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小学奥数举一反三 四年级¶
适用对象¶
本文档适用于小学四年级学生，尤其是对数学有浓厚兴趣、希望在课本之外拓展思维的学生。内容难度适中，循序渐进，既可作为奥数入门的自学材料，也可作为课堂补充训练。
内容概述¶
本文档精选四年级奥数25个核心专题，涵盖计算技巧、应用题、几何计数、逻辑推理、排列组合等方面。每讲包含知识要点、解题策略、典型例题与举一反三练习，帮助学生掌握方法、触类旁通，培养灵活的数学思维能力。
学习目标¶
- 掌握速算巧算方法，提高计算速度与准确率
- 学会用画图、假设、倒推等策略解决典型应用题
- 培养逻辑推理与分类计数能力
- 建立从”学会一道题”到”会解一类题”的思维迁移能力
目录¶
- 第1讲 速算与巧算
- 第2讲 定义新运算
- 第3讲 归一问题
- 第4讲 归总问题
- 第5讲 相遇问题
- 第6讲 追及问题
- 第7讲 火车过桥
- 第8讲 流水行船
- 第9讲 和差问题
- 第10讲 和倍问题
- 第11讲 差倍问题
- 第12讲 年龄问题
- 第13讲 鸡兔同笼
- 第14讲 盈亏问题
- 第15讲 逻辑推理
- 第16讲 数图形
- 第17讲 页码问题
- 第18讲 抽屉原理
- 第19讲 错中求解
- 第20讲 植树问题
- 第21讲 还原问题
- 第22讲 周期问题
- 第23讲 容斥原理
- 第24讲 简单的排列组合
- 第25讲 图形的剪拼
第1讲 速算与巧算¶
【知识要点】¶
- 凑整法：把能凑成整十、整百的数先算，如 $25 \times 4 = 100$，$125 \times 8 = 1000$。
- 提取公因数：形如 $a \times c + b \times c = (a+b) \times c$，逆用乘法分配律。
- 等差数列求和：公式 $S = \dfrac{(\text{首项} + \text{末项}) \times \text{项数}}{2}$。
- 拆分法：将一个数拆成两个便于计算的数，如 $99 = 100 - 1$。
- 分组法：把算式中数字分成若干组，使每组计算结果简单。
【解题策略】¶
- 观察算式中是否有特殊数对（如25和4、125和8）
- 尝试运用运算定律变形
- 能提取公因数的先提取公因数
- 等差数列注意确认首项、末项和项数
- 计算后回头验算
【典型例题】¶
例1 计算：$125 \times 32 \times 25$
分析：32可以拆成 $8 \times 4$，而 $125 \times 8 = 1000$，$25 \times 4 = 100$。
解答：
$$125 \times 32 \times 25 = 125 \times (8 \times 4) \times 25 = (125 \times 8) \times (25 \times 4) = 1000 \times 100 = 100000$$
例2 计算：$1 + 2 + 3 + \cdots + 99 + 100$
分析：这是等差数列求和，首项1，末项100，项数100。
解答：
$$S = \frac{(1 + 100) \times 100}{2} = \frac{10100}{2} = 5050$$
【举一反三】¶
- 计算 $25 \times 44$。（提示：$44 = 4 \times 11$，答案：1100）
- 计算 $1 + 3 + 5 + \cdots + 99$（50个奇数之和）。（提示：等差数列，答案：2500）
第2讲 定义新运算¶
【知识要点】¶
- 定义新运算：题目规定一个新符号的含义，如 $a \, \text{☆} \, b = a \times b + a - b$，按规则计算。
- 核心原则：严格按照定义的规则代入计算，不能用普通四则运算的定律随意替换。
- 注意运算顺序：如果式中有多个新运算，一般从左到右依次计算。
- 验证法：有时可先代入具体数字理解规则，再进行一般化推导。
【解题策略】¶
- 仔细阅读定义，理解符号的含义
- 把数字代入定义中的对应位置
- 有括号先算括号内
- 多步运算逐层化简
【典型例题】¶
例1 定义 $a \, \text{☆} \, b = a \times b + a - b$，求 $4 \, \text{☆} \, 3$。
分析：将 $a=4$，$b=3$ 代入定义式。
解答：
$$4 \, \text{☆} \, 3 = 4 \times 3 + 4 - 3 = 12 + 4 - 3 = 13$$
例2 定义 $a \, \Delta \, b = 2a - b$，求 $(5 \, \Delta \, 3) \, \Delta \, 4$。
分析：先算括号内 $5 \, \Delta \, 3$，再用结果与4运算。
解答：
$$5 \, \Delta \, 3 = 2 \times 5 - 3 = 7$$
$$7 \, \Delta \, 4 = 2 \times 7 - 4 = 10$$
【举一反三】¶
- 定义 $a \text{◎} b = a^2 - b^2$，求 $5 \text{◎} 3$。（答案：$25-9=16$）
