小学奥数举一反三 六年级¶
适用对象： 使用人教版教材、有志于数学思维拓展的六年级学生。
内容概述： 本书按”举一反三”理念编排 25 讲，覆盖分数运算、百分数应用、工程与经济、比与比例、圆与扇形、圆柱圆锥、方程与不定方程、逻辑推理、行程钟表、统筹优化等内容。通过对方法剖析、类型归纳与变式训练，帮助学生掌握一类问题的通解通法。
学习目标：
1. 系统掌握六年级数学核心概念与计算技巧。
2. 熟练运用典型数量关系解决综合应用问题。
3. 提升逻辑推理与空间想象能力。
4. 形成举一反三、触类旁通的解题习惯。
目录
1. 分数拆分 2. 巧算分数 3. 定义新运算进阶 4. 分数百分数应用题（一） 5. 分数百分数应用题（二） 6. 工程问题进阶 7. 经济问题 8. 浓度问题 9. 比例问题 10. 比例尺 11. 正比例与反比例 12. 圆的周长与面积 13. 扇形 14. 圆柱的表面积与体积 15. 圆锥的体积 16. 立体图形综合 17. 列方程解分数应用题 18. 不定方程 19. 逻辑推理进阶 20. 极值问题 21. 统计与概率初步 22. 行程问题综合 23. 钟表问题 24. 统筹方法 25. 综合应用
第1讲 分数拆分¶
【知识要点】
1. 单位分数：分子为 1 的正分数，又称埃及分数，如 $\frac{1}{2},\frac{1}{3}$。
2. 核心公式：$\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n(n+1)}$，由 $\dfrac{n+1+n}{n(n+1)}=\dfrac{2n+1}{n(n+1)}$… 验证 $\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{n+1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}$。
3. 推广：$\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n+a}+\dfrac{a}{n(n+a)}$，当 $a\mid n(n+a)$ 时分子可再拆为单位分数。
4. 不同约数可得多种拆分，如 $\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}$。
【解题策略】
1. 分子为 1 直接套核心公式。
2. 分子大于 1 先拆为几个单位分数之和再分别拆分。
3. 优先选择约数较多的分母。
4. 加法验证还原原分数。
【典型例题】
例1：把 $\frac{1}{6}$ 拆成两个单位分数之和。
分析：直接用核心公式，$n=6$。
解答：$\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{6\times7}=\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{42}$。验证 $:\ \dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{42}=\dfrac{6+1}{42}=\dfrac{7}{42}=\dfrac{1}{6}$ ✓
例2：将 $\frac{3}{10}$ 拆成三个不同的单位分数之和。
分析：$\frac{3}{10}=\frac{1}{5}+\frac{1}{10}$，再把 $\frac{1}{5}$ 拆开。
解答：$\frac{1}{5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{30}$，所以 $\dfrac{3}{10}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{10}$。验证：$\frac{5+1+3}{30}=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$ ✓
【举一反三】
1. 把 $\frac{1}{8}$ 拆成两个不同单位分数之和。
答案：$\frac{1}{9}+\frac{1}{72}$（亦可 $\frac{1}{10}+\frac{1}{40}$、$\frac{1}{12}+\frac{1}{24}$）。
2. 把 $\frac{2}{7}$ 表示为两个单位分数之和。
答案：$\frac{1}{4}+\frac{1}{28}$。
第2讲 巧算分数¶
【知识要点】
1. 提公因数法：分子相同或可化为相同时，把分母的因数提出。
2. 裂项相消法：$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$，相邻项抵消。
3. 换元法：把复杂部分设为 $x$，化简后还原。
4. 拆凑法：将带分数拆为整数与真分数之和。
【解题策略】
1. 观察分子分母的递变规律。
2. 合理分组、配对寻找可抵消项。
3. 善用运算律与等差数列公式。
【典型例题】
