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小学英语·五年级下册知识点全梳理¶

依据《义务教育英语课程标准（2022年版）》及人教版PEP小学英语五年级下册教材整理

学习内容概览¶

Unit 1 My day¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• When do you…? 句型：询问做某事的时间。助动词 do 用于第一/二人称和复数，第三人称单数用 does（When does he get up?）
• 第三人称单数：主语为 he/she/it 或单数名词时，动词加 -s/-es。如 plays, goes, watches, does, studies。规则：一般加 -s；以 s/x/sh/ch/o 结尾加 -es；辅音字母+y 变 y 为 i 加 -es
• 频率副词位置：always/usually/often/sometimes 放在实义动词前。I usually get up at 6.（不是 get usually up）

四、语音知识¶

• 辅音字母组合 pl 和 gr 的发音：
• pl /pl/：plate, play, please, plus, plane, plant
• gr /gr/：green, group, grass, grow, grape, grandma
• cl /kl/：clean, class, clock, clever, clothes, cloudy

五、易错点提醒¶

• 第三人称单数变化：he goes（不是 go），she watches（不是 watch），it studies（不是 studys）
• “在周末”用 on the weekend，”在早上/下午/晚上”用 in the morning/afternoon/evening
• 具体时间点用 at：at 7 o’clock, at 6:30
• 频率副词放在动词前：I often play sports.（不是 play often）

Unit 2 My favourite season¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• Which…do you like best? 句型：询问”最喜欢哪一个”，回答用 I like…best
• Why…? / Because… 句型：Why 引导特殊疑问句，Because 引导原因状语从句，注意 because 不与 so 同时使用
• can + 动词原形：Because I can swim.（can 后接原形，不加 to）

四、语音知识¶

• 字母组合 br 和 gr 的发音：
• br /br/：brown, library, brother, breakfast, bread, break
• gr /gr/：green, grass, grow, grade, grape, grandma
• 对比练习：br 发 /br/，gr 发 /gr/，注意区分

五、易错点提醒¶

• autumn 和 fall 都是”秋天”，英国多用 autumn，美国常用 fall
• leaf 的复数是 leaves（f 变 v 加 es），不是 leafs
• because 和 so 不能同时使用：Because I can swim.（不能说 Because…so…）
• season 前不加 the：I like spring.（不说 the spring，但可说 in the spring）

Unit 3 My school calendar¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• When is…? / It’s in… 句型：in + 月份表示”在某月”。注意 this Unit 用 in（月份），Unit 4 用 on（具体日期）
• 月份首字母大写：January, February…，缩写如 Jan., Feb., Sept.
• will 的初步感知：will + 动词原形表示将来。I’ll = I will. What will you do?

四、语音知识¶

• 辅音字母组合 ch 和 sh 的发音：
• ch /tʃ/：China, chicken, lunch, teacher, chair, cheap
• sh /ʃ/：sheep, fish, shirt, wash, short, share
• 注意区分 ch /tʃ/ 和 sh /ʃ/

五、易错点提醒¶

• 月份首字母必须大写：January（不能写 january）
• “在某月”用介词 in：in May（不用 on May）
• September 缩写是 Sept.（4个字母，其他月份缩写一般为3个字母）
• February 的拼写和发音 /ˈfebruəri/，注意有两个 r

Unit 4 When is the art show?¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• 序数词的构成：第一至第三为特殊变化（first, second, third），其余在基数词后加 -th。注意第五 fifth、第八 eighth、第九 ninth、第十二 twelfth 的特殊拼写
• 序数词缩写：1st, 2nd, 3rd, 4th, 21st, 22nd, 23rd…
• in 和 on 的区别：in + 月份（in May）；on + 具体日期（on May 1st）
• 21st, 22nd, 23rd 的构成：twenty-first → 21st，个位是 1/2/3 时用 st/nd/rd

四、语音知识¶

• 字母组合 th 的两种发音：
• /θ/（清辅音，咬舌）：three, thin, maths, third, thirsty, thirty, month
• /ð/（浊辅音，咬舌）：that, this, there, father, mother, brother, they
• 注意发音时舌尖要放在上下齿之间

五、易错点提醒¶

• 序数词特殊拼写：fifth（不是 fiveth），eighth（不是 eightth），ninth（不是 nineth），twelfth（不是 twelveth）
• “在某月某日”用 on：on May 1st（不是 in May 1st）
• 20以上的序数词：twenty → twentieth（y 变 i 加 eth），但 21st 是 twenty-first（不是 twenty-oneth）
• on May 1st 读作 on May the first

Unit 5 Whose dog is it?¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• 形容词性物主代词 vs 名词性物主代词：
• 形容词性（后面接名词）：my, your, his, her, our, their → my book
• 名词性（后面不接名词，单独使用）：mine, yours, his, hers, ours, theirs → It’s mine.
• Whose…is this? / Whose…are these?：单数用 is this，复数用 are these。Whose 询问”谁的”
• his 的双重性：his 既是形容词性也是名词性物主代词（This is his book. / This book is his.）

四、语音知识¶

• 字母组合 ng 和 nk 的发音：
• ng /ŋ/：long, sing, ring, young, morning, thing, song, wrong
• nk /ŋk/：think, pink, ink, tank, bank, drink, thank
• /ŋ/ 是后鼻音，舌根抵住软腭

五、易错点提醒¶

• 名词性物主代词后不加名词：It’s mine.（不能说 It’s mine book.）
• 形容词性物主代词后必须接名词：This is my book.（不能单独说 This is my.）
• hers 不能写成 her’s（名词性物主代词不加撇号）
• his 既是形容词性也是名词性，但 her（形容词性）和 hers（名词性）不同
• Whose（谁的）和 Who’s（谁是）发音相同但意思不同

Unit 6 Work quietly!¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• 现在进行时：表示正在发生的动作。结构：be (am/is/are) + 动词-ing
• I am reading. / He is reading. / They are reading.
• 动词 ing 的构成：一般加 -ing（read→reading）；以不发音 e 结尾去 e 加 -ing（make→making, write→writing）；重读闭音节双写末尾辅音字母加 -ing（run→running, swim→swimming, sit→sitting）
• 祈使句表达规则：动词原形开头。Talk quietly.（小声说话。） Keep to the right.（靠右走。）否定用 Don’t + 动词原形

四、语音知识¶

• 辅音字母组合 wh 的发音：
• wh 多数发 /w/：what, when, where, white, why, whale
• wh 在 o 前发 /h/：who, whose, whom, whole
• 注意区分 what /wɒt/ 和 who /huː/

五、易错点提醒¶

• 现在进行时 be 动词不能遗漏：She is reading.（不能说 She reading.）
• 动词 ing 拼写：running（双写n），swimming（双写m），making（去e）
• “它的”用 its（无撇号），it’s = it is（有撇号，意为”它是”）
• take turns（轮流）中 turns 用复数，不加 the

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小学英语·五年级上册知识点全梳理¶

依据《义务教育英语课程标准（2022年版）》及人教版PEP小学英语五年级上册教材整理

学习内容概览¶

Unit 1 What’s he like?¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• What’s…like? 句型：询问某人的性格/外貌特征，回答用 He/She is + 形容词。与 Who is…? 不同（Who 问身份）
• be 动词与第三人称单数：he/she/it 搭配 is。Mr. Li is strict.（李先生很严格。）
• 形容词并列：用 and 连接多个形容词。示例：tall and strong（又高又壮）

四、语音知识¶

• 字母组合 ee 和 ea 在词中的发音：/iː/（长元音）
• ee：beef, meet, see, green, sheep, week
• ea：tea, read, meat, seat, teacher, clean

五、易错点提醒¶

• What’s he like? 问的是”他什么样”（性格/外貌），不是问”他是谁”（Who is he?）
• shy 的发音 /ʃaɪ/，注意 sh /ʃ/ 的发音
• hard-working 是复合形容词，中间有连字符
• strict 后可接 with：He is strict with us.（他对我们很严格。）

Unit 2 My week¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• What do you have on…? 句型：on + 星期几，询问某天有什么课
• What do you do on…? 句型：询问某天做什么活动，do 是实义动词（做）
• 频率副词：always（总是）> usually（通常）> often（经常）> sometimes（有时）> never（从不），放在实义动词前

四、语音知识¶

• 字母组合 ea 的第二种发音：/e/（短元音），如 bread, sweater, head, sweater, breakfast, healthy
• 注意区分：ea 读 /iː/（tea, read）vs ea 读 /e/（bread, head）

五、易错点提醒¶

• 星期几首字母必须大写：Monday（不能写 monday）
• “在星期几”用介词 on：on Monday, on Fridays
• What do you do on Saturdays? 中第一个 do 是助动词，第二个 do 是实义动词”做”
• weekend 指周六和周日，on the weekend = on weekends

Unit 3 What would you like to eat?¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• What would you like to eat/drink?：would like to 表示”想要”，比 want 更礼貌。eat 问吃的，drink 问喝的。
• 可数与不可数名词：sandwich, hamburger（可数）；tea, salad, ice cream（不可数，但 ice cream 也可数表示”一份”）
• ** favourite 的用法**：favourite + 名词 = “最喜欢的……”。My favourite food is fish.