- 定义 $a \text{■} b = 3a + 2b$，求 $(2 \text{■} 4) \text{■} 1$。（答案：$2\text{■}4=14$，$14\text{■}1=44$）
第3讲 归一问题¶
【知识要点】¶
- 归一问题：先求出一个单位的量（单一量），再求其他量。
- 正归一：先求单一量，再用乘法求总量。
- 反归一：先求单一量，再用除法求份数。
- 关键：找准”一个单位”是什么——可以是”每份的量”或”每人的量”等。
【解题策略】¶
- 读题，找出已知条件和所求问题
- 用已知的两个对应量求出单一量（用除法）
- 根据问题是求总量还是求份数，决定用乘法还是除法
- 检验结果是否合理
【典型例题】¶
例1 一台机器4小时生产零件120个，照这样计算，7小时生产多少个？
分析：先求每小时生产多少个（单一量），再求7小时的总量。
解答：
$$120 \div 4 = 30 \text{（个/小时）}$$
$$30 \times 7 = 210 \text{（个）}$$
例2 5箱苹果重60千克，照这样计算，180千克可以装多少箱？
分析：先求每箱重量（单一量），再用总量除以单一量求箱数（反归一）。
解答：
$$60 \div 5 = 12 \text{（千克/箱）}$$
$$180 \div 12 = 15 \text{（箱）}$$
【举一反三】¶
- 3辆卡车运货24吨，5辆同样的卡车运多少吨？（答案：40吨）
- 6本同样的笔记本48元，240元能买几本？（答案：30本）
第4讲 归总问题¶
【知识要点】¶
- 归总问题：总量不变，先求总量，再按新的条件重新分配。
- 与归一的相同点：都需要先确定一个不变的量。区别在于归一求的是单一量不变，归总求的是总量不变。
- 核心思路：总量 = 每份数 × 份数。
【解题策略】¶
- 用已知条件求出总量
- 根据新条件，用总量 ÷ 新的每份数 = 新的份数（或总量 ÷ 新的份数 = 新的每份数）
- 验证总量确实保持不变
【典型例题】¶
例1 工程队修路，每天修40米，15天完成。如果每天修60米，几天完成？
分析：总工程量不变，先求总长度，再用新速度求天数。
解答：
$$40 \times 15 = 600 \text{（米）}$$
$$600 \div 60 = 10 \text{（天）}$$
例2 一批书分给30个班，每班40本。如果每班50本，能分给几个班？
分析：书的总数不变，先求总数。
解答：
$$30 \times 40 = 1200 \text{（本）}$$
$$1200 \div 50 = 24 \text{（班）}$$
【举一反三】¶
- 每天读20页书，12天读完。现在想8天读完，每天读几页？（答案：30页）
- 一堆煤用50天，每天烧300千克。改为每天烧250千克，能用几天？（答案：60天）
第5讲 相遇问题¶
【知识要点】¶
- 相遇问题：两人从两地同时出发相向而行，直到相遇。
- 基本公式：$\text{相遇时间} = \text{总路程} \div \text{速度和}$
- 路程比：相遇时两人各走的路程比等于速度比。
- 总路程 = 速度和 × 相遇时间。
【解题策略】¶
- 确认两人是否同时出发、相向而行
- 求速度和 $v_1 + v_2$
- 用总路程 ÷ 速度和 = 相遇时间
- 若求路程，用速度 × 时间分别计算
【典型例题】¶
例1 甲乙两人从两地相向而行，甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，两地相距36千米。几小时后相遇？
分析：速度和 $= 5 + 4 = 9$ 千米/时。
解答：
$$36 \div (5 + 4) = 36 \div 9 = 4 \text{（小时）}$$
例2 甲乙从两地同时出发相向而行，甲速60米/分，乙速40米/分，5分钟后相遇。两地相距多少米？相遇时甲比乙多走多少米？
分析：总路程 = 速度和 × 时间。甲比乙多走的距离 = 速度差 × 时间。
解答：
$$\text{总路程} = (60 + 40) \times 5 = 500 \text{（米）}$$
$$\text{甲多走} = (60 - 40) \times 5 = 100 \text{（米）}$$
【举一反三】¶
- 甲乙分别从相距48千米的两地同时相向出发，甲速5千米/时，乙速3千米/时，几小时后相遇？（答案：6小时）
- A、B两车同时从两城相向开出，A车速度70千米/时，B车80千米/时，3小时后相遇。两城相距多远？（答案：450千米）
第6讲 追及问题¶
【知识要点】¶
- 追及问题：两人同向行走，后面快的人追赶前面慢的人。
- 基本公式：$\text{追及时间} = \text{路程差} \div \text{速度差}$
- 路程差：出发时两人之间的距离。
- 速度差：快者速度 $-$ 慢者速度。
【解题策略】¶
- 确认两人同向运动，找出速度差
- 确定出发时的路程差（距离差）
- 代入公式：追及时间 = 路程差 ÷ 速度差
- 需要注意出发时间是否相同，若有延迟需先算路程差
【典型例题】¶
例1 甲在乙前方30米，甲每秒走4米，乙每秒走6米。乙几秒后追上甲？