例1：计算 $\dfrac{1}{1\times2}+\dfrac{1}{2\times3}+\cdots+\dfrac{1}{9\times10}$。
分析：每项裂项后正负抵消，仅首尾保留。
解答：原式 $=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\right)=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$。
例2：计算 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{42}$。
分析：分母依次为 $1\times2,\,2\times3,\ldots,6\times7$。
解答：原式 $=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{7}\right)=1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}$。
【举一反三】
1. 计算 $\dfrac{1}{4\times5}+\dfrac{1}{5\times6}+\cdots+\dfrac{1}{9\times10}$。
答案：$\frac{1}{4}-\frac{1}{10}=\frac{3}{20}$。
2. 计算 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{128}$。
提示：等比裂项，答案 $\dfrac{127}{128}$。
第3讲 定义新运算进阶¶
【知识要点】
1. 自定义运算：用 $,\triangle,\oplus$ 等符号规定新运算，必须严格按定义计算，不可套用普通法则。
2. 含字母的运算：先列字母表达式并化简，再代入数值。
3. 运算律检验：比较 $ab$ 与 $b*a$ 是否相等以判定交换律。
4. 递推型：多步运算从内层括号逐层向外展开。
【解题策略】
1. 逐字理解定义，严格代入。
2. 含字母时化简表达式到最简。
3. 嵌套运算由内向外逐层求。
【典型例题】
例1：规定 $ab=2a+3b$，求 $(45)6$。
分析：先算 $45$，再把结果与 6 做运算。
解答：$45=2\times4+3\times5=23$；$236=2\times23+3\times6=46+18=64$。
例2：定义 $a\triangle b=\dfrac{a+b}{ab}$，求 $2\triangle(3\triangle4)$。
分析：先算内层 $3\triangle4$。
解答：$3\triangle4=\dfrac{3+4}{3\times4}=\dfrac{7}{12}$；
$2\triangle\dfrac{7}{12}=\dfrac{2+\frac{7}{12}}{2\times\frac{7}{12}}=\dfrac{\frac{31}{12}}{\frac{7}{6}}=\dfrac{31}{12}\times\dfrac{6}{7}=\dfrac{31}{14}$。
【举一反三】
1. 若 $a\oplus b=a^2-b^2$，求 $5\oplus3$。 答案：$25-9=16$。
2. 若 $a\otimes b=ab+a+b$，判断是否满足交换律。
答案：满足，因 $ab+a+b=ba+b+a$。
第4讲 分数百分数应用题（一）¶
【知识要点】
1. 找单位”1”：分率中”的”前的量或”比”后的量是单位”1”。
2. 量率对应：具体量 ÷ 对应分率 = 单位”1”的量。
3. 增减百分之几：增减率 =（变化量）÷ 单位”1”×100%。
【解题策略】
1. 关键句找单位”1”，判断其是否已知。
2. 画线段图帮助对应。
3. 一一对应量与率。
【典型例题】
例1：一本书已读 $\frac{2}{5}$，比未读少 30 页，全书共多少页？
分析：未读占 $1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$，未读比已读多 $\frac{1}{5}$，对应 30 页。
解答：$30\div\dfrac{1}{5}=150$ 页。
例2：商品原价 200 元，先涨 10% 再降 10%，现价多少？
分析：每次以上次结果为新基准，并非回到原价。
解答：$200\times1.1\times0.9=198$ 元。
【举一反三】
1. 一堆煤用去 $\frac{1}{3}$ 后还剩 24 吨，原有多少吨？
答案：$24\div\dfrac{2}{3}=36$ 吨。
2. 小红比小蓝体重轻 20%，则小蓝比小红重百分之几？
提示：以小红体重为单位”1”，小蓝为 $1.2$；$(1.2-1)\div1=20\%$。答案：$20\%$。
第5讲 分数百分数应用题（二）¶
【知识要点】
1. 连续变化：后一次以上次结果为新单位”1”。
2. 中间量转换：各分率基准不同时，需统一基准。
3. 多量互比：设公共基准量（通常为最小的一份）。
【解题策略】
1. 用表格标出每次的量与对应率。
