棵树，两端各种一棵，共需多少棵？

分析： 两端栽，段数 $=120\div5=24$，棵数 $=24+1$。

解答： $\;\boxed{25\text{棵}}$

例题2 在周长 $60$ 米的圆形花坛边每隔 $3$ 米种一棵树，共需多少棵？

分析： 环形植树，棵数 $=$ 段数。

解答： $\;60\div3=\boxed{20\text{棵}}$

【举一反三】

一条走廊长 $36$ 米，两端不放，每隔 $4$ 米放一盆花，需几盆？答案：$36\div4-1=8$ 盆
一条路每隔 $8$ 米种一棵树共 $41$ 棵（两端栽），路长多少米？答案：$(41-1)\times8=320$ 米

第11讲还原问题 ¶

【知识要点】

已知经过若干运算后的最终结果，求最初的原数。
倒推法：从最后结果出发，逆运算回到原数。
逆运算规则：加变减、减变加、乘变除、除变乘。
画运算流程图可以帮助理清顺序。

【解题策略】

写出运算顺序（正向运算步骤）
从最后结果开始倒推
每步用逆运算：$+\to -$，$-\to +$，$\times\to\div$，$\div\to\times$
逐步还原到最初值，最后正向验证

【典型例题】

例题1 一个数乘 $3$ 再加上 $12$ 等于 $45$，求这个数。

分析： 倒推：先减 $12$ 得 $33$，再除以 $3$ 得 $11$。正向验证：$11\times3+12=45$ ✓

解答： $\;(45-12)\div3=\boxed{11}$

例题2 小明有一些糖果，先吃了一半多 $1$ 颗，又吃了剩下的一半，最后还剩 $5$ 颗。原来有多少颗？

分析： 倒推。最后剩 $5$ 颗 $\to$ 第二次吃之前有 $5\times2=10$ 颗 $\to$ 第一次吃完剩 $10$ 颗。设原有 $x$ 颗，吃了 $\frac{x}{2}+1$ 颗，剩 $x-(\frac{x}{2}+1)=\frac{x}{2}-1=10$，所以 $\frac{x}{2}=11$，$x=22$。验证：$22-(11+1)=10$，$10\div2=5$ ✓

解答： $\;$倒推：$(5\times2+1)\times2=(10+1)\times2=\boxed{22\text{颗}}$

【举一反三】

一个数减去 $8$ 再乘 $4$ 等于 $40$，求这个数。（提示：$40\div4+8$）答案：$18$
一根绳子先剪去一半，再剪去 $4$ 米，剩 $8$ 米，原长多少米？（提示：$(8+4)\times2$）答案：$24$ 米

第12讲盈亏问题 ¶

【知识要点】

已知两种分配方案，一种有剩余（盈），一种不足（亏），求人数和物数。
核心公式：人数 $=\dfrac{\text{盈}+\text{亏}}{\text{分配差}}$，物数 $=$ 人数 $\times$ 每份 $+$ 盈。
分配差 $=$ 两种方案每人分到数量之差。
两次都盈或都亏时：人数 $=\dfrac{|\text{盈}_1-\text{盈}_2|}{\text{分配差}}$。

【解题策略】

找出两种分配方案及对应的盈或亏
计算分配差 $=$ 两种方案每份数之差
人数 $=($ 盈 $+$ 亏$)\div$ 分配差（一盈一亏时）
物数 $=$ 人数 $\times$ 某方案每份 $+$ 该方案盈（或 $-$ 亏）

