20260730 222700 小学奥数举一反三五年级

质数：大于1的自然数中，除了1和它本身外没有其他因数的数。如2、3、5、7、11等。
合数：大于1的自然数中，除了1和它本身外还有其他因数的数。如4、6、8、9、10等。
1既不是质数也不是合数。2是唯一的偶质数。
100以内的质数（共25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

【解题策略】¶

判断一个数是否为质数，只需检查它能否被不超过 $\sqrt{n}$ 的质数整除。
熟记100以内质数表，快速识别。
凡是偶数（除2外）都是合数。
个位是5的数（除5外）都是合数。

【典型例题】¶

例1　判断91是不是质数？

分析　$\sqrt{91}\approx 9.5$，只需检查2、3、5、7。91不是偶数，数字和 $9+1=10$ 不能被3整除，个位不是0或5。检查7：$91\div 7=13$，所以 $91=7\times 13$。

解答　$91=7\times 13$，91是合数，不是质数。

例2　两个质数的和为15，求这两个质数。

分析　15是奇数，两个数之和为奇数，必是一奇一偶。唯一的偶质数是2，所以另一个是 $15-2=13$。13是质数，符合条件。

解答　这两个质数是 2和13。

【举一反三】¶

判断87是不是质数？（$87=3\times 29$，是合数）
两个质数的积为35，求这两个质数。（$35=5\times 7$，即5和7）

第3讲分解质因数 ¶

【知识要点】¶

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。
短除法：从最小的质数开始试除，直到商为质数为止。
标准分解式：$N=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times\cdots\times p_k^{a_k}$，其中 $p_1<p_2<\cdots<p_k$ 为质数。
分解质因数是解决约数、倍数问题的基石。

【解题策略】¶

用短除法，从最小质因数2开始试除。
如果不能被2整除，依次试3、5、7……
直到商为质数，将所有除数和最后的商写成质因数连乘。
合并相同质因数写成指数形式。

【典型例题】¶

例1　把360分解质因数。

分析　用短除法，依次用2、2、2、3、3、5去除。

解答

$$360=2\times 180=2\times 2\times 90=2\times 2\times 2\times 45=2\times 2\times 2\times 3\times 15=2^3\times 3^2\times 5$$

例2　三个连续自然数的积为210，求这三个数。

分析　先分解质因数：$210=2\times 3\times 5\times 7$。需要把它们组合成三个连续自然数。尝试 $5\times 6\times 7=210$，而 $6=2\times 3$，正好。

解答　$210=2\times 3\times 5\times 7=5\times 6\times 7$，这三个数是 5、6、7。

【举一反三】¶

把504分解质因数。（$504=2^3\times 3^2\times 7$）
两个自然数的积为84，且它们的最大公约数为2，求这两个数。（$84=2^2\times 3\times 7$，两数为 $2\times 3=6$ 和 $2\times 7=14$，即6和14）

第4讲最大公约数与最小公倍数 ¶

【知识要点】¶

最大公约数（GCD）：几个数公有的约数中最大的一个。
最小公倍数（LCM）：几个数公有的倍数中最小的一个。
重要关系：两数之积 $=$ 最大公约数 $\times$ 最小公倍数，即 $a\times b=\gcd(a,b)\times \text{lcm}(a,b)$。
辗转相除法：$a\div b$ 得余数 $r$，则 $\gcd(a,b)=\gcd(b,r)$，直到余数为0，最后的除数即为GCD。

【解题策略】¶

两数较小时用短除法，较大时用辗转相除法。
求 $\gcd(a,b)$ 时反复取余，用除数替换被除数，余数替换除数。
求出GCD后用公式 $\text{lcm}(a,b)=a\times b\div \gcd(a,b)$ 算LCM。
三个数求GCD/LCM需要两两合并逐步计算。

【典型例题】¶

例1　用辗转相除法求 $\gcd(1071, 462)$。

分析　反复用大数除以小数取余。

解答

$1071\div 462=2\cdots 147$
$462\div 147=3\cdots 21$
$147\div 21=7\cdots 0$

余数为0，$\gcd(1071,462)=\mathbf{21}$。

例2　甲每4天去一次图书馆，乙每6天去一次，丙每8天去一次。三人7月1日同时去图书馆，下次同时去是几月几日？

分析　求4、6、8的最小公倍数。$4=2^2$，$6=2\times 3$，$8=2^3$，$\text{lcm}=2^3\times 3=24$。

解答　$\text{lcm}(4,6,8)=24$，即24天后三人同时去图书馆。7月1日过24天是 7月25日。

【举一反三】¶

求 $\gcd(252, 198)$。（$252\div 198=1\cdots 54$，$198\div 54=3\cdots 36$，$54\div 36=1\cdots 18$，$36\div 18=2\cdots 0$，GCD为18）
一条路长360米，每隔若干米种一棵树（两端都种）。现在每隔12米种松树，每隔18米种柏树，哪些位置两种树重合？（重合间隔为 $\text{lcm}(12,18)=36$米，即第36、72、108……360米处）

第5讲奇数与偶数 ¶

【知识要点】¶

奇数：不能被2整除的数（$2n+1$）；偶数：能被2整除的数（$2n$，0是偶数）。
加减规律：奇 $\pm$ 奇 $=$ 偶，偶 $\pm$ 偶 $=$ 偶，奇 $\pm$ 偶 $=$ 奇。
乘法规律：奇 $\times$ 奇 $=$ 奇，其余含偶则积为偶。
关键性质：若干个奇数相加，奇数个奇数的和为奇数，偶数个奇数的和为偶数。

【解题策略】¶

判断和的奇偶性，只需统计加数中奇数的个数。
判断积的奇偶性，只需看因数中是否含偶数。
利用奇偶不变性排除不可能的情况。

【典型例题】¶

例1　$1+2+3+\cdots+100$ 的和是奇数还是偶数？

分析　1到100中有50个奇数（1,3,5,…,99）。奇数个数为偶数（50个），偶数个奇数相加，和为偶数。偶数不影响奇偶性，所以总和为偶数。

解答　50个奇数相加（偶数个），和为偶数。故 $1+2+\cdots+100=5050$ 是偶数。

例2　能否将1, 2, 3, …, 9这九个数排成一排，使任意相邻两个数之和都是质数？

分析　相邻两数之和为质数。1~9中偶数为2,4,6,8（4个），奇数为1,3,5,7,9（5个）。相邻两个数若一奇一偶，和为奇数（可能为质数）；若两奇或两偶，和为偶数，质数中的偶数只有2，而相邻两数之和至少 $1+2=3$，不可能为2。所以相邻的必须是奇偶交错排。但奇数5个、偶数4个，奇偶交错时首尾都是奇数需要奇数比偶数多1，恰好满足。可以尝试：1-2-3-4-7-6-5-8-9，检相邻和：$1+2=3$（质），$2+3=5$（质），$3+4=7$（质），$4+7=11$（质），$7+6=13$（质），$6+5=11$（质），$5+8=13$（质），$8+9=17$（质）。全部为质数！