2. 不同基准化为同一基准。
3. 由已知量逆推单位”1”。
【典型例题】
例1：甲仓存粮是乙仓的 $\frac{3}{5}$，从乙调 20 吨给甲后两仓相等，乙原有多少吨？
分析：调粮使差消除，原来乙比甲多 $20\times2=40$ 吨，对应 $\frac{2}{5}$。
解答：$40\div\dfrac{2}{5}=100$ 吨（乙原有 100 吨，甲原有 60 吨，验证 $80=80$）。
例2：商品先涨 20% 再降 20%，现价是原价的百分之几？
分析：现价 $=$ 原价 $\times1.2\times0.8=0.96$。
解答：现价是原价的 $96\%$。
【举一反三】
1. 甲是乙的 $\frac{4}{5}$，乙是丙的 $\frac{5}{6}$，甲是丙的几分之几？
答案：$\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}=\frac{2}{3}$。
2. 水果先涨 15% 再降 15%，比原价减少百分之几？
答案：$1-1.15\times0.85=2.25\%$。
第6讲 工程问题进阶¶
【知识要点】
1. 工作总量设为 1，工作效率 = 单位时间工作量。
2. 合作效率 = 各人效率之和。
3. 交替工作按顺序计周期，重点找循环周期。
4. 水管问题：进水排水效率相消求净效率。
【解题策略】
1. 列出每人或每管效率。
2. 工作时段分配合效率。
3. 累计工作量逼近总量定完成时刻。
【典型例题】
例1：甲独做 10 天完成，乙独做 15 天完成。甲先做 2 天、乙再独做 3 天，余下两人合做还需几天？
分析：甲效率 $\frac{1}{10}$，乙 $\frac{1}{15}$。甲 2 天做 $\frac{1}{5}$，乙 3 天做 $\frac{1}{5}$，共做 $\frac{2}{5}$，余 $\frac{3}{5}$，合效率 $\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}$。
解答：$\dfrac{3}{5}\div\dfrac{1}{6}=\dfrac{18}{5}=3.6$ 天。
例2：进水管 5 小时注满，出水管 10 小时排空，同时开启几小时注满？
分析：净效率 $\frac{1}{5}-\frac{1}{10}=\frac{1}{10}$。
解答：$1\div\dfrac{1}{10}=10$ 小时。
【举一反三】
1. 甲独做 12 天，乙独做 8 天，合做几天？
答案：$1\div\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{8}\right)=\frac{24}{5}=4.8$ 天。
2. 进水管 4 小时满，排水管 6 小时空，同开几小时满？
答案：$1\div\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)=12$ 小时。
第7讲 经济问题¶
【知识要点】
1. 成本：进价或生产成本；定价 = 成本 ×(1+期望利润率)。
2. 利润 = 售价 − 成本；利润率 $=\dfrac{\text{利润}}{\text{成本}}\times100\%$。
3. 售价 = 定价 × 折扣。
4. 盈亏均相对成本计算。
【解题策略】
1. 把成本作为单位”1”。
2. 区分定价、售价、成本三层关系。
3. 打折时统一以定价为基准换算。
【典型例题】
例1：商品成本 100 元，按利润率 20% 定价，再打九折出售，实际利润率是多少？
分析：定价 $100\times1.2=120$ 元，售价 $120\times0.9=108$ 元。
解答：利润 $108-100=8$ 元，实际利润率 $8\div100=8\%$。
例2：商品按定价八折出售仍盈利 20%，定价利润率是多少？
分析：设成本为 1，售价 $=$ 成本 $\times1.2=1.2$；售价 = 定价 $\times0.8$，故定价 $=1.2\div0.8=1.5$。
解答：定价利润率 $=(1.5-1)\div1=50\%$。
【举一反三】
1. 成本 80 元，按利润率 25% 定价，再打八折出售，利润多少？
答案：定价 100 元，售价 80 元，利润 0 元。
2. 商品按定价九折出售仍盈 8%，定价利润率是多少？
答案：$1.08\div0.9=1.2$，利润率 $20\%$。
第8讲 浓度问题¶
【知识要点】
1. 溶质 + 溶剂 = 溶液，浓度 $=\dfrac{\text{溶质}}{\text{溶液}}\times100\%$。
2. 加水稀释：溶质不变，溶液增多。
3. 蒸发浓缩：溶质不变，溶剂减少。
4. 混合：总溶质 ÷ 总溶液 = 新浓度。
5. 加溶质：溶质增多，溶液也增多。
【解题策略】
1. 抓住不变的量（多为溶质）。
2. 列浓度方程或用十字交叉法。
3. 加溶质务必考虑溶液总量也增加。
【典型例题】
例1：200 克 15% 盐水加水变成 10% 盐水，需加水多少克？