四、语音知识¶

• 字母组合 i_e 和 ow 的发音：
• i_e /aɪ/：bike, kite, ride, like, rice
• ow /aʊ/：cow, flower, brown, down, how, now

五、易错点提醒¶

• 食物形容词：hot 在食物中指”辣的”，不只是”热的”
• delicious 的拼写和发音 /dɪˈlɪʃəs/，注意重音
• would like = ‘d like，缩写形式撇号不能遗漏
• healthy = health（健康）+ y（形容词后缀）

Unit 4 What can you do?¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• can 的用法：情态动词 can 表示”能、会”，后接动词原形。无人称变化（I can / He can）
• Can…? 一般疑问句：把 can 提前。回答 Yes, I can. / No, I can’t.
• play 的用法：play + 球类（无 the）：play basketball, play ping-pong；play + 乐器（有 the）：play the pipa, play the piano

四、语音知识¶

• 字母组合 oo 的两种发音：
• /uː/（长音）：food, noodles, room, zoo, balloon, cool
• /ʊ/（短音）：book, look, good, foot, cook

五、易错点提醒¶

• play + 球类不加 the（play basketball），play + 乐器要加 the（play the piano）
• can 后接动词原形，不能说 I can singing（应为 I can sing）
• can’t = cannot = can not，口语常用 can’t /kɑːnt/
• “练功夫”用 do kung fu，不用 play kung fu

Unit 5 There is a big bed¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• There be 句型：表示”某处有某物”
• There is + 单数可数名词/不可数名词：There is a book on the desk.
• There are + 复数名词：There are two books on the desk.
• 就近原则：There be 句型中，be 动词由最近的名词决定。There is a book and two pens.（最近是 a book，用 is）
• Is there…? / Are there…?：一般疑问句把 is/are 提前，肯定句用 some，疑问句和否定句用 any

四、语音知识¶

• 字母组合 ai 和 ay 的发音：/eɪ/，如 rain, rainbow, paint, Monday, say, day, way, may

五、易错点提醒¶

• There is（单数）和 There are（复数）根据后面的名词来选择
• some 用于肯定句，any 用于疑问句和否定句
• 就近原则：There is a bed and two chairs in the room.（不是 are）
• There be 和 have/has 的区别：There be 表示”某处有”，have 表示”某人有”

Unit 6 In a nature park¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• Is there a…? / Are there any…?：There be 句型疑问式。单数用 Is there a，复数用 Are there any
• any 的用法：在疑问句和否定句中用 any 代替 some。示例：Are there any trees? There aren’t any trees.
• mountain vs hill：mountain 指大山/高山，hill 指小山/丘陵

四、语音知识¶

• 字母组合 ou 的发音：/aʊ/，如 house, mouse, sound, count, about, cloud, mouth
• ou 是常见的双元音字母组合，发 /aʊ/

五、易错点提醒¶

• Is there…? 回答用 there is/there isn’t，不能用 it is
• Are there any…? 中 any 不能换成 some（疑问句用 any）
• mountain（高山）和 hill（小山）大小不同，注意区分
• “在公园里”用 in the park，不能说 at the park（at 指在某个地点，in 强调在内部）

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小学英语·四年级下册知识点全梳理¶

依据《义务教育英语课程标准（2022年版）》及人教版PEP小学英语四年级下册教材整理

学习内容概览¶

Unit 1 My new school¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• Where is the…? 句型：询问场所位置，回答用 It’s on the + 序数词 + floor.
• 序数词 first/second：first（第一），second（第二），用于表示楼层顺序
• this/that 的区别：this 指近处的”这个”，that 指远处的”那个”

四、语音知识¶

• 字母组合 er 的发音：/ər/，如 water, tiger, sister, brother, under, dinner
• er 通常出现在词尾，发轻读音 /ər/

五、易错点提醒¶

• “一楼”在英式英语中是 ground floor，二楼是 first floor；美式英语中一楼是 first floor。课本采用美式说法
• teacher’s office 中 teacher’s 是名词所有格，表示”老师的”
• library 的发音 /ˈlaɪbrərɪ/，注意不要漏掉中间的 r 音

Unit 2 What time is it?¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• What time is it? 句型：询问时间，回答用 It’s + 数字 + o’clock.
• It’s time for… vs It’s time to…：for 后接名词（It’s time for dinner），to 后接动词原形（It’s time to go to school）
• 第三方称单数动词变化：He/She gets up at six.（get→gets）

四、语音知识¶

• 字母组合 ir 和 ur 的发音：/ɜːr/，如 bird, girl, nurse, hamburger, turn
• ir 和 ur 在重读音节中发相同音 /ɜːr/

五、易错点提醒¶

• It’s time for + 名词，It’s time to + 动词，两者不能混淆
• o’clock 只用于整点，不能说 It’s three thirty o’clock（应说 It’s three thirty）
• breakfast 的发音 /ˈbrekfəst/，注意不要发成 /ˈriːkfəst/

Unit 3 Weather¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• What’s the weather like…? 句型：询问天气，回答用 It’s + 天气形容词。也可用 How’s the weather?
• 天气形容词的构成：名词+y = 形容词。sun→sunny, wind→windy, cloud→cloudy, rain→rainy, snow→snowy
• Is it…? 句型：一般疑问句，把 is 提前。回答 Yes, it is. / No, it isn’t.

四、语音知识¶

• 字母组合 ar 和 al 的发音：
• ar 发 /ɑːr/：arm, car, card, park
• al 发 /ɔːl/：tall, ball, wall, small

五、易错点提醒¶

• weather 是不可数名词，不能说 a weather 或 weathers
• sunny 中双写 n：sun → sunny（不是 suny）
• What’s the weather like? = How’s the weather? 两种问法意思相同
• “气温26度”说 It’s 26 degrees，不能说 It’s 26 degree

Unit 4 At the farm¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• What are these/those? 句型：these/those 指代复数事物，be 动词用 are，回答用 They are…
• 名词复数规则：
• 一般加 s：cows, horses, carrots, onions
• 以 o 结尾加 es：tomatoes, potatoes
• 不规则变化：sheep → sheep（单复数同形）

四、语音知识¶

• 字母组合 or 的发音：/ɔːr/，如 horse, fork, born, for, morning
• 对比 or 在 w 后发音 /ɜːr/：word, work, world, worm

五、易错点提醒¶

• What are these? 回答用 They are…，不能用 These are…
• tomato/potato 的复数加 es，其他以 o 结尾的词（如 photo, radio）只加 s
• sheep 单复数同形：one sheep, five sheep

Unit 5 My clothes¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• Whose…is this? / Whose…are these?：询问物品归属。单数用 is this，复数用 are these。
• 名词性物主代词：mine（我的），yours（你的），单独使用，后面不接名词。示例：This is mine. = This is my hat.
• 成对出现的服装词：pants, shorts, shoes, socks, glasses 总是用复数形式，用 They are… 回答

四、语音知识¶

• 字母组合 le 的发音：/l/，如 apple, table, little, people, uncle
• le 出现在词尾时，前一个辅音与 l 构成成音节

五、易错点提醒¶

• Whose…is this?（单数）和 Whose…are these?（复数）不能混用
• pants, shorts, shoes, socks 是复数名词，谓语用 are：These pants are mine.
• mine = my + 名词，不能说 my，要直接说 mine

Unit 6 Shopping¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• How much is/are…? 句型：单数物品用 How much is…?（回答 It’s…）；复数物品用 How much are…?（回答 They’re…）
• Can I help you?：购物时营业员用语，回答可以说 Yes, I’d like… 或直接说需求
• How do you like…?：询问对方对某物的评价，回答用形容词

四、语音知识¶

• 字母组合 ar, or, er, ir, al, le 发音总复习：
• ar /ɑːr/：car, park
• or /ɔːr/：horse, fork
• er /ər/：water, sister
• ir /ɜːr/：bird, girl
• al /ɔːl/：tall, ball
• le /l/：apple, table

五、易错点提醒¶

• How much is this skirt? (单数) vs How much are these gloves? (复数)，be动词要搭配正确
• expensive 的发音 /ɪkˈspensɪv/，注意重音在第二个音节
• sunglasses, gloves, pants, shorts 等词总是用复数形式
• “多少钱”用 How much，不能用 How many（How many 问数量）

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小学英语·四年级上册知识点全梳理¶

依据《义务教育英语课程标准（2022年版）》及人教版PEP小学英语四年级上册教材整理

学习内容概览¶

Unit 1 My classroom¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• What’s in…? 句型：询问某处有什么，回答可以用 There is/are… 或直接列举物品
• Let’s… 和 Let me…：Let’s = Let us（让我们），Let me（让我），后接动词原形
• 祈使句：Open the door.（开门。）Close the window.（关窗。）Turn on the light.（开灯。）

四、语音知识¶

• 字母 a-e 的发音：/eɪ/，如 cake, face, name, make（a发字母本音，e不发音）
• 对比闭音节 a 的短音 /æ/：cat, map, bag, hat

五、易错点提醒¶

• Let’s 和 Let me 的区别：Let’s 是”让我们”（包括对方），Let me 是”让我”（只有自己）
• classroom 是 classroom，不能写成 class room（也可写 classroom, 新版常用合写）
• What’s in the classroom? 回答可以用 One blackboard, one TV, many desks and chairs.