解答　可以，例如排列 1, 2, 3, 4, 7, 6, 5, 8, 9，相邻两数之和分别为3, 5, 7, 11, 13, 11, 13, 17，全是质数。

【举一反三】¶

$1+3+5+\cdots+99$（共50个奇数）的和是奇数还是偶数？（偶数个奇数相加，和为偶数）
三个连续自然数的积一定是偶数还是奇数？（三连续数必含偶数，积为偶教）

第6讲约数个数与约数和 ¶

【知识要点】¶

约数个数定理：若 $N=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times\cdots\times p_k^{a_k}$，则约数个数 $d(N)=(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$。
约数和定理：约数之和 $\sigma(N)=(1+p_1+p_1^2+\cdots+p_1^{a_1})(1+p_2+\cdots+p_2^{a_2})\cdots(1+p_k+\cdots+p_k^{a_k})$。
先分解质因数，再套公式即可。

【解题策略】¶

将数分解质因数，得到标准分解式。
约数个数：各质因数指数加1后相乘。
约数和：每个质因数取 $1+p+p^2+\cdots+p^a$ 后相乘。

【典型例题】¶

例1　求72的约数个数和约数和。

分析　先分解：$72=2^3\times 3^2$。

解答

约数个数：$d(72)=(3+1)(2+1)=4\times 3=12$ 个。
约数和：$\sigma(72)=(1+2+4+8)(1+3+9)=15\times 13=195$。

例2　一个数有6个约数，且最小的两个约数是1和3，求这个数。

分析　最小约数是1和3，说明3是该数最小的质因数。$d(N)=6$ 可能的指数组合：(5)即 $p^5$ 或 (1)(2)即 $p\times q^2$。由于最小质因数是3，若 $N=3^5=243$ 约数个数为6，最小两约数为1和3，符合。若 $N=3\times q^2$（$q>3$为质数），取 $q=5$ 则 $N=75$，约数：1,3,5,15,25,75，共6个，最小为1和3，也符合。需要取最小的，即75。

解答　满足条件的数有75（$3\times 5^2$）和243（$3^5$），最小的是75。

【举一反三】¶

求60的约数个数。（$60=2^2\times 3\times 5$，$d=3\times 2\times 2=12$个）
求 $12=2^2\times 3$ 的约数和。（$\sigma=(1+2+4)(1+3)=7\times 4=28$）

第7讲完全平方数 ¶

【知识要点】¶

完全平方数：$n^2$（$n$为正整数），如1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100等。
末位特征：完全平方数的末位只能是0, 1, 4, 5, 6, 9，不可能是2, 3, 7, 8。
约数个数特征：完全平方数的约数个数为奇数（非完全平方数的约数个数为偶数）。
在完全平方数的质因数分解中，每个质因数的指数都是偶数。

【解题策略】¶

看末位排除：末位是2,3,7,8的数一定不是完全平方数。
检查质因数分解中各指数是否全为偶数。
利用约数个数的奇偶性判断。

【典型例题】¶

例1　判断以下各数哪些是完全平方数：2436, 4761, 5329。

分析　2436末位是6，可能；4761末位是1，可能；5329末位是9，可能。需要进一步检验。

解答

$4761$：$\sqrt{4761}\approx 69$，试 $69^2=4761$，是。
$5329$：$\sqrt{5329}\approx 73$，试 $73^2=5329$，是。
$2436$：$\sqrt{2436}\approx 49.4$，$49^2=2401$，$50^2=2500$，不是。

例2　一个四位数是完全平方数，且前两位数字相同、后两位数字相同，求这个四位数。

分析　设四位数为 $\overline{aabb}=1100a+11b=11(100a+b)$。因为它是完全平方数且含因子11，所以 $100a+b$ 必须含因子11，即 $100a+b$ 能被11整除。$100a+b\div 11$ 的商还需含因子11（才能保证指数为偶数），即 $100a+b$ 能被121整除。$100a+b=121k$，$a$ 为1~9，$b$ 为0~9，范围 $1001\leq 1100a+11b\leq 9999$，故 $91\leq 100a+b\leq 909$。$k$ 从1到7尝试：$k=8$ 时 $100a+b=968$，$a=9,b=68$ 不合；逐一尝试，$7744=88^2$，即 $a=7,b=4$，$1100\times7+11\times4=7744$，$\sqrt{7744}=88$。

解答　$\overline{aabb}=11(100a+b)$，需被121整除。验证 $a=7,b=4$：$7744=88^2$。这个数是 7744。

【举一反三】¶

判断3528是否为完全平方数。（$3528=2^3\times 3^2\times 7^2$，指数3不是偶数，不是完全平方数）
在200到300之间有哪些完全平方数？（$15^2=225$，$16^2=256$，$17^2=289$，共3个）

第8讲分数的基本性质 ¶

【知识要点】¶

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，即 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times k}{b\times k}=\dfrac{a\div k}{b\div k}$（$k\neq 0$）。
约分：分子分母同时除以最大公约数，化为最简分数。
通分：把异分母分数化为同分母分数，通常取最小公倍数作公分母。
最简分数：分子分母互质（最大公约数为1）的分数。

【解题策略】¶

约分先求分子分母的GCD，再同时除以它。
通分先求分母的LCM作公分母，再用分数基本性质变换。
比较分数大小或分数加减前，通常先通分。

【典型例题】¶

例1　将 $\dfrac{36}{60}$ 约分，化为最简分数。

分析　$\gcd(36,60)=12$，分子分母同时除以12。

解答　$\dfrac{36}{60}=\dfrac{36\div 12}{60\div 12}=\dfrac{3}{5}$。

例2　将 $\dfrac{1}{4}$ 和 $\dfrac{2}{3}$ 通分。

分析　$\text{lcm}(4,3)=12$，公分母取12。

解答　$\dfrac{1}{4}=\dfrac{1\times 3}{4\times 3}=\dfrac{3}{12}$，$\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\times 4}{3\times 4}=\dfrac{8}{12}$。