分析：溶质 $200\times0.15=30$ 克，新溶液 $30\div0.1=300$ 克。
解答：加水 $300-200=100$ 克。
例2：把 300 克 10% 与 200 克 20% 的盐水混合，新浓度是多少？
分析：总溶质 $300\times0.1+200\times0.2=30+40=70$克，总溶液 500 克。
解答：浓度 $=70\div500=14\%$。
【举一反三】
1. 100 克 20% 盐水蒸发后变 25%，蒸发多少克水？
答案：溶质 20 克，新溶液 80 克，蒸发 20 克。
2. 500 克 8% 盐水加多少克盐变为 15%？
解：设加 $x$ 克，$\dfrac{40+x}{500+x}=\dfrac{15}{100}$，解得 $x=\dfrac{700}{17}\approx41.18$ 克。
第9讲 比例问题¶
【知识要点】
1. 比例 $a:b=c:d$ 满足外项之积等于内项之积，即 $ad=bc$。
2. 正比例：$\dfrac{y}{x}=k$（定值），比值一定。
3. 反比例：$xy=k$（定值），积一定。
4. 按比分配：将总量按份数分给各部分。
【解题策略】
1. 判断相关量是否成比例及正反。
2. 用比例式 $ad=bc$ 求未知。
3. 按比分配设每份为 1 单位。
【典型例题】
例1：已知甲:乙 = 3:4，乙:丙 = 5:6，求甲:乙:丙。
分析：以乙为准统一。3:4=15:20，5:6=20:24。
解答：甲:乙:丙 = 15:20:24。
例2：3 天修路 45 米，照这样计算 15 天修多少米？
分析：日工作量一定，天数与米数成正比例。
解答：$45:3=x:15$，$x=225$ 米。
【举一反三】
1. 一段路 12 人 4 天修完，6 天修完需几人？
答案：人、天反比，$12\times4\div6=8$ 人。
2. 甲:乙:丙 = 2:3:5，总量 200，乙是多少？
答案：$\dfrac{3}{10}\times200=60$。
第10讲 比例尺¶
【知识要点】
1. 比例尺 = 图上距离 : 实际距离。
2. 放大比例尺比值大于 1，缩小比例尺比值小于 1。
3. 单位统一：1 千米 = 100000 厘米。
4. 面积比例尺 = 长度比例尺的平方。
【解题策略】
1. 统一单位后作比。
2. 比例尺是比值，化成最简。
3. 实际 = 图上 ÷ 比例尺；图上 = 实际 × 比例尺。
【典型例题】
例1：图上 4 cm 表示实际 80 km，求比例尺。
分析：$80\text{ km}=8000000\text{ cm}$。
解答：比例尺 $=4:8000000=1:2000000$。
例2：比例尺 1:500000，图上 6 cm，实际多少千米？
分析：实际 = 图上 ÷ 比例尺 $=6\times500000=3000000$ cm。
解答：实际距离 $=3000000\text{ cm}=30$ km。
【举一反三】
1. 比例尺 1:1000000，图上 5 cm 实际多少？
答案：50 km。
2. 操场实际长 120 m、宽 80 m，比例尺 1:4000，图上面积多少？
答案：图上长 3 cm、宽 2 cm，面积 $6\text{ cm}^2$。
第11讲 正比例与反比例¶
【知识要点】
1. 正比例 $y=kx\ (k>0)$，比值 $y/x$ 一定。
2. 反比例 $y=\dfrac{k}{x}\ (k>0)$，积 $xy$ 一定。
3. 判定：比值定 → 正比；积定 → 反比；都不定 → 不成比例。
4. 图像：正比为过原点直线，反比为双曲线。
【解题策略】
1. 列出两量关系找不变量。
2. 不变量的位置决定正反。
3. 实际生活中先识别哪些量保持一定。
【典型例题】
例1：判断下列关系是否成比例及正反：
（a）速度一定，路程与时间；（b）路程一定，速度与时间；（c）正方形周长与边长；（d）身高与年龄。
解答： 正比； 反比； 正比（周长 = 4×边长）； 不成比例。
例2：6 台拖拉机 4 小时可耕地，8 台需几小时耕同样多？分析：耕地总量一定，台数与时间反比例。
解答：$6\times4\div8=3$ 小时。
【举一反三】
1. 圆面积与半径成比例吗？
答案：不成比例（面积与 $r^2$ 成正比，与 $r$ 不成比例）。
2. 单价一定，总价与数量成什么比例？
答案：正比例。
第12讲 圆的周长与面积¶
【知识要点】
1. 周长 $C=2\pi r=\pi d$。
2. 面积 $S=\pi r^2=\dfrac{1}{4}\pi d^2$。
3. 半圆周长 $=\pi r+2r$（含直径），半圆面积 $=\dfrac{1}{2}\pi r^2$。
4. 圆环面积 $=\pi(R^2-r^2)$。
【解题策略】
1. 准确找半径、直径、周长的关系。
2. 半圆周长务必加直径长。
3. 组合图形分解后求和或差。
【典型例题】
例1：一圆周长 25.12 cm，求面积（$\pi\approx3.14$）。