【典型例题】

例题1 给小朋友分苹果，每人 $3$ 个多 $5$ 个，每人 $4$ 个少 $7$ 个。有多少个小朋友？多少个苹果？

分析： 分配差 $=4-3=1$ 个。一盈一亏，人数 $=(5+7)\div1=12$ 人。

解答： $\;$人数 $=12$，苹果 $=12\times3+5=\boxed{41\text{个}}$。验证：$12\times4-7=41$ ✓

例题2 给学生分练习本，每人 $5$ 本多 $10$ 本，每人 $7$ 本多 $2$ 本。多少学生？多少本？

分析： 两次都盈。分配差 $=7-5=2$ 本，人数 $=(10-2)\div2=4$ 人。

解答： $\;$人数 $=4$，本数 $=4\times5+10=\boxed{30\text{本}}$。验证：$4\times7+2=30$ ✓

【举一反三】

每人 $6$ 本少 $4$ 本，每人 $5$ 本多 $3$ 本，多少人？多少本？答案：$7$ 人，$38$ 本
每人 $8$ 颗多 $6$ 颗，每人 $10$ 颗少 $4$ 颗，多少人？多少颗？答案：$5$ 人，$46$ 颗

第13讲鸡兔同笼 ¶

【知识要点】

已知鸡兔总数和总腿数，求鸡兔各几只。
假设法：假设全是鸡（或兔），比较假设腿数与实际腿数的差。
每只兔比鸡多 $2$ 条腿，每只鸡比兔少 $2$ 条腿。
公式：兔数 $=\dfrac{\text{总腿数}-\text{鸡腿数}\times\text{总头数}}{\text{兔腿}-\text{鸡腿}}$

【解题策略】

假设全是鸡，算出假设总腿数
求差：实际腿数 $-$ 假设腿数 $=$ 多出的腿数
兔数 $=$ 多出腿数 $\div2$（每只兔多 $2$ 腿）
鸡数 $=$ 总头数 $-$ 兔数，验证

【典型例题】

例题1 鸡兔共 $20$ 只，共 $56$ 条腿，鸡兔各几只？

分析： 假设全是鸡：$20\times2=40$ 条腿，实际多 $56-40=16$ 条。每只兔多 $2$ 腿，兔 $=16\div2=8$ 只。

解答： $\;$兔 $=8$ 只，鸡 $=20-8=12$ 只。验证：$12\times2+8\times4=56$ ✓ $\boxed{\text{鸡}12\text{只，兔}8\text{只}}$

例题2 停车场有汽车和摩托车共 $15$ 辆，共 $54$ 个轮子（汽车 $4$ 轮，摩托车 $2$ 轮），各几辆？

分析： 假设全是摩托车：$15\times2=30$ 个轮子，多 $54-30=24$ 个，每辆汽车多 $2$ 轮。

解答： $\;$汽车 $=24\div2=12$ 辆，摩托车 $=15-12=3$ 辆。验证：$12\times4+3\times2=54$ ✓ $\boxed{\text{汽车}12\text{辆，摩托车}3\text{辆}}$

【举一反三】

鸡兔共 $35$ 只共 $94$ 条腿，各几只？答案：鸡 $23$ 只，兔 $12$ 只
$10$ 元和 $5$ 元邮票共 $20$ 张共 $170$ 元，各几张？答案：$10$ 元 $14$ 张，$5$ 元 $6$ 张

第14讲年龄问题 ¶

【知识要点】

核心规律：两个人的年龄差永远不变。
若干年前或若干年后，两人年龄同时减少或增加相同的年数。
画线段图直观表示现在和过去/将来的年龄关系。
结合和差倍方法解题。

【解题策略】

找出不变的年龄差
用线段图表示现在与过去/将来的年龄
转化为和差倍问题（以年龄差为基准量）
列方程或算式求解并验证

【典型例题】

例题1 爸爸今年 $42$ 岁，儿子今年 $12$ 岁。几年前爸爸的年龄是儿子的 $4$ 倍？

分析： 年龄差 $=42-12=30$ 岁，始终不变。设 $x$ 年前，儿子 $(12-x)$ 岁，爸爸 $(42-x)$ 岁，$(42-x)=4(12-x)$，即 $42-x=48-4x$，$3x=6$，$x=2$。