【举一反三】¶

将 $\dfrac{48}{72}$ 约分。（GCD=24，$\dfrac{2}{3}$）
将 $\dfrac{5}{6}$ 和 $\dfrac{3}{8}$ 通分。（$\text{lcm}(6,8)=24$，得 $\dfrac{20}{24}$ 和 $\dfrac{9}{24}$）

第9讲分数的巧算 ¶

【知识要点】¶

裂项相消：利用 $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$，将一项拆成两项之差，正负抵消。
推广公式：$\dfrac{1}{n(n+k)}=\dfrac{1}{k}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+k}\right)$。
约分法：观察分子分母的结构特点，提取公因数或利用公式预先约简。
分组法：将分数按规律分组，每组简化后求和。

【解题策略】¶

识别裂项结构，确认分母是两因数之积且两因数之差固定。
写出拆分公式，展开后首尾项保留、中间项相消。
对 $\dfrac{1}{n(n+k)}$ 型，拆分系数为 $\dfrac{1}{k}$。
最后将留下来的项做简单加减。

【典型例题】¶

例1　计算 $\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\cdots+\dfrac{1}{99\times 100}$。

分析　每项 $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$。

解答

$$\sum_{n=1}^{99}\dfrac{1}{n(n+1)}=\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\right)=1-\dfrac{1}{100}=\dfrac{99}{100}$$

例2　计算 $\dfrac{1}{2\times 4}+\dfrac{1}{4\times 6}+\dfrac{1}{6\times 8}+\cdots+\dfrac{1}{98\times 100}$。

分析　$\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right)$，裂项系数为 $\dfrac{1}{2}$。

解答

$$\sum=\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right)+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{98}-\dfrac{1}{100}\right)\right]=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{100}\right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{49}{100}=\dfrac{49}{200}$$

【举一反三】¶

计算 $\dfrac{1}{1\times 3}+\dfrac{1}{3\times 5}+\cdots+\dfrac{1}{97\times 99}$。（$\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right)$，结果 $\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{99})=\dfrac{49}{99}$）
计算 $\dfrac{1}{1\times 4}+\dfrac{1}{4\times 7}+\cdots+\dfrac{1}{97\times 100}$。（$\dfrac{1}{n(n+3)}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+3}\right)$，结果 $\dfrac{1}{3}(1-\dfrac{1}{100})=\dfrac{33}{100}$）

第10讲分数大小比较 ¶

【知识要点】¶

通分法：化为同分母分数，比分子大小。
交叉相乘法：比较 $\dfrac{a}{b}$ 和 $\dfrac{c}{d}$，若 $ad>bc$ 则 $\dfrac{a}{b}>\dfrac{c}{d}$（$b,d>0$）。
倒数法：若两数倒数大的反而小。
基准数法：与某个易比较的数（如 $\dfrac{1}{2}$、1）比较，再排序。
差值法：计算与某基准数的差，比较差的正负和大小。

【解题策略】¶

同分子可以直接比分母，分母小的分数大。
分母不同时优先交叉相乘，避免通分计算量大。
接近1的分数可以用1减来比较。
接近 $\dfrac{1}{2}$ 的数可以与 $\dfrac{1}{2}$ 比较。

【典型例题】¶

例1　比较 $\dfrac{5}{8}$ 和 $\dfrac{7}{12}$ 的大小。

分析　交叉相乘：$5\times 12=60$，$7\times 8=56$，$60>56$。

解答　$\dfrac{5}{8}>\dfrac{7}{12}$。

例2　将 $\dfrac{7}{13}$、$\dfrac{5}{9}$、$\dfrac{9}{17}$ 从小到大排列。

分析　三个数都接近 $\dfrac{1}{2}$，用差值法比较：与 $\dfrac{1}{2}$ 的差。

解答

$\dfrac{7}{13}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{14-13}{26}=\dfrac{1}{26}$
$\dfrac{5}{9}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{10-9}{18}=\dfrac{1}{18}$
$\dfrac{9}{17}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{18-17}{34}=\dfrac{1}{34}$

$\dfrac{1}{26}>\dfrac{1}{34}$ 但 $\dfrac{1}{18}>\dfrac{1}{26}$，所以 $\dfrac{5}{9}>\dfrac{7}{13}>\dfrac{9}{17}$。从大到小：$\dfrac{5}{9}>\dfrac{7}{13}>\dfrac{9}{17}$，从小到大为 $\dfrac{9}{17}<\dfrac{7}{13}<\dfrac{5}{9}$。

【举一反三】¶

比较 $\dfrac{3}{7}$ 和 $\dfrac{4}{9}$ 的大小。（交叉相乘：$27>28$？不，$3\times9=27<4\times7=28$，$\dfrac{3}{7}<\dfrac{4}{9}$）
比较 $\dfrac{10}{17}$ 和 $\dfrac{12}{19}$ 的大小。（$10\times19=190$，$12\times17=204$，$190<204$，$\dfrac{10}{17}<\dfrac{12}{19}$）

第11讲分数应用题（一）¶

【知识要点】¶

求一个数的几分之几用乘法：如求 $A$ 的 $\dfrac{m}{n}$ 是多少，列式 $A\times\dfrac{m}{n}$。
找准单位”1”：关键词”的”前面量就是单位”1”（标准量），”的”后面的分数是分率，”是/比”后的结果是对应量。
对应量 $=$ 单位”1”$\times$ 分率。
有多个分率时，先统一单位”1”。

【解题策略】¶

读题找”的”字，确定单位”1”。
判断单位”1”是否已知：已知用乘法，未知用除法。
画线段图帮助理解数量关系。
列式计算后检验答案合理性。

【典型例题】¶

例1　图书角有图书120本，其中故事书占 $\dfrac{2}{5}$，科技书是故事书的 $\dfrac{3}{4}$，科技书有多少本？

分析　单位”1”是总数120本。故事书 $=120\times\dfrac{2}{5}=48$本。再用故事书作单位”1”：科技书 $=48\times\dfrac{3}{4}=36$本。