Unit 2 My schoolbag¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• What’s in your…? 句型：询问对方某物里有什么，回答列举物品内容
• 不定冠词 a/an：辅音音素开头用 a（a Chinese book），元音音素开头用 an（an English book, an eraser）
• How many…do you have?：询问拥有数量，回答 I have + 数字

四、语音知识¶

• 字母 i-e 的发音：/aɪ/，如 like, kite, five, nine, rice（i发字母本音，e不发音）
• 对比闭音节 i 的短音 /ɪ/：big, six, pig, milk

五、易错点提醒¶

• an English book 中用 an，因为 English 以元音音素开头
• maths book（英式拼写）= math book（美式拼写），课本用 maths book
• candy 作不可数名词时表示”糖果”统称，作可数名词时指一颗颗糖果

Unit 3 My friends¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• 物主代词 his/her：his（他的）修饰男性所有物，her（她的）修饰女性所有物。示例：his book, her bag
• have/has 的用法：I/you/we/they 用 have，he/she/it 用 has。示例：I have long hair. She has short hair.
• 描述外貌句型：He/She is + 形容词。He/She has + 特征。

四、语音知识¶

• 字母 o-e 的发音：/oʊ/，如 nose, home, note, hope（o发字母本音，e不发音）
• 对比闭音节 o 的短音 /ɒ/：dog, box, hot, not

五、易错点提醒¶

• his 和 her 的区别：his 用于男性，her 用于女性
• have 和 has 的区别：第三人称单数（he/she/it）用 has，其余用 have
• glasses 总是以复数形式出现，不能说 a glass（指眼镜时）

Unit 4 At the farm¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• these/those 与 this/that 对比：this/these 指近处，that/those 指远处。this/that 接单数，these/those 接复数。
• Are these/those…? 句型：be动词用 are（复数），回答 Yes, they are. / No, they aren’t.
• 名词复数特殊变化：sheep→sheep（单复数同形），tomato→tomatoes（加es），potato→potatoes（加es）

四、语音知识¶

• 字母 u-e 的发音：/juː/，如 cute, use, tube, huge（u发字母本音，e不发音）
• 对比闭音节 u 的短音 /ʌ/：run, fun, cut, sun

五、易错点提醒¶

• sheep 的单数和复数形式相同：one sheep, two sheep（不能说 sheeps）
• tomato 和 potato 的复数加 es：tomatoes, potatoes（不是 tomatos, potatos）
• Are these…? 回答用 they，不用 these：Yes, they are.（不能说 Yes, these are.）

Unit 5 Dinner’s ready¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• What would you like? 句型：比 What do you want? 更礼貌。回答用 I’d like + 食物
• 不可数名词：beef, chicken, soup, bread, rice, fish 作食物讲时为不可数名词
• some 的用法：用于肯定句中不可数名词或复数名词前。示例：some soup, some vegetables

四、语音知识¶

• 字母 e 的发音规律总结：
• 开音节 /iː/：he, she, me, we
• 闭音节 /e/：red, pen, ten, bed
• e 开头组合 /iː/：eat, beef, meet, see

五、易错点提醒¶

• noodles 总是用复数形式，不能说 a noodle
• I’d like = I would like，撇号不能遗漏
• Help yourself 后可接 to + 食物：Help yourself to some beef.（请自便吃些牛肉。）
• chicken 作”鸡肉”讲不可数，作”小鸡”讲可数（a chicken）

Unit 6 Meet my family¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• How many people are there…? 句型：There be 句型疑问式，询问某处有多少人/物。回答 There are + 数字。
• 名词所有格：在名词后加 ‘s 表示”……的”。示例：father’s job（爸爸的工作），Amy’s brother（艾米的兄弟）
• 职业表达：He/She is a + 职业名词。示例：She is a teacher.（她是一名老师。）

四、语音知识¶

• 元音字母组合复习：
• a-e /eɪ/：cake, make, name
• i-e /aɪ/：like, kite, five
• o-e /oʊ/：nose, home, note
• u-e /juː/：cute, use, tube
• e /iː/：he, she, me, we

五、易错点提醒¶

• cook 作名词是”厨师”，作动词是”做饭”，注意区分：He is a cook.（他是厨师。）He cooks dinner.（他做晚饭。）
• people 本身就是复数（人们），不能说 peoples（除非指”民族”）
• 名词所有格的写法：以 s 结尾的复数名词只加 ‘：teachers’ room（老师们的办公室）
• What’s your father’s job? = What does your father do? 两种问法意思相同

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小学英语·三年级下册知识点全梳理¶

依据《义务教育英语课程标准（2022年版）》及人教版PEP小学英语三年级下册教材整理

学习内容概览¶

Unit 1 Welcome back to school¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• I’m from… 句型：表示”我来自……”，后接国家名称。示例：I’m from the USA.（我来自美国。）
• 人称代词 he/she：he 指男性”他”，she 指女性”她”。示例：He is a student. She is my teacher.
• be 动词搭配：I 搭配 am，he/she 搭配 is，you/they 搭配 are

四、语音知识¶

• 字母 a 在开音节中的发音：/eɪ/，如 cake, make, face
• 字母 a 在闭音节中的发音：/æ/，如 cat, bag, dad

五、易错点提醒¶

• UK 和 USA 前面需要加 the（the UK, the USA），China 和 Canada 前不加 the
• 回答 Where are you from? 用 I’m from…，不能只说国家名
• he 和 she 容易混淆，he 指男生，she 指女生

Unit 2 My family¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• Who’s…? 句型：Who’s = Who is，询问”……是谁”。回答用 He’s/She’s + 身份。示例：Who’s that boy? — He’s my brother.
• 物主代词 your：your 表示”你的”，放在名词前。示例：your father, your family
• 缩写形式：who’s = who is, he’s = he is, she’s = she is

四、语音知识¶

• 字母 e 在开音节中的发音：/iː/，如 he, she, we, me
• 字母 e 在闭音节中的发音：/e/，如 ten, red, pen, leg

五、易错点提醒¶

• grandfather 和 grandmother 可以用 grandpa 和 grandma 代替，后者更口语化
• Who’s that man? 回答用 He’s…，Who’s that woman? 回答用 She’s…，不能交叉使用
• isn’t = is not，否定回答要完整：No, she isn’t.

Unit 3 At the zoo¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• 形容词描述特征：形容词放在名词前或 be 动词后。示例：a big pig / The pig is big.
• so 的强调用法：so + 形容词，表示”太/这么”。示例：It’s so big!（它好大啊！）
• and 连接形容词：两个形容词用 and 连接。示例：tall and strong（又高又壮）

四、语音知识¶

• 字母 i 在开音节中的发音：/aɪ/，如 five, nine, kite, like
• 字母 i 在闭音节中的发音：/ɪ/，如 pig, six, big, milk

五、易错点提醒¶

• tall 和 short 都可以表示”高矮”，但 short 也可以表示”长短”，注意语境
• children 是 child 的不规则复数，不能说 childs
• giraffe 的发音 /dʒɪˈræf/，注意重音在第二个音节

Recycle 1¶

复习要点¶

Unit 4 Where is my car?¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• Where is…? 句型：询问位置，Where is = Where’s。回答用 It’s + 介词 + 地点。示例：Where’s my cap? — It’s under the chair.
• 方位介词：on（在……上面）、in（在……里面）、under（在……下面）
• 一般疑问句 Is it…?：把 be 动词 is 提前，回答用 Yes, it is. / No, it isn’t.