解答： $\;$验证：$2$ 年前爸爸 $40$ 岁，儿子 $10$ 岁，$40\div10=4$ ✓ $\boxed{2\text{年前}}$

例题2 姐姐今年 $15$ 岁，妹妹今年 $9$ 岁。当两人年龄和是 $40$ 岁时，各多少岁？

分析： 年龄差 $=15-9=6$ 岁，不变。和为 $40$ 时转化为和差问题：姐姐 $=(40+6)\div2$，妹妹 $=(40-6)\div2$。

解答： $\;$姐姐 $=23$ 岁，妹妹 $=17$ 岁。验证：$23+17=40$ ✓ $\boxed{\text{姐姐}23\text{岁，妹妹}17\text{岁}}$

【举一反三】

爸爸 $35$ 岁，小红 $7$ 岁，几年后爸爸是小红的 $3$ 倍？（提示：年龄差 $28$，倍差 $3-1=2$）答案：$7$ 年后
哥哥 $18$ 岁弟弟 $10$ 岁，年龄和 $60$ 时各几岁？答案：哥哥 $34$，弟弟 $26$

第15讲周期问题 ¶

【知识要点】

事物按固定规律重复出现，重复的一段叫一个周期。
确定周期长度是解题关键。
用除法定位：总数 $\div$ 周期 $=$ 商 $\cdots\cdots$ 余数。
余数为 $0$ 表示周期最后一个位置；余数为 $n$ 表示第 $n$ 个位置。

【解题策略】

找出重复规律，确定周期长度
用总数 $\div$ 周期，看余数
余数决定具体位置、颜色或种类
无余数则取周期中最后一个元素

【典型例题】

例题1 有一列彩灯按”红、黄、蓝、绿”循环排列，第 $65$ 盏灯是什么颜色？

分析： 周期长度 $=4$，$65\div4=16\cdots\cdots1$，余数为 $1$，对应周期第一个元素：红色。

解答： $\;\boxed{红色}$

例题2 $3^{2024}$ 的个位数字是多少？

分析： $3$ 的幂个位循环为 $3,9,7,1,3,9,7,1,\ldots$ 周期为 $4$。$2024\div4=506$ 余 $0$，取周期最后一个：$1$。

解答： $\;\boxed{1}$

【举一反三】

“A、B、C、D、E”循环排列，第 $100$ 个字母是什么？答案：$100\div5=20$ 余 $0$ $\to$ E
$7^{2025}$ 的个位数字？（提示：$7$ 的尾数周期为 $7,9,3,1$）答案：$2025\div4=506$ 余 $1$ $\to$ 个位为 $7$

第16讲简单的幻方 ¶

【知识要点】

三阶幻方：将 $1\sim9$ 填入 $3\times3$ 方格，使每行、每列、每条对角线之和相等。
幻和 $=$ 各数之和 $\div3=(1+2+\cdots+9)\div3=45\div3=15$。
中心数 $=$ 幻和 $\div3=5$。
四角填偶数（$2,4,6,8$），四边中点填奇数（$1,3,7,9$），对角的两个数之和 $=10$。

【解题策略】

求幻和：所有数之和 $\div$ 行数
中心数 $=$ 幻和 $\div3$
对角线上两端数之和 $=$ 幻和 $-$ 中心数
逐行、逐列验证和 $=$ 幻和

【典型例题】

例题1 用 $1\sim9$ 编排一个三阶幻方。

分析： 幻和 $=15$，中心数 $=5$，对角两端数之和 $=10$。

解答： 一种排法如下，每行、列、对角线和均为 $15$：

$$\begin{matrix}2 & 7 & 6 \ 9 & 5 & 1 \ 4 & 3 & 8\end{matrix}$$

例题2 已知幻方中心数为 $7$，求幻和。

分析： 中心数 $=$ 幻和 $\div3$，故幻和 $=7\times3=21$。

解答： $\;\boxed{21}$

【举一反三】

幻方中某行两个数为 $4$ 和 $9$，幻和 $15$，第三个数是多少？答案：$2$
用 $3\sim11$ 编三阶幻方，幻和是多少？答案：$(3+4+\cdots+11)\div3=63\div3=21$

第17讲重叠问题 ¶

【知识要点】

容斥原理：两个集合的并集 $=$ 各集合元素之和 $-$ 交集元素个数。
公式：$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$
“至少属于一个集合”的人数 $=$ 各集合人数之和 $-$ 被重复计算的人数。
画韦恩图（圆圈图）帮助直观理解各区域。