解答　故事书：$120\times\dfrac{2}{5}=48$（本）。科技书：$48\times\dfrac{3}{4}=36$（本）。

答：科技书有36本。

例2　一袋大米30千克，第一天吃了 $\dfrac{1}{5}$，第二天吃了余下的 $\dfrac{1}{4}$，还剩多少千克？

分析　第一天吃 $30\times\dfrac{1}{5}=6$千克，剩余 $30-6=24$千克。第二天吃 $24\times\dfrac{1}{4}=6$千克，剩余 $24-6=18$千克。

解答　第一天吃 $30\times\dfrac{1}{5}=6$（千克），余 $24$千克。第二天吃 $24\times\dfrac{1}{4}=6$（千克），余 $24-6=18$（千克）。

答：还剩18千克。

【举一反三】¶

某班45人，其中男生占 $\dfrac{5}{9}$，男生中有 $\dfrac{1}{5}$ 戴眼镜，戴眼镜的男生有多少人？（$45\times\dfrac{5}{9}\times\dfrac{1}{5}=5$人）
一根绳长24米，第一次用去 $\dfrac{1}{3}$，第二次用去余下的 $\dfrac{1}{4}$，还剩多少米？（余 $16$米，再余 $16\times\dfrac{3}{4}=12$米）

第12讲分数应用题（二）¶

【知识要点】¶

已知部分求整体用除法：已知对应量和对应分率，求单位”1”。
量率对应：找准某个具体数量对应哪个分率，是解题核心。
公式：单位”1”$=$ 对应量 $\div$ 对应分率。
分率与量必须一一对应，不可张冠李戴。

【解题策略】¶

确定单位”1”是谁，判断其为未知。
找出已知量及其对应的分率，建立对应关系。
用”对应量 $\div$ 对应分率 $=$ 单位‘1‘“求解。
画线段图使量率关系更清晰。

【典型例题】¶

例1　一桶油，第一天用去 $\dfrac{1}{3}$，第二天用去12千克，还剩这桶油的 $\dfrac{2}{5}$。这桶油原有多少千克？

分析　单位”1”是这桶油的总量，未知。第一天用 $\dfrac{1}{3}$，剩 $\dfrac{2}{5}$，说明两天共用 $1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$。其中第一天 $\dfrac{1}{3}$，第二天对应分率为 $\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{9-5}{15}=\dfrac{4}{15}$。对应量是12千克。

解答　第二天的分率：$1-\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{15-6-5}{15}=\dfrac{4}{15}$。总量：$12\div\dfrac{4}{15}=12\times\dfrac{15}{4}=45$（千克）。

答：这桶油原有45千克。

例2　小明读一本书，已读页数是未读的 $\dfrac{3}{5}$，再读20页后，已读页数占总页数的 $\dfrac{1}{2}$。这本书共多少页？

分析　设总页数为单位”1”。已读 $:$ 未读 $= 3:5$，已读占 $\dfrac{3}{8}$。再读20页后已读 $\dfrac{1}{2}$。则 $20$页对应 $\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{4-3}{8}=\dfrac{1}{8}$。

解答　$\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{8}$，总页数 $=20\div\dfrac{1}{8}=160$（页）。

答：这本书共160页。

【举一反三】¶

一堆煤，运走 $\dfrac{2}{5}$ 后还剩12吨，这堆煤原有多少吨？（$12\div\dfrac{3}{5}=20$吨）
小红看一本书，已看 $\dfrac{1}{4}$，再看15页正好看了全书的一半，全书多少页？（$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$，$15\div\dfrac{1}{4}=60$页）

第13讲工程问题（一）¶

【知识要点】¶

工作总量设为1：工程问题中通常把总工程量看作单位”1”。
工作效率：单位时间完成的工程量，效率 $=\dfrac{1}{\text{工作时间}}$。
基本公式：工作量 $=$ 效率 $\times$ 时间，时间 $=\dfrac{\text{工作量}}{\text{效率}}$。
单独完成时间越短效率越高。

【解题策略】¶

设工作总量为1，把各人的工作时间转化为效率。
找清效率和、工作量关系。
用”工作量 $=$ 效率 $\times$ 时间”列方程或直接计算。

【典型例题】¶

例1　一项工程，甲单独做15天完成，乙单独做10天完成。甲先做3天后，甲乙合作还需几天？

分析　甲效率 $\dfrac{1}{15}$，乙效率 $\dfrac{1}{10}$。甲做3天完成 $\dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}$，剩 $1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$。合作效率 $\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{2+3}{30}=\dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{6}$。

解答　剩余工作量 $\dfrac{4}{5}$，合作效率 $\dfrac{1}{6}$，还需 $\dfrac{4}{5}\div\dfrac{1}{6}=\dfrac{24}{5}=4.8$天。

答：还需4.8天。

例2　加工一批零件，甲单独做8小时完成，乙单独做12小时完成。甲乙合作2小时后，甲离开，乙还需几小时完成？

分析　甲效率 $\dfrac{1}{8}$，乙效率 $\dfrac{1}{12}$，合作效率 $\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{3+2}{24}=\dfrac{5}{24}$。合作2小时完成 $\dfrac{5}{24}\times 2=\dfrac{5}{12}$，剩余 $1-\dfrac{5}{12}=\dfrac{7}{12}$。乙单独效率 $\dfrac{1}{12}$。

解答　$\dfrac{7}{12}\div\dfrac{1}{12}=7$（小时）。

答：乙还需7小时完成。

【举一反三】¶

一项工程甲独做20天完成，乙独做30天完成，甲乙合作几天完成？（$\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}=\dfrac{1}{12}$，$1\div\dfrac{1}{12}=12$天）
甲独做6天完成，乙独做12天完成，甲先做2天，余下乙做，还需几天？（甲做 $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$，余 $\dfrac{2}{3}$，$\dfrac{2}{3}\div\dfrac{1}{12}=8$天）

第14讲工程问题（二）¶

【知识要点】¶

合作效率：多人合作的效率等于各自效率之和。
轮流工作：按轮流顺序计算一个周期完成的工作量，再用总量除以周期工作量。
中途换人：分段计算各阶段完成量，注意效率变化。
工程问题的核心是效率的加减与时间的对应。