四、语音知识¶

• 字母 o 在开音节中的发音：/oʊ/，如 dog → no, go, nose, home（注意dog是闭音节）
• 字母 o 在闭音节中的发音：/ɒ/（英式）或 /ɑː/（美式），如 dog, box, orange, body

五、易错点提醒¶

• in/on/under 的区别要清楚：in 是在内部，on 是在表面（有接触），under 是在正下方
• Where is = Where’s，口语中常用缩写
• box 的复数是 boxes，以 x 结尾的名词加 es

Unit 5 Do you like pears?¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• Do you like…? 句型：一般疑问句，Do + you + like + 名词。肯定回答 Yes, I do. 否定回答 No, I don’t.
• 可数与不可数：apple, banana, orange, pear, grape, strawberry 是可数名词；fruit 既是可数也可不可数
• 名词复数：grape→grapes, strawberry→strawberries（y结尾变ies）

四、语音知识¶

• 字母 u 在开音节中的发音：/juː/，如 cute, use, tube
• 字母 u 在闭音节中的发音：/ʌ/，如 run, duck, fun, sun, cut

五、易错点提醒¶

• strawberry 的复数是 strawberries，把 y 变成 ies
• Do you like…? 回答用 I do / I don’t，不能用 Yes, I like.
• don’t = do not，not 不能单独使用，要和 do 连用

Unit 6 How many?¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• How many…do you have? 句型：询问拥有数量，How many + 复数名词 + do you have? 回答用 I have + 数字。
• How many…do you see? 句型：询问看见数量，回答用 I see + 数字。
• 13-19的构词规律： thirteen 到 nineteen 都以 -teen 结尾，注意 thirteen, fifteen, eighteen 的特殊拼写。

四、语音知识¶

• 五个元音字母 a, e, i, o, u 的开音节和闭音节发音规律总结
• 开音节（元音字母读字母本音）：a→/eɪ/, e→/iː/, i→/aɪ/, o→/oʊ/, u→/juː/
• 闭音节（元音字母读短音）：a→/æ/, e→/e/, i→/ɪ/, o→/ɒ/, u→/ʌ/

五、易错点提醒¶

• thirteen 和 fifteen 的拼写特殊：十三是 th+ir+teen，十五是 fif+teen（不是 fiveteen）
• eighteen 只有一个 t：eighteen（不是 eightteen）
• How many 后接复数名词，如 How many kites（不能说 kite）

Recycle 2¶

复习要点¶

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小学英语·三年级上册知识点全梳理¶

依据《义务教育英语课程标准（2022年版）》及人教版PEP小学英语三年级上册教材整理

学习内容概览¶

Unit 1 Hello¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• 自我介绍句型 I’m…：I’m 是 I am 的缩写，后接名字。示例：I’m Wu Yifan.（我是吴一凡。）
• 物主代词 my：my 表示”我的”，放在名词前面。示例：my name（我的名字）、my book（我的书）。

四、语音知识¶

• 字母 Aa 的发音：/eɪ/，如 name /neɪm/
• 字母 Bb 的发音：/biː/
• 字母 Cc 的发音：/siː/
• 初步感知字母名（letter name）与字母音（letter sound）的区别

五、易错点提醒¶

• I’m 的缩写形式书写时撇号不能省略，不能写成 Im
• Hello 和 Hi 都表示”你好”，Hello 较正式，Hi 较随意
• 回答 What’s your name? 时不能只说名字，应说完整句 My name is… 或 I’m…

Unit 2 Colours¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• I see… 句型：I see + 颜色/物体，表示”我看见……”。示例：I see green.（我看见绿色。）
• 颜色形容词的位置：颜色词放在名词前面。示例：a red apple（一个红苹果），不能说 an apple red。

四、语音知识¶

• 字母 Dd 的发音：/diː/
• 字母 Ee 的发音：/iː/
• 字母 Ff 的发音：/ef/
• 字母 Gg 的发音：/dʒiː/

五、易错点提醒¶

• orange 既是颜色”橙色”，也是水果”橙子”，注意根据语境区分
• Good morning 用于上午（约12点前），Good afternoon 用于下午（12点后—6点前），不能混用
• Nice to meet you 的回答必须加上 too：Nice to meet you, too.

Unit 3 Look at me¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• This is… 句型：This is 用于介绍身边的人或物。示例：This is my head.（这是我的头。）
• 祈使句：以动词开头的句子，表示命令或请求。示例：Touch your head.（摸摸你的头。）
• 名词复数：身体部位成对出现时用复数。foot→feet，eye→eyes，ear→ears，arm→arms，leg→legs，hand→hands

四、语音知识¶

• 字母 Hh 的发音：/eɪtʃ/
• 字母 Ii 的发音：/aɪ/
• 字母 Jj 的发音：/dʒeɪ/
• 字母 Kk 的发音：/keɪ/

五、易错点提醒¶

• foot 的复数是 feet，不是 foots
• mouth 的尾音 /θ/ 需要咬舌发音，不能发成 /s/
• This is 只能用于单数，介绍复数时用 These are

Unit 4 We love animals¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• What’s this/that? 句型：What’s = What is，this 指近处，that 指远处。回答都用 It’s a/an + 名词。
• 不定冠词 a/an：辅音音素开头用 a（a dog, a cat），元音音素开头用 an（an elephant, an orange）。

四、语音知识¶

• 字母 Ll 的发音：/el/
• 字母 Mm 的发音：/em/
• 字母 Nn 的发音：/en/
• 字母 Oo 的发音：/oʊ/

五、易错点提醒¶

• elephant 以元音音素开头，应说 an elephant，不能说 a elephant
• What’s this? 回答用 It’s a…，不能说 This is a…
• this 和 that 的区别：this 指近处的”这个”，that 指远处的”那个”

Unit 5 Let’s eat¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• I’d like… 句型：I’d like = I would like，比 I want 更礼貌。后接食物/饮料。示例：I’d like some milk.（我想要些牛奶。）
• some 的用法：some 用于不可数名词或复数名词前，表示”一些”。示例：some bread, some eggs
• 不可数名词：bread, juice, milk, water, rice, fish 作食物讲时为不可数名词，不能加 s

四、语音知识¶

• 字母 Pp 的发音：/piː/
• 字母 Qq 的发音：/kjuː/
• 字母 Rr 的发音：/ɑːr/
• 字母 Ss 的发音：/es/

五、易错点提醒¶

• bread, milk, water, rice 是不可数名词，不能说 breads, milks
• egg 虽可数，但以元音音素开头，应说 an egg
• Here you are. 不能直译为”你在这”，它是”给你”的固定表达

Unit 6 Happy birthday¶

一、核心词汇¶

二、核心句型¶

三、语法要点¶

• How many…? 句型：How many + 可数名词复数 + ?，用来询问数量。示例：How many dogs?（多少只狗？）— Five.（五只。）
• 数字1-10的拼写：one, two, three, four, five, six, seven, eight, nine, ten，需要熟记拼写。

四、语音知识¶

• 字母 Tt 的发音：/tiː/
• 字母 Uu 的发音：/juː/
• 字母 Vv 的发音：/viː/
• 字母 Ww 的发音：/ˈdʌbəljuː/
• 字母 Xx 的发音：/eks/
• 字母 Yy 的发音：/waɪ/
• 字母 Zz 的发音：/ziː/（美式）或 /zed/（英式）

五、易错点提醒¶

• How many 后面必须跟可数名词复数，如 How many plates（不能说 plate）
• eight 的发音含 /eɪ/，注意与 /æt/ 区分
• 26个字母中容易混淆的：b 和 d（镜面反转）、p 和 q（镜面反转）、I 和 l（大写i和小写L）

26个字母总复习¶

字母表¶

书写规范¶

• 大写字母占上中两格：A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
• 小写字母占中格：a c e m n o r s u v w x z
• 小写字母占上中两格：b d h i k l t
• 小写字母占中下两格：g j p q y
• 小写字母 f 占上中下三格

易混淆字母¶

• b / d：b 圆肚在右，d 圆肚在左
• p / q：p 圆肚在右带下尾巴，q 圆肚在左带下尾巴
• I / l：大写 I 有上下横线，小写 l 没有横线

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小学数学·六年级下册知识点全梳理¶

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》及人教版小学数学六年级下册教材整理

学习内容概览¶

第一单元 负数¶

一、核心知识点¶

• 正数与负数：像+3、+5.2这样的数是正数（+可省略），像-2、-0.5这样的数是负数
• 0的含义：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点
• 负数的实际意义：表示与正数相反意义的量，如零上/零下、收入/支出、上升/下降
• 在数轴上表示：0在中间，正数在0右边，负数在0左边，越往右数越大
• 比较大小：正数>0>负数，两个负数比大小，绝对值大的反而小，如 $-3<-1$

二、重点难点¶

• 重点：理解负数的含义，能在数轴上表示正负数
• 难点：负数大小比较

三、典型例题¶

1. 某地白天最高气温+8°C，夜间最低气温-5°C，温差是多少？
   - 解答：$8-(-5)=8+5=13$（°C）。
2. 比较-7和-3的大小。
   - 解答：$|-7|>|-3|$，所以 $-7<-3$。
3. 在数轴上表示-2.5、0、+3、-1。
   - 解答：从左到右：-2.5、-1、0、+3。

四、易错点提醒¶

• 负数比较大小：离0越远的负数越小
• 0既不是正数也不是负数
• 温差=最高温度-最低温度，注意负温度的情况

第二单元 百分数（二）¶

一、核心知识点¶

• 折扣：商品降价出售，打几折就是按原价的百分之几十出售，如打八折=原价×80%
• 成数：表示十分之几，如三成=30%，二成五=25%
• 税率：应纳税额与各种收入的比率，应纳税额=收入×税率
• 利率：利息与本金的比率，利息=本金×利率×存期
• 本息和：本金+利息

二、重点难点¶

• 重点：掌握折扣、成数、税率、利率的计算方法
• 难点：利息计算和综合应用

三、典型例题¶

1. 一件商品原价500元，打七五折出售，现价多少元？
   - 解答：$500\times75\%=375$（元）。
2. 小明将3000元存入银行，年利率2.25%，存2年，到期后利息多少元？
   - 解答：$3000\times2.25\%\times2=135$（元）。
3. 王叔叔月收入8000元，扣除5000元免征额后，超出部分按3%缴纳个人所得税，应缴多少？
   - 解答：$(8000-5000)\times3\%=90$（元）。