【解题策略】

明确各集合及其交集的含义和人数
套公式：并集 $=A+B-AB$（$AB$ 为交集）
求交集：交集 $=A+B-$ 并集
求都不属于：总人数 $-$ 至少一个 $=$ 都不参加

【典型例题】

例题1 三(1)班 $40$ 人，参加数学兴趣组 $25$ 人，参加英语兴趣组 $20$ 人，两组都参加 $15$ 人。都不参加多少人？

分析： 至少参加一组 $=25+20-15=30$ 人，都不参加 $=40-30=10$ 人。

解答： $\;40-(25+20-15)=\boxed{10\text{人}}$

例题2 $100$ 人中喜欢苹果 $60$ 人，喜欢香蕉 $45$ 人，两种都喜欢 $20$ 人。至少喜欢一种水果的有多少人？

分析： 直接套用容斥公式。

解答： $\;60+45-20=\boxed{85\text{人}}$

【举一反三】

$50$ 人考试，数学及格 $40$ 人，语文及格 $38$ 人，都不及格 $4$ 人，两科都及格多少人？答案：$32$ 人
$45$ 人选唱歌 $30$ 人，跳舞 $25$ 人，都不会 $5$ 人，既唱歌又跳舞多少人？答案：$15$ 人

第18讲简单推理 ¶

【知识要点】

逻辑推理：根据已知条件逐步推出结论。
列表法：用表格记录每个人与每件事的对应关系。
排除法：根据条件逐一排除不可能的情况。
假设法：假设某条件成立，若推出矛盾则排除，无矛盾则为答案。

【解题策略】

整理所有已知条件
从”最确定”的条件入手（如”某人既不做甲也不做乙”）
用排除法逐步缩小范围，每确定一项就更新其余
最终验证所有条件均满足

【典型例题】

例题1 甲乙丙三人分别参加跑步、跳高、游泳。已知：①甲不跑步；②乙不游泳；③丙既不跑步也不跳高。各参加什么？

分析： 由③丙既不跑步也不跳高 $\to$ 丙游泳。由②乙不游泳（已被丙占）$\to$ 乙跳高或跑步。由①甲不跑步 $\to$ 甲跳高或游泳，游泳已被丙占 $\to$ 甲跳高 $\to$ 乙跑步。

解答： $\;\boxed{\text{甲跳高，乙跑步，丙游泳}}$。验证全部条件 ✓

例题2 红黄蓝三个盒子分别装不同礼物。①红盒不装巧克力；②蓝盒装饼干；③黄盒不装糖果。各装什么？

分析： 由②蓝盒装饼干 $\to$ 红黄盒分巧克力、糖果。由①红盒不装巧克力 $\to$ 红盒装糖果 $\to$ 黄盒装巧克力。验证③黄盒不装糖果 ✓

解答： $\;\boxed{\text{黄盒巧克力，蓝盒饼干，红盒糖果}}$

【举一反三】

A、B、C 三人分别是老师、医生、工人。A 不是老师，B 不是医生，C 既不是老师也不是工人。各是什么？答案：C 医生，B 老师，A 工人
三个杯子装水、果汁、牛奶。甲杯不是水，乙杯是果汁，丙杯不是牛奶，各装什么？答案：甲牛奶，乙果汁，丙水

第19讲一笔画问题 ¶

【知识要点】

一笔画：笔不离开纸面且不重复同一条线段地画出整个图形。
奇点：连接该点的线数为奇数的点；偶点：线数为偶数的点。
能一笔画条件：①是连通图 ②奇点个数为 $0$ 或 $2$。
奇点 $0$ 个：从任意点出发可回到原点（闭合）；奇点 $2$ 个：从一奇点出发到另一奇点结束。

【解题策略】

数清每个点连接的线段数
标出奇点（奇数条线）和偶点（偶数条线）
统计奇点数量：$0$ 或 $2$ 可一笔画，否则不能
选择起点：奇点 $0$ 个随意选；$2$ 个选奇点出发