【解题策略】¶

多人合作：把各自效率相加得到合作效率。
轮流工作：先算一个完整循环的效率，再看需要几个循环，最后处理尾数。
注意”谁先做、谁后做、合作多少天”的细节。

【典型例题】¶

例1　一项工程，甲独做12天完成，乙独做18天完成。甲乙合作若干天后甲离开，乙又做3天完成。甲乙合作了多少天？

分析　乙单独做3天完成 $\dfrac{3}{18}=\dfrac{1}{6}$。合作完成 $1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$。合作效率 $\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{18}=\dfrac{3+2}{36}=\dfrac{5}{36}$。

解答　$\dfrac{5}{6}\div\dfrac{5}{36}=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{36}{5}=6$（天）。

答：甲乙合作了6天。

例2　一项工程，甲独做10天完成，乙独做15天完成，丙独做20天完成。按甲、乙、丙的顺序每人做一天轮流进行，需几天完成？

分析　甲效率 $\dfrac{1}{10}$，乙效率 $\dfrac{1}{15}$，丙效率 $\dfrac{1}{20}$。一轮（3天）完成 $\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{6+4+3}{60}=\dfrac{13}{60}$。$1\div\dfrac{13}{60}=\dfrac{60}{13}\approx 4.6$轮。

4轮（12天）完成 $\dfrac{52}{60}=\dfrac{13}{15}$，余 $1-\dfrac{13}{15}=\dfrac{2}{15}$。第13天甲做 $\dfrac{1}{10}=\dfrac{2}{20}$，$\dfrac{2}{15}=\dfrac{2}{15}$，比较 $\dfrac{1}{10}$ 和 $\dfrac{2}{15}$：$\dfrac{1}{10}=\dfrac{3}{30}$，$\dfrac{2}{15}=\dfrac{4}{30}$，$\dfrac{1}{10}<\dfrac{2}{15}$，甲一天做不完。第13天做完后余 $\dfrac{2}{15}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{4-3}{30}=\dfrac{1}{30}$，第14天乙做需 $\dfrac{1}{30}\div\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{2}$天。

解答　4轮12天完成 $\dfrac{52}{60}$，残余 $\dfrac{8}{60}=\dfrac{2}{15}$。第13天甲完成 $\dfrac{1}{10}$，余 $\dfrac{2}{15}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{30}$。第14天乙完成需 $\dfrac{1}{30}\div\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{2}$天。总共 $12+1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{29}{2}$天。

答：需要13.5天完成。

【举一反三】¶

一项工程甲独做8天完成，乙独做12天完成。甲乙合作2天后甲走，乙完成剩余需几天？（合作率 $\dfrac{5}{24}$，2天做 $\dfrac{5}{12}$，余 $\dfrac{7}{12}$，$\dfrac{7}{12}\div\dfrac{1}{12}=7$天）
甲独做5天完成，乙独做10天完成，合作多少天完成？（$\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{3}{10}$，$1\div\dfrac{3}{10}=\dfrac{10}{3}$天）

第15讲牛吃草问题 ¶

【知识要点】¶

核心模型：草场原有草量+生长的草量=被吃的草量。
假设每头牛每天吃1份草，则：
- 被吃总量 $=$ 牛数 $\times$ 天数
- 草的生长速度 $=$ 每天新增草量
关键公式：设草每天生长 $r$ 份，原有草 $G$ 份，则 $G+$天数$\times r=$牛数$\times$天数。

【解题策略】¶

设每头牛每天吃1份草。
用两组数据列方程求 $r$ 和 $G$。
再代入新的牛数或天数求另一个量。

【典型例题】¶

例1　一片草地，27头牛6天吃完，23头牛9天吃完。问21头牛几天吃完？

分析　设每天草生长 $r$ 份，原有草 $G$ 份。则：$G+6r=27\times 6=162$，$G+9r=23\times 9=207$。两式相减：$3r=45$，$r=15$。代入 $G=162-6\times 15=162-90=72$。

解答　$r=15$，$G=72$。21头牛每天净消耗 $21-15=6$份，需 $72\div 6=12$天。

答：21头牛12天吃完。

例2　一片牧场，10头牛20天吃完，15头牛10天吃完。25头牛几天吃完？

分析　$G+20r=10\times 20=200$，$G+10r=15\times 10=150$。相减 $10r=50$，$r=5$，$G=200-20\times 5=100$。

解答　25头牛每天净消耗 $25-5=20$份，$100\div 20=5$天。

答：25头牛5天吃完。

【举一反三】¶

12头牛25天吃完草场，20头牛10天吃完。30头牛几天吃完？（$G+25r=300$，$G+10r=200$，$15r=100$，$r=\dfrac{20}{3}$，$G=\dfrac{400}{3}$。每天净消耗 $30-\dfrac{20}{3}=\dfrac{70}{3}$，$\dfrac{400}{3}\div\dfrac{70}{3}=\dfrac{40}{7}\approx 5.7$天）
一片草地可供24头牛吃6天，或21头牛吃8天。18头牛可吃几天？（$G+6r=144$，$G+8r=168$，$2r=24$，$r=12$，$G=72$。每天净消耗 $18-12=6$，$72\div 6=12$天）

第16讲行程问题进阶 ¶

【知识要点】¶

基本关系：路程 $=$ 速度 $\times$ 时间。
相遇问题：两人相向而行，相遇时路程和 $=$ 速度和 $\times$ 时间。
追及问题：两人同向而行，追及时路程差 $=$ 速度差 $\times$ 时间。
往返运动：注意方向变化和速度是否改变。
多次相遇：每次相遇到下次相遇，两人合计走 $2$倍全程（相向而行）。

【解题策略】¶

画线段图标明位置和运动方向。
找准”速度和”或”速度差”以及对应的路程。
多次相遇问题用”总路程与全程的倍数关系”分析。
变速问题分段计算每段的时间和路程。

【典型例题】¶

例1　甲乙两地相距480千米，客车从甲地开往乙地速度60千米/时，货车从乙地开往甲地速度40千米/时。两车同时出发，多少小时后相距80千米？

分析　两车相向而行，速度和 $60+40=100$千米/时。相距80千米有两种情况：相遇前和相遇后。

解答

相遇前：$(480-80)\div 100=4$小时
相遇后：$(480+80)\div 100=5.6$小时

答：4小时或5.6小时后两车相距80千米。

例2　甲乙两人同时从A地出发沿同一公路前行，甲速6千米/时，乙速4千米/时。甲走到B地后立即返回，在距B地3千米处与乙相遇。求AB两地的距离。

分析　设AB距离为 $S$。甲走了 $S+3$ 千米，乙走了 $S-3$ 千米（因为乙还没到B）。时间相同：$\dfrac{S+3}{6}=\dfrac{S-3}{4}$。