四、易错点提醒¶

• 打折是”原价×折数”，不是”原价÷折数”
• 利息=本金×利率×时间，别忘乘时间
• 成数和折扣都化成百分数再计算

第三单元 圆柱与圆锥¶

一、核心知识点¶

• 圆柱认识：2个圆形底面+1个曲面（侧面展开是长方形），有无数条高
• 圆柱侧面积：$S_{侧}=底面周长\times高=2\pi rh$（或$=dh\pi$）
• 圆柱表面积：$S=2\pi r^2+2\pi rh$
• 圆柱体积：$V=\pi r^2 h$（底面积×高）
• 圆锥认识：1个圆形底面+1个曲面+1个顶点，1条高（顶点到底面圆心的距离）
• 圆锥体积：$V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$（等底等高圆柱体积的$\frac{1}{3}$）

二、重点难点¶

• 重点：掌握圆柱表面积和体积、圆锥体积公式
• 难点：表面积的实际应用（通风管、无盖等），圆柱与圆锥体积关系

三、典型例题¶

1. 圆柱底面半径4cm，高10cm，求侧面积和体积。
   - 解答：$S_{侧}=2\times3.14\times4\times10=251.2$（$\text{cm}^2$）；$V=3.14\times16\times10=502.4$（$\text{cm}^3$）。
2. 圆锥底面直径6cm，高8cm，求体积。
   - 解答：$V=\frac{1}{3}\times3.14\times9\times8=75.36$（$\text{cm}^3$）。
3. 一个圆柱形水桶底面直径30cm，高40cm（无盖），做这个水桶至少需要多少$\text{cm}^2$铁皮？
   - 解答：$S=\pi r^2+2\pi rh=3.14\times225+2\times3.14\times15\times40=706.5+3768=4474.5$（$\text{cm}^2$）。
4. 把一个圆柱形木块削成最大圆锥，削去部分的体积是多少？
   - 解答：削去的体积=圆柱体积-圆锥体积=$V_{柱}-\frac{1}{3}V_{柱}=\frac{2}{3}V_{柱}$。

四、易错点提醒¶

• 圆柱侧面积展开是长方形，长=底面周长，宽=高
• 圆锥体积是等底等高圆柱的$\frac{1}{3}$，不是$\frac{1}{2}$
• 无盖圆柱表面积=侧面积+1个底面积

第四单元 比例¶

一、核心知识点¶

• 比例的意义：表示两个比相等的式子，如 $2:3=4:6$
• 比例的基本性质：两外项之积=两内项之积，如 $a:b=c:d$ 则 $ad=bc$
• 解比例：利用比例的基本性质求未知项，如 $x:4=3:6$，$6x=12$，$x=2$
• 正比例：两种相关联的量，一种量变化另一种也变化，比值（商）一定，如 $y=kx$（$k$一定）
• 反比例：两种相关联的量，一种量变化另一种也变化，乘积一定，如 $xy=k$（$k$一定）
• 比例尺：图上距离:实际距离=比例尺，如比例尺1:100000表示图上1cm代表实际1km
• 图形放大缩小：按一定比放大（或缩小），对应边的比相同，形状不变

二、重点难点¶

• 重点：掌握比例的性质，判断正反比例，运用比例尺计算
• 难点：区分正比例和反比例，比例尺的实际应用

三、典型例题¶

1. 解比例 $x:5=12:15$。
   - 解答：$15x=5\times12=60$，$x=4$。
2. 判断：速度一定，路程和时间成什么比例？路程一定，速度和时间成什么比例？
   - 解答：速度一定，$路程\div时间=$速度（商一定），成正比例；路程一定，$速度\times时间=$路程（积一定），成反比例。
3. 比例尺1:2000000的地图上，量得A、B两城距离5cm，实际距离多少千米？
   - 解答：$5\times2000000=10000000$（cm）=100（km）。
4. 把一个长8cm、宽5cm的长方形按2:1放大，放大后面积是多少？
   - 解答：放大后长16cm，宽10cm，$S=16\times10=160$（$\text{cm}^2$）。

四、易错点提醒¶

• 正比例是商一定，反比例是积一定，不要混淆
• 比例尺计算注意单位换算（cm到km除以100000）
• 图形放大面积放大的是比的平方倍

第五单元 数学广角——鸽巢问题¶

一、核心知识点¶

• 鸽巢原理（抽屉原理）：把$n+1$个物品放入$n$个抽屉，至少有一个抽屉里有2个或以上的物品
• 一般形式：把$m$个物品放入$n$个抽屉，至少有一个抽屉有$\lceil m\div n\rceil$个物品
• 应用：解决”至少”“最多”“一定”类存在性问题

二、重点难点¶

• 重点：理解鸽巢原理的含义
• 难点：灵活运用鸽巢原理解决各种变形问题

三、典型例题¶

1. 13只鸽子飞进5个鸽巢，至少有一个鸽巢里有几只鸽子？
   - 解答：$13\div5=2\cdots3$，至少有$2+1=3$只。
2. 在任意13个人中，至少有2个人的生日在同一个月，为什么？
   - 解答：12个月=12个”抽屉”，13个人=13个”物品”，$13>12$，所以至少2人同月。
3. 从1-10中至少取几个数，才能保证一定有两个数之和为11？
   - 解答：配对为(1,10)(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)，5组，取6个数必有一组同取。

四、易错点提醒¶

• 鸽巢原理的关键是正确识别”物品”和”抽屉”
• “至少”问题的答案要用向上取整：$\lceil m\div n\rceil$

第六单元 总复习¶

一、数与代数¶

• 整数：自然数、0、负数，数位顺序，读写比较
• 小数：意义、性质、四则运算
• 分数：意义和性质、四则运算、与百分数互化
• 百分数：意义、应用（折扣、利率、税率等）
• 比和比例：比的意义性质、正反比例、比例尺
• 方程：用字母表示数、等式性质、解方程
• 运算定律：交换律、结合律、分配律
• 常见数量关系：速度×时间=路程、单价×数量=总价、工作效率×工作时间=工作总量

二、图形与几何¶

• 线与角：线段、射线、直线、角的分类和度量
• 平面图形：三角形（分类、内角和、三边关系）、四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形）、圆
• 周长：长方形$C=2(a+b)$，正方形$C=4a$，圆$C=2\pi r$
• 面积：长方形$S=ab$，正方形$S=a^2$，三角形$S=\frac{ah}{2}$，平行四边形$S=ah$，梯形$S=\frac{(a+b)h}{2}$，圆$S=\pi r^2$
• 立体图形：长方体、正方体、圆柱、圆锥
• 表面积：长方体$S=2(ab+ah+bh)$，正方体$S=6a^2$，圆柱$S=2\pi r^2+2\pi rh$
• 体积：长方体$V=abh$，正方体$V=a^3$，圆柱$V=\pi r^2h$，圆锥$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$
• 图形运动：轴对称、平移、旋转
• 位置：数对、方向与距离

三、统计与概率¶

• 统计表：单式和复式统计表
• 统计图：条形统计图（直观比较）、折线统计图（变化趋势）、扇形统计图（部分与整体关系）
• 平均数：总数÷份数
• 可能性：事件发生的可能性和大小

四、综合与实践¶

• 数学思想方法：转化思想、数形结合、化繁为简、模型思想、推理思想
• 解决问题策略：画图法、列表法、假设法、方程法、逆推法
• 常见应用题型：行程问题、工程问题、分数百分数应用题、比例应用题

五、典型综合例题¶

1. 一段路，甲单独走要30分，乙单独走要45分，两人同时从两端相向而行，几分后相遇？
   - 解答：甲速=$\frac{1}{30}$，乙速=$\frac{1}{45}$，合速=$\frac{1}{30}+\frac{1}{45}=\frac{3+2}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}$，$1\div\frac{1}{18}=18$（分）。
2. 一件商品先提价20%，再降价20%，现价与原价比较如何？
   - 解答：原价1→提价后$1\times1.2=1.2$→降价后$1.2\times0.8=0.96$，现价是原价的96%，比原价低4%。
3. 一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积之和是96$\text{cm}^3$，分别求体积。
   - 解答：$V_{柱}+V_{锥}=V_{柱}+\frac{1}{3}V_{柱}=\frac{4}{3}V_{柱}=96$，$V_{柱}=72$（$\text{cm}^3$），$V_{锥}=24$（$\text{cm}^3$）。

六、易错点提醒¶

• 总复习中注意各知识间的联系，如分数→百分数→比例→方程
• 面积公式和体积公式要理解推导过程，不是死记
• 解决问题关键是找准数量关系和单位”1”

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依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》及人教版小学数学六年级上册教材整理

学习内容概览¶

第一单元 分数乘法¶

一、核心知识点¶

• 分数乘整数：分子与整数相乘，分母不变，如 $\frac{2}{5}\times3=\frac{6}{5}$
• 分数乘分数：分子乘分子，分母乘分母，如 $\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{15}$
• 分数乘法计算技巧：先约分再乘更简便，如 $\frac{3}{8}\times\frac{4}{9}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
• 倒数的认识：乘积为1的两个数互为倒数，如 $\frac{3}{5}$的倒数是$\frac{5}{3}$，0没有倒数，1的倒数是1
• 求倒数方法：将分子分母交换位置
• 分数乘法应用题：求一个数的$\frac{n}{m}$是多少，用乘法，即 $数\times\frac{n}{m}$