分析：$r=C\div2\pi=25.12\div6.28=4$ cm。
解答：$S=\pi r^2=3.14\times16=50.24\text{ cm}^2$。
例2：半圆直径 10 cm，求其周长与面积。
分析：$r=5$ cm。半圆周长含一条直径。
解答：周长 $=\pi r+2r=15.7+10=25.7$ cm；面积 $=\dfrac{1}{2}\pi r^2=39.25\text{ cm}^2$。
【举一反三】
1. 圆环外径 12 cm，内径 8 cm，面积多少？
答案：$\pi(36-16)=62.8\text{ cm}^2$。
2. 圆面积与周长数值（不计单位）相等，求半径。
答案：$\pi r^2=2\pi r$，$r=2$ cm。
第13讲 扇形¶
【知识要点】
1. 弧长 $l=\dfrac{n\pi r}{180}$（$n$ 为圆心角度数）。
2. 扇形面积 $S=\dfrac{n\pi r^2}{360}=\dfrac{1}{2}lr$。
3. 同圆中圆心角与面积同比例：$\dfrac{n}{360}=\dfrac{S_{\text{扇}}}{\pi r^2}$。
4. 圆心角越大，扇形面积越大。
【解题策略】
1. 公式中角度单位为”度”，勿弧度。
2. 已知弧长可反求半径或角度。
3. 组合图形分解为扇形与三角形。
【典型例题】
例1：扇形半径 6 cm，圆心角 60°，求弧长与面积（$\pi\approx3.14$）。
分析：直接代入公式。
解答：弧长 $l=\dfrac{60\times3.14\times6}{180}=2\pi\approx6.28$ cm；面积 $S=\dfrac{60\times3.14\times36}{360}=6\pi\approx18.84\text{ cm}^2$。
例2：扇形面积 12.56 cm²，半径 4 cm，圆心角多少度？
分析：$12.56=\dfrac{n\times3.14\times16}{360}$。
解答：$n=\dfrac{12.56\times360}{50.24}=90$（度）。
【举一反三】
1. 扇形半径 3 cm，圆心角 120°，面积多少？
答案：$3\pi\approx9.42\text{ cm}^2$。
2. 弧长 6.28 cm，半径 4 cm，圆心角多少？
答案：$n=\dfrac{6.28\times180}{3.14\times4}=90$ 度。
第14讲 圆柱的表面积与体积¶
【知识要点】
1. 侧面展开为长方形，长 = 底面周长，宽 = 高。
2. 侧面积 $S_{\text{侧}}=2\pi rh=\pi dh$。
3. 表面积 $S_{\text{表}}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r(r+h)$。
4. 体积 $V=\pi r^2 h=S_{\text{底}}\times h$。
5. 横切增加两圆面，纵切增加两矩形面。
【解题策略】
1. 侧面积与底面积分开计算再相加。
2. 切割增加的面积 = 切面面积 × 2。
3. 等积变形体积守恒。
【典型例题】
例1：圆柱底面半径 2 cm，高 5 cm，求表面积与体积。
分析：底周长 $4\pi$，侧面积 $20\pi$；含两底 $8\pi$。
解答：$S_{\text{表}}=28\pi\approx87.92\text{ cm}^2$；$V=20\pi\approx62.8\text{ cm}^3$。
例2：等体积的圆柱，半径从 2 变为 3，高度应如何变化？
分析：$V=\pi r^2 h$ 相同时，$h$ 与 $r^2$ 成反比。
解答：高度比 $h_1:h_2=r_2^2:r_1^2=9:4$，即变为原来的 $\dfrac{4}{9}$。
【举一反三】
1. 圆柱沿高切成 2 段，表面积增加多少？
答案：增加 2 个底面面积，即 $2\pi r^2$。
2. 圆柱底面半径扩 2 倍、高不变，体积变几倍？
答案：$2^2=4$ 倍。
第15讲 圆锥的体积¶
【知识要点】
1. 体积 $V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h=\dfrac{1}{3}S_{\text{底}}h$。
2. 等底等高的圆柱体积是圆锥的 3 倍。
3. 圆锥的高、半径、母线构成直角三角形。
4. 圆锥与圆柱常组合考查总体积。
【解题策略】
1. 注意公式中系数 $\dfrac{1}{3}$。
2. 等底等高常作体积比较的关键。
3. 圆柱 + 圆锥组合分别算再加和。
【典型例题】
例1：圆锥底面半径 3 cm，高 4 cm，体积多少？
分析：$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$。
解答：$V=\dfrac{1}{3}\times3.14\times9\times4=12\times3.14=37.68\text{ cm}^3$。
例2：等底等高的圆柱比圆锥体积多 12 cm³，求二者体积。