【典型例题】

例题1 判断”田”字形（正方形加十字交叉线）能否一笔画出。

分析： 田字的关键点：$4$ 个角各连 $2$ 条线（偶点），$4$ 条边中点各连 $3$ 条线（奇点），中心交点连 $4$ 条线（偶点）。奇点共 $4$ 个 $>2$，不能一笔画。

解答： $\;\boxed{\text{不能一笔画}}$

例题2 判断”日”字形（两个相邻正方形组成长方形，中间一条竖线）能否一笔画？

分析： “日”字形的 $6$ 个顶点：$4$ 个角各连 $2$ 条线（偶点），中间 $2$ 个交点各连 $3$ 条线（奇点）。奇点共 $2$ 个，可以一笔画。

解答： $\;\boxed{\text{可以一笔画，从一个奇点出发到另一个奇点结束}}$

【举一反三】

判断”十”字形能否一笔画？答案：$4$ 个奇点，不能
判断”口”字形（正方形）能否一笔画？答案：$4$ 个偶点，$0$ 个奇点，可以，从任意点出发回到原点

第20讲数图形 ¶

【知识要点】

数线段：直线上 $n$ 个点可构成 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 条线段。
数三角形：按顶点分类计数，大三角形中包含的小三角形也要算。
数长方形：在一个 $m\times n$ 的网格中，长方形总数 $=$ 水平方向选 $2$ 条线的方法 $\times$ 竖直方向选 $2$ 条线的方法。
有序计数：按大小或位置分类，从少到多逐步相加，避免遗漏和重复。

【解题策略】

确定图形类型（线段、三角形、长方形）
从小到大有序计数，分类列表
线段公式：$\dfrac{n(n-1)}{2}$
长方形组合：水平线取 $2$ 条 $\times$ 竖直线取 $2$ 条

【典型例题】

例题1 一条直线上有 $6$ 个点，共可组成多少条线段？

分析： 每条线段由 $2$ 个端点确定，$6$ 个点任取 $2$ 个：$\dfrac{6\times5}{2}=15$。

解答： $\;\boxed{15\text{条}}$

例题2 一个 $2\times3$ 的长方形网格（$2$ 行 $3$ 列），共有多少个长方形？

分析： 水平方向有 $3$ 条线（$2+1$），取 $2$ 条有 $\dfrac{3\times2}{2}=3$ 种；竖直方向有 $4$ 条线（$3+1$），取 $2$ 条有 $\dfrac{4\times3}{2}=6$ 种。

解答： $\;3\times6=\boxed{18\text{个}}$

【举一反三】

直线上有 $8$ 个点，共多少条线段？答案：$\dfrac{8\times7}{2}=28$ 条
$3\times3$ 方格中有多少个长方形？答案：$\dfrac{4\times3}{2}\times\dfrac{4\times3}{2}=6\times6=36$ 个

第21讲数阵图 ¶

【知识要点】

将给定数字填入图形各位置，使各线或各边上数字之和相等。
辐射型：中心一个数，向四周辐射，每条射线上数字之和相等。
闭合型：若干点围成封闭图形（如三角形、五边形），每条边上数字之和相等。
关键：先确定被重复计算的位置（交点或中心点）的数。

【解题策略】

计算所有给定数字之和
分析哪些位置被重复计算及其重复次数
利用”各线和 $\times$ 线数 $=$ 各数之和 $\times$ 出现次数”列方程
求出重复位置的数后再合理分配剩余数字

【典型例题】

例题1 将 $1\sim7$ 填入辐射型数阵图（中心 $1$ 个向外 $3$ 条射线，每条射线 $3$ 个数），使每条射线上 $3$ 个数之和相等。

分析： $3$ 条射线共 $9$ 个位置，中心被算 $3$ 次，其余 $6$ 个各算 $1$ 次。设中心为 $a$，各线和为 $S$。$3S=(1+2+\cdots+7)+2a=28+2a$。$a=4$ 时 $S=12$。剩余数 $1,2,3,5,6,7$ 分成 $3$ 组，每组 $2$ 个数之和 $=12-4=8$：$(1,7),(2,6),(3,5)$。