二、重点难点¶

• 重点：掌握分数乘法的计算方法，理解倒数的概念
• 难点：分数乘法应用题中找准单位”1”

三、典型例题¶

1. $\frac{5}{6}\times\frac{9}{10}=$？
   - 解答：先约分，$\frac{5}{6}\times\frac{9}{10}=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$。
2. $\frac{7}{12}$的倒数是多少？0.25的倒数是多少？
   - 解答：$\frac{7}{12}$的倒数是$\frac{12}{7}$；$0.25=\frac{1}{4}$，倒数是4。
3. 一袋大米30千克，吃了$\frac{2}{5}$，吃了多少千克？
   - 解答：$30\times\frac{2}{5}=12$（千克）。

四、易错点提醒¶

• 分数乘法先约分再乘，计算更简便
• 0没有倒数，1的倒数是1
• “吃了$\frac{2}{5}$”中的$\frac{2}{5}$是相对于总量（单位”1”）而言

第二单元 位置与方向（二）¶

一、核心知识点¶

• 方向+距离确定位置：如”北偏东30°方向4千米处”，用方向角和距离精确定位
• 方向角：以南北方向为基准，偏东或偏西的角度，如”南偏西45°”
• 比例尺：图上距离与实际距离的比，用于在图上标注位置
• 路线描述：从A出发，向北偏东30°方向走3千米到达B

二、重点难点¶

• 重点：用方向和距离描述和确定位置
• 难点：方向角的测量和描述

三、典型例题¶

1. 学校在小明家北偏东40°方向2千米处，请在图上标出学校位置（比例尺1:100000）。
   - 解答：2千米=200000厘米，图上距离=$200000\div100000=2$厘米，在北偏东40°方向2厘米处标注。

四、易错点提醒¶

• 方向角描述要准确，”北偏东”和”东偏北”角度不同
• 注意比例尺换算

第三单元 分数除法¶

一、核心知识点¶

• 分数除以整数：分子除以整数（能整除时），或乘整数的倒数，如 $\frac{4}{5}\div2=\frac{4}{5}\times\frac{1}{2}=\frac{2}{5}$
• 一个数除以分数：除以一个分数等于乘这个分数的倒数，如 $\frac{3}{4}\div\frac{5}{6}=\frac{3}{4}\times\frac{6}{5}=\frac{9}{10}$
• 除法法则总结：$a\div b=a\times\frac{1}{b}$（$b\neq0$），除号变乘号，除数变倒数
• 比的意义：两个数相除又叫两个数的比，如 $a:b$或$\frac{a}{b}$
• 比各部分名称：$a:b=c$，$a$是前项，$b$是后项，$c$是比值
• 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变
• 化简比：把比化成最简整数比，如 $12:8=3:2$
• 按比分配：把一个量按比分成几份，如把120按2:3分配，$120\times\frac{2}{5}=48$，$120\times\frac{3}{5}=72$

二、重点难点¶

• 重点：掌握分数除法的计算方法，理解比的概念
• 难点：分数除法应用题（已知一个数的$\frac{n}{m}$求这个数），按比分配

三、典型例题¶

1. $\frac{8}{9}\div\frac{4}{5}=$？
   - 解答：$\frac{8}{9}\times\frac{5}{4}=\frac{10}{9}$。
2. 一个数的$\frac{3}{5}$是18，这个数是多少？
   - 解答：$18\div\frac{3}{5}=18\times\frac{5}{3}=30$。
3. 甲乙两数之比是3:5，甲数是60，乙数是多少？
   - 解答：比值$\frac{3}{5}$，乙=$60\div3\times5=100$。
4. 把360元按2:3:4分给三人，各得多少？
   - 解答：总份=$2+3+4=9$，分别得$360\times\frac{2}{9}=80$元、$360\times\frac{3}{9}=120$元、$360\times\frac{4}{9}=160$元。

四、易错点提醒¶

• 除以分数变乘倒数时只变除数，被除数不变
• “已知一个数的$\frac{n}{m}$是A，求这个数”用除法：$A\div\frac{n}{m}$
• 比和比值不同，比是$a:b$，比值是一个数

第四单元 圆¶

一、核心知识点¶

• 圆的认识：圆心（O）、半径（$r$）、直径（$d$），$d=2r$，圆是轴对称图形，有无数条对称轴
• 画圆：圆规针尖固定在圆心，张开半径距离旋转一周
• 圆的周长：$C=\pi d=2\pi r$，$\pi\approx3.14$
• 圆周率$\pi$：周长与直径的比值，是无限不循环小数，$\pi\approx3.1415926535\cdots$
• 圆的面积：$S=\pi r^2$，由将圆分成若干等份拼成近似长方形推导
• 环形面积：$S=\pi(R^2-r^2)$，$R$是大圆半径，$r$是小圆半径
• 扇形：由两条半径和一条弧围成的图形，扇形面积=$\frac{n}{360}\times\pi r^2$

二、重点难点¶

• 重点：掌握圆的周长和面积公式，会计算
• 难点：组合图形面积计算，灵活运用公式

三、典型例题¶

1. 圆的半径是5cm，求周长和面积。
   - 解答：$C=2\times3.14\times5=31.4$（cm），$S=3.14\times5^2=78.5$（$\text{cm}^2$）。
2. 一个圆形花坛周长是18.84米，面积是多少？
   - 解答：$d=18.84\div3.14=6$（米），$r=3$米，$S=3.14\times9=28.26$（$\text{m}^2$）。
3. 一个环形，大圆半径8cm，小圆半径5cm，环形面积是多少？
   - 解答：$S=3.14\times(64-25)=3.14\times39=122.46$（$\text{cm}^2$）。
4. 扇形的圆心角是60°，半径6cm，面积是多少？
   - 解答：$S=\frac{60}{360}\times3.14\times36=\frac{1}{6}\times113.04=18.84$（$\text{cm}^2$）。

四、易错点提醒¶

• 计算面积时先算$r^2$，不要算成$(2r)^2$
• $\pi$取3.14是近似值，题目未说明时取3.14
• 已知周长求面积：先由周长求直径/半径，再求面积

第五单元 百分数¶

一、核心知识点¶

• 百分数意义：表示一个数是另一个数的百分之几，也叫百分率或百分比
• 百分数写法：如45%读作百分之四十五
• 百分数与分数互化：分数化百分数→分子÷分母×100%；百分数化分数→去掉%写成分母100的分数再约分
• 百分数与小数互化：小数化百分数→小数点右移两位加%；百分数化小数→去%小数点左移两位
• 求百分率：$\frac{部分}{整体}\times100\%$
• 求增加/减少百分之几：$\frac{增加量}{原量}\times100\%$ 或 $\frac{减少量}{原量}\times100\%$

二、重点难点¶

• 重点：理解百分数的含义，掌握百分数与分数、小数的互化
• 难点：百分数应用题中找准单位”1”

三、典型例题¶

1. 把$\frac{3}{8}$化成百分数。
   - 解答：$3\div8=0.375=37.5\%$。
2. 原价200元的商品，现价160元，降价百分之几？
   - 解答：$(200-160)\div200=40\div200=20\%$，降价20%。
3. 某班50人，今天到校48人，出勤率是多少？
   - 解答：$48\div50\times100\%=96\%$。

四、易错点提醒¶

• 百分数只表示两个数的倍比关系，不表示具体数量，不能带单位
• “降价百分之几”是相对于原价（单位”1”）而言
• 百分数的分子可以是小数，如12.5%

第六单元 统计——扇形统计图¶

一、核心知识点¶

• 扇形统计图：用圆表示总数，用扇形表示各部分占总数的百分比
• 特点：能直观看出各部分与总量的关系
• 读图方法：看各扇形对应的百分比，各百分比之和=100%

二、重点难点¶

• 重点：能读懂扇形统计图并从中获取信息
• 难点：根据扇形统计图中的百分比计算具体数量

三、典型例题¶

1. 扇形统计图中，食物支出占45%，已知总支出5000元，食物支出多少元？
   - 解答：$5000\times45\%=2250$（元）。

四、易错点提醒¶

• 扇形统计图中各部分百分比之和一定是100%
• 已知总数和百分比求具体量用乘法

第七单元 数学广角——数与形¶

一、核心知识点¶

• 数形结合思想：借助图形理解数的规律，用数来精确描述图形
• 正方形数：$1=1^2$，$1+3=2^2$，$1+3+5=3^2$，$1+3+5+7=4^2$……从1开始连续奇数之和等于奇数个数的平方
• 数列规律：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$无限趋近于2但永远达不到2

二、重点难点¶

• 重点：理解数形结合的方法
• 难点：从图形中发现数的规律

三、典型例题¶

1. $1+3+5+7+9+11+13=$？
   - 解答：7个连续奇数，$7^2=49$。
2. $1+3+5+\cdots+99=$？
   - 解答：从1到99有50个奇数，$50^2=2500$。

