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一、基本函数 函数类别 数学表示 Python函数名（math库） Python函数名（numpy库） 示例 幂函数 $x^a$ math.pow(x, a) 或 x**a np.power(x, a) math.pow(2, 3) → 8.0 指数函数（自然底数） $e^x$ math.exp(x) np.exp(x) math.exp(2) ≈ 7.389 指数函数（一般底数） $a^x$ 无直接函数，使用 a**x np.power(a, x) 或 np.exp2(x)（仅限$2^x$） 2**3 → 8 自然对数 $\ln x$ math.log(x) np....

零钱兑换问题（Coin Change）是一个经典的动态规划问题，目标是找出组成给定金额所需的最少硬币数量。 问题描述 给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount，计算可以凑成总金额所需的最少硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。 假设： - 硬币数量无限 - 硬币面额都是正整数 - 总金额 amount 是非负整数 方法一：暴力递归（回溯法） 思路分析 通过递归尝试所有可能的硬币组合，找出使用硬币数量最少的方案。 时间复杂度 O(Sⁿ)，其中 S 是金额，n 是硬币种类数 代码实现 #include <iostream> #include &l...

解码顶尖竞赛：从NOI最新大纲中，我们读出了关于AI时代人才培养的5个惊人信号 导言 你是否也曾好奇，那些在金字塔尖的青少年编程竞赛，究竟在考察孩子们什么样的能力？它们仅仅是代码技巧的比拼，还是一场更深层次的思维对决？最近，中国计算机学会（CCF）发布了极具分量的《全国青少年信息学奥林克系列竞赛大纲（2025年修订版）》。这份看似专业的技术文件，远不止是一份竞赛指南。它更像一扇窗口，让我们得以清晰地窥见，在GPT为代表的人工智能浪潮席卷而来的今天，我们顶尖的科技人才培养蓝图正在发生何种深刻的变革。在深入研读这份纲领性文件后，我从中提炼出五大信号——有些是细微的调整，有些则是颠覆性的转向，它们共...

异或运算符 ^ 是 C++ 中的位运算符，表示按位异或（XOR）操作。 基本概念 运算符：^ 运算规则：相同为0，不同为1 0 ^ 0 = 0、 0 ^ 1 = 1、 1 ^ 0 = 1、 1 ^ 1 = 0 操作对象：整数类型（int, char, long等）的二进制位 重要特性 交换律：a ^ b = b ^ a 结合律：(a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c) 自反性：a ^ a = 0 与0异或：a ^ 0 = a 可逆性：如果 c = a ^ b，则 a = c ^ b 5个应用场景及代码示例 1. 交换两个变量的值（不使用临时变量） #incl...

第2章：排序与顺序统计量 2.1 排序问题 排序的定义： 排序是将一组数据按特定顺序排列，通常是从小到大或从大到小。 排序在许多应用中是基础操作，如数据库查询、数据分析、图形学等。 排序算法的设计目标： 时间复杂度：对大规模数据的排序效率。 空间复杂度：算法所需的额外内存。 稳定性：如果两个元素相等，它们在排序后的相对顺序是否保持不变。 2.2 比较排序算法 比较排序的基本思想： 排序过程中通过比较元素之间的大小关系来决定元素的相对位置。 经典的比较排序算法有：插入排序、归并排序、快速排序、堆排序等。 时间复杂度的下界： 在最坏情况下，比较排序的时间复杂度下界为O(n log n)，...

第3章：数据结构 3.1 基本数据结构 在这一小节中，我们讨论了几种最常见的基本数据结构，并介绍了它们的特点、操作方法和应用场景。 3.1.1 线性表 (Linear List) 定义：线性表是由一系列相同类型的元素按顺序排列而成的数据结构。最常见的线性表有数组和链表。 特点：元素之间存在一一对应的关系，可以通过下标访问每个元素。 线性表的两种常见实现： 数组 (Array)：固定大小的连续内存块，支持随机访问，但插入和删除操作效率较低。 链表 (Linked List)：由一系列节点组成，每个节点包含数据和指向下一个节点的指针。链表适合插入和删除操作，但访问效率较低。 3.1.2 栈 (...

第1章：引言 1.1 算法与问题的定义 算法的定义： 算法是解决问题的一组明确的指令或步骤，用于将输入转换为输出。 一个好的算法应该具备清晰的正确性、效率和可理解性。 算法的三个主要方面： 输入：算法接受的初始数据。 输出：算法计算后的结果。 过程：算法执行的步骤。 1.2 算法的特性 正确性： 一个算法必须在所有输入情况下产生正确的输出。 效率： 主要指算法的时间复杂度和空间复杂度。 时间复杂度：执行步骤的数量。 空间复杂度：算法需要的额外内存。 可理解性： 算法应该易于理解和实现。 1.3 算法分析的基本方法 时间复杂度分析： 时间复杂度用来衡量算法执行所需的时间量，...

数论是信息学竞赛中非常重要的领域，涉及很多基础算法和技巧，尤其是在处理大数、同余运算、质数分解等问题时。在竞赛中，数论的知识不仅对解题提供了强有力的支持，而且很多算法背后都有深刻的数学原理。 1. 素数与质因数分解 1.1 素数的基本概念 素数（Prime Number）：大于1的整数，且除了1和其本身外没有其他约数的数。例如，2、3、5、7、11、13等。 合数（Composite Number）：大于1且可以分解为多个素数相乘的整数。例如，4、6、8、9、10等。 质因数分解：将一个整数分解为若干个素数的乘积。每个数都有唯一的质因数分解。 1.2 素数判定 朴素算法：检查一个数是否能被从2...

1. 程序基本概念 🌈学习目标 理解程序的基本组成部分 学会命名常量和变量 了解头文件和名字空间的作用 掌握编写程序的基本步骤 1.1 基本概念解释 标识符：就像我们的名字，用来给变量、常量起名 int myAge = 10; // myAge就是标识符 string myName = "小明"; // myName也是标识符 关键字：C++语言预留的特殊单词，就像"爸爸"、"妈妈"这样的称呼 int if = 5; // 错误！if是关键字，不能当变量名 常量：不会改变的值，就像我们的生日 const double PI = 3.14; // P...

【25CSPJ普及组】拼数 这是一个字符串处理问题，需要从给定的字符串中提取所有数字字符，然后组成最大的正整数。 思路： 从字符串中提取所有的数字字符 对数字字符进行排序（降序），这样最大的数字会在前面 注意：不能有前导零，所以如果第一个字符是'0'，需要特殊处理 #include <iostream> #include <string> #include <algorithm> #include <vector> using namespace std; int main() { string s; cin &...