分析：路程差30米，速度差 $= 6 - 4 = 2$ 米/秒。
解答：
$$30 \div (6 - 4) = 30 \div 2 = 15 \text{（秒）}$$
例2 姐姐以每分钟80米的速度出发，2分钟后弟弟才以每分钟100米的速度追赶。弟弟几分钟能追上姐姐？
分析：弟弟出发时姐姐已走 $80 \times 2 = 160$ 米，这是路程差。速度差 $= 100 - 80 = 20$ 米/分。
解答：
$$(80 \times 2) \div (100 - 80) = 160 \div 20 = 8 \text{（分钟）}$$
【举一反三】¶
- 甲乙同向行走，甲在前40米处，甲速5米/秒，乙速7米/秒，乙几秒追上甲？（答案：20秒）
- 小明每分钟走60米出发，3分钟后小红以每分钟90米追赶，小红几分钟追上？（答案：6分钟）
第7讲 火车过桥¶
【知识要点】¶
- 过桥路程：火车完全通过桥，需要走完桥长加上车长。
- 基本公式：$\text{过桥路程} = \text{车长} + \text{桥长}$，$\text{时间} = (\text{车长} + \text{桥长}) \div \text{车速}$
- 完全在桥上：火车完全在桥上的过程，路程 = 桥长 $-$ 车长。
- 两车相遇：两列火车相对通过，路程 = 两车长之和。
【解题策略】¶
- 区分”过桥”“完全在桥上”“两车相向通过”的不同含义
- 过桥：路程 = 桥长 + 车长
- 列方程或直接代入公式
【典型例题】¶
例1 一列火车长200米，以每秒20米的速度通过一座长800米的桥，需要多少秒？
分析：过桥路程 = 桥长 + 车长。
解答：
$$(800 + 200) \div 20 = 1000 \div 20 = 50 \text{（秒）}$$
例2 一列长150米的火车以每秒15米的速度完全通过一座桥用了50秒。桥长多少米？
分析：总路程 = $15 \times 50 = 750$ 米，桥长 = 总路程 $-$ 车长。
解答：
$$15 \times 50 - 150 = 750 - 150 = 600 \text{（米）}$$
【举一反三】¶
- 火车长120米，车速10米/秒，通过一座680米的桥需几秒？（答案：80秒）
- 长100米的火车通过400米的桥用了25秒，车速是多少？（答案：20米/秒）
第8讲 流水行船¶
【知识要点】¶
- 顺水速度：$\text{顺水速} = \text{船速} + \text{水速}$
- 逆水速度：$\text{逆水速} = \text{船速} - \text{水速}$
- 逆推公式：$\text{船速} = (\text{顺水速} + \text{逆水速}) \div 2$，$\text{水速} = (\text{顺水速} - \text{逆水速}) \div 2$
- 船速是指船在静水中的速度，水速是水流速度。
【解题策略】¶
- 分清顺水和逆水
- 已知船速和水速，直接求顺逆水速
- 已知顺逆水速，用逆推公式求船速和水速
- 注意题目问的是”顺水”还是”逆水”
【典型例题】¶
例1 一艘船在静水中的速度是每小时20千米，水流速度每小时4千米。顺水航行3小时走多少千米？
分析：顺水速 $= 20 + 4 = 24$ 千米/时。
解答：
$$(20 + 4) \times 3 = 24 \times 3 = 72 \text{（千米）}$$
例2 一艘船顺水每小时行30千米，逆水每小时行20千米。船速和水速各是多少？
分析：用逆推公式。
解答：
$$\text{船速} = (30 + 20) \div 2 = 25 \text{（千米/时）}$$
$$\text{水速} = (30 - 20) \div 2 = 5 \text{（千米/时）}$$
【举一反三】¶
- 船速25千米/时，水速3千米/时，逆水行4小时走多远？（答案：88千米）
- 顺水速36千米/时，逆水速24千米/时，船速和水速各是多少？（答案：船速30，水速6）
第9讲 和差问题¶
【知识要点】¶
- 和差问题：已知两数的和与差，求两数。
- 基本公式：$\text{大数} = (\text{和} + \text{差}) \div 2$，$\text{小数} = (\text{和} - \text{差}) \div 2$
- 画线段图帮助理解：大数比小数多出”差”的部分。
- 三个数的和差问题可用转化法逐步求解。
【解题策略】¶
- 找出”和”是什么，”差”是什么
- 用公式求大数和小数
- 画线段图验证
- 涉及三个量的，先合并两个再与第三个比较
【典型例题】¶
例1 两筐苹果共重80千克，第一筐比第二筐重10千克。两筐各重多少？
分析：和 = 80，差 = 10。
解答：
$$\text{第一筐} = (80 + 10) \div 2 = 45 \text{（千克）}$$
$$\text{第二筐} = (80 - 10) \div 2 = 35 \text{（千克）}$$
例2 甲乙丙三人共有书120本，甲比乙多12本，乙比丙多6本。三人各有几本？
分析：以丙为基准。甲 = 丙 + 18，乙 = 丙 + 6。三者之和 $= 3 \times \text{丙} + 24 = 120$。