解答： $\;$中心填 $4$，三条射线外侧分别填 $(1,7)$、$(2,6)$、$(3,5)$，每条线和 $=\boxed{12}$

例题2 将 $1\sim6$ 填入三角形的 $6$ 个圆圈（$3$ 个顶点、$3$ 条边中点），使每条边上 $3$ 个数之和相等。

分析： $3$ 条边共 $9$ 个位置，$3$ 个顶点各被算 $2$ 次。设顶点之和为 $V$，各边和为 $S$。$3S=21+V$。取顶点 ${1,2,3}$ 则 $V=6$，$S=9$。每条边第 $3$ 个数（中点）$=9-$ 两顶点之和。

解答： $\;$顶点填 $1,2,3$，各边中点分别填 $6,4,5$（$1{+}6{+}2{=}9$，$2{+}4{+}3{=}9$，$3{+}5{+}1{=}9$）。每边和 $=\boxed{9}$

【举一反三】

将 $1\sim6$ 填入三角形，使每边和 $=10$。顶点之和应为多少？答案：$3\times10=21+V$，$V=9$
五角星数阵（$10$ 个点，$5$ 条线每线 $4$ 个数，每点在 $2$ 条线上），用 $1\sim10$ 填入，每条线和是多少？答案：$5S=2\times55=110$，$S=22$

第22讲归一问题 ¶

【知识要点】

先求”单一量”（单位时间内完成的量），再求总量。
正归一：求出单一量后，乘以新条件求结果。
反归一：求出单一量后，用总量 $\div$ 单一量求数量。
关键：找准什么量对应什么单位（如”1台1小时”的产量）。

【解题策略】

找出已知的总量和对应单位数
求单一量 $=$ 总量 $\div$ 单位数（逐一除尽）
正归一：结果 $=$ 单一量 $\times$ 新单位数
反归一：结果 $=$ 新总量 $\div$ 单一量

【典型例题】

例题1 $5$ 台机床 $4$ 小时生产 $200$ 个零件。照这样计算，$8$ 台机床 $6$ 小时生产多少个？

分析： 先求 $1$ 台 $1$ 小时产量 $=200\div5\div4=10$ 个，再求 $8$ 台 $6$ 小时 $=10\times8\times6$。

解答： $\;10\times8\times6=\boxed{480\text{个}}$

例题2 $3$ 辆汽车 $5$ 次运 $60$ 吨煤。$6$ 辆汽车要运 $120$ 吨需几次？

分析： $1$ 辆 $1$ 次运 $=60\div3\div5=4$ 吨，$6$ 辆一次运 $=4\times6=24$ 吨，$120\div24=5$ 次。

解答： $\;\boxed{5\text{次}}$。验证：$4\times6\times5=120$ ✓

【举一反三】

$4$ 台机器 $3$ 天做 $240$ 个零件，$6$ 台 $5$ 天做多少？答案：$(240\div4\div3)\times6\times5=600$ 个
$5$ 个工人 $8$ 天完成 $40$ 个零件，$10$ 个工人完成 $100$ 个需几天？答案：$100\div(40\div5\div8\times10)=10$ 天

第23讲归总问题 ¶

【知识要点】

总量不变，先求出总量，再按新的条件重新分配。
与归一问题的区别：归总是总量固定而单位数变化，归一先求单位量。
公式：总量 $=$ 原单位数 $\times$ 原单位量，新单位量 $=$ 总量 $\div$ 新单位数。
关键：找出不变的总量作为桥梁。