四、易错点提醒¶

• 连续奇数之和的规律：从1开始，$n$个连续奇数之和=$n^2$
• 数形结合是重要的数学思想，在几何和代数中都有广泛应用

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小学数学·五年级下册知识点全梳理¶

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》及人教版小学数学五年级下册教材整理

学习内容概览¶

第一单元 观察物体（三）¶

一、核心知识点¶

• 从正面、上面、左面观察：由多个小正方体搭成的立体图形，从不同方向看形状可能不同
• 根据视图还原：根据给定的正面、上面、侧面视图拼搭出对应的立体图形

二、重点难点¶

• 重点：能画出三个方向的视图，能根据视图拼搭立体图形
• 难点：多个正方体组合时的空间想象

三、典型例题¶

1. 用5个正方体搭一个图形，从正面看到□□□，从上面看到□□，从左面看到□□，怎样搭？
   - 解答：正面3列说明有3列，上面2行说明有2层，左面2行确认2层，综合确定各位置方块数。

四、易错点提醒¶

• 还原立体图形时可能不止一种搭法，要仔细分析三个方向的视图

第二单元 因数与倍数¶

一、核心知识点¶

• 因数和倍数：若$a\times b=c$（$a,b,c$为非零自然数），则$a$和$b$是$c$的因数，$c$是$a$和$b$的倍数
• 因数特点：一个数的因数个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身
• 倍数特点：一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数
• 2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数是偶数（2的倍数），否则是奇数
• 5的倍数特征：个位是0或5
• 3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数
• 质数：只有1和它本身两个因数，如2、3、5、7、11、13……
• 合数：除了1和它本身还有其他因数，如4、6、8、9、10……
• 1既不是质数也不是合数，2是最小的质数，也是唯一的偶质数

二、重点难点¶

• 重点：掌握因数倍数的概念和2、3、5的倍数特征
• 难点：理解质数合数的概念，3的倍数特征

三、典型例题¶

1. 找出36的所有因数。
   - 解答：1和36、2和18、3和12、4和9、6和6，即1、2、3、4、6、9、12、18、36。
2. 判断156是不是3的倍数。
   - 解答：$1+5+6=12$，12是3的倍数，所以156是3的倍数。
3. 50以内的质数有哪些？
   - 解答：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47。

四、易错点提醒¶

• 因数和倍数是相互的，不能单独说某数是因数或倍数
• 1既不是质数也不是合数，2是唯一的偶质数
• 3的倍数特征看各位数字之和，不是只看个位

第三单元 长方体和正方体¶

一、核心知识点¶

• 长方体特征：6个面（对面相等）、12条棱（相对棱相等）、8个顶点
• 正方体特征：6个面都相等、12条棱都相等、8个顶点，是特殊的长方体
• 表面积：长方体 $S=2(ab+ah+bh)$；正方体 $S=6a^2$
• 体积概念：物体所占空间的大小
• 体积公式：长方体 $V=abh$；正方体 $V=a^3$
• 体积单位：$\text{m}^3$、$\text{dm}^3$、$\text{cm}^3$，$1\text{dm}^3=1000\text{cm}^3$，$1\text{m}^3=1000\text{dm}^3$
• 容积：容器所能容纳物体的体积
• 容积单位：升（L）、毫升（mL），$1\text{L}=1000\text{mL}$，$1\text{L}=1\text{dm}^3$，$1\text{mL}=1\text{cm}^3$

二、重点难点¶

• 重点：掌握表面积和体积的计算
• 难点：表面积的实际应用（如缺面问题），体积与容积的区别

三、典型例题¶

1. 长方体长8cm、宽5cm、高4cm，表面积和体积各是多少？
   - 解答：$S=2\times(8\times5+8\times4+5\times4)=2\times(40+32+20)=184$（$\text{cm}^2$）；$V=8\times5\times4=160$（$\text{cm}^3$）。
2. 做一个无盖的长方体鱼缸，长6dm，宽4dm，高5dm，至少需要多少$\text{dm}^2$玻璃？
   - 解答：$6\times4+2\times(6\times5+4\times5)=24+100=124$（$\text{dm}^2$）。
3. 一块正方体石料棱长6dm，体积是多少？如果每$\text{dm}^3$石料重2.5kg，这块石料重多少？
   - 解答：$V=6^3=216$（$\text{dm}^3$），$216\times2.5=540$（kg）。

四、易错点提醒¶

• 表面积实际问题要注意缺面（无盖、无底等）
• 体积单位和容积单位的换算关系要牢记
• 计算表面积时注意有几对相同的面

第四单元 分数的意义和性质¶

一、核心知识点¶

• 分数意义：把单位”1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数
• 分数单位：$\frac{1}{n}$是分数单位，如$\frac{3}{5}$的分数单位是$\frac{1}{5}$
• 真分数：分子<分母，值$<1$
• 假分数：分子$\geq$分母，值$\geq1$
• 带分数：整数部分+真分数部分，如$1\frac{2}{3}$
• 假分数化带分数：$\frac{7}{3}=7\div3=2\cdots1=2\frac{1}{3}$
• 分数基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变
• 约分：把分数化成与它相等但分子分母较小的分数，约到不能再约是最简分数
• 通分：把异分母分数化成同分母分数（取最小公倍数作公分母）
• 分数与小数互化：$\frac{3}{4}=0.75$，$0.35=\frac{35}{100}=\frac{7}{20}$

二、重点难点¶

• 重点：理解分数的意义和基本性质，掌握约分通分
• 难点：通分时找最小公倍数，分数与小数的互化

三、典型例题¶

1. 把$\frac{24}{36}$约分。
   - 解答：$\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$（分子分母同除以12）。
2. 把$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$通分。
   - 解答：公分母为12，$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$，$\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$。
3. 把$\frac{5}{8}$化成小数。
   - 解答：$5\div8=0.625$。

四、易错点提醒¶

• 约分要约到最简分数，即分子分母互质
• 通分用最小公倍数作公分母，计算更简便
• 假分数化带分数时余数作新分子，分母不变

第五单元 图形的运动（三）——旋转¶

一、核心知识点¶

• 旋转三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度
• 旋转特征：旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置和方向
• 旋转作图：确定旋转中心→将各边绕中心旋转指定角度→连接对应点

二、重点难点¶

• 重点：掌握旋转的三要素，能画出旋转后的图形
• 难点：旋转角度的确定和旋转作图

三、典型例题¶

1. 将三角形绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。
   - 解答：将每条边绕O点顺时针旋转90°，连接各点得到新图形。

四、易错点提醒¶

• 旋转方向（顺时针/逆时针）不能搞反
• 旋转角度要与旋转方向配合

第六单元 分数的加法和减法¶

一、核心知识点¶

• 同分母分数加减法：分母不变，分子相加减，如 $\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$
• 异分母分数加减法：先通分再加减，如 $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$
• 分数加减混合运算：运算顺序与整数相同，从左往右，有括号先算括号
• 简便运算：运用运算定律，如 $\frac{3}{7}+\frac{5}{8}+\frac{4}{7}=\frac{3}{7}+\frac{4}{7}+\frac{5}{8}=1+\frac{5}{8}=1\frac{5}{8}$

二、重点难点¶

• 重点：掌握异分母分数加减法
• 难点：通分和计算过程中的约分

三、典型例题¶

1. $\frac{5}{6}-\frac{1}{4}=$？
   - 解答：通分，公分母12，$\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$。
2. $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=$？
   - 解答：$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1$。

四、易错点提醒¶

• 异分母分数不能直接加减，必须先通分
• 结果能约分的要约分

第七单元 折线统计图¶

一、核心知识点¶

• 折线统计图：用折线表示数据变化趋势，既能看出具体数量又能看出增减变化
• 复式折线统计图：用不同颜色的折线表示两组数据，便于对比变化趋势
• 绘制方法：描点→连线→标注数据

二、重点难点¶

• 重点：能读懂和绘制折线统计图
• 难点：从图中分析变化趋势和对比信息

三、典型例题¶

1. 根据某城市1-6月气温数据绘制折线统计图，分析气温变化趋势。
   - 解答：折线上升说明气温升高，下降说明气温降低，折线越陡变化越快。

四、易错点提醒¶

• 折线统计图的重点是看趋势，不只是看具体数值

第八单元 数学广角——找次品¶

一、核心知识点¶

• 找次品问题：在若干物品中找出唯一一个次品（偏轻或偏重），用天平最少称几次
• 三分法：把物品分成3组（尽量平均），称其中两组，能确定次品在哪一组
• 称量次数规律：$n$次称量最多能从$3^n$个物品中找出次品

二、重点难点¶

• 重点：掌握三分法的策略
• 难点：分组方案的设计和最优解的确定

三、典型例题¶

1. 9个零件中有一个偏轻的次品，用天平至少称几次一定能找到？
   - 解答：分成3、3、3三组，第一次称两组3个→确定在哪组→再称该组2个→确定。至少2次。
2. 27个零件中有一个次品，至少称几次？
   - 解答：$3^3=27$，至少3次。