解答：
$$3 \times \text{丙} = 120 - 24 = 96 \implies \text{丙} = 32 \text{（本）}$$
$$\text{乙} = 32 + 6 = 38 \text{（本）}，\quad \text{甲} = 32 + 18 = 50 \text{（本）}$$
【举一反三】¶
- 两数之和100，差24，求两数。（答案：62和38）
- 师徒二人共做零件90个，师傅比徒弟多做16个，各做多少？（答案：师傅53个，徒弟37个）
第10讲 和倍问题¶
【知识要点】¶
- 和倍问题：已知两数的和与倍数关系，求两数。
- 基本公式：$\text{小数} = \text{和} \div (\text{倍数} + 1)$，$\text{大数} = \text{小数} \times \text{倍数}$
- 把小数看作1份，大数就是若干份，和对应总份数。
- 画线段图：小数为1段，大数为若干段。
【解题策略】¶
- 确定谁是1份（通常把较小数设为1份）
- 算出总份数 = 1 + 倍数
- 每份 = 和 ÷ 总份数
- 再求大数
【典型例题】¶
例1 果园有苹果树和梨树共180棵，苹果树是梨树的2倍。两种树各多少棵？
分析：梨树1份，苹果树2份，共3份 = 180。
解答：
$$\text{梨树} = 180 \div (2 + 1) = 60 \text{（棵）}$$
$$\text{苹果树} = 60 \times 2 = 120 \text{（棵）}$$
例2 甲乙两仓库共存粮240吨，甲仓存粮是乙仓的3倍。各存多少吨？
分析：乙仓1份，甲仓3份，共4份 = 240。
解答：
$$\text{乙仓} = 240 \div (3 + 1) = 60 \text{（吨）}$$
$$\text{甲仓} = 60 \times 3 = 180 \text{（吨）}$$
【举一反三】¶
- 两数之和是120，大数是小数的4倍，求两数。（答案：24和96）
- 师徒共加工零件200个，师傅加工的是徒弟的3倍，各加工多少？（答案：师傅150个，徒弟50个）
第11讲 差倍问题¶
【知识要点】¶
- 差倍问题：已知两数的差与倍数关系，求两数。
- 基本公式：$\text{小数} = \text{差} \div (\text{倍数} - 1)$，$\text{大数} = \text{小数} \times \text{倍数}$
- 小数为1份，大数为若干份，差对应（倍数$-$1）份。
- 与和倍问题的区别：和倍用”和÷(倍+1)”，差倍用”差÷(倍-1)”。
【解题策略】¶
- 确定谁是1份
- 计算份数差 = 倍数 $-$ 1
- 每份 = 差 ÷ 份数差
- 求出大数和小数
【典型例题】¶
例1 甲仓存粮比乙仓多120吨，甲仓存粮是乙仓的3倍。各存多少吨？
分析：乙仓1份，甲仓3份，差为2份 = 120。
解答：
$$\text{乙仓} = 120 \div (3 - 1) = 60 \text{（吨）}$$
$$\text{甲仓} = 60 \times 3 = 180 \text{（吨）}$$
例2 哥哥的邮票比弟弟多60枚，哥哥的邮票数是弟弟的4倍。各有多少枚？
分析：弟弟1份，哥哥4份，差为3份 = 60。
解答：
$$\text{弟弟} = 60 \div (4 - 1) = 20 \text{（枚）}$$
$$\text{哥哥} = 20 \times 4 = 80 \text{（枚）}$$
【举一反三】¶
- 两数差是36，大数是小数的5倍，求两数。（答案：9和45）
- 图书馆故事书比科技书多90本，故事书是科技书的4倍，各多少本？（答案：科技书30本，故事书120本）
第12讲 年龄问题¶
【知识要点】¶
- 核心特点：两人年龄差永远不变。
- “几年后”：两人的年龄都加上相同的年数。
- “几年前”：两人的年龄都减去相同的年数。
- 常用思路：抓住年龄差不变，转化为和倍或差倍问题。
【解题策略】¶
- 找出不变的年龄差
- “几年前/几年后”对应的年龄和或倍数关系
- 用和倍或差倍公式求解
- 确认时间变方向是否正确
【典型例题】¶
例1 父亲今年42岁，儿子今年12岁。几年后父亲年龄是儿子的2倍？
分析：年龄差 $= 42 - 12 = 30$，不变。当父亲是儿子2倍时，年龄差 = 1份 = 30，即儿子那时30岁。
解答：
$$30 - 12 = 18 \text{（年后）}$$
例2 妈妈今年40岁，女儿今年8岁。几年后妈妈的年龄是女儿的3倍？
分析：年龄差 $= 40 - 8 = 32$，不变。妈妈是女儿3倍时，差对应2份 $= 32$，女儿 $= 32 \div 2 = 16$ 岁。
解答：
$$16 - 8 = 8 \text{（年后）}$$
【举一反三】¶
- 爸爸35岁，儿子5岁。几年后爸爸是儿子的3倍？（答案：年龄差30，差对应2份=30，儿子15岁，需10年）
- 哥哥15岁，妹妹9岁。几年前哥哥是妹妹的2倍？（答案：年龄差6，1份=6，妹妹6岁时，需3年前）
第13讲 鸡兔同笼¶
【知识要点】¶