【解题策略】

确定不变的总量
求总量 $=$ 原来的份数 $\times$ 每份量
新每份量 $=$ 总量 $\div$ 新份数
新份数 $=$ 总量 $\div$ 新每份量

【典型例题】

例题1 一批书，每天看 $15$ 页 $12$ 天看完。每天看 $20$ 页几天看完？

分析： 总页数 $=15\times12=180$ 页，每天 $20$ 页需 $180\div20=9$ 天。

解答： $\;\boxed{9\text{天}}$

例题2 修一条路，每天修 $60$ 米 $20$ 天完成。每天多修 $20$ 米，几天完成？

分析： 全长 $=60\times20=1200$ 米，新速度 $=60+20=80$ 米/天，$1200\div80=15$ 天。

解答： $\;\boxed{15\text{天}}$

【举一反三】

每天走 $8$ 千米 $10$ 天到目的地，每天走 $10$ 千米需几天？答案：$8\times10\div10=8$ 天
$30$ 人 $20$ 天完工，增加 $10$ 人 $(40$ 人$)$ 几天完工？答案：$30\times20\div40=15$ 天

第24讲错中求解 ¶

【知识要点】

题目中某人把算式中的某个数字看错或符号抄错，需从错误结果逆推正确答案。
常见错误：看错数字、漏看零、抄错运算符号、看错位数。
方法：从错误算式倒推出被看错的原始数，还原后重新计算。
关键：理清”错在哪里”和”正确应该是什么”。

【解题策略】

读懂错误描述（错在哪个数、哪个位置）
从错误结果出发，用逆运算还原出另一个正确的数
把正确的数代入原算式
重新计算得到正确结果

【典型例题】

例题1 小明计算一道加法题时，把一个加数 $23$ 误看成 $28$，得到的结果是 $95$。正确结果应是多少？

分析： 另一个加数 $=95-28=67$（这个数没错）。正确加数 $=23$，正确结果 $=67+23=90$。

解答： $\;95-28+23=\boxed{90}$

例题2 小红做减法时，把被减数十位上的 $8$ 看成了 $3$，结果是 $25$。正确结果是多少？

分析： 十位 $8$ 看成 $3$，被减数少了 $80-30=50$。差 $=$ 被减数 $-$ 减数，被减数少 $50$ 则差也少 $50$。

解答： $\;25+50=\boxed{75}$

【举一反三】

加数 $56$ 看成 $65$，和为 $120$，正确和是多少？答案：$120-65+56=111$
被减数个位 $2$ 看成 $7$，差为 $38$，正确差是多少？答案：$38-5=33$

第25讲页码问题 ¶

【知识要点】

编一本书的页码所用数字的个数有规律，按页码位数分段计算。
$1\sim9$ 页：每页 $1$ 个数字，共 $9\times1=9$ 个。
$10\sim99$ 页：每页 $2$ 个数字，共 $90\times2=180$ 个。
$100\sim999$ 页：每页 $3$ 个数字，共 $900\times3=2700$ 个。
计算时分段求和，注意区分”页数”与”数字个数”。

【解题策略】

按位数分段：一位数页、两位数页、三位数页......
各段数字个数 $=$ 该段页数 $\times$ 位数
各段求和得总数字个数
已知总数字反求页数时，从低位段逐步扣除

【典型例题】

例题1 一本故事书共 $120$ 页，编页码共用多少个数字？

分析： $1\sim9$ 页：$9\times1=9$ 个；$10\sim99$ 页：$90\times2=180$ 个；$100\sim120$ 页：$21\times3=63$ 个。

解答： $\;9+180+63=\boxed{252\text{个}}$

例题2 一本书编页码共用了 $297$ 个数字，这本书共多少页？

分析： $1\sim9$ 页用 $9$ 个，$10\sim99$ 页用 $180$ 个，合计 $189$ 个。剩余 $297-189=108$ 个用于三位数页码，$108\div3=36$ 页。总页数 $=99+36=135$ 页。

解答： $\;\boxed{135\text{页}}$。验证：$9+180+36\times3=9+180+108=297$ ✓

【举一反三】

一本书 $200$ 页，共多少个数字？答案：$9+180+(200-99)\times3=9+180+303=\boxed{492\text{个}}$
编页码用了 $687$ 个数字，共多少页？答案：$687-189=498$，$498\div3=166$，$99+166=\boxed{265\text{页}}$