分析：圆柱 — 圆锥 = 2 倍圆锥 = 12。
解答：圆锥 $=6\text{ cm}^3$，圆柱 $=18\text{ cm}^3$。
【举一反三】
1. 圆锥体积 18 cm³，高 5 cm，底面积是多少？
答案：$18\times3\div5=10.8\text{ cm}^2$。
2. 等底等高圆柱削成最大圆锥，削去体积占圆柱几分之几？
答案：占 $\dfrac{2}{3}$。
第16讲 立体图形综合¶
【知识要点】
1. 切割增加面积：每切一刀沿平行面，增加 2 个切面。
2. 拼接减少面积：相邻面被”吞掉”，等于减少 2 个面。
3. 等积变形体积不变。
4. 多刀切分累计计算新增面积。
【解题策略】
1. 按切刀次数计算新增面积。
2. 区分横切（增加圆面）与纵切（增加矩形面）。
3. 拼接时减去重合面。
【典型例题】
例1：棱长 6 cm 的正方体沿与一组对面平行的方向切 3 刀（分成 4 个等长方体），表面积共增加多少？
分析：每刀新增 2 个 $6\times6=36\text{ cm}^2$ 的切面。
解答：增加 $3\times2\times36=216\text{ cm}^2$。
例2：长方体长 6 cm、宽 4 cm、高 3 cm，沿长切 4 刀共 5 段，表面积增加多少？
分析：每刀切面为 $4\times3=12\text{ cm}^2$。
解答：增加 $2\times12\times4=96\text{ cm}^2$。
【举一反三】
1. 圆柱沿直径纵切一刀，表面积增加多少？
答案：增加两个矩形，面积 $2\times 直径\times 高=4rh$。
2. 两个棱长相等的正方体拼成长方体，表面积比原来两个减少多少？
答案：减少两个面，即 $2a^2$。
第17讲 列方程解分数应用题¶
【知识要点】
1. 设未知数：通常设单位”1”或题中所求量为 $x$。
2. 找等量关系：以总量不变、部分和等于总量为基础。
3. 利用分数基本性质列方程。
4. 检验答案合理性。
【解题策略】
1. 圈出关键句，确定等量关系。
2. 把未知设为 $x$，列出含 $x$ 的式子。
3. 解方程化简到 $ax=b$。
【典型例题】
例1：图书馆借书，第一次借出 $\frac{1}{3}$，第二次借出余下的 $\frac{1}{4}$，还剩 50 本，原有多少本？
分析：第二次借的是余下 $\frac{2}{3}$ 的 $\frac{1}{4}$，即占总数 $\frac{1}{6}$；剩余占比 $1-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$。
解答：$50\div\dfrac{1}{2}=100$ 本。（方程：设原有 $x$，$x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}\times\frac{2}{3}x=50$）
例2：男生是女生的 $\frac{3}{4}$，转来 3 名男生后两数相等，原有男女生各多少人？
分析：设女生 $x$，男生 $\frac{3}{4}x$，转来后 $\frac{3}{4}x+3=x$。
解答：$\dfrac{x}{4}=3$，$x=12$。女生 12 人，男生 9 人。
【举一反三】
1. 一根绳先用去 $\frac{1}{2}$，再用去余下的 $\frac{1}{3}$，剩 5 米，原长多少？
答案：余下 $\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，原长 $5\div\dfrac{1}{3}=15$ 米。
2. 甲车间人数是乙的 $\frac{2}{3}$，从乙调 10 人到甲后两车间相等，原各多少？
答案：设乙 $x$，$x-10=\frac{2}{3}x+10$，$x=60$；乙 60 人，甲 40 人。
第18讲 不定方程¶
【知识要点】
1. 二元一次不定方程 $ax+by=c$ 有整数解需 $\gcd(a,b)\mid c$。
2. 通解：若 $(x_0,y_0)$ 是一组特解，则 $x=x_0+bt,\ y=y_0-at\ (t\in\mathbb{Z})$。
3. 用辗转相除法求特解。
4. 实际题常限正整数解，需枚举筛选。
【解题策略】
1. 先判断是否有整数解（整除性）。
2. 求一组特解。
3. 写出通解，再结合题意筛选。
【典型例题】
例1：求 $3x+5y=31$ 的正整数解。
分析：易见特解 $x=2,y=5$（$6+25=31$）。
解答：通解 $x=2+5t,\ y=5-3t$。正整数要求 $t\geq0$ 且 $y>0$，$t=0$ 得 $(2,5)$，$t=1$ 得 $(7,2)$。共两组。
例2：笔记本每本 5 元，钢笔每支 8 元，恰好花 61 元，问最多买几支钢笔？
分析：列方程 $5x+8y=61$，验证 $y$ 取值。
解答：$y=2\Rightarrow x=9$ ✓；$y=7\Rightarrow x=1$ ✓。最多买 7 支钢笔（此时笔记本 1 本）。