- 鸡兔同笼：已知鸡兔总数和腿数，求鸡兔各多少。
- 假设法：假设全是鸡（或兔），算腿数差，除以腿数差得出另一动物数量。
- 抬腿法：让每只动物抬起2条腿，剩下的腿全是兔的。
- 方程法：设鸡 $x$ 只，兔 $y$ 只，列方程组。
【解题策略】¶
- 假设全是鸡：总腿数 $= \text{头数} \times 2$，多出的腿 = 实际腿数 $-$ 假设腿数
- $\text{兔数} = \text{多出的腿} \div (4 - 2)$
- $\text{鸡数} = \text{总头数} - \text{兔数}$
- 验证：腿数是否吻合
【典型例题】¶
例1 鸡兔同笼，共20个头，54条腿。鸡兔各几只？
分析：假设全是鸡，应 $20 \times 2 = 40$ 条腿，比实际少 $54 - 40 = 14$ 条。每只兔比鸡多2条腿。
解答：
$$\text{兔} = (54 - 20 \times 2) \div (4 - 2) = 14 \div 2 = 7 \text{（只）}$$
$$\text{鸡} = 20 - 7 = 13 \text{（只）}$$
例2 停车场有汽车和摩托车共15辆，共52个轮子。汽车4轮，摩托车2轮，各几辆？
分析：假设全是摩托车，应有 $15 \times 2 = 30$ 轮，比实际少 $52 - 30 = 22$ 轮。每辆汽车比摩托车多2轮。
解答：
$$\text{汽车} = (52 - 15 \times 2) \div (4 - 2) = 22 \div 2 = 11 \text{（辆）}$$
$$\text{摩托车} = 15 - 11 = 4 \text{（辆）}$$
【举一反三】¶
- 鸡兔共30只，腿共80条，各几只？（答案：兔10只，鸡20只）
- 椅子（4腿）和凳子（3腿）共12个，腿共43条，各几个？（答案：椅子7个，凳子5个）
第14讲 盈亏问题¶
【知识要点】¶
- 盈亏问题：同一批人按两种方案分配物品，产生盈（多）或亏（少），求人数和物品数。
- 基本公式：$\text{人数} = (\text{盈} + \text{亏}) \div \text{分配差}$
- 两次都盈：$\text{人数} = (\text{大盈} - \text{小盈}) \div \text{分配差}$
- 两次都亏：$\text{人数} = (\text{大亏} - \text{小亏}) \div \text{分配差}$
【解题策略】¶
- 找出两种分配方案及对应的盈亏数
- 求分配差（每人分得的差值）
- 根据盈亏类型，用对应公式求人数
- 用人数验证物品总数
【典型例题】¶
例1 给学生分苹果，每人分3个多5个，每人分4个少2个。有多少学生？多少苹果？
分析：一次盈5，一次亏2，分配差为1。
解答：
$$\text{人数} = (5 + 2) \div (4 - 3) = 7 \text{（人）}$$
$$\text{苹果} = 7 \times 3 + 5 = 26 \text{（个）}$$
例2 给小朋友分糖，每人5颗多6颗，每人7颗多2颗。有多少小朋友？多少糖？
分析：两次都盈，用大盈减小盈，分配差为2。
解答：
$$\text{人数} = (6 - 2) \div (7 - 5) = 4 \div 2 = 2 \text{（人）}$$
$$\text{糖} = 2 \times 5 + 6 = 16 \text{（颗）}$$
【举一反三】¶
- 每人分4本书多3本，每人分5本少2本。几人几本？（答案：5人，23本）
- 每人分6颗少4颗，每人分5颗多3颗。几人几颗？（答案：7人，38颗）
第15讲 逻辑推理¶
【知识要点】¶
- 逻辑推理：根据已知条件进行合理推导，得出结论。
- 排除法：逐一排除不可能的情况来缩小范围。
- 假设法：先假设某条件成立，验证是否矛盾，矛盾则假设不成立。
- 表格法：画表格记录条件，用”✓”和”✗”标记，逐步填充。
- 关键：”每项只能匹配一个对象”时常用排除法。
【解题策略】¶
- 整理条件，画表格
- 确定直接条件，标注结果
- 用排除法逐步推理
- 每步推导后检查是否出现矛盾
【典型例题】¶
例1 甲乙丙三人分别参加跑步、跳远、掷球比赛，已知：①甲不参加跑步；②乙不参加跳远；③丙不参加掷球；④乙参加了掷球。三人各参加什么项目？
分析：由④知乙→掷球。丙不掷球（在跳远或跑步中），甲不跑步（在跳远或掷球中），但掷球已被乙选，所以甲→跳远，丙→跑步。
解答：甲→跳远，乙→掷球，丙→跑步。
例2 红、黄、蓝三个盒子，分别装着苹果、梨、橘子。已知：①红盒不装苹果；②黄盒装的不是梨；③装橘子的是蓝盒。各盒装什么？
分析：由③蓝→橘子。红不装苹果，只能在梨或橘子中，橘子已被蓝装，所以红→梨。黄只能装苹果。
解答：红盒→梨，黄盒→苹果，蓝盒→橘子。
【举一反三】¶
- 甲乙丙三人分别来自北京、上海、广州。甲不是北京人，乙不是上海人，丙既不是上海人也不是北京人。各来自哪里？（答案：丙→广州，甲→上海，乙→北京）
- 三个盒子装三种球，红盒不装篮球，蓝盒装足球，绿盒不装排球。各装什么球？（答案：红盒→排球，蓝盒→足球，绿盒→篮球）
第16讲 数图形¶
【知识要点】¶
- 分类计数法：把图形按大小或类型分类，分别计数后求和。