解答　$\dfrac{S+3}{6}=\dfrac{S-3}{4}$，$4(S+3)=6(S-3)$，$4S+12=6S-18$，$2S=30$，$S=15$（千米）。

答：AB两地相距15千米。

【举一反三】¶

甲乙同时从A、B两地相向而行，甲速5千米/时，乙速3千米/时，30分钟后相遇。AB距离多少？（$\left(5+3\right)\times 0.5=4$千米）
甲追乙，甲速10千米/时，乙速7千米/时，乙先走2小时甲才开始追，甲需几小时追上？（路程差 $14$千米，速度差 $3$千米/时，$14\div 3=\dfrac{14}{3}$小时）

第17讲列方程解应用题 ¶

【知识要点】¶

设未知数：通常设所求量为 $x$，有时设其他量为 $x$ 更方便。
找等量关系：从题目条件中找到能列出等式的关键条件。
列方程：用含 $x$ 的代数式表示各量，根据等量关系列方程。
解方程：去括号、移项、合并同类项，求出 $x$。

【解题策略】¶

仔细审题，确定未知数和等量关系。
用线段图或表格辅助理清数量关系。
列方程时确保等号两边单位一致、含义对等。

【典型例题】¶

例1　鸡兔同笼，共有头35个，脚94只。鸡和兔各多少只？

分析　设鸡 $x$ 只，兔 $y$ 只。$x+y=35$，$2x+4y=94$。

解答　$x=35-y$，代入：$2(35-y)+4y=94$，$70-2y+4y=94$，$2y=24$，$y=12$，$x=23$。

答：鸡23只，兔12只。

例2　小明买了3本笔记本和2支钢笔共32元，买同样的5本笔记本和3支钢笔共50元。每本笔记本和每支钢笔各多少元？

分析　设笔记本每本 $x$ 元，钢笔每支 $y$ 元。列方程组：$3x+2y=32$，$5x+3y=50$。

解答　第一个方程 $\times 3$：$9x+6y=96$；第二个方程 $\times 2$：$10x+6y=100$。相减：$x=4$。代入第一个方程：$3\times4+2y=32$，$2y=20$，$y=10$。

答：笔记本每本4元，钢笔每支10元。

【举一反三】¶

两数之和为48，两数之差为12，求两数。（大数30，小数18）
鸡兔同笼共20个头56只脚，鸡兔各几只？（鸡12只，兔8只）

第18讲容斥原理 ¶

【知识要点】¶

两集合容斥：$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$。
三集合容斥：$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$。
容斥原理用于解决”至少满足一个条件”的计数问题。
“重复计算的部分要减去，多减的部分要加回”。

【解题策略】¶

明确各集合及其交集、并集的含义。
先把所有集合的元素个数相加。
减去两两交集（多算的部分）。
加回三个集合都满足的部分（多减的部分）。

【典型例题】¶

例1　某班50人，参加数学兴趣小组的有30人，参加英语兴趣小组的有25人，两个都不参加的有5人。两样都参加的有多少人？

分析　参加至少一项的人 $=50-5=45$。设两样都参加 $x$ 人，$|A\cup B|=30+25-x=45$。

解答　$30+25-x=45$，$x=10$。两样都参加的有10人。

例2　全班50人，参加数学组的有30人，参加语文组的有25人，参加英语组的有20人。同时参加数学和语文的15人，同时参加数学和英语的10人，同时参加语文和英语的8人，三科都参加的5人。至少参加一科的有多少人？都不参加的有多少人？

分析　用三集合容斥公式求至少参加一科的人数，再用总人数减去即得都不参加的人数。

解答

$$|A\cup B\cup C|=30+25+20-15-10-8+5=47$$

至少参加一科的有 47人，都不参加的有 $50-47=\mathbf{3}$ 人。

【举一反三】¶

某班45人，喜欢语文的25人，喜欢数学的20人，两样都不喜欢的有5人。两样都喜欢的几人？（$25+20-x=40$，$x=5$人）
80人中，会游泳的40人，会骑车的30人，两样都会的15人。至少会一项的人数？（$40+30-15=55$人）

第19讲抽屉原理进阶 ¶

【知识要点】¶

抽屉原理（鸽巢原理）：$n+1$ 个物品放入 $n$ 个抽屉，至少有一个抽屉有 $\geq 2$ 个物品。
推广形式：$kn+1$ 个物品放入 $n$ 个抽屉，至少有一个抽屉有 $\geq k+1$ 个物品。
最不利原则：考虑最坏情况，求保证结论成立的最少数量。
关键是合理构造抽屉（分组方式）。

【解题策略】¶

确定物品和抽屉分别是什么。
计算抽屉数和物品数的关系。
用”最不利原则”求保证成立的最少物品数。

【典型例题】¶

例1　从1到20的自然数中，至少取多少个数，才能保证有两个数之和为21？

分析　构造抽屉：两数之和为21的配对为 $(1,20), (2,19), \ldots, (10,11)$，共10对（10个抽屉）。最不利取法是从每对中各取1个，取10个数都不满足和为21。再取1个（第11个），必然与已取的某个数配对成功。

解答　共10组配对，最不利取10个（每组1个），第11个必成对。至少取 $\mathbf{11}$ 个。

例2　箱子里有红、黄、蓝三种颜色的球各10个。至少取出多少个球，才能保证有3个同色？

分析　抽屉是3种颜色。最不利：每种颜色各取2个，共 $2\times 3=6$ 个，还没有3个同色。第7个无论什么颜色，该色必有3个。

解答　$2\times 3+1=\mathbf{7}$ 个，保证有3个同色。

【举一反三】¶

从1到15中至少取几个数，保证有两个数之和为16？（配对 $(1,15),\ldots,(7,9)$ 共7对加8单独，取8个，第9个保证。答：9个）
4种颜色的球各20个，至少取几个保证5个同色？（$4\times4+1=17$个）