四、易错点提醒¶

• 分组时尽量平均分成3份，不要分成2份
• 三分法每次称量可以将范围缩小到原来的$\frac{1}{3}$

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依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》及人教版小学数学五年级上册教材整理

学习内容概览¶

第一单元 小数乘法¶

一、核心知识点¶

• 小数乘整数：先按整数乘法算，再看小数位数，如 $3.5\times4=14.0$
• 小数乘小数：先按整数乘法算出积，再看两个因数共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，如 $2.4\times0.3=0.72$
• 积的近似数：按”四舍五入”保留指定小数位数
• 积与因数的关系：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原数大；乘小于1的数，积比原数小
• 连乘、乘加、乘减：先算乘法再算加减，有括号先算括号
• 简便运算：乘法交换律、结合律、分配律同样适用于小数

二、重点难点¶

• 重点：掌握小数乘法的计算方法，确定积的小数点位置
• 难点：积的小数位数不够时前面要补0，如 $0.12\times0.3=0.036$

三、典型例题¶

1. $2.56\times0.4=$？
   - 解答：$256\times4=1024$，共有3位小数，$2.56\times0.4=1.024$。
2. $0.12\times0.3=$？
   - 解答：$12\times3=36$，共有3位小数，补0得0.036。
3. $2.5\times3.2\times1.25=$？
   - 解答：$2.5\times4\times0.8\times1.25=10\times1=10$。

四、易错点提醒¶

• 积的小数位数不够时要在前面用0补足，再点小数点
• 小数乘法积末尾有0要先点小数点再去0
• $0.8\times0.5=0.40=0.4$，注意先定位再去0

第二单元 位置¶

一、核心知识点¶

• 数对：用$(a,b)$表示位置，$a$表示列（从左往右数），$b$表示行（从前往后数）
• 数对写法：先列后行，如$(3,5)$表示第3列第5行
• 数对与位置：列数相同在同一列，行数相同在同一行

二、重点难点¶

• 重点：会用数对表示位置和根据数对找位置
• 难点：理解数对中两个数的含义不能颠倒

三、典型例题¶

1. 小明坐在第4列第3行，用数对表示为？
   - 解答：$(4,3)$。
2. 点A(2,5)向右平移3格后的位置是？
   - 解答：列数加3，行数不变，$(5,5)$。

四、易错点提醒¶

• 数对中列在前、行在后，不要写反
• $(3,5)$和$(5,3)$表示不同的位置

第三单元 小数除法¶

一、核心知识点¶

• 小数除以整数：按整数除法算，商的小数点与被除数对齐，如 $4.8\div3=1.6$
• 整数除以小数：利用商不变性质，除数和被除数同时扩大相同倍数使除数变整数，如 $12\div0.4=120\div4=30$
• 小数除以小数：同上，移动小数点使除数变整数再除
• 商的近似数：按要求保留小数位数，多除一位再四舍五入
• 循环小数：从小数部分某位起一个或几个数字依次不断重复出现，如 $5\div3=1.666\cdots=1.\dot{6}$
• 循环节：重复出现的数字，如 $1.\dot{6}$的循环节是6，$0.3\dot{6}$的循环节是6
• 有限小数与无限小数：小数位数有限的叫有限小数，无限的叫无限小数，循环小数是无限小数

二、重点难点¶

• 重点：掌握小数除法的计算方法
• 难点：除数是小数的除法中移动小数点，循环小数的认识

三、典型例题¶

1. $10.5\div0.75=$？
   - 解答：除数和被除数同时扩大100倍，$1050\div75=14$。
2. $22\div7$ 保留两位小数约是多少？
   - 解答：$22\div7=3.1428\cdots$，保留两位约3.14。
3. 判断：$0.3\dot{6}$和$0.3\dot{6}\dot{0}$是同一个循环小数吗？
   - 解答：不是。$0.3\dot{6}=0.3666\cdots$，$0.3\dot{6}\dot{0}=0.36060\cdots$，不同。

四、易错点提醒¶

• 除数是小数时先移动小数点使除数变整数，被除数要同时移动相同位数，位数不够补0
• 循环小数的循环节要找准从哪一位开始
• 商的近似数要多除一位再四舍五入

第四单元 可能性¶

一、核心知识点¶

• 确定事件：一定发生或不可能发生的事件
• 不确定事件：可能发生也可能不发生的事件
• 可能性的大小：事件发生的可能性和数量有关，数量越多可能性越大
• 等可能性：每种情况出现的机会相同，如掷硬币正面和反面等可能

二、重点难点¶

• 重点：理解可能性的含义，判断可能性的大小
• 难点：用分数表示可能性的大小

三、典型例题¶

1. 盒子里有3个红球、2个白球、1个蓝球，摸出哪种球的可能性最大？
   - 解答：红球最多（3个），摸出红球可能性最大。
2. 掷骰子，掷出的数大于4的可能性是多少？
   - 解答：大于4的有5、6两个，共6种可能，可能性为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。

四、易错点提醒¶

• 可能性大不等于一定发生，可能性小不等于不发生
• 用分数表示可能性时分子是符合条件的个数，分母是总个数

第五单元 简易方程¶

一、核心知识点¶

• 用字母表示数：用字母表示未知的量或变化的量，如$a$表示年龄，$a+3$表示3年后的年龄
• 方程：含有未知数的等式叫方程，如 $2x+5=13$
• 等式性质：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立
• 解方程：求方程中未知数的值的过程
• 方程解法：$x+a=b\Rightarrow x=b-a$；$ax=b\Rightarrow x=b\div a$；$ax+b=c\Rightarrow ax=c-b\Rightarrow x=(c-b)\div a$
• 列方程解应用题：设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验→作答

二、重点难点¶

• 重点：理解方程的概念，掌握解方程的方法
• 难点：列方程解应用题时找等量关系

三、典型例题¶

1. 解方程 $3x+5=20$。
   - 解答：$3x=20-5$，$3x=15$，$x=5$。
2. 解方程 $2(x-3)=14$。
   - 解答：$2x-6=14$，$2x=20$，$x=10$。
3. 小明比小红大3岁，两人年龄之和是27岁，各几岁？
   - 解答：设小红$x$岁，则小明$x+3$岁，$x+x+3=27$，$2x=24$，$x=12$。小红12岁，小明15岁。

四、易错点提醒¶

• 方程必须是等式且含有未知数，两者缺一不可
• 解方程每步要对等式两边做相同操作
• 列方程解应用题一定要设未知数和写答

第六单元 多边形的面积¶

一、核心知识点¶

• 平行四边形面积：$S=底\times高$（$S=ah$），由长方形面积推导——沿高剪开平移拼成长方形
• 三角形面积：$S=底\times高\div2$（$S=\frac{ah}{2}$），两个完全相同的三角形拼成平行四边形
• 梯形面积：$S=(上底+下底)\times高\div2$（$S=\frac{(a+b)h}{2}$），两个完全相同的梯形拼成平行四边形
• 组合图形面积：分割法（分成几个基本图形）或添补法（补成大图形减去补的部分）

二、重点难点¶

• 重点：掌握三种图形的面积公式及推导过程
• 难点：灵活运用公式解决实际问题，组合图形面积计算

三、典型例题¶

1. 平行四边形底8cm，高5cm，面积是多少？
   - 解答：$S=8\times5=40$（$\text{cm}^2$）。
2. 三角形底12cm，高8cm，面积是多少？
   - 解答：$S=12\times8\div2=48$（$\text{cm}^2$）。
3. 梯形上底4cm，下底10cm，高6cm，面积是多少？
   - 解答：$S=(4+10)\times6\div2=42$（$\text{cm}^2$）。

四、易错点提醒¶

• 平行四边形面积用”底×高”，不是”底×斜边”
• 三角形和梯形面积别忘了除以2
• 对应的底和高要匹配，不同底对应不同的高

第七单元 数学广角——植树问题¶

一、核心知识点¶

• 两端都种：棵数=段数+1，如100米路每隔10米种一棵，$100\div10+1=11$棵
• 只种一端：棵数=段数，如100米每隔10米，$100\div10=10$棵
• 两端都不种：棵数=段数-1，如100米每隔10米，$100\div10-1=9$棵
• 封闭图形植树：棵数=段数（首尾相连）

二、重点难点¶

• 重点：掌握三种情况的植树公式
• 难点：根据实际情况判断属于哪种类型

三、典型例题¶

1. 一条200米的小路一边植树，每隔5米种一棵，两端都种，一共种多少棵？
   - 解答：$200\div5+1=41$（棵）。
2. 圆形花坛周长60米，每隔3米种一棵树，种多少棵？
   - 解答：封闭图形，$60\div3=20$（棵）。
3. 锯木头：一根木头锯成5段要20分钟，每锯一次几分钟？
   - 解答：锯成5段需锯4次，$20\div4=5$（分钟）。

四、易错点提醒¶

• 植树问题关键是”段数”和”棵数”的关系
• 锯木头、爬楼梯等问题本质也是植树问题

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