- 数线段：$n$ 个端点的线段数 $= 1 + 2 + \cdots + (n-1) = \dfrac{n(n-1)}{2}$
- 数三角形：等底同高的三角形，计数方法类似数线段。
- 数长方形：长方形网格中，长方向 $m$ 段、宽方向 $n$ 段，则长方形总数 $= \dfrac{m(m+1)}{2} \times \dfrac{n(n+1)}{2}$
【解题策略】¶
- 按图形边数或大小分类
- 每类用公式或枚举计数
- 各类相加得到总数
- 注意不重不漏
【典型例题】¶
例1 一条直线上有5个点，能组成多少条线段？
分析：5个点，$n=5$，代入公式。
解答：
$$\frac{5 \times (5-1)}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{（条）}$$
例2 一个 $2 \times 3$ 的长方形网格（宽2格长3格），共含多少个长方形？
分析：长方向4条线（3段），宽方向3条线（2段），分别用公式计算后相乘。
解答：
$$\frac{4 \times 3}{2} \times \frac{3 \times 2}{2} = 6 \times 3 = 18 \text{（个）}$$
【举一反三】¶
- 一直线上有6个点，共多少条线段？（答案：15条）
- 一个 $3 \times 3$ 的正方形网格中，有多少个正方形？（提示：$1\times1$有9个，$2\times2$有4个，$3\times3$有1个，共14个）
第17讲 页码问题¶
【知识要点】¶
- 页码与数字的关系：
- 第1~9页：每页1个数字，共 $9 \times 1 = 9$ 个数字
- 第10~99页：每页2个数字，共 $90 \times 2 = 180$ 个数字
- 第100~999页：每页3个数字，共 $900 \times 3 = 2700$ 个数字 - 给定页码求数字总数：分段计算后相加。
- 给定数字总数求页码：分段扣除，确定范围后用除法定位。
【解题策略】¶
- 判断页码落在哪个区间
- 分段计算数字数
- 已知数字总数时，依次减去各段数字数
- 剩余部分除以每页数字数得到页数
【典型例题】¶
例1 一本书共150页，共用了多少个数字编页码？
分析：1~9页用9个，10~99页用180个，100~150页用 $51 \times 3 = 153$ 个。
解答：
$$9 + 180 + (150 - 99) \times 3 = 9 + 180 + 153 = 342 \text{（个）}$$
例2 一本书的页码共用了297个数字，这本书有多少页？
分析：先减去前两段的数字数：$297 - 9 - 180 = 108$。剩余108个数字对应三位数页码。
解答：
$$108 \div 3 = 36 \text{（页）}$$
$$\text{总页数} = 99 + 36 = 135 \text{（页）}$$
【举一反三】¶
- 一本书共200页，用了多少个数字？（答案：$9+180+101\times3=492$个）
- 用了684个数字编页码，共多少页？（答案：$684-9-180=495$，$495\div3=165$，$99+165=264$页）
第18讲 抽屉原理¶
【知识要点】¶
- 抽屉原理（鸽巢原理）：$n+1$ 个物品放入 $n$ 个抽屉，至少有一个抽屉里有2个或以上物品。
- 推广形式：$m$ 个物品放入 $n$ 个抽屉，至少有一个抽屉里有 $\lfloor(m-1)/n\rfloor + 1$ 个物品。
- 最不利原则：考虑”最不走运”的情况，再放最后一个时必然满足条件。
【解题策略】¶
- 确定什么是”物品”，什么是”抽屉”
- 用最不利原则分析
- 取最不利情况数 $+1$ 即为答案
- 注意区分”至少几个同色”“至少取几个”
【典型例题】¶
例1 盒子里有红球5个、蓝球3个、黄球4个。至少取几个球才能保证有两个同色？
分析：最不利情况是每种颜色各取1个（共3个），再取一个必与之前同色。
解答：
$$3 + 1 = 4 \text{（个）}$$
例2 13个同学中，至少有几个人的生日在同一个月？
分析：12个月为抽屉，13人为物品。$13 \div 12 = 1 \cdots 1$，至少有2个人同月。
解答：$\lfloor(13-1)/12\rfloor + 1 = 1 + 1 = 2$ 人。
【举一反三】¶
- 有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各若干，至少取几个才能保证有两个同色？（答案：5个）
- 25只鸽子飞进6个鸽笼，至少有一个鸽笼里有几只？（答案：$\lceil25/6\rceil=5$只）
第19讲 错中求解¶
【知识要点】¶
- 错中求解：题目中的运算有错误（如看错数字、抄错符号），从错误结果反推正确结果。
- 关键：找到错误发生在哪一步，用逆运算还原。
- 常见错误类型：看错加数/被减数/减数/乘数、把乘号看成加号等。
- 常用方法：先用错误信息还原被看错的原始数，再代入正确运算。
【解题策略】¶
- 分析错误类型（看错哪个数、看错什么符号）