第20讲循环小数与分数 ¶

【知识要点】¶

纯循环小数化分数：将一个循环节作分子，分母写与循环节位数相同的若干个9。如 $0.\dot{3}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$，$0.\dot{1}\dot{2}=\dfrac{12}{99}=\dfrac{4}{33}$。
混循环小数化分数：分子 $=$ 去掉小数点后的完整数 $-$ 不循环部分；分母 $=$ 循环节位数个9接不循环位数个0。如 $0.1\dot{6}=\dfrac{16-1}{90}=\dfrac{15}{90}=\dfrac{1}{6}$。
循环小数和分数之间可以互相转化。

【解题策略】¶

纯循环小数：分子取一个循环节，分母取对应个数的9，化简。
混循环小数：分子取”去掉小数点后的完整数减不循环部分”，分母取”9的个数对应循环节位数 + 0的个数对应不循环位数”。

【典型例题】¶

例1　将 $0.\dot{4}\dot{5}$ 化为分数。

分析　纯循环小数，循环节”45”有2位。

解答　$0.\dot{4}\dot{5}=\dfrac{45}{99}=\dfrac{5}{11}$。

例2　将 $0.3\dot{8}\dot{1}$ 化为分数。

分析　混循环小数，不循环部分”3”有1位，循环节”81”有2位。分子 $=381-3=378$，分母 $=990$。

解答　$0.3\dot{8}\dot{1}=\dfrac{381-3}{990}=\dfrac{378}{990}=\dfrac{21}{55}$。

【举一反三】¶

将 $0.\dot{1}\dot{2}\dot{3}$ 化为分数。（$\dfrac{123}{999}=\dfrac{41}{333}$）
将 $0.2\dot{7}$ 化为分数。（$\dfrac{27-2}{90}=\dfrac{25}{90}=\dfrac{5}{18}$）

第21讲图形面积进阶 ¶

【知识要点】¶

割补法：将不规则图形分割成规则图形分别计算，或将部分移补拼成规则图形。
等积变形：同底等高的三角形面积相等，利用此性质进行面积转换。
差不变原理：两个图形同时增减相同区域，面积差不变。
比例法：利用线段比例关系求面积比。

【解题策略】¶

观察图形特点，选择合适的分割或拼接方式。
找等高或等底的三角形进行面积转换。
用差不变原理简化复杂面积关系。
共角三角形面积比等于对应边平方比。

【典型例题】¶

例1　一个长方形被两条线段分成四个小长方形，其中三个面积分别为6、8、12（如下排列），求第四个小长方形的面积。

┌──────┬──────┐
│  6   │  8   │
├──────┼──────┤
│  ?   │ 12   │
└──────┴──────┘

分析　设左列宽 $a$，右列宽 $b$，上行高 $h_1$，下行高 $h_2$。$a\times h_1=6$，$b\times h_1=8$，$b\times h_2=12$。求 $a\times h_2$。$\dfrac{a\times h_2}{b\times h_2}=\dfrac{a\times h_1}{b\times h_1}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$，故 $a\times h_2=12\times\dfrac{3}{4}=9$。

解答　对角面积之积相等：$6\times 12=8\times x$，$x=\dfrac{72}{8}=\mathbf{9}$。

例2　在三角形ABC中，D是BC中点，E是AD中点，求三角形ABE与三角形ABC的面积比。

分析　D是BC中点，$S_{ABD}=\dfrac{1}{2}S_{ABC}$。E是AD中点，$S_{ABE}=\dfrac{1}{2}S_{ABD}$（E是AD中点，三角形ABE和EBD等底等高）。

解答　$S_{ABE}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}S_{ABC}=\dfrac{1}{4}S_{ABC}$。面积比为 $\mathbf{1:4}$。

【举一反三】¶

平行四边形ABCD中，E是AB中点，F是BC中点，连DE、DF、EF，三角形DEF面积占平行四边形的几分之几？（$\dfrac{1}{4}$）
梯形上底4下底10高6，对角线把它分成四个三角形，求两个对角三角形面积。（上底处三角形6，下底处三角形30）

第22讲余数问题 ¶

【知识要点】¶

同余：若 $a$ 和 $b$ 除以 $m$ 余数相同，则 $a\equiv b\pmod{m}$。
余数可加性：$(a+b)\bmod m=[(a\bmod m)+(b\bmod m)]\bmod m$。
余数可乘性：$(a\times b)\bmod m=[(a\bmod m)\times(b\bmod m)]\bmod m$。
利用同余可以简化大数取余的运算。

【解题策略】¶

大数取余时，先分解再用余数可加、可乘性质逐步求。
幂的余数找规律：计算 $a^n\bmod m$ 时，观察余数循环周期。
等式成立只需在模 $m$ 下余数相同。

【典型例题】¶

例1　$3^{100}$ 除以5的余数是多少？

分析　$3^1\bmod 5=3$，$3^2\bmod 5=4$，$3^3\bmod 5=2$，$3^4\bmod 5=1$。周期为4，$100\div 4=25$余0，故 $3^{100}\equiv 3^4\equiv 1\pmod{5}$。

解答　$3^n\bmod 5$ 周期为4（3, 4, 2, 1），$100\equiv 0\pmod 4$，取 $3^4\bmod 5=1$。余数为 $\mathbf{1}$。

例2　$7^{2023}$ 除以11的余数是多少？

分析　$7^1\equiv7$，$7^2\equiv49\equiv5$，$7^3\equiv5\times7=35\equiv2$，$7^4\equiv2\times7=14\equiv3$，$7^5\equiv3\times7=21\equiv10$，$7^6\equiv10\times7=70\equiv4$，$7^7\equiv4\times7=28\equiv6$，$7^8\equiv6\times7=42\equiv9$，$7^9\equiv9\times7=63\equiv8$，$7^{10}\equiv8\times7=56\equiv1\pmod{11}$。周期10。

解答　$7^{10}\equiv1\pmod{11}$，周期10。$2023\bmod 10=3$，余数 $=7^3\bmod 11=2$。余数为 $\mathbf{2}$。

【举一反三】¶

$2^{10}$ 除以7的余数？（$2^3\equiv1\pmod7$，$2^{10}=2^{3\times3+1}\equiv2\pmod7$，余2）
$5^{20}$ 除以13的余数？（$5^2=25\equiv12$，$5^4\equiv144\equiv1$，周期4，$20\div4=5$余0，余1）