【举一反三】
1. 求 $2x+3y=17$ 的正整数解。
答案：$(7,1),(4,3),(1,5)$ 共 3 组。
2. 大房间住 6 人，小房间住 4 人，恰住 38 人，问有几种安排？
答案：$6x+4y=38$，即 $3x+2y=19$，正整数解 $(1,8),(3,5),(5,2)$ 共 3 种。
第19讲 逻辑推理进阶¶
【知识要点】
1. 列表法：将人物与条件列表映射，用对勾叉排除。
2. 假设法：先假设某句为真，检验是否矛盾。
3. 真假话问题：找互斥或互证的命题。
4. 多条件推理：逐步排除、缩小范围。
【解题策略】
1. 把复杂条件拆成简单句。
2. 用假设法逐一检验。
3. 借助表格梳理信息，逐步填列。
【典型例题】
例1：三种球分别装入三盒，盒上标签”红红”“红蓝”“蓝蓝”全部贴错。从”红蓝”盒中取一球，如何判断各盒真正内容？
分析：因标签全错，”红蓝”盒必是同色球。
解答：从”红蓝”盒取一球。若取红，此盒真为”红红”；标签”蓝蓝”必为”红蓝”，标签”红红”必为”蓝蓝”。若取蓝则对称推理。
例2：A、B、C 三人中一人为老师。A 说”是 B”，B 说”不是我”，C 说”不是我”。已知只有一人说真话，谁是老师？
分析：A 与 B 互斥，必一真一假；故 C 必假。
解答：C 假 → C 是老师，A 假、B 真，恰一人真话 ✓ 结论 C 是老师。
【举一反三】
1. 甲、乙、丙分别是医生、教师、警察。已知：丙比警察大；甲和教师不同岁；教师比乙小。判断三人职业。
答案：丙是教师；乙比教师大，乙不是警察（教师比警察大且比乙小）→ 乙是医生，甲是警察。
2. 红、黄、蓝三球各入三盒恰好都不在颜色对应的盒中，共有几种放法？
答案：错排数 $D_3=2$ 种。
第20讲 极值问题¶
【知识要点】
1. 求最大最小值常用枚举与不等式估计。
2. 和定积大原理：和一定时，各数越接近，积越大。
3. 积定和小原理：积一定时，各数越接近，和越小。
4. 整数范围内注意余数的分配。
【解题策略】
1. 列出约束条件与目标式。
2. 使各数尽量相等以取极值。
3. 验证可行性。
【典型例题】
例1：两个正数的和为 12，当两数各为多少时，积最大？最大值是多少？
分析：由”和定积大”，两数尽量相等。
解答：当两数都为 6 时，积最大，最大值为 $6\times6=36$。
例2：用 36 cm 铁丝围成长方形，最大面积是多少？
分析：设长宽 $a,b$，$2(a+b)=36$，$a+b=18$，面积 $ab$ 最大需 $a=b$。
解答：$a=b=9$ cm，最大面积 $81\text{ cm}^2$（正方形）。
【举一反三】
1. 把 10 拆成两个正整数之和，积最大是几？
答案：$5\times5=25$。
2. 三个自然数的和为 12，积最大是多少？
答案：$4\times4\times4=64$。
第21讲 统计与概率初步¶
【知识要点】
1. 频率 = 频数 ÷ 总数，大量试验中频率趋近概率。
2. 必然事件概率 1，不可能事件概率 0。
3. 简单事件概率 $P=\dfrac{\text{有利结果数}}{\text{总结果数}}$。
4. 等可能事件需保证每种结果机会均等。
【解题策略】
1. 列出所有可能结果。
2. 数清有利结果与总结果。
3. 计算比值并约分。
【典型例题】
例1：掷一颗均匀骰子，求朝上点数大于 4 的概率。
分析：可能结果 1~6 共 6 种等可能，大于 4 即 5、6 两种。
解答：$P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$。
例2：袋中 3 红 2 白球，搅匀后任取一球，是红球的概率？
分析：5 个球等可能，红球 3 个有利。
解答：$P=\dfrac{3}{5}$。
【举一反三】
1. 抛硬币 3 次，全部为正面的概率？
答案：$\dfrac{1}{2\times2\times2}=\dfrac{1}{8}$。
2. 6 张牌中 4 红 2 黑，随机摸两张都是红牌的概率？
答案：$\dfrac{4\times3}{6\times5}=\dfrac{2}{5}$。
第22讲 行程问题综合¶
【知识要点】
1. 相遇问题：速度和 × 相遇时间 = 总路程。
2. 追及问题：速度差 × 时间 = 路程差。
3. 环形跑道：同向看速度差，反向看速度和。
4. 多次相遇以相对走过一圈为一次。
【解题策略】
1. 画线段图或环形图理清关系。
2. 抓住各时段路程与速率关系。
3. 注意方向、起点位置与起止条件。
【典型例题】
例1：两站相距 504 km，客车 70 km/h，货车 50 km/h，相向而发，几小时相遇？
分析：相遇时间 = 距离 ÷ 速度和。
解答：$504\div(70+50)=4.2$ 小时。
例2：甲骑车 12 km/h，乙步行 4 km/h，乙在甲前 6 km，甲几小时追上乙？
分析：追及距离 6 km，速度差 8 km/h。
解答：$6\div8=0.75$ 小时 = 45 分钟。
【举一反三】