- 用错误结果和已知部分还原被看错的数
- 用还原后的正确数重新计算
- 验证答案合理性
【典型例题】¶
例1 小明在计算加法时，把一个加数53看成了35，得到结果是78。正确结果是多少？
分析：错误结果78 = 35 + 另一个加数，另一个加数 $= 78 - 35 = 43$，正确加法为 $53 + 43$。
解答：
$$78 - 35 = 43$$
$$53 + 43 = 96$$
例2 小红做减法时，把减数27看成了72，得到差15。正确的差是多少？
分析：错误差15 = 被减数 $-$ 72，被减数 $= 15 + 72 = 87$，正确差 $= 87 - 27$。
解答：
$$15 + 72 = 87$$
$$87 - 27 = 60$$
【举一反三】¶
- 加法中把一个加数46看成64，结果得100，正确结果是多少？（答案：82）
- 减法中把减数15看成51，差得29，正确差是多少？（答案：$29+51=80$，$80-15=65$）
第20讲 植树问题¶
【知识要点】¶
- 线形两端都植树：$\text{棵数} = \text{段数} + 1$
- 线形一端植树：$\text{棵数} = \text{段数}$
- 线形两端都不植：$\text{棵数} = \text{段数} - 1$
- 环形植树：$\text{棵数} = \text{段数}$
- $\text{段数} = \text{总长} \div \text{间隔}$
【解题策略】¶
- 判断植树场景类型（两端栽、一端栽、环形等）
- 求段数 $=$ 总长 $\div$ 间隔
- 根据类型关系确定棵数
- 注意锯木头、爬楼梯等类似问题
【典型例题】¶
例1 一条路长120米，每隔3米种一棵树，两端都种，共需多少棵树？
分析：两端都种，棵数 = 段数 + 1。
解答：
$$120 \div 3 + 1 = 40 + 1 = 41 \text{（棵）}$$
例2 操场圆形跑道周长200米，沿跑道每隔5米插一面旗，共需多少面旗？
分析：环形植树，棵数 = 段数。
解答：
$$200 \div 5 = 40 \text{（面）}$$
【举一反三】¶
- 一条路240米，每隔6米栽一棵树，只在一端栽树，共需几棵？（答案：40棵）
- 圆形花坛周长60米，每隔4米种一株花，共几株？（答案：15株）
第21讲 还原问题¶
【知识要点】¶
- 还原问题：已知一个数经过若干步运算后的结果，求原数。
- 倒推法：从最后结果出发，逆运算逐步倒推回去。
- 加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法。
- 画流程图辅助理清运算顺序。
【解题策略】¶
- 理清正向运算的顺序
- 从最后结果开始倒推
- 每步用逆运算
- 算出原数后代入验证
【典型例题】¶
例1 一个数加上5，乘3，减去8，等于16，求这个数。
分析：从16倒推：先加8得24，再除以3得8，再减5得3。
解答：
$$(16 + 8) \div 3 - 5 = 24 \div 3 - 5 = 8 - 5 = 3$$
例2 小明有一些钱，买书花了一半多5元，还剩35元。他原有多少钱？
分析：设原有 $x$ 元。买书花了 $\dfrac{x}{2} + 5$，剩 $x - \dfrac{x}{2} - 5 = 35$。
解答：
$$\frac{x}{2} - 5 = 35 \implies \frac{x}{2} = 40 \implies x = 80 \text{（元）}$$
【举一反三】¶
- 一个数乘4减6等于30，这个数是多少？（答案：$30+6=36$，$36\div4=9$）
- 一根绳子先剪去一半，再剪去5米，还剩12米。原长多少？（答案：$(12+5)\times2=34$米）
第22讲 周期问题¶
【知识要点】¶
- 周期问题：事物按固定规律循环重复，用周期长度来确定指定位置的状态。
- 余数定位法：用 $\text{总位置} \div \text{周期长度}$，余数对应组内第几个。
- 注意起始位置：余数0表示周期最后一个，余数1表示第一个。
- 求某天是星期几、数列第 $n$ 项等问题常属此类。
【解题策略】¶
- 找出周期规律和周期长度
- 用总数 $\div$ 周期长度求余数
- 根据余数在周期中定位
- 注意余数为0的特殊情况
【典型例题】¶
例1 有一列数：2, 5, 8, 2, 5, 8, 2, 5, 8, …
第31个数是多少？
分析：周期为3（2,5,8）。$31 \div 3 = 10 \cdots 1$，余数1对应周期第1个数。
解答：第31个数是 2。
例2 今天是星期三，从今天起第25天是星期几？
分析：周期为7。$25 \div 7 = 3 \cdots 4$，余数4表示从星期三往后数4天。
解答：星期三 $\to$ 四 $\to$ 五 $\to$ 六 $\to$ 日，第25天是星期日。
【举一反三】¶
- 数列 1,2,3,1,2,3,… 第40个数是多少？（答案：$40\div3=13\cdots1$，是1）
- 今天星期一，第50天后是星期几？（答案：$50\div7=7\cdots1$，星期一）
第23讲 容斥原理¶