第23讲中国剩余定理初步 ¶

【知识要点】¶

物不知数问题：一个数除以3余 $a$，除以5余 $b$，除以7余 $c$，求这个数。
逐步满足条件法：先满足第一个条件，再在此基础上调整以满足第二个条件，逐步叠加。
核心思想：在满足已有条件的基础上加上模数的倍数，不破坏已有条件的同时满足新条件。

【解题策略】¶

先写出第一个条件的通解形式。
代入第二个条件求出新的通解。
再代入第三个条件，直到满足所有条件。
取最小正整数解。

【典型例题】¶

例1　一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求满足条件的最小正整数。

分析　逐步满足法。

解答

满足”除以3余2”：$2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, \ldots$（通解 $3k+2$）
在其中找”除以5余3”：$2\bmod5=2$（否），$5\bmod5=0$（否），$8\bmod5=3$（是）。通解 $8+15m$（$3\times5=15$）
在 $8, 23, 38, 53, \ldots$ 中找”除以7余2”：$8\bmod7=1$（否），$23\bmod7=2$（是）

最小正整数为 $\mathbf{23}$。

例2　一组士兵，5人一排多3人，7人一排多2人，11人一排多8人。最少多少士兵？

分析　逐步满足法。

解答

满足”除以5余3”：$3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, \ldots$
找”除以7余2”：$23\bmod7=2$（是）。通解 $23+35m$
$23, 58, 93, 128, 163, 198, 233, 268, 303, 338, \ldots$ 中找”除以11余8”：$23\bmod11=1$，$58\bmod11=3$，$93\bmod11=5$，$128\bmod11=7$，$163\bmod11=9$，$198\bmod11=0$，$233\bmod11=2$，$268\bmod11=4$，$303\bmod11=6$，$338\bmod11=8$（是）

验证：$338\div5=67\cdots3$✓，$338\div7=48\cdots2$✓，$338\div11=30\cdots8$✓。

答：最少338人。

【举一反三】¶

一个数除以3余1，除以5余4，除以7余3，求最小正整数。（29）
一个数除以4余1，除以5余2，除以7余6，求最小正整数。（97）

第24讲逻辑推理 ¶

【知识要点】¶

条件推理：根据已知条件逐步排除或确认。
表格法：列表标出条件，用”✓”和”✗”逐步填满。
假设法：假设某结论成立，推理是否产生矛盾。
每个条件都要充分利用，矛盾即排除。

【解题策略】¶

列出所有对象和属性，画表格。
从确定条件入手，逐步排除。
善用假设验证法快速锁定范围。
检查矛盾确保推理一致。

【典型例题】¶

例1　甲、乙、丙三人分别喜欢语文、数学、英语中的一门（各不相同）。已知：①甲不喜欢语文；②乙不喜欢数学；③喜欢英语的不是丙。求各人喜欢的科目。

分析　用排除法。由③英语不是丙；甲不喜欢语文（甲选数学或英语）；乙不喜欢数学（乙选语文或英语）。

解答

若甲选数学：乙只能选英语或语文，但若乙选英语则丙选语文。检查③：英语是乙不是丙✓。全部满足。
- 甲-数学，乙-英语，丙-语文。

答：甲喜欢数学，乙喜欢英语，丙喜欢语文。

例2　四人赛跑，赛后问名次。A说”我不是第一”，B说”我是第二”，C说”我是第四”，D说”我不是第四”。四人中只有一人说错，求各人名次。

分析　逐一假设谁说错。

解答

假设B说错（B不是第二）：A不是第一、C是第四、D不是第四（与C是第四一致）。名次为1/2/3/4：C是4，D不是4✓，A不是1，B不是2。排：第一位是D，第二位是A，第三位是B，第四位是C。
- 验证：A说”不是第一”✓（第二），B说”我是第二”✗（第三），C说”我是第四”✓，D说”我不是第四”✓。只有B说错。✅

答：第一D，第二A，第三B，第四C。

【举一反三】¶

甲乙丙三人中，一人是老师、一人是医生、一人是工人。已知：甲不是医生，乙不是老师，丙不是工人，且医生比乙年龄大。各是什么职业？（甲是老师，乙是工人，丙是医生）
红、黄、蓝三个盒子分别装苹果、橘子和梨。红盒不装橘子，黄盒不装苹果，蓝盒不装梨，且苹果不在黄盒。各盒装什么？（红盒装苹果，黄盒装梨，蓝盒装橘子）

第25讲统计与平均数 ¶

【知识要点】¶

平均数：$\text{平均数}=\dfrac{\text{总和}}{\text{个数}}$。
移多补少法：把高于平均数的部分移给低于平均数的部分，使各数相等。
基准数法：取一个基准数，其他数与基准数比较，求差的平均再加基准。
加权平均数：各组数值乘以权重后求和再除以总权重。

【解题策略】¶

已知总和和个数求平均，直接相除。
已知平均和个数求总和：平均 $\times$ 个数 $=$ 总和。
已知部分数和部分平均求另一个数：先算总和，再用总平均求补齐。
两组数据合并时，用总不变原理求解。

【典型例题】¶

例1　五次数学测试成绩分别为85、88、92、79、96，求平均分。

分析　取基准数90，差为 $-5, -2, +2, -11, +6$，差之和 $=-10$，平均 $=90+(-10\div5)=90-2=88$。

解答　总和 $=85+88+92+79+96=440$，平均 $=440\div5=88$（分）。

例2　小明前4次测验平均90分，第5次要考多少分才能使5次平均达到92分？

分析　前4次总分 $=90\times4=360$。5次平均92需总分 $=92\times5=460$。第5次 $=460-360=100$。

解答　第5次需考 $92\times5-90\times4=460-360=100$（分）。

答：第5次需考100分。

【举一反三】¶

六个数平均12，去掉最大的数后平均10，最大的数是多少？（$12\times6-10\times5=72-50=22$）
甲乙两组平均分分别为85和90，人数之比2:3，求合并后的平均分。（$\dfrac{85\times2+90\times3}{5}=\dfrac{170+270}{5}=\dfrac{440}{5}=88$分）

学习建议：本书25讲涵盖了五年级奥数的核心知识点。建议按顺序学习，每讲先理解知识要点，再掌握解题策略，通过例题体会方法，最后完成举一反三练习巩固提升。遇到困难时多画图、多列式、多验证，培养严谨的数学思维。