1. 400 m 环形跑道，甲 4 m/s 乙 3 m/s 同向同点起跑，甲第一次追上乙需几秒？
答案：$400\div(4-3)=400$ 秒。
2. 两车相向 120 km 处相遇后继续前行，1 小时后相距多少？
答案：等于（速度和）×1，即相遇后 1 小时又拉开一个”速度和”距离。
第23讲 钟表问题¶
【知识要点】
1. 分针每分钟走 $6°$，时针每分钟走 $0.5°$。
2. 同向追及速度差 $6-0.5=5.5°/$分。
3. 夹角公式：$|30h-5.5m|°$（$h$ 时 $m$ 分，取不超过 180°）。
4. 3:00 角 $90°$，6:00 角 $180°$，12:00 角 $0°$。
【解题策略】
1. 把钟表看作圆周上的追及问题。
2. 找起始角差，除以速度差得时间。
3. 双解情形要分别求夹角 0°、90°、180° 的时刻。
【典型例题】
例1：3 点几分时，时针与分针第一次重合？
分析：3:00 时针领先分针 $90°$，每分追近 $5.5°$。
解答：$90\div5.5=\dfrac{180}{11}\approx16.36$ 分，约 3 点 16 分 22 秒。
例2：4 点整时针与分针的夹角是多少？
分析：4:00 时针位于 $120°$，分针位于 $0°$。
解答：夹角 $120°$。
【举一反三】
1. 4 点到 5 点之间，时针与分针成 180° 的时刻？
答案：$|120-5.5m|=180$，得 $m=\dfrac{300}{5.5}\approx54.55$，约 4 点 54 分 33 秒。
2. 从 12:00 到 3:00（不含端点），时针与分针成直角几次？
答案：5 次（夹角 90° 每 $\dfrac{180}{5.5}\approx32.7$ 分钟出现一次）。
第24讲 统筹方法¶
【知识要点】
1. 统筹：在有限资源与时间内安排最优方案。
2. 排队论初步：耗时短者先服务，等待总和最小。
3. 流程优化：尽量并行、减少空闲等待。
4. 关键路径决定总时长。
【解题策略】
1. 列出各任务及其耗时与依赖。
2. 关键路径上的串行任务决定总时间。
3. 并行任务合并安排，需排队时短任务优先。
【典型例题】
例1：每次可煎 2 张饼的两面，每面 1 分钟，煎 2 张饼至少几分钟？
分析：4 个面共需 4 面·分，每次 2 面。
解答：第一分钟 A 正、B 正；第二分钟 A 反、B 反，共 2 分钟。
例2：3 人理发各需 10、15、20 分钟，1 位理发师，怎样排序使总等待时间最少？
分析：耗时短者先理，则等待最少。
解答：按 10→15→20 排序，等待总和 $10+(10+15)+(10+15+20)=10+25+45=80$ 分钟（最少）。
注：若改问”三人全部理完总用时”，则与排序无关，恒为 45 分钟；本题优化的是等待总和或平均等待。
【举一反三】
1. 一人依次取 3 封信，每封 1 分钟，最少几分钟？
答案：3 分钟（串行不可压缩）。
2. 烧开水 10 分钟 + 洗茶杯 1 分钟 + 拿茶叶 1 分钟，最少几分钟？ 答案：10 分钟（烧水时并行做其它两事）。
第25讲 综合应用¶
【知识要点】
1. 综合运用分数、百分数、几何、行程等知识解题。
2. 多知识点融合构建解题模型。
3. 复杂问题分解为若干子问题依次求解。
4. 用图示、方程等多种工具辅助分析。
【解题策略】
1. 通读题面，提取数据与条件。
2. 把问题分解为若干子问题逐步解决。
3. 选用合适工具（方程、比例、几何公式）。
4. 分步计算，最后统一检验合理性。
【典型例题】
例1：长 20 cm 宽 15 cm 的长方体容器装水，浸入一个底面半径 3 cm、高 10 cm 的圆锥后水面上升多少？
分析：圆锥体积 = 排开水的体积，水面上升量 = 圆锥体积 ÷ 容器底面积。
解答：$V_{\text{锥}}=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h=\dfrac{1}{3}\times3.14\times9\times10=94.2\text{ cm}^3$；上升高度 $=94.2\div(20\times15)=0.314$ cm。
例2：甲乙同走一段路，甲速 5 km/h，乙速 4 km/h。乙先出发 1 小时，甲出发后几小时追上乙？
分析：乙在甲出发时已领先 $4\times1=4$ km，追及速度差 1 km/h。
解答：$4\div(5-4)=4$ 小时。
【举一反三】
1. 半径 5 cm 的圆柱改为同底等高的内接圆锥，体积减少几分之几？
答案：圆锥是圆柱体积的 $\dfrac{1}{3}$，减少 $\dfrac{2}{3}$。
2. 客货两车从同地同向出发，客车 60 km/h，货车 40 km/h，货车先行 30 km，客车出发后几小时追上？
答案：$30\div(60-40)=1.5$ 小时。
结语： 学习奥数贵在思考与归纳。建议每讲先弄懂例题的方法本质，再做变式训练，最后尝试一题多解、举一反三，逐步构建起自己的解题模型。祝同学们爱上数学、享受思考的乐趣！