【知识要点】¶
- 两集合容斥：$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
- 含义：并集 = 各集合之和 $-$ 重叠部分（被算了两遍要减去一遍）。
- 三集合容斥：$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$
- 常用画圈图（韦恩图）帮助理解。
【解题策略】¶
- 识别每个集合及它们的关系
- 用容斥公式求并集或交集
- 画韦恩图验证
- 注意”只参加一项”“两项都参加”等措辞差异
【典型例题】¶
例1 某班40人，参加数学组的有25人，参加英语组的有18人，两组都参加的有10人。两组都没参加的有多少人？
分析：至少参加一组的人数 $= 25 + 18 - 10 = 33$，再求都没参加的。
解答：
$$40 - (25 + 18 - 10) = 40 - 33 = 7 \text{（人）}$$
例2 三年级有50人，订《语文报》的有30人，订《数学报》的有25人，两报都订的有15人。至少订一份报的有多少人？
分析：两集合容斥直接代入公式。
解答：
$$30 + 25 - 15 = 40 \text{（人）}$$
【举一反三】¶
- 全班45人，会游泳24人，会跳绳20人，两样都会8人，两样都不会的有几人？（答案：$45-(24+20-8)=9$人）
- 两个集合并集60元素，A有38个，B有35个，交集多少？（答案：$38+35-60=13$）
第24讲 简单的排列组合¶
【知识要点】¶
- 乘法原理：完成一件事分 $n$ 步，每步分别有 $m_1, m_2, \ldots, m_n$ 种方法，则总方法数 $= m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n$。
- 加法原理：完成一件事有 $n$ 类方法，各类分别有 $m_1, m_2, \ldots, m_n$ 种且互不重叠，总方法数 $= m_1 + m_2 + \cdots + m_n$。
- 排列数：从 $n$ 个不同元素取 $m$ 个排列，$A_n^m = n(n-1)\cdots(n-m+1)$
- 组合数：从 $n$ 个不同元素取 $m$ 个不考虑顺序，$C_n^m = \dfrac{A_n^m}{m!}$
【解题策略】¶
- 判断用乘法原理还是加法原理（分步用乘，分类用加）
- 排列问题注意顺序，组合问题不考虑顺序
- 逐步列式计算
- 检验是否重复或遗漏
【典型例题】¶
例1 从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有2条路。从甲经乙到丙共有几种走法？
分析：分两步走（甲→乙→丙），用乘法原理。
解答：
$$3 \times 2 = 6 \text{（种）}$$
例2 用2、3、5、7四个数字可以组成多少个不同的两位数（每个数字只用一次）？
分析：十位有4种选法，个位有3种选法，用乘法原理。
解答：
$$4 \times 3 = 12 \text{（个）}$$
【举一反三】¶
- 4个同学站成一排拍照，有几种排法？（答案：$4\times3\times2\times1=24$种）
- 从5本不同的书中选2本，有多少种选法？（答案：$C_5^2=\frac{5\times4}{2}=10$种）
第25讲 图形的剪拼¶
【知识要点】¶
- 面积不变原理：剪拼前后图形面积不变。
- 等分与重组：把一个图形分成若干等份，重新排列组合成新图形。
- 常见方法：平移、旋转、翻转拼合，割补法。
- 正方形与长方形互拼：长方形可剪拼为面积相等的正方形（若面积是完全平方数则边长为整数）。
【解题策略】¶
- 确认面积在剪拼过程中保持不变
- 找出图形的对称性或特殊边长关系
- 尝试平移、旋转、翻转拼接
- 验证拼成的新图形面积是否相等
【典型例题】¶
例1 把一个边长为4厘米的正方形剪成4个相同的小正方形，每个小正方形的边长和面积各是多少？
分析：大正方形面积 $= 16$ 平方厘米，分成4个每个面积 $= 4$ 平方厘米，边长 $= 2$ 厘米。
解答：
$$\text{面积} = 4 \times 4 \div 4 = 4 \text{（平方厘米）}，\quad \text{边长} = 2 \text{（厘米）}$$
例2 用两个完全相同的长4厘米、宽2厘米的长方形拼成一个大长方形，拼成的大长方形周长是多少？（两种拼法）
分析：拼法一：长边重合，大长方形长 $4+4=8$、宽2；拼法二：宽边重合，大长方形长4、宽 $2+2=4$（实为正方形）。
解答：拼法一周长 $(8+2)\times2=20$（厘米）；拼法二周长 $(4+4)\times2=16$（厘米）。
【举一反三】¶
- 一个长8厘米、宽4厘米的长方形剪成2个正方形，正方形边长是多少？（答案：4厘米）
- 4个边长1厘米的小正方形拼成一个大正方形，周长是多少？（答案：大正方形边长2厘米，周长8厘米）
结语：本文档涵盖了四年级奥数的25个核心专题，建议每讲学习后完成”举一反三”练习，巩固方法。数学思维的培养重在理解与练习的结合，举一反三、触类旁通是学好奥数的关键。